Induktion und Wechselstrom 1. Induktion
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Induktion und Wechselstrom 1. Induktion
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7. Mai 2012 120506Ph4-12<strong>Induktion</strong>-<strong>Wechselstrom</strong>.TEX<br />
Dorn-Bader Physik 12/13 S. 55 ff<br />
<strong>1.</strong> <strong>Induktion</strong><br />
<strong>1.</strong><strong>1.</strong> <strong>Induktion</strong> durch Leiterbewegung<br />
Versuch<br />
ABB. 1<br />
<strong>Induktion</strong> <strong>und</strong> <strong>Wechselstrom</strong><br />
ABB. 2<br />
<strong>1.</strong> Wird durch die Leiterschaukel ein Strom geschickt, so erfahren die bewegten<br />
Elektronen eine Lorentzkraft. Die Leiterschaukel wird ausgelenkt.<br />
2. Ersetzt man die Spannungsquelle durch einen Mikrovoltverstärker <strong>und</strong> bewegt<br />
die Schaukel hin <strong>und</strong> her, so wird eine Spannung erzeugt: <strong>Induktion</strong>sspannung.<br />
3. Die Polung der <strong>Induktion</strong>sspannung bzw. die Richtung des <strong>Induktion</strong>sstromes<br />
erhält man mithilfe der Drei-Finger-Regel der linken Hand:<br />
Zeigt der Daumen in Richtung der Leitergeschwindigkeit vs <strong>und</strong> der Zeigefinger<br />
in Richtung von B, so gibt der Mittelfinger die Richtung des Elektronenstromes<br />
an.<br />
1
7. Mai 2012 120506Ph4-12<strong>Induktion</strong>-<strong>Wechselstrom</strong>.TEX<br />
<strong>1.</strong>2. Wie groß ist die <strong>Induktion</strong>sspannung?<br />
Theorie:<br />
ABB. 3<br />
ABB. 4<br />
Die durch die Lorentzkraft getrennten Ladungen bauen im Stab ein elektrisches Gegenfeld<br />
auf. Die elektrische Kraft F el <strong>und</strong> die Lorentzkraft FL halten sich das Gleichgewicht:<br />
F el = FL<br />
e E = evsB<br />
U ind<br />
d<br />
= vsB<br />
Uind = B · d · vs<br />
d Stablänge<br />
vs Geschwindigkeit des Stabes senkrecht zu<br />
den magnetischen Feldlinien.<br />
Ein gerades Leiterstück der Länge d bewege sich mit der Geschwindigkeitskomponente<br />
vs senkrecht zu einem Magnetfeld mit konstanter Flussdichte B. Lorentzkräfte<br />
erzeugen dann die <strong>Induktion</strong>sspannung U ind = B d vs<br />
2
7. Mai 2012 120506Ph4-12<strong>Induktion</strong>-<strong>Wechselstrom</strong>.TEX<br />
<strong>1.</strong>3. Betrachtung des gesamten Stromkreises<br />
Versuch V3 (zu einem Rechteck gebogener Al-Drahtrahmen)<br />
ABB. 5<br />
ABB. 6<br />
Eine Leiterschleife taucht senkrecht zu den magnetischen Feldlinien in das B-Feld ein.<br />
Ergebnis:<br />
<strong>Induktion</strong>sspannung tritt stets dann auf, wenn sich die vom Feld durchsetzte Schleifenfläche<br />
As ändert.<br />
Betrachtet man die Flussdichte B als Maß dafür, wie dicht Feldlinien liegen, dann erhält<br />
man den gesamten magnetischen Fluss Φ durch As mit Φ = B · As.<br />
Die Formel U ind = Bdvs kann mit Φ umgeschrieben werden:<br />
vs = ∆s<br />
∆t ⇒ Uind = Bd ∆s ∆A ∆Φ<br />
= B · =<br />
∆t ∆t ∆t .<br />
Bei n-Windungen gilt: U ind = n · ∆Φ<br />
∆t .<br />
Für die momentane <strong>Induktion</strong>sspannung gilt: U ind = n · ˙Φ<br />
Übungen Dorn-Bader S. 59 Nr. A1, A2, A3<br />
3
7. Mai 2012 120506Ph4-12<strong>Induktion</strong>-<strong>Wechselstrom</strong>.TEX<br />
<strong>1.</strong>4. <strong>Induktion</strong> im ruhenden Leiter<br />
Wird das B-Feld im ruhenden Drahtrahmen verändert, so entsteht in ihm ebenfalls eine<br />
<strong>Induktion</strong>sspannung. Sie kann aber nicht mehr mit der Lorentzkraft erklärt werden.<br />
Betrachtet man den magnetischen Fluss Φ = B As, so erkennt man, dass dieser geändert<br />
wird, wenn As oder B geändert wird.<br />
Gilt wieder U ind = n ∆Φ<br />
∆t bzw. U ind = n ˙Φ?<br />
Wenn As konstant ist <strong>und</strong> sich dafür die Flussdichte B ändert, müsste gelten: U ind =<br />
