Multivariatenanalysen (PDF, 976,1 KB) - TU Berlin

Vorlesung Marktforschung 

Multivariatenanalysen 

Sommersemester 2011 

TU Berlin, Lehrstuhl Marketing Prof. Dr. V. Trommsdorff, Sekr. WIL-B-3-1, Wilmersdorfer Straße 148, 10585 Berlin, www.marketing-trommsdorff.de 

Technische Universität Berlin 

Lehrstuhl Marketing Professor Dr. Volker Trommsdorff

Agenda 

• Nachtrag zur Diskriminanzanalyse 

• Fallbeispiel 


Lehrstuhl Marketing Professor Dr. Volker Trommsdorff 

Marktforschung – Diskriminanzanalyse 2

Fallbeispiel 

Problemstellung 

• Ein Margarinhersteller möchte herausfinden, wie die Margarinemarken 

wahrgenommen werden, d.h. 

• ob signifikante Unterschiede in der Wahrnehmung verschiedener Marken 

bestehen und 

• welche Eigenschaften für die unterschiedliche Wahrnehmung der Marken 

relevant sind. 

• Zu diesem Zweck wurde eine Befragung von 18 Personen durchgeführt, wobei 

diese veranlaßt wurden, 11 Butter- und Margarinemarken jeweils bezüglich 10 

verschiedener Variablen auf einer siebenstufigen Rating-Skala zu beurteilen. 

• Um die Zahl der Gruppen zu vermindern, wurden die 11 Marken zu drei Gruppen 

(Marktsegmenten) zusammengefasst. Die Gruppenbildung wurde durch Anwendung 

einer Clusteranalyse vorgenommen. 




Fallbeispiel 

Merkmalsvariablen und Marktsegmente 

Merkmalsvariablen 

1 Streichfähigkeit 

2 Preis 

3 Haltbarkeit 

4 Anteil ungesätt. Fettsäuren 

5 Back- und Brateignung 

6 Geschmack 

7 Kaloriengehalt 

8 Anteil tierischer Fette 

9 Vitamingehalt 

10 Natürlichkeit 



Marktsegmente 

(Gruppen) 

1 

2 

3 

Marken im Segmenten 

Homa, Flora Soft 

Becel, Du darfst, Rama, SB, 

Sanella, Botteram 

Delicado, Holländische 

Markenbutter, Weihnachtsbutter 


Fallbeispiel 

Ergebnisse (1) – Univariate Trennfähigkeit der Merkmale 

Streichfahigkeit 

Preis 

Haltbarkeit 

Anteil ungesattigter Fettsauren 

Back- und Brateignung 

Geschmack 

Kaloriengehalt 

Anteil tierischer Fette 

Vitamingehalt 

Natürlichkeit 

Tests of Equality of Group Means 



Wilks' 

Lambda F df1 df2 Sig. 

,798 11,246 2 89 ,000 

,916 4,074 2 89 ,020 

,952 2,264 2 89 ,110 

,993 0,321 2 89 ,726 

,944 2,619 2 89 ,078 

,795 11,484 2 89 ,000 

,836 8,703 2 89 ,000 

,712 17,980 2 89 ,000 

,885 5,806 2 89 ,004 

,703 18,813 2 89 ,000 

• Die Tabelle zeigt, wie gut die 10 Merkmale, jedes für sich, die drei Gruppen trennen 

(„diskriminieren“). 

• Mit Ausnahme von “Haltbarkeit”, “Anteil ungesättigter Fettsäuren” und “Back- und Brateignung” 

trennen alle Variablen signifikant (α < 5%). 

• Am besten trennt “Natürlichkeit”. 

nicht signifikant 

maximal 

trennscharf 


Fallbeispiel 

Ergebnisse (2) - Diskriminanzfunktionen 

Canonical Discriminant Function Coefficients 


Preis 

Haltbarkeit 



Geschmack 



Vitamingehalt 


(Constant) 

Unstandardized coefficients 



Function 

1 2 

-,140 ,408 

,223 -,127 

-,336 -,276 

-,091 -,126 

-,020 ,131 

,190 ,372 

,268 -,102 

,189 ,166 

-,180 ,429 

,486 -,332 

-2,164 -2,322 

• Bei drei Gruppen lassen sich zwei Diskriminanzfunktionen bilden. In der Tabelle sind die 

geschätzten Parameter (unstandardisiert) dieser Diskriminanzfunktionen wiedergegeben. 

• Y 1 = -2,164 - 0,140*Streichfähigkeit + 0,223*Preis - 0,336*Haltbarkeit - 0,091*Anteil ungesättigter 

Fettsäuren - … + 0,486*Natürlichkeit 


Fallbeispiel 

Ergebnisse (3) – Structure Matrix 

Structure Matrix 




Preis 


Vitamingehalt 

Geschmack 



Haltbarkeit 



Function 

1 2 

,546 * -,014 

,515 * ,341 

,371 * ,036 

,250 * ,111 

-,069 * -,044 

,170 ,614 * 

,367 ,531 * 

-,381 ,444 * 

,126 ,390 * 

-,170 ,206 * 

*. 

• Die Tabelle zeigt die gemeinsame Korrelation innerhalb der Gruppen zwischen 

Diskriminanzvariablen (z.B. Natürlichkeit) und standardisierten kanonischen 

Diskriminanzfunktionvariablen (z.B. Y1). • Mit diesen Korrelationen wird die diskriminatorische Bedeutung einer Merkmalsvariablen 

bezüglich aller Diskriminanzfunktionen beurteilt. 


Fallbeispiel 

Ergebnisse (4) 

Gütemaße zur Beurteilung der Diskriminanzfunktionen 



Eigenvalues 

1,420 a 85,7 85,7 ,766 

,238 a Function Eigenvalue % of Variance Cumulative % 

Canonical 

Correlation 

1 

2 

14,3 100,0 ,438 

a. 

First 2 canonical discriminant functions were used in the analysis. 

• Aus Spalte 2 und 3 ist ersichtlich, dass die relative Wichtigkeit der zweiten 

Diskriminanzfunktion mit 14,3 % Varianzanteil wesentlich geringer ist als die der 

ersten Diskriminanzfunktion mit 85,7 % Varianzanteil. 


Fallbeispiel 


Gütemaße zur Beurteilung der Diskriminanzfunktionen 

Test of Function(s) 

1 through 2 

2 



Wilks' Lambda 

Wilks' 

Lambda Chi-square df Sig. 

,334 92,718 20 ,000 

,808 18,029 9 ,035 

• In der Tabelle findet man die Werte für das residuelle Wilks’ Lambda. Sie zeigen, 

dass auch die zweite Diskriminanzfunktion noch signifikant (mit 

Irrtumswahrscheinlichkeit = 3,5 %) zur Trennung der Gruppen beiträgt. 


Fallbeispiel 

Ergebnisse (6) – Gruppen Zentroide 

1 

2 

3 

Marktsegmente 



Functions at Group Centroids 

Function 

1 2 

-,773 ,885 

-,613 -,349 

2,088 4,538E-02 

Unstandardized canonical discriminant functions evaluated at group means 

• Die Werte sind so zu interpretieren: 

• Die erste Diskriminanzfunktion trennt Marktsegment 3 von den Segmenten 1 

und 2. 

• Die zweite Diskriminanzfunktion trennt die Marktsegmente 1 und 2 


Fallbeispiel 

Ergebnisse (7) - Klassifizierungsmatrix 

Tatsächliche 

Gruppenzugehörigkeit 

Original 

Count 

% 

Marktsegmente 

1 

2 

3 

1 

2 

3 



A 

B 

Classification Results 

Prognostizierte Gruppenzugehörigkeit 

richtige 

Klassifizierung 

falsche 


Predicted Group Membership 

1 2 3 Total 

12 7 0 19 

9 38 4 51 

3 0 19 22 

63,2 36,8 ,0 100,0 

17,6 74,5 7,8 100,0 

13,6 ,0 86,4 100,0 

falsche 


richtige 


Marktforschung – Diskriminanzanalyse 11 

A 

B 

69 von 92 

Fälle (75%) 

richtig 

klassifiziert

Fallbeispiel 

Ergebnisse (8) - Darstellung der Gruppen im Diskriminanzraum 

Function 2 

4 

3 

2 

1 

0 

-1 

-2 

-3 

-4 

Function 1 

Canonical Discriminant Functions 



-2 

1 

2 

0 


2 

3 

4 

6 

Marktsegmente 

Group Centroids 

3 

2 

1

Fallbeispiel 


Klassifizierungsdiagramm 

Symbol s used i n t er r i t or i al map 

Symbol Gr oup Label 

------ - ---- - ------------------- 

1 1 

2 2 

3 3 

* I ndi cat es a gr oup cent r oi d 



Canoni cal Di scr i mi nant 

Funct i on 2 

- 6, 0 - 4, 0 - 2, 0 , 0 2, 0 4, 0 6, 0 

ôòòòòòòòòòôòòòòòòòòòôòòòòòòòòòôòòòòòòòòòôòòòòòòòòòôòòòòòòòòòô 

6, 0 ô 13 ô 

ó 13 ó 

ó 13 ó 

ó 13 ó 

ó 13 ó 

ó 13 ó 

4, 0 ô ô ô ô 13 ô ô 

ó 13 ó 

ó 13 ó 

ó 13 ó 

ó 13 ó 

ó 13 ó 

2, 0 ô ô ô ô 13 ô ô ô 

ó 13 ó 

ó 13 ó 

ó * 13 ó 

ó 13 ó 

ó 11111111113 ó 

, 0 ô ô111111111111122222222223 * ô ô 

ó111111111112222222222222 * 23 ó 

ó22222222222 23 ó 

ó 23 ó 

ó 23 ó 

ó 23 ó 

- 2, 0 ô ô ô ô 23 ô ô ô 

ó 23 ó 

ó 23 ó 

ó 23 ó 

ó 23 ó 

ó 23 ó 

- 4, 0 ô ô ô ô 23 ô ô ô 

ó 23 ó 

ó 23 ó 

ó 23 ó 

ó 23 ó 

ó 23 ó 

- 6, 0 ô 23 ô 

ôòòòòòòòòòôòòòòòòòòòôòòòòòòòòòôòòòòòòòòòôòòòòòòòòòôòòòòòòòòòô 

- 6, 0 - 4, 0 - 2, 0 , 0 2, 0 4, 0 6, 0 

Canoni cal Di scr i mi nant Funct i on 1 


Fallbeispiel 

Ergebnisse (10) – Klassifikationsfunktionen 


Preis 

Haltbarkeit 



Geschmack 



Vitamingehalt 


(Constant) 

