Herleitungen von elementaren Ableitung - Bonedaddy

Index
Herleitungen von elementaren
Ableitungsregeln
by Nichtnäherdefiniert
5.12.2003-6.12.2003
1. Differenzenquotient
2. Faktorregel
3. Konstantenregel
4. Summenregel
5. Produktregel
6. Quotientenregel
7. Potenzregel (für natürlichen Exponenten)
8. Kettenregel
9. Exponentialregel
10. Logarithmenregel
11. Potenzregel (für reelle Exponenten)
12. Trigonometrische Funktionen
a. Sinus
b. Cosinus
c. Tangens
d. Cotangens
Vorbemerkung:
Ich gehe in dieser kurzen Zusammenfassung der Herleitungen der elementaren
Ableitungsregeln nicht auf die unmittelbar damit zusammenhängenden Definitionen und
Anwendungen von Grenzwert, Grenzwertsätze, Stetigkeit und Konvergenzkriterien ein.

Differenzenquotient
Aus linearen Funktionen (Abbildungen mit linearer Zuordnungsvorschrift) ist der
Differenzenquotient, der sich aus dem sog. Steigungsdreieck ableitet bekannt:
y2 − y1
mx ( ) =
x2 − x1
Da für eine beliebige Funktion gilt f ( x) = y,
lässt sich die Formel umschreiben
f ( x2) − f( x1)
mx ( ) =
x2 − x1
Dieses ist für eine Funktion beliebiger Ordnung die Sekantensteigung, der Sekante, die durch
zwei Punkte auf dem Graphen von f geht. Um die Sekantensteigung möglichst genau der
Tangentensteigung an der Stelle x 1 annähern zu lassen, muss der Punkt ( 2, ( 2)
)
theoretisch „unendlich nahe“ am Punkt ( , ( ) )
1 1
x f x sich
x f x befinden. Dieses stellt man durch die
Grenzwertschreibweise dar. (für eine fachlich korrekte Definition siehe im Internet unter
„Epsilon-Umgebung“ oder „Epsilontik“).
x − x = h
Daher gilt für die Steigungsfunktion bzw. „1. Ableitung“ nach Substitution von 2 1 :
f ( x+ h) − f( x)
f '( x)
= lim
h→0
h
Aus dieser Grundform der Tangentensteigung werden die Regeln der Ableitungen bzw.
Ableitungen anderer Funktion hergeleitet.

Faktorenregel
Oft tauchen Funktionen, die sich aus einem oder mehreren Faktoren (Konstanten)
zusammensetzen auf. Bei Ableitungen dieser Funktionen verwendet man die sog.
„Faktorenregel“
f ( x) = k⋅ u( x)
f ( x+ h) − f( x)
• f '( x)
= lim
h→0
h
k⋅ u( x+ h) −k⋅u( x)
• = lim
h→0
h
ux ( + h) − ux ( )
• = k ⋅ lim
h→0
h
• f '( x) = k⋅ u'( x)
Folgerung:
Ein konstanter Faktor bleibt bei der Ableitung erhalten.

f ( x) = k
Konstantenregel
Da der Ordinatenwert dieser Funktion sich nicht ändert, also die Gerade eine parralele zur
Abszisse ist, gilt f ( x0) = f( x1) = f( x2) = ... = f( xn)
k − k
• f '( x)
= lim
h→0
h
• f '( x ) = 0
Folgerung:
Eine Konstante als Summand, Minuend bzw. Subtrahent fällt beim Ableiten weg.

f ( x) = u( x) + v( x)
Summenregel
ux ( + h) − ux ( ) + vx ( + h) −vx
( )
• f '( x)
= lim
h→0
h
ux ( + h) − ux ( ) vx ( + h) −vx
( )
• = lim + lim
h→0 h h→0
h
• f '( x) = u'( x) + v'( x)
Folgerung:
Die Ableitung erfolgt durch die Addition der Ableitungen der Summanden.

