Diplomarbeit zu "`Zero-Knowledge Arguments"' - Telle-Online.de

7 Berechenbare Zero–Knowledge Arguments mit konstanter Rundenzahl
Schritte P2.x: (Zeugnis–ununterscheidbares Universelles Argument) In diesen
Schritten wird einfach den Strategien der ehrlichen Prover für Zeugnis–
ununterscheidbare Universelle Argumente gefolgt, um zu beweisen, dass
entweder xi ∈ L gilt oder dass das Kommunikationsprotokoll τ der ersten
Stufe der i-ten Sitzung aus Λ stammt. Dabei ist zu beachten, dass A[i]
als ein Zeugnis dafür verwendet werden kann, dass das Kommunikationsprotokoll
der ersten Stufe tatsächlich aus Λ ist.
Das Lemma, welches beweisen werden muss, lautet wie folgt:
Lemma 7.4
Bezeichne S einen Simulator gemäß Protokoll 7.11. Dann gilt für jeden polynomiell
großen Verifier V ∗ und für jede Eingabe {(xi, yi)} n i=1 mit ” yi ist ein Zeugnis für xi ∈ Λ“,
dass die beiden folgenden Zufallsvariablen X und Y berechenbar ununterscheidbar sind:
• X = viewV ∗ ({(xi, yi)} n i=1) einer n-fach simultanen Ausführung von Protkoll 7.10.
• Y = outS(V ∗ , (x1, . . . , xn)).
Beweis:
Bezeichne S ′ einen beliebigen Algorithmus, der bei Eingabe von (V ∗ , {(xi, yi)} n i=1) derselben
Strategie wie S bei Eingabe von V ∗ und (x1, . . . , xn) folgt, mit der Ausnahme,
dass S ′ bei der Simulation der Schritte der Zeugnis–ununterscheidbarer Universellen Argumente
(Schritte P2.x) in der i-ten Sitzung yi als Eingabe für den ehrlichen Prover
Algorithmus verwendet.
Sei Z = out S ′(V ∗ , (V ∗ , {(xi, yi)} n i=1)). Das Lemma wird bewiesen, indem gezeigt wird,
das w berechenbar ununterscheidbar sowohl von X als auch von Y ist und somit kein
Algorithmus existiert, der X von Y berechenbar unterscheiden kann.
1. Z ist berechenbar ununterscheidbar von Y :
Es ist zu beachten, dass der einzige Unterschied zwischen Z und Y das Zeugnis ist,
welches als Eingabe für den Prover des Zeugnis–ununterscheidbaren Universellen
Arguments dient. Darüber hinaus gilt, dass auf die von dem Prover des Zeugnis–ununterscheidbaren
Systems genutzte Zufallszeichenkette von anderen Teilen
der Simulation weder zugegriffen noch von diesen verwendet wird. Damit folgt die
Behauptung grundsätzlich dem Umstand, dass die Zeugnis–ununterscheidbarkeit
unter simultaner Komposition abgeschlossen ist. Da das Protokoll darüber hinaus
Nachrichten enthält, die sich nicht auf das Zeugnis–ununterscheidbare Universelle
Argument beziehen, wird der Beweis noch weiter geführt.
Seien die Sitzungen in Bezug auf die Ausführungsreihenfolge im ersten Schritt der
zweiten Stufe (der Zeugnis–ununterscheidbaren Universellen Argument Stufe) sortiert.
Bezeichne Zi eine Verteilung, bei der in den ersten i Sitzungen der Strategie
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