Fisher's linear discriminant functions 

• Nach Fisher wird für jede Gruppe eine Klassifizierungsfunktion bestimmt, die direkt von den 

gegebenen Merkmalen abhängt. Ein neues Objekt wird der Gruppe zugeordnet, deren 

Klassifizierungsfunktion den größten Wert liefert. 

F1 = -23,073 + 2,516*Streichfähigkeit + … + 1,516*Natürlichkeit 





Classification Function Coefficients 

1 

Marktsegmente 

2 3 

2,516 1,990 1,772 

,576 ,768 1,320 

1,580 1,866 ,850 

1,714 1,855 1,559 

,159 -5,396E-03 -6,699E-03 

,351 -7,722E-02 ,584 

,855 1,025 1,709 

1,122 ,948 1,523 

-8,275E-02 -,641 -,958 

1,516 2,004 3,187 

-23,073 -20,111 -28,805 


Agenda 

• Imagepositionierung: Fakorenanalyse und Mehrdimensionale Skalierung 

• Faktorenanalytische Positionierungsanalyse 




Positionierungsanalyse 

Multivariate Imageanalyse 

Image als mehrdimensionale Einstellung 

Imagemessung als Diagnose für Produktpositionierung 

Komponierende Imagemessung 

von differenzierten Eindrücken 

(Image-Items, Ratingbatterie) 

durch Kompression 

(Faktorenanalyse) 

zu Dimensionen 

Weitere Messmodell-Unterscheidungskriterien: 

• Ideal (-Punkt, -Vektor, ohne) 

• Operationalisierung (je ein/zwei Aspekte, deskriptiv/evaluativ ...) 

• Verknüpfung (multiplikativ, additiv) 



Dekomponierende Imagemessung 

von Objekt-Relations-Urteilen 

(Ähnlichkeiten, Präferenzen) 

per Dekomposition der Relationen 

(Mehrdimensionale Skalierung) 

zu Dimensionen 



Wie findet man Imagemerkmale ? 

Naiv 

Qualitativ / nominal 

Quantitativ über 

Ratingskalen 

Quantitativ 

indirekt statistisch 



Direktes Abfragen 

Gruppendiskussion, Tiefeninterview 

Salienz: Spontanassoziationen 

Gittertechnik: Kriterien-Exploration 

Wichtigkeit (importance) 

Unterscheidbarkeit (discriminance) 

Entscheidend (important und discriminant) 

Regressionsanalyse 

Diskriminanzanalyse 

Mehrdimensionale Skalierung 



Das Polaritätenprofil ist hoch redundant und damit wenige informativ 

Testbericht 

Lebensdauer 

Haftung bei Nässe 

niedriger Preis 

Fahrkomfort 

Hochgeschwindigkeitsreifen 

Wintertauglichkeit 

Entwicklungspotential 

besondere Ansprüche 

Kurvenstabilität 

Kosten - Nutzen - Relation 

Exklusivität 

sportliche Fahrweise 

Breitreifen 

Fahr- und Lenkverhalten 

dynamische Fahrer 

Aussehen 

Zuverlässigkeit 

attraktive Marke 

geringes Abrollgeräusch 

Ruf 

persönliches Interesse 



x 

x 

x 

x 

x 

x 

x 

x 

x 

x 

x xx 

x 

x 

x 

x 

x 

x 

x 

o 

o 

o 

o 

o 

o 

o 

o 

o 

o 

o 

o 

o 

o 

o 

ooo 

o 

o 

o 

o 


x 

x A o C 

1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6


Fiktive dreidimensionale Positionierung 

Prestige 

Wirtschaftlichkeit 

Konkurrenz- 

Marke A 



Ideale Marke 

Eigene Marke 

Konkurrenz- 

Marke B 

Konkurrenz- 

Marke C 

Sportlichkeit 


Agenda 

• Faktorenanalyse 

• Grundlagen 

• Basismodell 

• Varianzerklärung 

• Faktorrotation 





Faktorenanalyse 


Ziel: Variablenreduktion 

Mehrere korrelierte und gemessene Variable sollen durch wenige, 

dahinter stehende und nicht direkt messbare, unkorrelierte Variablen 

ausgedrückt werden (Berekoven et al., 2001, s. 214). 

Aufgabenspektrum der Faktorenanalyse 

Aus einem großen Beobachtungsdatenvolumen Faktoren so extrahieren, 

dass ohne viel Informationsverlust der Gehalt der Daten erhalten bleibt. 

Latente Verursachungsgründe oder Dimensionen aufdecken, 

die hinter beobachteten Größen stehen und auf andere Weise 

nur schwer oder überhaupt nicht festzustellen wären. 

Extrahierte Faktoren besser interpretieren als viele korrelierte Variablen. 

vgl. Meffert H., Marktforschung, 1986, s. 84 





Die Beziehung zwischen Variablen und Faktoren 

Beispiel : Margarinemarken 

Haltbarkeit 

Preis 

Vitamingehalt 


Anteil 

ungesättigter 

Fettsäuren 

Variablen Faktoren 

x 1 

x 2 

x 3 

x 4 

x 5 

vgl. Backhaus K., Erichson B., Plinke W., Weiber R., Multivariate Analysemethoden, 2000, s. 258 




F 1 

F 2 

Wirtschaftlichkeit 

Gesundheit


Basismodell der Faktorenanalyse 

f11 f12 ... 

f 1p 

Ausprägung des Befragten 1 auf Faktor 1 

Ausprägung des Befragten 1 auf Faktor 2 

Ausprägung des Befragten 1 auf Faktor p 



x 1j = l 1j1f 1 + l 1j2f 2 + ... + l 1jpf p +u jj 

x ij : empirische, z-standardisierte Antwort eines Befragten i auf Item j 

Faktorwerte = gesuchte (redundanzbereinigte) Ausprägungen 

Faktorladungen = gesuchte Einflußstärken von Faktoren auf Items 

li1 Ladung des Items i auf den Faktor 1 

li2 ... 

Ladung des Items i auf den Faktor 2 

lip Ladung des Items i auf den Faktor p 

ui : Störterm / Einzelrestfaktor 



Faktorenanalyse - weitere Zusammenhänge 

Eine empirische Korrelation r 12 zwischen zwei Items 1 und 2 spiegelt als Skalarprodukt 

der Vektoren X 1, X 2 den Grad ihrer gemeinsame Ladung durch Faktoren wider: 

r 12 = X 1X 2 = h 1h 2cos α 

α Winkel zwischen den beiden als Vektor visualisierten Items mit den 

Längen h 1 und h 2 

h i 




h1 

α h2 

“Kommunalität” des Items i sagt, wieweit es durch die Faktoren erklärt wird. 

h i = 0 ⇒ keinerlei Erklärung, h i = 1 ⇒ völlige Erklärung aus den Faktoren. 

h i 2 = li1 2 + li2 2 + ... + lip 2 (durch Faktoren erklärter Varianzanteil einer Variablen 

i) 

Daher kann man aus den Interkorrelationen r ii die Faktorladungen l i1, l i2, .. 

“rekonstruieren”. Anschließend Schätzung der Ausprägungen der Befragten auf den 

Faktoren (Faktorwerte).