f ( x) = u( x) ⋅ v( x)
Produktregel
ux ( + h) ⋅ vx ( + h) −ux ( ) ⋅vx
( )
• = lim
h→0
h
ux ( + h) ⋅ vx ( + h) − ux ( + h) ⋅vx ( ) −ux ( ) ⋅ vx ( ) + ux ( + h) ⋅vx
( )
• = lim
h→0
h
vx ( + h) −vx ( ) −ux ( ) ⋅ vx ( ) + ux ( + h) ⋅vx
( )
• = ux ( ) ⋅ lim
h→0
h
vx ( + h) −vx ( ) −ux ( ) ⋅ vx ( ) + ux ( + h) ⋅vx
( )
• = ux ( ) ⋅ lim + lim
h→0 h h→0
h
ux ( + h) − ux ( )
• = ux ( ) ⋅ v'( x) + vx ( ) ⋅ lim
h→0
h
• f '( x) = u( x) ⋅ v'( x) + v( x) ⋅ u'( x)
Folgerung:
Die Ableitung einer Funktion, die sich aus zwei Faktoren (aufzufassen als ein Produkt zweier
Funktionen) zusammensetzt, wird abgeleitet, in dem man das Produkt aus der Ableitung der
ersten Funktion mit der zweiten Funktion mit dem Produkt aus der Ableitung der ersten
Funktion mit der zweiten Funktion addiert.

ux ( )
f( x)
=
vx ( )
•
•
•
•
Quotientenregel
ux ( ) = vx ( ) ⋅ f( x)
u'( x) = v'( x) ⋅ f( x) + v( x) ⋅ f '( x)
u'( x) −v'( x) ⋅ f( x)
f '( x)
=
vx ( )
v'( x) ⋅ u( x)
u'( x)
−
vx ( )
f '( x)
=
vx ( )
u'( x) ⋅v( x) −u( x) ⋅v'(
x)
f '( x)
=
v ( x)
• 2
Folgerung:
Der Zähler unterschiedet sich von der Produktregel nur durch die Umkehrverknüpfung vor
dem zweiten Summanden! Die Ableitung erhält man durch die Division dieses Terms durch
das Quadrat des Nenners der Stammfunktion.
Faustregel:
2
Bei Polynomen (Funktionen der Form f ( x) a1 ax 2 ax 3
3
ax 4
n 1
... ax n
−
= + + + + + ) ist in
der Regel die 1. Ableitung einen Grad geringer als die Stammfunktion.

f ( x) x
n∈ n ≠ 0 g f
n
= ,
•
•
•
•
•
•
•
Folgerung:
Potenzregel
n n
( x + h) − x
f '( x)
= lim
h→0
h
n ⎛ ⎛n⎞ n−k k⎞ n
⎜∑⎜ x h x
k=
0 k
⎟⋅
⋅ ⎟−
⎝ ⎠
= lim
⎝ ⎠
h→0
h
n ⎛n⎞ n−k k
∑⎜
x h
k=
1 k
⎟⋅
⋅
= lim
⎝ ⎠
h→0
h
n ⎛n⎞ n−k k−1
= lim∑
⎜ ⋅xh
h→
0
k=
1 k
⎟ ⋅
⎝ ⎠
n 1
h −
⎛n⎞ n−1 ⎛⎛n⎞ n−2 ⎛n⎞ n−3
2 ⎞
= ⎜ x lim x h x h ...
1
⎟⋅ + ⎜⎜ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + + ⎟
h→0
2
⎟ ⎜
3
⎟
⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎠
n!
n−1
= ⋅x
( n −1)!
n x −
= ⋅
n 1
Eine Potenz leitet man ab, in dem man den Exponenten als Faktor vor die Potenz zieht und
den Exponenten um 1 verringert. ACHTUNG: Diese Herleitung gilt nur für natürliche
Exponenten, später wird aber gezeigt, dass die Regel auch für reelle Exponenten gilt.

Kettenregel
Oftmals trifft man auf Hintereinanderabbildungen (Kompositionen) von Funktionen. D.h., zu
erst wird x durch eine Zuordnungsvorschrift auf f ( x ) abgebildet und danach f ( x) durch
eine Zuordnungsvorschrift auf g( f( x)) oder kurz g f .
Sei nun eine Funktion als Komposition von zwei Abbildungen aufzufassen:
f ( x) = g( t( x))
gtx ( ( + h)) − gtx ( ( ))
• f '( x)
= lim
h→0
h
gtx (( + h)) − gtx (( )) tx ( + h) −tx
( )
• = lim
⋅
h→0
h t( x+ h)
− t( x )
gtx (( + h)) − gtx (( )) tx ( + h) −tx
( )
• = lim
⋅
h→0
tx ( + h) −tx
( ) h
gtx (( + h)) − gtx (( ))
• = lim ⋅t'(
x)
h→0
tx ( + h) −tx
( )
• tx ( + h) − tx ( ) = j
• Betrachtet man h als die Differenz der von tx ( + h) − tx) ( , so ist j die Differenz von
gtx (( + h)) − gtx (( )) und mit h → 0 gilt auch j → 0
gtx (( ) + j) − gtx (( ))
• = t'( x)
⋅ lim
j→0
j
• f '( x) = g'( t( x)) ⋅ t'( x)
Folgerung:
Eine als Komposition zweier (oder mehrerer) Abbildungen auffassbare Funktion leitet man
ab, in dem man die äußere Ableitung mit der inneren multipliziert.
[ g f]'= g'⋅ f '
Innere Ableitung i Äußere Ableitung
sin( x + h) − sin( x)
f '( x)
=
lim
h→0
h