n ∆Φ<br />
∆t<br />
Versuch<br />
= n∆(BAs)<br />
∆t<br />
ABB. 7<br />
= n As<br />
∆B<br />
∆t<br />
Geräte:<br />
• NEVA Netzgerät mit elektrischer Stoppuhr<br />
• Hochohmige NEVA-Zylinderspule (Nr. 6533)<br />
mit 16 000 Windungen, Länge 0,48 m<br />
• Kroencke Mikrovoltverstärker (Einstellung<br />
6 mV) mit Stromversorgung übers Netz.<br />
• NEVA <strong>Induktion</strong>sspulen 4,5x4,5 cm 2 <strong>und</strong><br />
4,5x1,5 cm 2<br />
ABB. 8 ABB. 9<br />
Mit dem Netzgerät wird der Erregerstrom Ierr proportional mit der Zeit erhöht (Ierr ∼<br />
nerr<br />
t). Weil B = µ0 Ierr ist, gilt somit auch B ∼ t. Das Anstiegstempo<br />
lerr<br />
∆B<br />
∆t<br />
der Flussdichte<br />
B ist damit konstant. Die Feldspule (vgl. Abb. ??) wird mit nerr = 16000 Windungen<br />
beschaltet. In der <strong>Induktion</strong>sspule entsteht während des Stromanstiegs eine konstante<br />
Spannung U ind.<br />
<strong>1.</strong> As = 4,5x4,5 cm 2 ; n = 100; stelle das Anstiegstempo des Ierr so ein, dass U ind =<br />
0,05 mV ist. Für ∆Ierr = 50 mA ist ∆t ≈ 8,9 s<br />
4
7. Mai 2012 120506Ph4-12<strong>Induktion</strong>-<strong>Wechselstrom</strong>.TEX<br />
2. As = 4,5x4,5 cm 2 ; n = 100; stelle das Anstiegstempo des Ierr so ein, dass U ind =<br />
0,1 mV ist. Für ∆Ierr = 50 mA ist ∆t ≈ 4,4 s<br />
=⇒ U ind ∼ ∆B<br />
∆t<br />
3. As = 4,5x4,5 cm 2 ; n = 50; stelle das Anstiegstempo des Ierr so ein, dass U ind =<br />
0,05 mV ist. Für ∆Ierr = 50 mA ist ∆t ≈ 4,4 s<br />
4. As = 4,5x4,5 cm 2 ; n = 150; stelle das Anstiegstempo des Ierr so ein, dass U ind =<br />
0,15 mV ist. Für ∆Ierr = 50 mA ist ∆t ≈ 4,4 s<br />
=⇒ U ind ∼ n<br />
5. As = 1,5x4,5 cm 2 ; n = 150; stelle das Anstiegstempo des Ierr so ein, dass U ind =<br />
0,05 mV ist. Für ∆Ierr = 50 mA ist ∆t ≈ 4,4 s<br />
=⇒ U ind ∼ As<br />
6. Zusammenfassung: U ind = k · n As<br />
Hinweis: Bei jeder Messung am µV- Meter die Nulleinstellung prüfen!<br />
k-Bestimmung:<br />
∆B<br />
∆t<br />
n = 150; As = 4,5x4,5 cm2 nerr<br />
−6 1,6 · 104<br />
; ∆B = µ0 · ∆Ierr = 1,26 · 10 0,05 T ≈ 2,1 · 10<br />
lerr<br />
0,48<br />
−3 T<br />
U ind ≈ 0,15 mV; ∆t = 4,4 s ⇒ k = U ind<br />
Ergebnis:<br />
n As<br />
∆B<br />
∆t<br />
≈ 1<br />
Es gilt also auch bei ruhendem Leiter: U ind = n As<br />
∆B<br />
∆t<br />
= n∆Φ<br />
∆t bzw. U ind = n ˙Φ.<br />
Wenn sich sowohl die Fläche As wie auch die Flussdichte B ändern, folgt nach der<br />
Produktregel der Differentialrechnung: U ind = n ˙Φ = n (B As)˙ = n ˙BAs + nB ˙<br />
As<br />
Ergänzung zu U ind ∼ As<br />
Wird die Querschnittsfläche A der <strong>Induktion</strong>sspule um einen Winkel ϕ gedreht, so ist<br />
nur der senkrechte Anteil As = A cos ϕ von Bedeutung! (vgl. Abb. ??)<br />
5
7. Mai 2012 120506Ph4-12<strong>Induktion</strong>-<strong>Wechselstrom</strong>.TEX<br />
<strong>1.</strong>5. Neues Gr<strong>und</strong>phänomen<br />
Versuch:<br />
Beim Ändern eines Magnetfeldes<br />
muß ein elektrisches Feld<br />
entstehen.<br />
Merke:<br />
Ein sich änderndes magnetisches<br />
Feld ( ˙B > 0 oder<br />
˙B < 0) wird von Feldlinien eines<br />
elektrischen Wirbelfeldes<br />
durchsetzt <strong>und</strong> umgeben. Diese<br />
Feldlinien haben weder Anfang<br />
noch Ende.<br />
<strong>1.</strong>6. Lenzsches Gesetz<br />
Wie ist die <strong>Induktion</strong>sspannung gepolt?<br />
Aus der 3-Fingerregel folgern wir, dass der<br />
Elektronenstrom nach unten gerichtet ist.<br />
Wäre er nach oben gerichtet, so würde er<br />
im B-Feld eine Kraft nach rechts erfahren,<br />
den Leiter beschleunigen <strong>und</strong> so den <strong>Induktion</strong>sstrom<br />
vergrößern. Der vergrößerte<br />
<strong>Induktion</strong>sstrom würde eine noch größere<br />
Kraft erfahren usw. Dieser Leiter würde<br />
sich nach dem kleinsten Anstoß zu einem<br />