Varianzerklärung 

Varianzerklärung durch gemeinsame (k) und spezifische (p) Faktoren 

l i1 2 

Standardisierte Gesamtvarianz = 1 = 100% 

… 

h i 2 : Kommunalität (durch alle Faktoren 

erklärte Varianz einer Variablen i) 



l ik 2 


… 

r ii = l i1 2 +…+ lik 2 +…+ lip 2 + ci 2 = 1 

h i 2 = li1 2 +…+ lik 2 +…+ lip 2 

c i 2 = 1 - hi 2 

l ip 2 

c i 2 

Restvarianz


Faktorenanalyse an einem einfachen fiktiven Beispiel illustriert: 

Korrelationen zwischen Items 

r 12 = f 1·f 2 = h 1h 2cos α 0 ≤ h ≤ 1 

(absolute 

Vektorlänge) 

Kommunalitäten h i 2 




α 

Korrelationen rij 

1 2 3 4 

brutal 1 .25 .21 .04 -.03 

hart 2 .18 .06 0 

jung 3 .20 .18 

frisch 4 .18 

h i .5 .42 .44 .42 

f 1 

f 2 

jung 

frisch


Faktorenanalyse an einem einfachen fiktiven Beispiel illustriert: 

Winkel zwischen Items als Maß für semantische Ähnlichkeit der Items 

F2 

0,4 

h 1 

h 2 

ITEM 

0,3 

h 4 

h 3 



F1 

ITEM 

α ij 1 2 3 4 

1 8,1 79,7 99,1 

2 71,6 90,0 

3 18,4 

4 



Faktorrotation 



Ziel : Interpretationserleichterung 

Die Faktorrotation ändert nichts an den Beziehungen der Variablen 

untereinander. Es ändert sich nur die Interpretierbarkeit der Faktoren, 

indem mehr Variablen mit Faktoren „zusammenfallen“ 

Orthogonale (rechtwinklige) Rotation 

• VARIMAX 

• QUARTIMAX 

• EQUAMAX 

Oblique (schiefwinklige) Rotation 

• OBLIMIN 

• PROMAX 



Erläuterung der Rotationswirkung an dem einfachen Beispiel 

Faktorladungsmatrix 

Rotierte Faktorladungsmatrix 



ITEM 

ITEM 

F1 F2 

1 .3 .4 

2 .3 .3 

3 .4 -.2 

4 .3 -.3 

F1 F2 

1 .50 -.03 

2 .42 .03 

3 .07 .44 

4 -.07 .43 



Schritte der Faktorenanalyse 

1 .. i .. n 1 .. .. j .. .. m 1 .. .. j .. .. m 1 .. l .. r 1 .. l .. r 1 .. j .. n 

1 1 1 1 1 1 

.. 

.. 

.. 

.. 

.. 

.. 

j xij j rjj j rjj j ijl j ijl * .. 

.. 

.. 

.. 

.. 

.. 

.. 

m m m m m 

Datenmatrix Korrelationsmatrix reduzierte 

Korrelationsmatri 

x 

Schätzung der 

Kommunalitäte 

n statt 1 in der 

Diagonalen 



Schätzung 

der hinter 

Variablen 

stehenden 

Faktoren l 

Faktorladungs 

-matrix 

Rotation: 

Möglichst 

viele 

Faktorladun 

gen sollen 

klein oder 

groß sein 

Rotierte 

Faktorladungsmatrix 

Schätzung von 

Faktorenwerten 

: Ausprägungen 

der n Fälle auf l 

Faktoren statt 

auf j Variablen 

Matrix der 

Faktorenwerte 


.. 

.. 

.. 

.. 

.. 

.. 

.. 

.. 

.. 

l pil 

X R Rh I I* P 

r


Faktorenanalyse mit SPSS – Screenshot 1 





Faktorenanalyse mit SPSS – Screenshot 2 




Agenda 

• Faktorenanalyse 


• Basismodell 

• Varianzerklärung 

• Faktorrotation 





Fallbeispiel 

Messung des allgemeinen Selbstwertes 

• Als Beispiel aus einer empirischen Untersuchung erläutern wir die Vorgehensweise 

bei einer explorativen Faktorenanalyse an einer Likertskala zur Messung des 

allgemeinen Selbstwertes. Diese Skala entstammt der Konsumsuchtstudie von 

Scherhorn. 

• Der Selbstwert besteht aus Einstellungen einer Person gegenüber sich selbst - 

sehr allgemein ausgedrückt: ihr „Selbstbewußtsein“ (Scherhorn et al. 1993, S. 28ff). 

• Den Befragten wurden 10 Items vorgelegt, zu denen sie auf einer sechsstufigen 

Ratingskala Zustimmung oder Ablehnung äußern konnten. 




Fallbeispiel 

Die Skala und Items 

Ein hohes Rating der Items signalisiert Zustimmung. Die Items 1,3,5,6,7 und 9 sind im 

Sinne der Messung von Selbstwert negativ gepolt. Ein hoher Wert (Zustimmung!) 

indiziert hier einen geringen Selbstwert. Für die weitere Analyse wurden diese Items 

umgepolt (z.B. V226n = 7-V226). 




Fallbeispiel 

Eignung der Variablen für eine Faktorenanalyse 

• Zunächst werden das KMO-Maß sowie der Bartlett Test of Sphericity ausgegeben. 

Das KMO-Maß (Kaiser-Mayer-Olkin Measure) gibt Auskunft über die Güte der 

Faktorenanalyse. 

• Ein KMO-Wert über .89 deutet auf eine besonders gute Eignung der Items für eine 

Faktorenanalyse hin. Der Bartlett-Test ist signifikant. Das bedeutet, daß die 

Nullhypothese dieses Tests, die Korrelationsmatrix sei nur zufällig von der 

Einheitsmatrix verschieden, mit einer extrem geringen Irrtumswahrscheinlichkeit 

(nahezu 0%) abzulehnen ist. 




Fallbeispiel 

Ausgabe der Final Statistics (1) 

Die Kommunalität (communality) ist der Varianzanteil einer Variablen, den sie mit allen anderen 

Variablen gemeinsam hat. Hier werden alle Items zu über 50% durch das Ihnen Gemeinsame erklärt. 

Am schlechtesten schneidet V231n („Mangelnde Selbstachtung“) mit 54,5% ab. Am besten wird 

V229 erklärt („Bin eigentlich mit mir zufrieden“): 65,2%. 

Der Eigenwert (eigenvalue) eines Faktors drückt aus, wie viel Varianz dieser Faktor im Verhältnis zu 

einer Variablen erklärt. Die Summe aller Eigenwerte ist die Gesamtvarianz aller Variablen, hier bei 10 

Variablen genau 10 (weil alle Variablen z-standardisiert sind). Effizient ist eine Lösung mit wenig 

Faktoren bei wenig Informationsverlust. Extrahiere höchstens so viele Faktoren, wie sie zusammen 

mehr Varianz erklären als die Varianz eines einzelnen Items es tut! Also nur so lange, wie deren 

Eigenwert größer ist als 1. 




Fallbeispiel 

Ausgabe der Final Statistics (2) 

Hier werden also zwei Faktoren extrahiert. Sie erklären insgesamt 59,4% der Varianz der 

Items (Cum Pct). “Nur” ca. 40% der ursprünglichen Information in den Daten geht durch 

Substitution von 10 (alten; Items) auf 2 (neue; Faktoren) im Datensatz verloren. 




Fallbeispiel 

Unrotierte Faktorenmatrix (1) 

In der unrotierten Lösung ist der erste Faktor stets der erklärungsstärkste. Die Summe 

der quadrierten Faktorladungen ist 4,525 (Eigenwert). 

Der erste Faktor erklärt mit 45,2% den größten Anteil der Gesamtvarianz, der zweite 

nur noch zusätzliche 14,1%, beide zusammen 59,3%. 



Eigenwert Faktor 1 

0,70535 2 +…+ 0,60335 2 = 4,525 

Eigenwert Faktor 2 

-0,22891 2 +…+ 0,51003 2 = 1,410 


Fallbeispiel 

Unrotierte Faktorenmatrix (2) 

Alle Items werden hoch vom ersten Faktor geladen. Er ist als allgemeiner Selbstwert zu 

interpretieren. 

Die Vorzeichen der Ladungen auf Faktor 2 entsprechen der ursprünglichen Polung der Items. Positiv 

und negativ gepolte Items wurden unterschiedlich beantwortet, ein Hinweis auf die Antworttendenz, 

negative Fragen anders zu beantworten als positive Fragen. Schlösse man diese Varianzquelle aus 

den Daten aus, hätte man eine fehlerbereinigte Messung des Selbstwerts. man würde dann nur den 

Faktor 1 als neue Variable gelten lassen. 




Fallbeispiel 

Rotierte Faktorenmatrix (1) 

Wenn mehr als ein (inhaltlich interessanter, nicht fehlerbedingter) Faktor extrahiert wurde, sollte eine rotierte 

Lösung (Rotated Factor Matrix) interpretiert und weiter verwendet werden. Die VARIMAX-Rotation liefert 

meist praktikable Lösungen. 

Die (im Sinne des allgemeinen Selbstwertes) negativ formulierten Items werden hier hoch vom rotirerten 

Faktor 1 geladen, die positiv formulierten Items vom Faktor 2. 

Man kann den allgemeinen Selbstwert also auch als zweidimensionales Konstrukt verstehen, folglich statt 

mit einer neuen Variabeln mit zweien weiter rechnen. 




Fallbeispiel 

Interpretation der Ergebnisse 

Hier gibt es also zwei verschiedene Interpretationsmöglichkeiten: 

1. Negativer Selbstwert ist inhaltlich etwas anderes als das Fehlen eines positiven 

Selbstwertes. 

2. Die Zwei-Faktor-Lösung ist ein Methodenartefakt, d.h. die Befragten reagieren auf 

negativ formulierte Items anders als auf positive. 

Welche der beiden Interpretationsmöglichkeiten stimmt, ist eine Validitätsfrage. Die 

Faktorenanalyse allein lässt das nicht entscheiden. 

Eine sinnvolle Strategie ist es hier, zunächst zwei getrennte Skalen für positiven und 

negativen Selbstwert zu bilden und diese getrennt zu validieren. 