f ( x) = b
•
•
•
•
x
x+ h x
b − b
f '( x)
= lim
h→0
h
h
x b −1
= b ⋅ lim
h→0
h
h
b − 1= k ⇔ h= log b ( k +1)
x k
= b ⋅lim
k→0
log b ( k + 1)
x
= b ⋅lim
1
•
k→0
1
k log b ( k + 1)
1
k
•
•
k→0
Exponentialregel
lim( k + 1) = e≈
2,718281828459
1
x
= b ⋅ lim
k→0
log b ( e)
•
ln( e)
logb
e =
ln( b)
•
x
f '( x) = b ⋅ ln( b)
Folgerung:
Eine Exponentialfunktion wird abgeleitet, in dem man die Stammfunktion mit dem
natürlichen Logarithmus (logarithmus naturalis) der Basis multipliziert.

f ( x) = log ( x)
b
Logarithmenregel
Umkehrregel:
Eine Umkehrfunktion bzw. inverse Abbildung hebt die die ursrünlgiche Funktion bzw.
Abbildung auf. (Wenn die Abbildung bijektiv ist, sonst gibt es keine Inverse).
−1
f ( f( x)) = x
Nach der Potenzregel folgt:
−1
[ f ( f( x))]'
=1
Nach der Kettenregel folgt:
−1
f ' ( x) ⋅ f( x)'=
1
−1
1
f ' ( x)
=
f '( x)
logb x = z
Die Logarithmusfunktion ist als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion zu verstehen.
•
•
•
Folgerung:
z 1
b ⋅ ln( b)
=
f '( x)
1
= z
b ⋅ ln( b)
1
f '( x)
=
ln( b) ⋅ x
Die Ableitung einer Logarithmusfunktion ist der Kehrwert des Produkts aus dem natürlichen
Logarithmus und dem Argument der Stammfunktion.

f ( x) x
•
•
•
•
r
= , ,
x r ∈
f '( x) e ⋅
=
= e ⋅
x
r⋅ln( x) r
r r
r ln( x)
= x ⋅
x
r
f '( x) r x −
= ⋅
1
Potenzregel
(für reelle Exponenten)
Folgerung:
Die Regel bleibt auch für reelle Exponenten gleich.

f ( x) = sin( x)
Sinusfunktion
2
sin( x + h) − sin( x)
• f '( x) =−1−cot ( x)
f '( x)
= lim
h→0
h
• Nach den Additionstheoremen folgt
sin( a+ b) = sin( a) ⋅ cos( b) + sin( b) ⋅cos(
a)
sin( x)cos( h) + sin( h)cos( x)
−sin(
x )
• = lim
h→0
h
sin( h)
• = cos( x)
⋅ lim
h→0
h
• f '( x) = cos( x)
f ( x) = cos( x)
Cosinusfunktion
⎛π⎞ • cos( x) = sin ⎜ − x⎟
⎝ 2 ⎠ , sin( ) cos ⎛π⎞ x = ⎜ − x⎟
⎝ 2 ⎠
⎛π⎞ • f '( x) = cos ⎜ − x⎟⋅(
1)
⎝ 2 ⎠ −
• f '( x) =−
sin( x)

f ( x) = tan( x)
sin( x)
• f( x)
=
cos( x)
•
•
f ( x) = cot( x)
•
•
•
2 2
cos ( x) + sin ( x)
2
cos ( x)
2
'( ) = 1 + tan ( )
f '( x)
=
f x x
cos( x)
f( x)
=
sin( x)
− −
f '( x)
=
2 2
sin ( x) cos ( x)
2
sin ( x)
2
'( ) =−1− cot ( )
f x x
Tangensfuktion
Cotangensfuktion