lebensgefährlichen Perpetuum mobile<br />
<strong>1.</strong> Art entwickeln.<br />
Lenzsches Gesetz (1834):<br />
ABB. 10<br />
ABB. 11<br />
Die <strong>Induktion</strong>sspannung ist so gepolt, dass sie durch ihren Strom ihrer Ursache<br />
entgegenwirken kann.<br />
Das Lenzsche Gesetz beruht somit auf dem Energiesatz!<br />
Beim Bewegen von Leitern kann man dieses Gesetz unmittelbar mit Hilfe der Lorentzkraft<br />
verstehen. Um die <strong>Induktion</strong> auch beim Ändern der magnetischen Flussdichte<br />
B zu verstehen, führte man die elektrischen Wirbelfelder ein. Sie sind so gerichtet,<br />
dass auch bei diesen <strong>Induktion</strong>sversuchen die Energiebilanz <strong>und</strong> damit das Lenzsche<br />
Gesetz erfüllt sind.<br />
6
7. Mai 2012 120506Ph4-12<strong>Induktion</strong>-<strong>Wechselstrom</strong>.TEX<br />
Versuch<br />
ABB. 12<br />
Beim Einschalten des Spulenstroms<br />
wird der Ring kurzzeitig<br />
abgestoßen. In der Fläche des Al-<br />
Rings baut die Spule einen nach<br />
rechts gerichteten magnetischen<br />
Fluss Φ auf. Die magnetischen<br />
Feldlinien werden von ringförmigen<br />
elektrischen Feldlinien<br />
umgeben. Die elektrischen Feldkräfte<br />
setzen die Elektronen im<br />
Al-Ring in Bewegung.<br />
Nach dem Lenzschen Gesetz muss dieser Ringstrom ein nach links gerichtetes Magnetfeld<br />
erzeugen, um seiner Ursache, dem Anwachsen des nach rechts gerichteten Flusses<br />
Φ, entgegenzuwirken. Das Lenzsche Gesetz wird durch die Abstoßung des Rings bestätigt.<br />
Wenn man den Spulenstrom ausschaltet, wird der Al-Ring angezogen.<br />
Das Magnetfeld bricht zusammen. Nach Lenz wirkt der Ringstrom der Abnahme des<br />
magnetischen Flusses Φ entgegen, da diese Abnahme seine Ursache ist. Die Elektronen<br />
fließen hierzu im Uhrzeigersinn <strong>und</strong> erzeugen in der Al-Ringfläche ein B-Feld, welches<br />
das zusammenbrechende B-Feld aufrechterhalten will.<br />
Thomsonscher Ringversuch<br />
ABB. 13<br />
C<br />
U0<br />
Spule<br />
ABB. 14<br />
Der große Kondensator kann auf etwa 3500 V aufgeladen werden. Da er auch noch eine<br />
Kapazität von einige µF hat, ist er lebensgefährlich, wenn seine beiden Anschlüsse berührt<br />
werden. Der Kondensator muss mit kurzgeschlossenen Anschlüssen aufbewahrt<br />
werden. Für den Versuch baut man eine Spannung langsam auf <strong>und</strong> testet die magnetischen<br />
Kräfte auf den Ring. Lebensgefährlicher Versuch!<br />
7<br />
Kippschalter
7. Mai 2012 120506Ph4-12<strong>Induktion</strong>-<strong>Wechselstrom</strong>.TEX<br />
Vorzeichen der <strong>Induktion</strong>sspannung - Versuch<br />
Zwei Spulen mit je 250 Windungen sitzen auf einem<br />
u-förmigen Eisenkern <strong>und</strong> werden von einem<br />
Strom der Stärke von ca. 0,6 A durchflossen. Beim<br />
Schließen des U-Kerns mit dem Joch sinkt kurzzeitig<br />
die Stromstärke I. Das Eisenjoch erhöht kurzzeitig<br />
den magnetischen Fluss in der Spule ( ˙Φ > 0). Die<br />
induzierte Spannung Uind addiert sich zu der außen<br />
angelegten Spannung U1 zur Gesamtspannung<br />
U = U1 + Uind. Diese ist - wie man an der Abnahme von I erkennt<br />
- kleiner als U<strong>1.</strong> Also wirkt Uind der Batteriespannung<br />
U1 entgegen. Dies drückt man durch ein Minuszeichen<br />
im <strong>Induktion</strong>sgesetz Uind = −n ˙Φ aus.<br />
Für die Stromstärke I im Stromkreis gilt dann: I =<br />
U1 + Uind = U1 − n ˙Φ<br />
.<br />
R<br />
R<br />
Reißt man das Joch ab, so steigt I kurzzeitig an. Der<br />
magnetische Fluss Φ wurde verkleinert, ˙Φ < 0 =⇒<br />
U ind = −n ˙Φ > 0.<br />
Das Minuszeichen im <strong>Induktion</strong>sgesetz berücksichtigt das Lenzsche Gesetz bezüglich<br />
der im Stromkreis schon wirkenden Spannung U<strong>1.</strong><br />