Agenda 

• Mehrdimensionale Skalierung 

• Fallbeispiele 


• Lösung einer non-metrischen Skalierung 

• Stressmaß 

• MDS-Datenerhebung 

• Anzahl und Interpretation der Dimensionen 

• Multivariate Imageanalyse 





Einführungsbeispiel zur Mehrdimensionalen Skalierung MDS: 

Interdistanzen informieren über die relative Lage von Städten 

Entfernungstabelle in 100 km 

Berlin 


Frankfurt 5,43 

Frankfurt 

Hamburg 2,91 4,94 

Hamburg 

Hannover 2,85 3,50 1,54 

Hannover 

Köln 5,75 1,86 4,25 2,95 

Köln 

Leipzig 1,89 3,83 4,40 2,81 4,93 

Leipzig 

München 5,84 3,92 7,71 6,27 5,71 4,24 

München 

Stuttgart 6,30 2,04 6,55 5,11 3,66 4,70 2,27 



Stuttgart 

Köln 

Hannover 

Stuttgart 

Hamburg 

Frankfurt 

München 


Leipzig 



Aus Interdistanzen kann man die Landkarte „rekonstruieren“ 

K 



2 

F 

M m 

4 

5 

1 


b 

H 

k 

3 

f 

B


Lage der Städte, ggf. nach Rotation und Spiegelung 


Entfernungstabelle in 100 km 



Frankfurt 

Hamburg 2,91 4,94 

Hamburg 

Hannover 2,85 3,50 1,54 

Hannover 

Köln 5,75 1,86 4,25 2,95 

Köln 

Leipzig 1,89 3,83 4,40 2,81 4,93 

Leipzig 

München 5,84 3,92 7,71 6,27 5,71 4,24 



Köln 

Hannover 

Stuttgart 

Nach der Ermittlung der Konfiguration erfolgt die Ermittlung der 

Zahl (hier 2) und Interpretation der Dimensionen (N-S und O-W) 

München 

Stuttgart 6,30 2,04 6,55 5,11 3,66 4,70 2,27 

Stuttgart 

Hamburg 

Frankfurt 

München 


Leipzig 


Agenda 












Fallbeispiele 

Wahrnehmung von Automarken 

• In einer empirischen Untersuchung wurde die Wahrnehmung folgender Automarken 

untersucht: 

• Opel, VW, Suzuki, Toyota, Mercedes, BMW, Ferrari, Porsche, Lamborghini und 

Rolls Royce. 

• Dazu wurde 10 Männern die folgende Aufgabe gestellt: 

„Beurteilen Sie paarweise die Ähnlichkeit der folgenden Automarken. Vergeben sie 

für die Ähnlichkeit eines Automarkenpaares eine Zahl im Wertebereich von 

1 (= sehr ähnlich) bis 9 (= sehr unähnlich)!“ 




Fallbeispiele 

MDS-Datenerhebung 

Ratingverfahren 

Die Markenpaare werden mittels einer zweipoligen (strukturierten oder 

unstrukturierten) Skala beurteilt. 

VW und 

BMW sind sich 

Bei konsistenten Urteilen, sind n*(n-1)/2 Paarvergleiche durchzuführen 

Dreiecksmatrix 




sehr 

ähnlich 

Frankfurt 

Hamburg 

Hannover 

überhaupt 

nicht ähnlich 


Köln 

Leipzig 

München 



Hamburg 2,91 4,94 

Hannover 2,85 3,50 1,54 

Köln 5,75 1,86 4,25 2,95 

Leipzig 1,89 3,83 4,40 2,81 4,93 

München 5,84 3,92 7,71 6,27 5,71 4,24 

Stuttgart 6,30 2,04 6,55 5,11 3,66 4,70 2,27 

Stuttgart

Fallbeispiele 

MDS-Datenerhebung 

Ankerpunktverfahren 

Beispiel 1. Ankerpunkt: BMW 

PKW-Marke 2: Mercedes Rangwert ( ) 

Jede Marke fungiert einmal als Vergleichsobjekt für alle anderen. Als Ergebnis erhält man 

eine „vollständige“ Matrix, die eine zusätzliche Konsistenzanalyse gestatten und in eine 

Dreiecksmatrix überführbar sind. Im Vergleich zum Ratingverfahren sind doppelt so viele 

Vergleiche notwendig (höherer Befragungsaufwand!). 



3: Rangwert ( ) 

• Rangwert ( ) 



PKW-Marke 10: Suzuki Rangwert ( ) 


Fallbeispiele 

Unähnlichkeitsmatrix (1) 

Die “Unähnlichkeitsmatrix” enthält die Mittelwerte der Ähnlichkeitsratings. Je höher der 

Mittelwert eines Automarkenpaares, desto unähnlicher wurden diese beiden 

Automarken im Durchschnitt von den befragten Männern eingestuft. 




Fallbeispiele 

Unähnlichkeitsmatrix (2) 

Die Marken Ferrari und Lamborghini wurden von den Befragten mit einer Unähnlichkeit von 2,1 am 

ähnlichsten eingestuft. Am wenigsten ähnlich werden Suzuki und Rolls Royce mit einem Wert von 8,9 

wahrgenommen. Jeweils die drei ähnlichsten und die drei unähnlichsten Paarungen sind in der Tabelle 

farbig hervorgehoben. 

Die Rohdaten wurden mit MDS analysiert (ordinales Skalenniveau der Rohdaten). 




Fallbeispiele 

Rangplätze und Distanzen 

Rohdaten und Rangplätze von drei Automarkenpaaren 

• Alle drei Paare unterscheiden sich um einen Rangplatz. Das bedeutet, in der 

Konfiguration sollte die Distanz zwischen Lamborghini und Toyota kleiner sein als die 

Distanz zwischen Lamborghini und Suzuki. Diese Distanz zwischen Lamborghini und 

Suzuki sollte wiederum geringer sein als die Distanz zwischen Rolls Royce und 

Suzuki. Um welchen Betrag die Distanz geringer sein sollte, wird nicht festgelegt. 

• Wie in der Tabelle zu entnehmen ist, spiegelt sich die Reihenfolge der 

Unähnlichkeiten in den Distanzen wider, ohne dass die Abstände zwischen den 

Distanzen den Abständen zwischen den Rangplätzen entsprechen. 




Fallbeispiele 

Wahrnehmungsraum 

• Die ordinale MDS der Daten erzeugte folgende Konfiguration: 

Zweidimensionale Konfiguration von Automarken 

(ordinale MDS: Stress=0,06; RSQ=0,98) 




Fallbeispiele 

Interpretation der Konfiguration (1) 

• Es fällt auf und ist auch theoretisch plausibel, dass einige der untersuchten 

Automarken zu Gruppen zusammengrückt sind, die gemeinsame Merkmale 

aufweisen. 

• So lassen sich Ferrari, Lamborghini und Porsche zur Gruppe der Sportwagen 

zusammenfassen. 

• VW, Opel und Toyota lassen sich trotz breiter Produktpalette der Mittelklasse 

zurechnen. 

• BMW und Mercedes zählen trotz der ebenfalls breiten Produktpalette eher zur 

gehobenen Klasse. 

• Abgesetzt von den Gruppen haben sich als Extrempole Rolls Royce 

(Luxusklasse) auf der einen Seite und Suzuki (Kleinwagen) auf der anderen 

Seite. 




Fallbeispiele 


• Klassifikation der Automarken in der Konfiguration und mögliches Marketingziel aus Sicht von BMW: 




Fallbeispiele 


• Dimension 2: ? (Sportlichkeit,… ) 

• Dimension 1: ? (Luxusgrad, Image- versus Preis-orientiert,…) 




Fallbeispiele 

Theorie: Mehrdimensionale Skalierung - MDS 

Ziel: 

Verdichtete (meist metrische) Abbildung von Objekten im euklidischen 

geringdimensionalen Merkmalsraum aufgrund von (meist ordinalen) 

Ähnlichkeits- oder Präferenzrelationen zwischen den Objekten. 

Erhebungsmethoden (siehe weiter hinten): 

- Rangordnungsverfahren 

- Ankerpunktmethode 

- Ratingmethode 

Algorithmen: 

Ausgehend von einer mehr oder weniger willkürlich gewählten Anfangskonfiguration der Punkte = 

Objekte wird eine Lösungs-Konfiguration gesucht, in der die Objektrelationen möglichst gut mit den 

eingegebenen Relationen übereinstimmen. 

Für jede auf diesem Wege gefundene Zwischenlösung lassen sich als Objektrelationen Distanzen 

berechnen, z.B. mit einer MINKOWSKI-Metrik: 

d ij = [ 

Σ 

k 

( x ik - x jk ) r ] 1/r 



x , x = 

ik Jk 

Position des Objektes i(j) auf der Dimension k 

r = konstanter Metrik-Parameter, r >, z.B. = 1 (city block), 

= 2 (euklidisch) 


Fallbeispiele 

Ähnlichkeiten und Distanzen als MDS-Dateninput 

• Ähnlichkeit ist eine psychologisch-subjektive Variable 

• Distanz als räumliches Maß kann Ähnlichkeit repräsentieren 

Änlichkeiten werden zunächst in Unänlichkeiten transformiert. 

Objekte werden als Punkte in einem mehrdimensionalen Raum dargestellt. 

