Induktion und Wechselstrom 1. Induktion

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7. Mai 2012 120506Ph4-12Induktion-Wechselstrom.TEX 3.4.2. Induktiver Widerstand Bild B1 b) UL I Auf die Elektronen einer Spule wirkt nicht nur die von außen angelegte Spannung U(t), sondern auch die in der Spule erzeugte Selbstinduktionsspannung U ind(t) = −L · ˙I(t). Für die Stromstärke gilt zu jedem Zeitpunkt I(t) = U(t) − L ˙I(t) . R Multipliziert man diese Gleichung mit R, dann erhält man I(t) · R = U(t) − L ˙I(t). Bei vernachlässigbar kleinem ohmschen Widerstand R, d. h. eine ideale Spule, erhält man ˙I(t) = U(t) . Für eine äußere sinusförmige Spannung U(t) = L U sin(ωt) folgt die Gleichung ˙I(t) = U L sin(ωt). Als Stammfunktion erhalten wir I(t) = U (− cos(ωt)) + K. Die Integrationskonstan- ωL te stellt den Gleichstromanteil dar. Da die anliegende Wechselspannung aber keinen Gleichstromanteil enthält, muss K = 0 sein. Es gilt I = U ωL und somit XL = U eff U I = ωL Im zugehörigen Zeigerdiagramm für eine Spule hinkt der Zeiger der Länge I dem Zeiger der Länge U um die Phase π/2 hinterher. Legt man eine sinusförmige Wechselspannung U(t) an einen Kondensator oder an eine Spule, so ist die Stromstärke I(t) ebensfalls sinnusförmig. Beim Kondensator eilt die Stromstärke der Spannung um 90 ◦ ∧ = π in der Phase voraus, bei der Spule hinkt sie um 90 ◦ ∧ = π hinterher. Man nennt 2 den kapazitiven Widerstand. Es gilt XC = 1 ω C . XC = U eff I eff Man nennt den Quotienten XL = Ueff Ieff gilt XL = ω L 3.5. Blind- und Wirkwiderstand zugleich 2 I eff den induktiven Widerstand einer Spule. Es Der ohmsche Wirkwiderstand R einer Spule lässt sich nicht immer vernachlässigen. Dann muss die allgemeine Gleichung I(t) = U(t) − L ˙I verwendet werden. Es gilt R somit U(t) = I(t) R + L ˙I(t) = UR(t) + UL(t) 22 =
7. Mai 2012 120506Ph4-12Induktion-Wechselstrom.TEX Diese Gleichung kann nicht einfach gelöst werden. Deshalb betrachtet man die Teilspannungen UR(t) und UL(t). Die von außen angelegte Spannung U(t) liegt mit der ersten Teilspannung UR(t) = I(t) R am ohmschen Widerstand R. Die zweite Teilspannung UL(t) = +L ˙I kompensiert die Selbstinduktionsspannung U ind = −L ˙I. In jedem Augenblick werden also Teilspannungen addiert. Man kann daher in einem Ersatzschaltbild den ohmschen Wirkwiderstand R aus einer Spule herausnehmen und mit ihrem induktiven Blindwiderstand XL in Reihe legen (vgl. Dorn-Bader S. 80 B2). Weitere Wirkwiderstände addiert man zu R. Bild B3 UL U UR I Die Stromstärke I(t) ist in den hintereinanderliegenden Widerständen stets gleich groß. Legt man die Sinusspannung U(t) an, schwingt I(t) phasenverschoben mit. Die Teilspannung am ohmschen Widerstand ist mit I(t) in Phase. Addiert man die beiden Zeiger UR und UL geometrisch zum Zeiger U, so erzeugt die Projektion auf die U-Achse die Addition U(t) = UR(t) + UL(t). Für den Scheitelwert U gilt U = U 2 R + U 2 R = (I R) 2 + (I ω L) 2 = I R2 + (ω L) 2 = I Man sieht, dass wiederum U ∼ I ist. Der Quotient Z = U R 2 + X 2 L R 2 + (ω L) 2 I = Ueff = Ieff ist von Ueff unabhängig. Z vereinigt den Wirkwiderstand R und den Blindwiderstand XL = ω L der Spule. Z heißt Schein- oder Wechselstromwiderstand der Spule. Der Strom I(t) hinkt der angelegten Spannung U(t) um den Winkel ϕ der Phasenver- schiebung nach. Es gilt tan ϕ = UL UR = ω L R . Die Phasenverschiebung ändert sich stark mit ω, L und R. Übungen Dorn-Bader S. 81 A1 - A6 3.6. Siebkette und Sperrkreis 3.6.1. Siebkette Versuch Dorn-Bader Versuch V1 S. 82 23
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