Übungen Dorn-Bader S. 63, Nr. A1 bis A3<br />
Für die <strong>Induktion</strong>sspannung gilt<br />
U ind = −n ˙Φ.<br />
8
7. Mai 2012 120506Ph4-12<strong>Induktion</strong>-<strong>Wechselstrom</strong>.TEX<br />
<strong>1.</strong>7. Anwendungen der elektromagnetischen <strong>Induktion</strong><br />
Dorn-Bader S. 64<br />
• Wirbelstrombremse<br />
• <strong>Induktion</strong>skochplatte<br />
<strong>1.</strong>8. Die Selbstinduktion<br />
<strong>1.</strong>8.<strong>1.</strong> Verzögerter Stromanstieg in der Spule<br />
Versuch Dorn-Bader S. 66, V1<br />
ABB. 15<br />
ABB. 16 ABB. 17<br />
9
7. Mai 2012 120506Ph4-12<strong>Induktion</strong>-<strong>Wechselstrom</strong>.TEX<br />
Materialien<br />
• Gleichspannungsquelle<br />
• Schalter<br />
• 2 x 1200 Windungen<br />
• 2 Lampen<br />
z.B. 3,8 V/70 mA<br />
• 1 Potentiometer 100 Ω<br />
Ergebnis:<br />
L2 leuchtet mit Verspätung<br />
gegenüber L1 auf.<br />
<strong>1.</strong>8.2. Induktivität einer Spule<br />
Erklärung:<br />
Beim Einschalten baut der Strom in der Spule ein Magnetfeld<br />
auf. Es durchsetzt alle ihre Windungen. So induziert<br />
der Strom im eigenen Kreis eine <strong>Induktion</strong>sspannung<br />
U ind. Nach Lenz wirkt sie ihrer Ursache, der Stromänderung,<br />
entgegen: U ind zögert so den Stromanstieg<br />
hinaus, wirkt also der angelegten Spannung U1 entgegen.<br />
Der Vorgang heißt Selbstinduktion <strong>und</strong> die induzierte<br />
Spannung U ind heißt Selbstinduktionsspannung.<br />
Berechnung der Selbstinduktionsspannung für eine lange Spule:<br />
n<br />
Der Strom I erzeugt in der Spule die Flussdichte B = µ0µr<br />
n<br />
magnetischen Fluss Φ = B A = µ0µr<br />
˙I = −L · ˙I.<br />
ℓ I (n = nerr) <strong>und</strong> den<br />
ℓ A · I. Damit gilt U ind = −n ˙Φ = −(µ0µr<br />
n2A ) ·<br />
ℓ<br />
Die konstanten Spulendaten (n, A <strong>und</strong> ℓ) wurden mit µ0 <strong>und</strong> µr zu einer Spulengröße,<br />
der Eigeninduktivität L = µ0µrn 2 A<br />
ℓ zusammengefasst.<br />
Für die Selbstinduktionsspannung gilt U ind = −L · ˙I<br />
Diese Gleichung gilt auch bei anderen Leiterformen. Einheit: [L] = 1 H (Henry).<br />
<strong>1.</strong>8.3. Zeitlicher Verlauf des Spulenstroms<br />
Versuch<br />
Rechteckgenerator<br />
Spule<br />
R<br />
ABB. 18<br />
10<br />
ABB. 19
7. Mai 2012 120506Ph4-12<strong>Induktion</strong>-<strong>Wechselstrom</strong>.TEX<br />
Im Widerstand R (z.B. 10 Ω) tritt die zu I(t) proportionale Teilspannung U(t) = I(t) R<br />
auf. Am Oszilloskop gibt sie den Stromverlauf I(t) an. Durch den Rechteckgenerator<br />
liegt mit bestimmter Frequenz eine Spannung U1 an der Spule (z. B. 600 Wdg mit Fe-<br />
Kern). Auf dem Oszilloskop sieht man ein stehendes Bild. Hinweis: Amplitude des<br />
Funktionsgenerators soweit zurückdrehen, dass das Signal nicht übersteuert <strong>und</strong> der<br />
Kurvenverlauf typisch wird.<br />
Mit Hilfe einer zweiten Spule, die vom magnetischen Fluss der ersten durchsetzt wird,<br />
kann die induzierte Spannung von U1 abgetrennt werden. Diese <strong>Induktion</strong>sspannung<br />
U ind ist beim Einschalten des Stroms negativ (d. h. U1 entgegen), beim Ausschalten positiv<br />
(d. h. in Richtung der ursprünglichen Spannung U1).<br />
<strong>1.</strong>8.4. Fluch <strong>und</strong> Segen der <strong>Induktion</strong>sspannung<br />
Versuch Dorn-Bader S. 68, V2<br />
ABB. 20 ABB. 21<br />
Die Zündspannung UZ der Glimmlampe ist etwa 160 V (Überprüfe mit dem Hochspannungsgerät<br />
- vgl. Abb. ??) Schließt man die Glimmlampe in Reihe mit der Spule (vgl.<br />
Abb. ??) an eine Gleichspannungsquelle von etwa 6 V, so glimmt beim Ausschalten die<br />
Glimmlampe auf, die an die Spule angeschlossen ist . Beim Ausschalten kann also eine<br />
Spannung entstehen, die erheblich größer ist als die angelegte Spannung U<strong>1.</strong> Die<br />