Die Position der Punkte wird so bestimmt, daß die Distanz zwischen den Punkten in einer linearen 

(oder monotonen) Beziehung zu den Unänlichkeiten stehen. 

metrische MDS: lineare Beziehung 

non-metrische MDS: monotone Beziehung 

vgl. Bortz J., Döring N., Forschungsmethoden und Evaluation, 1995 




Fallbeispiele 

Rechnerische Distanzlösung einer ordinalen Ähnlichkeitsskalierung 

Gegeben: 

– Ähnlichkeitsmatrix oder Unähnlichkeitsmatrix 

Festzulegen sind: 

Suche: 

– Metrik (Distanzmaß) 

– Zahl der Dimensionen (p) 

Die MDS kann mit unterschiedlicher Dimensionenzahl ausprobiert werden, 

um die beste Lösung zu finden. 

– Ausgangskonfiguration 

Die Objekte werden im mehrdimensionalen Raum zufällig plaziert, um sie 

anschließend iterativ zu optimieren. 

– Koordinatenwerte für alle Objekte bestimmen, so dass die Distanzen in 

monotoner Beziehung zu den Unänlichkeiten stehen. 

uij < ukl dij < dkl ∀ i,j,k,l 

vgl. Bortz J., Döring N., Forschungsmethoden und Evaluation, 1995 




Fallbeispiele 

Monotone Anpassung von Distanzen an Ähnlichkeiten 

(Shepard-Diagramm) 

Rangfolge Rij 

6 

5 

4 

3 

2 

1 

(2,3) 

(2,4) 

(1,4) 

(1,3) 

(1,2) 

1 2 3 4 5 6 7 



(3,4) 

= (dij, Rij) 

= (dij, Rij) 

dij = Distanz zwischen den Objekten i und j, 

die eine Konfiguration ausweist. 

dij = Distanz zwischen den Objekten i und j, 

die für Monotonie der Transformation 

Konfigurationsrangfolge / 

Ähnlichkeitsrangfolge nötig ist 

dij, dij 


Fallbeispiele 

Das Stressmaß drückt die Güte der Anpassung „Daten-Lösung“ an 

STRESS (Kruskal 1964): Maß der Anpassung der Distanzen dij an 

die empfundenen Unähnlichkeiten 

2 

1/ 

2 

∧ 

Stress 

⎛ 

⎜ 

⎜ 

= ⎜ 

⎜ 

⎝ 

∑ 

i, 

j 



⎛ 

⎜ 

⎝ 

d 

ij 

∑ 

i, 

j 


− 

d 

d 

2 

ij 

ij 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

S ≥ 0.2 schlechte Übereinstimmung 

0.2 ≥ S ≥ 0.1 befriedigende Übereinstimmung 

0.1 ≥ S ≥ 0.05 gute Übereinstimmung 

0.05 ≥ S ≥ 0.025 hervorragende Übereinstimmung 

0.025 ≥ S ≥ 0.000 vollkommene Übereinstimmung 

⎞ 

⎟ 

⎟ 

⎟ 

⎟ 

⎠

Fallbeispiele 

Anzahl der Dimensionen 

Man kann Lösungen mit unterschiedlicher Anzahl von Dimensionen (n) und verschiedenen 

Metriken bestimmen. 

Je mehr Dimensionen man wählt (bis zu n-1), desto näher kommt man der 

Monotonienbedingung und desto kleiner der Stress der gefundenen Lösung. 

Man sucht eine Lösung mit nicht zu vielen Dimensionen und gutem Stresswert 

(Faustregel: 5% ist gut, 10% is o.k.), bei der sich das Hinzufügen einer weiteren 

Dimension nicht mehr lohnt. 

vgl. Bortz J., Döring N., Forschungsmethoden und Evaluation, 1995. 




Fallbeispiele 

Interpretation der Dimensionen 

Nach der Erstellung des Positionierungsraumes folgt die Interpretation der 

ermittelten Dimensionen. Sie kann entweder: 

– Durch weitere Fragen an die Probanden, nun direkt zu den Ausprägungen 

bestimmter Produkteigenschaften (PROFIT, Schobert, 1979, s.187). 

Zwecks besserer Interpretierbarkeit ist es oft notwendig, die Achsen 

geeignet zu rotieren (meist nach dem Varimaxkriterium). 

vgl. Trommsdorff V., Asan U., Becker J., Marken- und Produktpositionierung, 2003. 



Auf Basis von Expertenurteilen erfolgen oder 


Agenda 












Fallbeispiele 

Wahrnehmung von Zeitschriften 

• Neben der Erhebung von Ähnlichkeiten zwischen Objekten ist es auch möglich, die Nähe oder 

Distanz von Subjekten (Befragten) zu einer Reihe von Objekten zu erheben. So könnten z.B. 

Versuchspersonen (VPN) aufgefordert werden, eine Reihe von Zeitschriften nach ihrer subjektiven 

Präferenz zu ordnen. Die resultierende Datenmatrix könnte so aussehen: 

Rangreihung von Zeitschriften nach subjektiver Präferenz (1 = am meisten präferiert) 

von vier Versuchspersonen (fiktive Daten). 




Fallbeispiele 

Multidimensionale Entfaltung 

• Die multidimensionale Skalierung 

solcher zeilenkonditionalen 

Objekt x Subjekt - Matrizen 

wird als multidimensionale Entfaltung 

(multidimensional unfolding MDU) 

bezeichnet. 

• Die besondere Eigenart der 

Konfiguration einer MDU liegt darin, 

dass Subjekte und Objekte zusammen 

in ein und demselben Raum 

dargestellt werden. 




Fallbeispiele 

Idealpunktmodell 

• Der Interpretation einer MDU 

liegt ein Idealpunktmodell 

zugrunde. Die Subjekte (VPN 1 

bis 4) werden in der 

Konfiguration als ihre 

Idealpunkte abgebildet. 

• Bezogen auf das Beispiel der 

Zeitschriftenpräferenzen 

entspricht der Idealpunkt also 

der idealen Zeitschrift aus Sicht 

des Subjekts. Je weiter entfernt 

ein Objekt von einem Subjekt 

abgebildet wird, desto weiter 

entfernt vom Idealpunkt wurde 

dieses Objekt vom Subjekt 

wahrgenommen und um so 

weniger wurde es präferiert. 




Agenda 

• Marketingwirkungs- und Innovationsakzeptanzforschung: 

Regressions- und Varianzanalyse 




Regressions- und Varianzanalyse 

Dependenzanalyseverfahren nach Skalenniveaus 

abhängige 

Variable 



unabhängige Variable 

metrisch nominal 

metrisch Regressionsanalyse Varianzanalyse 

nominal Diskriminanzanalyse Kontingenzanalyse 


Agenda 

• Regressionsanalyse 



• Grundmodell 

• Bedeutung der Statistiken 

• Prämissenverletzung 

• Prüfung der Regressionsfunktion 

• Variablenauswahl 




Fallbeispiel 

Fallbeispiel: Mitarbeitermotivation und Gehaltsstruktur 

• Ein Dienstleistungsunternehmen mit mehreren tausend Angestellten will untersuchen 

lassen, warum die Motivation bei den mittleren und einfacheren Angestellten niedrig 

ist. Ein Organisationssoziologenteam soll der Sache nachgehen. 

• Das Team stößt in einer Exploration schnell auf die Unzufriedenheit mit den 

Gehaltsdifferenzen. Diese werden von mittleren und einfacheren Angestellten als 

unverständlich und als ungerechtfertigt empfunden. 

• An einer Zufallsstichprobe von 474 Angestellten soll eruiert werden, wie die Höhe 

der Jahresgehälter durch nachvollziehbare Kriterien erklärt werden kann. Daraus soll 

der Unternehmensführung vorgeschlagen werden, wie ggf. das Lohnsystem zu 

reorganisieren wäre. 





Variablen 

• Zunächst wird vermutet, dass die Höhe des Gehalts erklärt werden kann durch die 

Dauer der Ausbildung (Schule, Berufsausbildung und Universität) und durch die 

Dauer der Mitgliedschaft im Unternehmen. Beide Variablen sollen gleichzeitig in 

ein statistisches Modell eingehen. 

• „Ausbildung" und „Mitgliedschaft" werden als voneinander unabhängige Variabeln 

betrachtet. Beide werden als unabhängige Variable für die Erklärung der 

abhängigen Variablen „Höhe des Gehalts“ angesehen. 

• Außerdem wird angenommen, dass „Ausbildung“ und „Mitgliedschaft" linear auf 

„Gehalt" einwirken. 

• Damit bietet sich die Anwendung einer multiplen linearen Regression an. Erwartet 

wird, dass die beiden Variablen einen positiven Einfluss auf das Jahresgehalt 

ausüben. 





Modell und Regressionsfunktion 

u.V. 

U 

x 1 

x 2 

Y (GEHALT) = β 0+ β 1· x 1 (AUSBILDUNG) + β 2· x 2 MITGLIEDSCHAFT + U 




y 

a.V.


Auswertung 

Das Modell wird hinsichtlich seiner Erklärungsleistung untersucht und inferenzstatistisch bewertet. 

Es ergeben sich folgende Werte: 

• Der Determinationskoeffizient r² korr= 0,437 besagt, dass (für die Stichprobe) 44% der Variation 

von Y durch die X j erklärt werden kann (Bestimmtheitsmaß der Varianzaufklärung = erklärte 

Varianz / Gesamtvarianz). 