<strong>Induktion</strong>sspannung versucht den Stromfluss aufrecht zu erhalten.<br />
11
7. Mai 2012 120506Ph4-12<strong>Induktion</strong>-<strong>Wechselstrom</strong>.TEX<br />
Werden also Geräte mit großen Induktivitäten ausgeschaltet, dann können hohe <strong>Induktion</strong>sspannung<br />
z. B. elektronische Bauteile zerstören.<br />
Die Zündanlage eines Benzinmotors nutzt die hohe <strong>Induktion</strong>sspannung beim Öffnen<br />
eines Stromkreises (vgl. Abb. ??).<br />
ABB. 22<br />
<strong>1.</strong>8.5. Theoretische Überlegungen<br />
(vgl. Abb. ??)<br />
ABB. 23<br />
Beim Einschaltvorgang gilt I = U<br />
R mit U = U1 + U ind, d. h. in jedem Augenblick:<br />
I = U1 − L · ˙I<br />
R<br />
bzw.<br />
Beim Ausschaltvorgang, gilt in jedem Augenblick:<br />
I = −L · ˙I<br />
R<br />
bzw.<br />
Die Eigeninduktivität L kann aus den Formeln<br />
<br />
<br />
L = <br />
Uind <br />
<br />
˙I<br />
bzw. I = U1 − L ˙I<br />
bestimmt werden.<br />
R<br />
˙I = U1 − I(t)R<br />
L<br />
˙I = −I(t)R<br />
L<br />
Es ist oft vorteilhaft, den Zeitpunkt t = 0 s zu wählen, weil dann U ind = −U1 ist. Die<br />
Änderung der Stromstärke ˙I kann aus dem Diagramm entnommen werden.<br />
Für Fortgeschrittene<br />
Der Verlauf des abnehmenden Stroms sieht gleich aus, wie der Ladungs- <strong>und</strong> Spannungsverlauf<br />
beim Entladen eines Kondensators (vgl. Skript Elektrische Felder: ˙Q =<br />
12
7. Mai 2012 120506Ph4-12<strong>Induktion</strong>-<strong>Wechselstrom</strong>.TEX<br />
− U Q<br />
= −<br />
R RC ). Dies folgt auch aus der Gleichung (für U1 = 0) ˙I = − R<br />
I(t), d.h. die<br />
L<br />
Stromstärke I nimmt exponentiell ab: ln I = − R<br />
L t + K ⇒ I = eK · e− R L t = I0 · e− R L t .<br />
Beim Einschalten nähert sich der Strom I(t) entsprechend seinem asymptotischen Wert<br />
I0. Für die Stromstärke I(t) gilt also I(t) = I0(1 − e − R L t ).<br />
Übungen Dorn-Bader S. 69 A1 - A4<br />
<strong>1.</strong>9. Energie des Magnetfeldes<br />
S<br />
Spule<br />
-<br />
+<br />
M<br />
Diode Motor<br />
ABB. 24 ABB. 25<br />
Die Diode verhindert, dass der Motor von der Quelle U1 Strom bekommt. Erst wenn<br />
die Quelle abgeschaltet wird, springt der Motor kurz an. Die Energie kommt aus dem<br />
Magnetfeld. Die im magnetischen Feld gespeicherte Energie kann berechnet werden,<br />
indem man die elektrische Arbeit bestimmt, die nach dem Ausschalten der Quelle U1<br />
noch verrichtet wird.<br />
W el =<br />
∞<br />
t=0<br />
Mit I(t) = v <strong>und</strong> dv<br />
dt = ˙I(t)<br />
−L<br />
∞<br />
t=0<br />
Uind(t) · I(t) dt U ∞<br />
ind=−L ˙I<br />
= −L<br />
v · dv<br />
dt<br />
dt = −L<br />
0<br />
I0<br />
13<br />
t=0<br />
I(t) · ˙I(t) dt<br />
v dv = 1<br />
2 L I2 0 = Wmag
7. Mai 2012 120506Ph4-12<strong>Induktion</strong>-<strong>Wechselstrom</strong>.TEX<br />
Fließt durch eine Spule mit der Eigeninduktivität L der Strom I, dann besitzt ihr Magnetfeld<br />
die Energie Wmag = 1<br />
2 L I2 . Diese Energie sitzt im Magnetfeld, denn Wmag ist<br />
dem Volumen des homogenen Spulenfeldes proportional.<br />
Wmag = 1 langeSpule<br />
L I2 =<br />
2<br />
1 2 A<br />
µ0µrn<br />
2 ℓ I2 = 1<br />
<br />
µ0µr<br />
2µ0µr<br />
2 nI<br />
A ℓ =<br />
ℓ<br />
1<br />
B<br />
2µ0µr<br />
2 V<br />
Die magnetische Energie hängt nur von Feldgrößen (µ0,µr,B,V) ab. Für die magnetische<br />
Flussdichte gilt somit: ρmag = Wmag<br />
V<br />
Übungen Dorn-Bader S. 71 A1, A2<br />
2. Sinusförmige Wechselspannung<br />
2.<strong>1.</strong> Erzeugung<br />
Versuch: Dorn-Bader S. 72, V1<br />
1<br />
= B<br />
2µ0µr<br />
2<br />
ABB. 26 ABB. 27<br />
Beim Rotieren einer Leiterschleife in einem Magnetfeld wechselt die induzierte Spannung<br />
U ind die Richtung; U ind ist sinusförmig.<br />
14
7. Mai 2012 120506Ph4-12<strong>Induktion</strong>-<strong>Wechselstrom</strong>.TEX<br />
Erklärung: Dorn-Bader S. 72, Abb. ??, ??<br />
ABB. 28 ABB. 29<br />
Betrachtet man die gleichförmige Rotation einer rechteckigen Spule von n-Windungen,<br />
so sind nur die Drähte parallel zur Drehachse für die <strong>Induktion</strong> bedeutend. Für die in<br />
jedem Draht der Länge d parallel zur Drehachse M induzierte Spannung U = B d vs<br />
trägt nur die Geschwindigkeitskomponente vs = v sin α bei. α ist der sogenannte Phasenwinkel,<br />
den die Spulenwindung in der Zeit t aus der vertikalen Stellung heraus<br />
überstreicht. Für eine volle Umdrehung (α = 2 π) ist die Umlaufdauer T notwendig.<br />
Es gilt t α<br />
α 2 π<br />
= . Mit der Winkelgeschwindigkeit ω = = gilt α = ω t. Die Dreh-<br />
T 2 π t T<br />
frequenz f = 1/T hat die Einheit s−1 = Hz <strong>und</strong> beträgt bei technischem <strong>Wechselstrom</strong><br />
50 Hz. ω heißt auch Kreisfrequenz. Damit man sie nicht mit der Drehfrequenz f verwechselt,<br />
gibt man ω die Einheit s−1 2 π<br />
, nicht aber Hz. Damit gilt α = ω t = t = 2 π f t<br />
T<br />
In einem Drahtrahmen mit n-Windungen wird somit die Spannung U(t) = 2 n B d v sin ω t<br />
induziert, da jede Windung zwei Drähte der Länge d hat.<br />
Der größte Wert, den die induzierte Wechselspannung U(t) annehmen kann, ist die<br />
Scheitelspannung U = 2 n B d v.<br />
Die <strong>Induktion</strong>sspannung U(t) lässt sich<br />
auch allgemein aus dem <strong>Induktion</strong>sgesetz<br />
ermitteln: Für den magnetischen Fluss<br />
gilt Φ(t) = B As(t) = B A cos α =<br />
B A cos ω t (vgl. Abb. ??). Somit folgt für<br />
die <strong>Induktion</strong>sspannung U(t) = − n ˙Φ =<br />
n B A ω sin ω t (nBAω = 2nBdv). Die<br />
Scheitelspannung ist dann U = n B A ω. ABB. 30<br />
Damit gilt der Zusammenhang U(t) = U sin ω t auch für eine beliebige Querschnittsfläche<br />
der Spule.<br />
15
7. Mai 2012 120506Ph4-12<strong>Induktion</strong>-<strong>Wechselstrom</strong>.TEX<br />
2.2. Zeigerdiagramm<br />
Der zeitliche Verlauf einer sinusförmigen Wechselspannung kann besonders einfach in<br />
einem sogenannten Zeigerdiagramm dargestellt werden (vgl. Abb. ??).<br />
ABB. 31<br />
Bekanntlich stellen die y-Werte eines rotierenden Zeigers beim Einheitskreis die Sinuswerte<br />
des überstrichenen Winkels α = ω t dar. Hat die sinusförmige Spannung den<br />
Scheitelwert U, dann zeichnet man einen Kreis mit dem Radius U. Rotiert in diesem<br />
Kreis ein Zeiger der Länge U gegen den Uhrzeigersinn mit der Frequenz f , d.h. mit<br />
der Kreisfrequenz ω = 2 π f , dann liefern die Projektionen auf die vertikale Achse die<br />
momentanen Spannungswerte U(t). Im Zeigerbild liegt der Phasenwinkel α zwischen<br />
dem Zeiger <strong>und</strong> der Horizontalen.<br />
Aufgaben Dorn-Bader S. 73 A1, A2<br />
16
7. Mai 2012 120506Ph4-12<strong>Induktion</strong>-<strong>Wechselstrom</strong>.TEX<br />
3. Der <strong>Wechselstrom</strong>kreis<br />
3.<strong>1.</strong> Effektivwerte beim <strong>Wechselstrom</strong><br />
Versuch Dorn-Bader V1, S. 76<br />
ABB. 32 ABB. 33<br />
An einem Glühlämpchen (z. B. 3,8 V; 0,07 A oder mit Leistungsverstärker 6 V; 0,2 A)<br />
liegt eine Wechselspannung niedriger Frequenz. Spannung U(t) <strong>und</strong> Stromstärke I(t)<br />
gehen gleichzeitig durch Null <strong>und</strong> erreichen gleichzeitig ihre Scheitelwerte U <strong>und</strong> I.<br />
Man sagt, sie sind in Phase. Die Elektronen passen ihre Geschwindigkeit ohne merkliche<br />
Verzögerung (auch bei hohen Frequenzen) der jeweiligen Spannung an. Liegt also<br />
die Wechselspannung U(t) = U sin ω t am Widerstand R, so folgt ihr der Strom nach<br />
I(t) = U(t) U<br />
= ist der Scheitelwert der ebenfalls sinusför-<br />