• Dieses Ergebnis ist statistisch signifikant. Damit kann auch für die Grundgesamtheit eine 

Erklärungsleistung des Regressionsansatzes angenommen werden. 

• Nun sollten die einzelnen unabhängigen Variablen darauf geprüft werden, welchen Einfluss sie 

auf das Gehalt ausüben. 





Erklärungsbeitrag der Regressionskoeffizienten 

• Wie verlässlich ist die Größe des Regressionskoeffizienten b 1 als Schätzung für den 

Regressionskoeffizienten in der Grundgesamtheit β 1? 

• Hinweis gibt das Konfidenzintervall: Ist es klein, so ist die Schätzung verlässlich. 

• Nur für „Ausbildung“ liegt ein signifikanter Einfluss vor. 

• Der Einfluss von „Mitgliedschaft" ist nicht signifikant. Diese Variable wird deshalb nicht weiter 

berücksichtigt. 

• Nun kann aber genauer ausgesagt werden, wie sich „Ausbildung“ auswirkt: b 1= 3895 besagt, 

dass mit jedem zusätzlichen Ausbildungsjahr das (geschätzte) Jahresgehalt um 3.895 € 

zunimmt. 

GEHALT = -25.415,257 + 3.895,067 · AUSBILDUNG + 89,808 · MITGLIEDSCHAFT 





Standardisierung der Regressionskoeffizienten 

• b j*: Dimensionsbereinigter Regressionskoeffizient (zwischen -1 und 1) 

• Wie wichtig ist eine u.V. (AUSBILDUNG; MITGLIEDSCHAFT) zur Erklärung der a.V. 

(GEHALT)? 

• b* AUSBILDUNG: 0,658 (sehr wichtig) 

• b* MITGLIEDSCHAFT: 0,053 (unwichtig) 

• Nun muss entschieden werden, ob man den Determinationskoeffizienten für das um die nicht 

signifikanten Variablen reduzierte Modell erneut berechnet oder ob das Modell weiter entwickelt 

wird. 





Zwischenfazit Regressionsanalyse 

Ziele: 1) Erkennen von „Je-desto-Abhängigkeiten“ der a.V. von der u.V. 

2) Ausprägung eines neuen Falls der a.V. aus Kenntnis seiner u.V. schätzen 

3) Zeitreihenanalyse – wie verändert sich die abhängige Variable im Zeitablauf? 

Bedingungen: metrische a.V. und u.V., Linearität des Zusammenhangs (u.a.m.) 

Grundgleichung: y = b 0 + b 1x 1 + ... + b mx m + u 

(y=a.V., x=u.V., b=Regressionskoeffizient) 

b ist skalenabhängig, standardisierte Form ist skalenneutral 

Kriterium:Kleinstquadratminimierung: Σ (y geschätzt - y empirisch) 2 ⇒ Min 

Gütemaß: Bestimtheitsmaß r 2 von y empirisch und y geschätzt, das ist zugleich die 

Varianzaufklärung: (per Regression erklärte Varianz) / (Gesamtvarianz) 






Grundmodell 

u.V. 

x1 

x2 

x3 

Erklärung einer metrischen Ergebnisvariablen y (a.V.) 

durch metrische bzw. metrisierte Variablen x (u.V.) 

über ein linear-statistisches Je-desto-Modell 

Parameter b, b 1, b 2... aus Daten schätzen, 

meist über Abweichungsquadratsummenminimierung 



y 

a.V. 

y = b + b1 x1 + b2 x2 + b3 x3 + u 

z.B. y = Absatzmenge 

x1 = Stückpreis 

x2 = Werbebudget 

x3 = Vertreterbesuche 



Das Grundmodell der Regressionsanalyse 

Beispiel Preis-Absatz-Funktion 

y3 

x 

y 

yˆ 

e 

y, (Menge) 

x 

3 

3 = Preis der Beobachtung Nr.3 

3 = Menge der Beobachtung Nr.3 

= aufgrund der Regressionsfunktion geschätzte Mengen bei Preis 

3 

= Residuum, Schätzfehler 

3 



y3 


e3 

yˆ 

3 

Regressionsfunktion 

x3 

x, (Preis)



Ergebnisse 

Regressionskonstante b 

Regressionskoeffizient b 

Standard - 

Regressionskoeffizient 

Multiple Korrelation R 2 

Bestimmtheitsmaß, 



0 

i 

β 

i 

Ordinatenabschnitt, Nullniveau der a.V.: 

Normalwert der a.V. über alle u.V. - Bedingungen 

Steigung der Regressionsfunktion: 

Wie ändert sich a.V. bei Einheitsänderung u.V. 

und Konstanz aller a nderen Faktoren? 

Dimensionsbereinigter Regressionskoeffizient: 

Wie wichtig ist eine u.V. zur Erklärung von a.V.? 

Gütekriterium für ein Regressionsmodell 

(Reg ressiv erklärte Streuung)/(Gesamtstreuung) 



1. Globale Gütemaße zur Prüfung der Regressionsfunktion 

• Bestimmtheitsmaß (R2 ): Miβt die Güte der Anpassung der Regressionsfunktion an die empirischen Daten 

(goodness of fit). Das Bestimmtheitsmaβ ist eine normierte Gr öße, dessen Wertbereich zwischen Null und Eins 

liegt. 

2 erklärteStreuung 

K 

∑( 

yˆ 

k 

k = 1 

2 

− y) 

r 

= = K 

Gesamtstreuung 

• F-Statistik: Es stellt sich die Frage, ob das geschätzte Modell auch über die Stichprobe hinaus für die 

Grundgesamtheit Gültigkeit besitzt (Division durch Freihetsgrade: Umfang der Stichprobe, Zahl der Regressoren; 

z.B. bei 95% Vertrauensw.; K=10 und J = 1, sign. Zusammenhang bei F>5,32 aus Tabelle) 

• Standardfehler: Schätzung welcher mittlere Fehler bei Verwendung der Regressionsfunktion zur Schätzung der 

abhängigen Variablen Y gemacht wird. 

F emp 

= 

vgl. Backhaus K., Erichson B., Plinke W., Weiber R., Multivariate Analysemethoden, 2000, s. 19ff. 

∑ 

k = 1 



( y − y) 

erklärteStreuung 

/ J 

nicht erklärteStreuung 

/ ( K − J −1) 

k 


2 

J: Zahl der Regressoren (u.V.) 

K: Stichprobenumfang


2. Maβe zur Prüfung der Regressionskoeffizienten 

• t-Wert: Die Regressionskoeffizienten sind einzeln auf Signifikanz zu überprüfen (Es wird die 

Nullhypothese wahrer Regressionskoeffizient =0; H 0: β i = 0 getestet, z.B. sign. Zusammenhang 

bei t>2,3 bei 8 Freiheitsgraden und Vertrauenswahrscheinlichkeit von 95%) 

t 

emp 

= 

b 

• Konfidenzintervall des Regressionskoeffizienten = zuvor akzeptierte Schwankung des 

Regressionskoeffizienten (Frage, welchen Wert die unbekannten Regressionskoeffizienten der 

Grundgesamtheit β i mutmaßlich haben). Z. B. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% (t=2,3) liegt 

der Regressionskoeffizient zwischen -2,3 und 40. 



i 

− βi 

s 

bi 

i 

bi 

S bj = Standardfehler des Regressionskoeffizienten 

b i = empirischer Regressionskoeffizient 

b − t ⋅ s ≤ β ≤ b + t ⋅ s 

vgl. Backhaus K., Erichson B., Plinke W., Weiber R., Multivariate Analysemethoden, 2000, s. 19ff. 

i 


i 

bi


Prämissen des Linearen Regressionsmodells 

Linearität in den Parametern 

(sonst nicht-lineares Modell) 

Vollständigkeit = Berücksichtigung aller relevanten Parameter 

(sonst Verzerrung der Schätzwerte) 

Keine lineare Abhängigkeit der unabhängigen Variablen 

(bei exakter „Multikollinearität” ist Variable zu entfernen) 

Normalverteilung der Störgrößen 

(sonst F- und t-Test nicht anwendbar) 

Unabhängigkeit der Störgrößen 

(keine Autokorrelation, diese führt zu verzerrter Ermittlung des Standardfehlers) 

Homoskedastizität der Störgrößen 





Prämisse Homoskedastizität; Gegenteil: Heteroskedastizität 

(unterschiedliche Varianz der Residuen) 

y 



x1 


y 

x2



Prämissenverletzungen 

Diagnose Phänomen Therapie 

u.V.-Skalenniveau prüfen 

Scatterdiagramme 

Linearitätstest 

Korrelationsmatrix 

Toleranztest 



u.V. 

a.V. 

Nichtmetrik 

Nichtlinearität 

Multikollinearität 

u.V.1 

u.V.-Konstrukt 

Dummy-Variablen 

definieren 

Datentransformation 

nichtlineare Regression 

Variable eliminieren 

Faktorenwerte 


u.V. 

u.V.2


Regressionsanalyse - Fortsetzung 

Prämissenverletzung 

Diagnose Phänomen Therapie 

Residuen korrelieren 

Durbin -Watson -Test 

Residuen mit 

a.V. korrelieren 

Res. t-1 



Autokorrelation 

Heteroskedastizität 

a.V. 

Veränderungen statt 

Absolutwerte 

u.U. transformieren 


Res. t 

Res.


Box/Cox-Regressionsfunktion "Gebrauchtwagenpreise" 

(p 

u 

m−1 

k −1 

−1)/u = β0 

+ ∑β 

jx 

j + ∑ ∑βi 

xi 

+ ∑ ∑β 

j j 

j= 

1 

i= 

1 



j 

n 

j= 

m+ 

1 

m o 

l= 

1 j= 

n+ 

1 

−1)/v)x 

p Gebrauchtwagenpreis 

u, v Transformationsparameter 

xj, xl Dummy-u.V. "Marke", wenn j, l = 1, ...,m 

metrische u.V., wenn j = n+1, ..., o 

βj Regressionsparameter (j = 0, 1, ..., m-1) 

kj Zahl der Ausprägungen Merkmal j (j = m+1, ..., n) 

xij Dummy-u.V. Kategorie i, Merkmal j (i = 1, ..., kj-1, j = m+1, ..., n) 

βij Regr.-pmtr. für Kategorie i, Merkmal j (i = 1, ..., kj-1, j = m+1, ..., n) 

βlj Regr.-pmtr. Merkmal j, Marke l (j = n+1, ..., o, l = 1, ..., m) 

e Fehler 

m Zahl der Marken 

n-m Zahl der nominalen Merkmale 

o-n Zahl der metrischen Merkmale 

Quelle: Weber, M., Der Marktwert von Produkteigenschaften, asw 5/87 

+ e 


l j 

((x 

v 

j 

l


Variablenauswahl 

Problem: 

Welche der theoretisch überhaupt denkbaren unabhängigen Variablen sollen zur 

Erklärung der abhängigen Variablen herangezogen werden. 

Verfahren für Variablenauswahl: 

• Aller-Möglichen-Regression 

• Rückwärtselimination 

• Vorwärtselimination 

• Schrittweise-Regression 

(vom theoretischen Standpunkt her als auch nach praktischen 

Erfahrungen ist die schrittweise-Regression am besten geeignet) 






Schrittweise Regression 

1. Zunächst wird die unabhängige Variable in die Regression einbezogen, die den 

höchsten Wert des einfachen Bestimmtheitsmaßes aufweist. 

2. Als nächste aufzuhnemende Variable gilt nun die Variable, die das höchste 

partielle Bestimmtheitsmaßes aufweist. Die Signifikanz des Betrags wird dabei 

über den partiellen F-Test gemessen. 

3. Dann wird für die bereits in der Regressionsgleichung befindlichen Variablen ein 

partieller F-Test durchgeführt: Trägt eine angenommene Einflussvariable wegen 

möglicher Korrelationen mit anderen, später einbezogenen, Variablen noch 

signifikant zur Erklärung bei? Ist sie noch in die Regressionsgleichung 

einzubeziehen?. 

4. Die Schritte 2 und 3 werden zur Aufnahme weiterer Variablen solange fortgesetzt, 

bis keine weitere Variable mehr den kritischen Aufnahme-wert erfüllt. 





Agenda 

• Varianzanalyse 

• ANOVA-Fallbeispiel 


• Typen der Varianzanalyse 

• Formulierung der Hypothesen 

• Fischer-Theorem 

• Rechenbeispiel zur einfachen Varianzanalyse 

• Zweifaktorielle Varianzanalyse 




Varianzanalyse 

Mehrfaktorielle Varianzanalyse: Werbespotwirkung 

• Es wurde ein Experiment zur Wirkung der Werbegestaltung (Faktor 1) in diversen 

Programmumfeldern (Faktor 2) durchgeführt. 

• 135 Probanden aus Seminaren wurden getestet. Ihnen wurde je eine der neun 

Programmversionen vorgespielt. Danach füllten sie einen Fragbogen aus. 

• Das Experimentaldesign war wie folgt: 

Faktor 1: 

Form der Werbung 

Action 

Solo-Spot 

Action 

Tandem-Spot 

Action 

Dreifach-Spot 



Faktor 2: Programmumfeld 

Comedy 

Solo-Spot 

Comedy 

Tandem-Spot 

Comedy 

Dreifach-Spot 

Naturfilm 

Solo-Spot 

Naturfilm 

Tandem-Spot 

Naturfilm 

Dreifach-Spot 



Forschungsfragen 

Zu prüfen sind folgende Hypothesen/Forschungsfragen: 

• Werbung, die als Tandem-/Dreifachspot gezeigt wird, wird besser erinnert als 

Werbung, die als Solospot gezeigt wird. 

• Wirken sich unterschiedliche Umfeldprogramme auf den Recall aus? 

• Zeigt der Recall Interaktion zwischen Werbeform und Umfeldprogramm? (graphische 

Darstellung + Interpretation!). 

„spotart“ = u.V. „Form der Werbung“, 

„umfeld“ = u.V. „Programmumfeld“. 

„recall“ = a.V. (ungestützte Erinnerung an den Testspot). 





Allgemeines Lineares Modell 

• Um die Forschungsfragen zu 

prüfen, muss die mehrfaktorielle 

ANOVA aufgerufen werden. Das 

ist im SPSS-Menü „Allgemeines 

Lineares Modell“ zu finden. 

• Unter „Abhängige Variable“ wird 

“recall”, unter „Feste Faktoren“ 

werden “spotart” und “umfeld” 

eingegeben. 





Tests der Zwischensubjekteffekte (1) 

• Vergleichbar mit der linearen Regression wird wieder R-Quadrat angegeben, was 

den Anteil der durch das Modell erklärten Varianz zeigt. Hier wird durch die beiden 

Faktoren ein hoher Varianzanteil (93%) erklärt. Die nicht erklärte Reststreuung 

findet sich in der Zeile „Fehler“ und ist hier gering. 

• Erwartungsgemäß ist das Gesamtmodell („Korrigiertes Modell“), das den Einfluss 

der u.V.s auf die AV prüft, hoch signifikant (p


Tests der Zwischensubjekt-Effekte (2) 

• Worin dieser im Gesamtmodell festgestellte Einfluss genau besteht, zeigen die Zeilen 

„SPOTART“ (Haupteffekt A = Effekt des Faktors Spotart), „UMFELD“ (Haupteffekt B = Effekt 

des Faktors Umfeld) und „SPOTART * UMFELD“ (Interaktion = Wechselwirkung zwischen den 

beiden Faktoren). 

• Ein signifikanter F-Wert steht für einen signifikanten Einfluss des jeweiligen Faktors. Hier 

bestehen also zwei hoch signifikante Haupteffekte und keine Interaktion. Beide 

Experimentalfaktoren entfalten eigenständig Wirkung. 





Graphische Darstellung 

Dreifachspots werden besser 

erinnert als Tandemspots, diese 

wiederum besser als Solospots 

(Haupteffekt A). 

Das Programmumfeld hat einen 

Einfluss auf die a.V.: Der 

Werbespot wird im Umfeld 

“Naturfilm” besser erinnert als 

bei “Comedy” und dort besser 

als bei “Action” (Haupteffekt B). 

Diese Effekte treten unabhängig voneinander (kumulativ) auf, es gibt keine 

Wechselwirkung zwischen Programmumfeld und Spotvariante (keine Interaktion), die 

Linien verlaufen parallel, schneiden sich nicht. 





Ergebnisse 

• Somit lässt sich die Forschungsfrage/Hypothese: “Werbung, die als Tandem-/ oder 

Dreifachspot gezeigt wird, wird besser erinnert als Werbung, die als Solospot gezeigt 

wird” bestätigen. 

• Antworten auf die weiteren Forschungsfragen: 

• Wirken sich unterschiedliche Umfeldprogramme auf die freie Erinnerung aus? 

• Ja 

• Gibt es bezüglich der freien Erinnerung (recall) eine Interaktion zwischen 

Werbeform und Umfeldprogramm? 

• Nein 





Mit der Varianzanalyse wertet man Experimente aus 

Nichtmetrische u.V. 

Anzeigenelemente 

Erfolgsfaktoren 

Wohnungsmerkmale 

Fälle nach u.V. gruppieren und Untersuchung der a.V.-Varianz 

Entscheidung über u.V.-Wirkung nach Varianzanteil 

(Zwischengruppenvarianz : Innergruppenvarianz) 

Effektstärkenmaß Varianzaufklärung 

(Zwischengruppenvarianz : Gesamtvarianz) 

Mathematische Grundlage: Fisher-Quadratsummenzerlegung 



Metrische a.V. 