R<br />
R sin ω t = I sin ω t. I = U<br />
R<br />
migen Stromstärke. Man kann somit die Stromstärke im Zeigerbild durch einen Zeiger<br />
der Länge I darstellen. Da U <strong>und</strong> I in Phase sind, liegt der I-Zeiger auf dem U-Zeiger<br />
<strong>und</strong> rotiert mit diesem. Die vertikalen Abschnitte der Zeiger geben jeweils die Momentanwerte<br />
U(t) <strong>und</strong> I(t) an.<br />
Ein Widerstand, bei dem U <strong>und</strong> I in Phase sind, nennt man ohmschen Widerstand R.<br />
Damit kann durch Spannungsmessung am ohmschen Widerstand, z. B. mit dem Oszilloskop,<br />
der Stromverlauf ermittelt werden.<br />
17
7. Mai 2012 120506Ph4-12<strong>Induktion</strong>-<strong>Wechselstrom</strong>.TEX<br />
ABB. 34 ABB. 35<br />
Steigert man die Frequenz der Wechselspannung, so flackert das Lämpchen immer<br />
schneller <strong>und</strong> leuchtet schließlich für das Auge gleichmäßig. Betreibt man man daneben<br />
ein gleiches Lämpchen mit einer solchen Gleichspannung U eff, dass beide gleich<br />
hell leuchten, dann liefert U eff im gleichen Widerstand R die gleiche Leistung wie die<br />
Wechselspannung mit dem Scheitelwert U im Mittel.<br />
Definition: Der Effektivwert U eff einer Wechselspannung U(t) gibt die Gleichspannung<br />
an, die im selben ohmschen Widerstand die gleiche Leistung hervorbringt<br />
wie die Wechselspannung im Mittel.<br />
Auf dem Oszilloskop erkennt man, dass der Effektivwert U eff einer Wechselspannung<br />
U(t) = U sin ω t nur etwa 0,7 · U beträgt. Voltmeter zeigen diesen Effektivwert an.<br />
Für die momentane Leistung P(t) gilt<br />
P(t) = U(t) · I(t)<br />
Für die mittlere, zeitunabhängige Leistung gilt P = 1<br />
T<br />
T<br />
0<br />
U(t) · I(t) dt<br />
Bei einer sinusförmigen Wechselspannung ist U(t) = U · sin ω t <strong>und</strong> I(t) = I · sin ω t =<br />
U<br />
U 2<br />
· sin ω t. Damit gilt P(t) =<br />
R R · sin2 ω t<br />
18
7. Mai 2012 120506Ph4-12<strong>Induktion</strong>-<strong>Wechselstrom</strong>.TEX<br />
ABB. 36<br />
Stellt man P(t) in einem Diagramm dar<br />
(vgl. Dorn-Bader S. 77 B3b), dann erkennt<br />
man sofort, dass sich die mittlere Leistung<br />
P durch eine Gleichspannung U eff <strong>und</strong> den<br />
zugehörigen Gleichstrom I eff aus P = U eff ·<br />
I eff = U2 eff<br />
R<br />
= U 2<br />
2R errechnet.<br />
Somit gilt:<br />
Der Effektivwert U eff einer sinusförmigen<br />
Wechselspannung mit dem Scheitelwert U<br />
ist U eff = U √2 ≈ 0,7 U.<br />
Der Effektivwert I eff eines <strong>Wechselstrom</strong>s<br />
errechnet sich nach dem ohmschen Gesetz<br />
I eff = U eff<br />
R<br />
= U<br />
√ 2 · R = I<br />
√2 ≈ 0,7 I<br />
Die Angabe 220 V an der Steckdose bedeutet somit U eff = 220 V. Der Scheitelwert beträgt<br />
also bei sinusförmiger Wechselspannung U = √ 2 U eff ≈ 311 V. Die Momentanspannung<br />
U(t) schwankt folglich zwischen + 311 V <strong>und</strong> - 311 V sinusförmig.<br />
Auch bei anderen Kurvenformen kann man mit Hilfe von<br />
P = U eff · I eff = 1<br />
T<br />
T<br />
0<br />
U(t) · I(t) dt = 1<br />
T<br />
T<br />
0<br />
U 2 (t)<br />
R<br />
dt die Effektivewerte berechnen.<br />
Meistens ist es jedoch viel einfacher, wenn man die Momentanleistung P(t) in einem<br />
Diagramm darstellt <strong>und</strong> mit P vergleicht. Siehe dazu Dorn-Bader S. 76/77 B2 <strong>und</strong> B3<br />
Übungen Dorn-Bader S. 77, A1 - A2<br />
3.2. Kondensatoren <strong>und</strong> <strong>Wechselstrom</strong><br />
Legt man eine Gleichspannung an einen (entladenen) Kondensator, so gibt es nur einen<br />
kurzen Stromstoß. Sobald der Kondensator aufgeladen ist, fließt kein Strom mehr. Legt<br />
man eine Wechselspannung über ein Glühlämpchen an einen Kondensator genügend<br />
großer Kapazität, so leuchtet das Lämpchen, obwohl der Kondensator nicht leitet.<br />