Werbewirkung 

Neuprodukt-MA 

Mietniveau 



Rechenbeispiel zur einfachen Varianzanalyse (1) 

Meßwerte der a. V. 

x 

ij 

Summe = ∑ ij x A 

j 

Zellenbesetzung n 

j 

Mittelwerte x 

j 

Summe der Quadrate ∑ 

i 

Abweichungsquadrate 

( ) 2 

x −x 

ij 

x 

2 

ij 

Stufen der u. V. (Gruppen j) 

Quadratsummen QS = 116 

tot 



1 2 3 4 

2 3 6 5 

1 4 8 5 

3 3 7 5 

3 5 4 3 

1 0 10 2 

10 15 35 20 

5 5 5 5 

2 3 7 4 

24 59 265 88 

1 2 3 4 

4 1 4 1 

9 0 16 1 

1 1 9 1 

1 1 0 1 

9 16 36 4 

24 19 65 8 


p=4 

n = 5 

j 

N = 20; n = const. = n 

j 

x= 

4



Gesamtvarianzschätzung 

Zahl der Freiheitsgrade ( df ) = N− 

1= 

n⋅ 

p −1= 

19 

tot 

σ ˆ 2 

= 116/19 = 6,11 

tot 

Zwischen-Varianzschätzung, wenn Unterschiede nur durch u.V. bedingt: 

Substitution der Meßwerte x durch Gruppenmittelwerte x 

ij 

j 

Fehlerbereinigte 

„Meßwerte“ 

1 2 3 4 

2 3 7 4 

2 3 7 4 

2 3 7 4 

2 3 7 4 

2 3 7 4 

Summen 

Summen der Quadrate 

10 15 35 20 

20 5 45 0 QS = 70 = ∑n⋅( x −x) 

2 

bet 

j 

j 

Zwischen-Varianzschätzung 

Zahl der Freiheitsgrade ( df ) = p −1= 

3 

bet 

σ ˆ 2 

= 70/3 = 23,33 

bet 






Fehlerkomponenten der 

Meßwerte: 

Summen 

Mittelwerte 



1 2 3 4 

0 0 -1 1 

-1 1 1 1 

1 0 0 1 

1 2 -3 -1 

-1 -3 3 -2 

0 0 0 0 

0 0 0 0 

Summen d. Quadrate 4 14 20 8 

Fehler-QS je Gruppe 

Gesamt: QS = 46 

in 




Fehler-Varianzschätzung: 

Zahl der Freiheitsgrade je Gruppe: n-1 = 4 Schätzung je 

Gruppe 

σˆ 2 

j 

1 3,5 5 2 

Schätzung gesamt: 

Zahl der Freiheitsgrade: 

df = ∑ df = ( n −1) 

⋅p 

= 16 

in j 

σ ˆ 2 

= 46/16 = 2,88 

in 

Additivität der Freiheitsgrade: 

df = df + df 

tot bet in 

19 = 3 + 16 

Additivität der Quadratsummen: 

QS = df + df 

tot bet in 

116 = 70 + 46 






Maß für Effektstärke 

(Varianzaufklärung) : 

Signifikanztest : 



QS 70 

η 

2 

= bet = = 60% 

QS 116 

tot 

2 MQ 23,33 

F = σˆ 

bet = bet = = 8,1 = 

σˆ 

2in 

MQ 2,88 

in 

Tabellenwerte 

für 

( df 3;16) 

df = 3;16 : 3,24( 

.05) 

Ergebnis : hoch signifikant 

5,29( 

.01) 

8,1 > 5,29 

( p < .01) 



Fischer - Theorem 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

⎜ x − x⎟ 

= ⎜ x − x ⎟ + ⎜ x − x⎟ 

⎝ ij ⎠ ⎝ ij j ⎠ ⎝ j ⎠ 

2 2 

2 

⎛ 

x x 

⎞ ⎛ 

x x 

⎞ 

2 

⎛ 

x x 

⎞⎛ 

x x 

⎞ ⎛ 

x x 

⎞ 

⎜ − 

ij 

⎟ = ⎜ − 

+ 

ij j 

⎟ + ⎜ − 

ij j 

⎟⎜ 

− 

j 

⎟ ⎜ − 

j 

⎟ 

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ 

⎠ ⎝ ⎠ 

n 

j 2 

2 

2 

∑ 

⎛ ⎞ 

∑ 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

∑ 

⎛ ⎞ 

+ 

⎛ ⎞ 

⎜ x − x⎟ 

= ⎜ x − x ⎟ + 2⎜ 

x − x⎟ 

⎜ x − x ⎟ n ⎜ x − x⎟ 

i ⎝ ij ⎠ i ⎝ ij j ⎠ ⎝ j ⎠ i ⎝ ij j ⎠ j⎝ 

j ⎠ 

N 

j k 2 

2 

2 

+ ∑ 

⎛ ⎞ 

∑ ∑ 

⎛ ⎞ 

∑ ∑ 

⎛ ⎞ 

⎜ x − x⎟ 

= ⎜ x − x ⎟ n ⎜ x − x⎟ 

i j ⎝ ij ⎠ i j ⎝ ij j ⎠ j 

j⎝ 

j ⎠ 

QS 

tot 

= 

QS 

in 

( df = N− 

1) 

= ( df = N− 

k) 

= ∑ = ⋅ 

i j 

x 

0, da x n 

ij j 

QS 

bet 



+ 

+ 

( df = k −1) 

quadrieren 

∑ über i 

∑ über j 

d.h. Quadratsummen wie Freiheitsgrade sind additiv 



Typen der Varianzanalyse 

Faktoren = u.V. 

Faktorstufen: die einzelnen Ausprägungen der Faktoren 

Die Typen der Varianzanalyse lassen sich nach der Zahl der Faktoren differenzieren. 

Zahl der a.V. 

1 

1 

1 

Mindestens 2 

Zahl der u.V. 

usw. 

Eine oder mehrere 



1 

2 

3 

Bezeichnung des Verfahrens 

Einfaktorielle Varianzanalyse 

Zweifaktorielle Varianzanalyse 

Dreifaktorielle Varianzanalyse 

Mehrdimensionale Varianzanalyse 



Formulierung der Hypothesen 

Bei der einfaktoriellen Varianzanalyse wird die Additivität der Effekte eines Faktors 

durch folgende Modellgleichung zum Ausdruck gebracht: 

x ij = µ + α j + ε ij 

xij : i-ten Beobachtungswert der j-ten Stichprobe. 

µ : Gesamtmittelwert der Grundgesamtheit. 

αj : Wirkung der Stufe j des Faktors. 

εij : Zufallsfehler beim i-ten Beobachtungswert in der j-ten Stichprobe. 

Besteht ein Unterschied zwischen den Gruppen (Faktorstufen)? 

H0 (Nullhypothese) : µ 1 = µ 2 = … = µ 

H1 (Alternativhypothese) : mindestens für ein j , µ - µ j ≠ 0 

Die Prüfung erfolgt anhand eines Vergleichs des empirischen F-Wertes mit dem 

theoretischen F-Wert. 





Zusammenstellung der Varianzanalyse 

Variationsquelle Quadratsumme Freiheitsgrade est. Varianz F-Wert 

QS df MQ 

Zwischen QS bet df bet MQ bet 

(treatment) 

Innerhalb QS in df i MQ in 

(Fehler) 

Signifikanz MQbet/MQin 

Gesamt QStot dftot Technische Universität Berlin 




Zusammenstellung der Varianzanalyse 

Für Kurzberechnungen „zu Fuß“: 

= ∑∑ 

i j 

Kurzberechnung: QS bet = (3) - (1) 

G 



x 

QS in = (2) - (3) 

QS tot = (2) - (1) 

ij 

( 1) 

2 

G 

2 1 

= ( 2) 

∑∑ xij 

( 3) 

= ∑ A 

p⋅ 

n 

n 

= i j 


2 

j


Zusammenstellung der Varianzanalyse (Zahlenbeispiel): 

Variationsquelle Quadratsumme Freiheitsgrade est. Varianz F-Wert 

QS df MQ 

Zwischen QS bet = 70 df bet = 3 MQ bet = 23,33 

(treatment) 

8,1 

Innerhalb QS in = 46 df in = 16 MQ in = 2,88 

(Fehler) 

Gesamt QS tot = 116 df tot = 19 

Definitionen zur Kurzberechnung: 

G ∑∑ xij 

= 80 

2 

G 

( 1) 

= = 320 

p⋅ 

n 

( 2) 

2 

∑∑ xij 

= 436 

1 

( 3) 

= ∑ A 

n 

= i j 

= i j 

Kurzberechnung: QS bet = (3) - (1) = 70 

QS in = 

(2) - (3) = 46 QS tot = 

(2) - (1) = 116 




2 

j


Zusammenstellung der Varianzanalyse (Zahlenbeispiel): 

Erweiterungen: 

• mehr als ein Faktor (mehrfaktorielle ANOVA) 

• ungleiche Zellenbesetzung 

• nichtfixierte (random) treatments 

• unvollständige Designs, z.B. Lateinische Quadrate 

• Designs mit Mehrfachmessungen 

• Modelle für heterogene Varianzen 

• Modelle für geringeres Skalenniveau (nichtparametrische ANOVA) 

• mehr als eine a. V. (MANOVA) 

• Berücksichtigung konkomittierender Variablen (Kovarianzanalyse) 





Zweifaktorielle Varianzanalyse 

Die zweifaktorielle Varianzanalyse erlaubt gegenüber der einfaktoriellen VA die 

Erfassung des gleichzeitigen Wirksamwerdens zweier Faktoren, indem das Vorliegen 

von Wechselwirkungen (Interaktionen) zwischen den Faktoren getestet wird. 

ijk 

i 

( α ⋅ β ) ijk 

y = µ + α + β + + ε 

SS t = SS A + SSB 

+ SS AxB + SSW 

SSt 

: Gesamtstreuung 

SSbet 

: Streuung zwischen den Gruppen 

SSin 

: Streuung innerhalb der Gruppen 

SS A : Streuung durch Faktor A 

SSB 

: Streuung durch Faktor B 

SS : Streuung durch Wechselwirkung 

AxB 



j 

ij 

von A und B 

SS bet 


SS t 

SS in 

SS A SS B SS AxB

Multivariatenanalysen (PDF, 976,1 KB) - TU Berlin

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