Erklärung:<br />
Durch die angelegte Wechselspannung werden die Kondensatorplatten ständig umgeladen.<br />
Das Lämpchen registriert die Ladungsverschiebungen zu den Platten hin <strong>und</strong><br />
von diesen zurück.<br />
19
7. Mai 2012 120506Ph4-12<strong>Induktion</strong>-<strong>Wechselstrom</strong>.TEX<br />
Versuch Dorn-Bader Versuch V1 S. 78<br />
Eine Wechselspannung liegt über einen<br />
100 Ω-Widerstand an einem 4 µF-<br />
Kondensator. Der Umladestrom I(t)<br />
des Kondensators erzeugt im Widerstand<br />
R eine ihm phasengleiche <strong>und</strong> proportionale<br />
Teilspannung UR = R I(t). Auf einem<br />
Zweikanaloszilloskop erkennt man, dass<br />
der Umladestrom I(t) wie die angelegte<br />
sinusförmige Wechselspannung U(t) sinusförmig<br />
ist. Er eilt aber der Spannung<br />
U(t) um 90 ◦ ∧<br />
= π<br />
in der Phase voraus.<br />
2<br />
ABB. 37<br />
Versuch Zusammenhang zwischen U eff <strong>und</strong> I eff (Dorn-Bader V2, S. 78)<br />
C = 4 µF <strong>und</strong> f = 200 Hz<br />
Ergebnis<br />
TAB. 1 Kondensator im <strong>Wechselstrom</strong>kreis<br />
Ueff/ V Ieff/ mA Ueff / Ω<br />
Ieff 2,0 10,2 196,0<br />
4,0 21,0 190,5<br />
6,0 30,3 198,0<br />
Beim Kondensator ist Ieff ∼ Ueff. Damit ist es naheliegend den Quotienten Ueff Ieff kapazitiven Widerstand XC eines Kondensators zu bezeichnen. Die Abhängigkeit des<br />
XC von f <strong>und</strong> C wird in ?? behandelt.<br />
3.3. Spulen im <strong>Wechselstrom</strong>kreis<br />
Schließt man eine Spule an eine Gleichspannungsquelle, so stellt sich nach einiger Zeit<br />
eine Stromstärke I1 ein, die nur noch von der angelegten Spannung U1 <strong>und</strong> dem ohmschen<br />
Widerstand R der Spule abhängt: I1 = U1<br />
R .<br />
Bei <strong>Wechselstrom</strong> in einer Spule macht sich die induzierte Gegenspannung bemerkbar.<br />
Die Spule stellt <strong>Wechselstrom</strong> gegenüber einen vergrößerten Widerstand dar. Zum<br />
ohmschen Widerstand tritt ein induktiver Widerstand XL hinzu.<br />
20<br />
als
7. Mai 2012 120506Ph4-12<strong>Induktion</strong>-<strong>Wechselstrom</strong>.TEX<br />
Versuch (Dorn-Bader V3, S. 78)<br />
Legt man eine sinusförmige Wechselspannung<br />
an eine Spule, so ist der Strom auch sinusförmig.<br />
Um den Einfluss des ohmschen<br />
Widerstandes der Spule vernachlässigbar<br />
zu machen, verwendet man am besten eine<br />
Spule größerer Induktivität oder erhöht<br />
die Frequenz der angelegten Wechselspannung.<br />
Der Strom in der Spule hinkt Wechselspan-<br />
nung um fast 90 ◦ ∧<br />
= π<br />
in der Phase nach.<br />
ABB.<br />
2<br />
38<br />
Versuch Zusammenhang zwischen U eff <strong>und</strong> I eff (Dorn-Bader V4, S. 79)<br />
Verwendete Induktivität L = 37 mH <strong>und</strong> Frequenz f = 200 Hz<br />
TAB. 2 Spule im <strong>Wechselstrom</strong>kreis<br />
Ueff/ V Ieff/ mA Ueff / Ω<br />
Ieff 2,0 42,5 47<br />
4,0 86,0 47<br />
6,0 126,0 48<br />
Bei einer Spule ist Ieff ∼ Ueff. Damit ist es naheliegend den Quotienten Ueff Ieff als indukti-<br />
ven Widerstand XL einer Spule zu bezeichnen. Die Abhängigkeit des Widerstandes XL<br />
von der Induktivität L <strong>und</strong> von der Frequenz f wird in ?? behandelt.<br />
3.4. Zeigerdarstellung im <strong>Wechselstrom</strong>kreis<br />
vgl. Dorn-Bader S. 80 Bild B1<br />
3.4.<strong>1.</strong> Kapazitiver Widerstand<br />
Bild B1 a)<br />
UC<br />
I<br />
Legt man an einen Kondensator die sinusförmige Wechselspannung<br />
U(t) = U sin(ωt), so gilt für seine Ladung<br />
Q(t) = C · U(t) = C U sin(ωt). Für die Stromstärke gilt dann<br />
I(t) = ˙Q(t) = ωC U cos(ωt) = I cos(ωt). Es gilt I = ωC U<br />
<strong>und</strong> somit XC = Ueff = U<br />
=<br />
1<br />
Im zugehörigen Zeiger-<br />
I eff<br />
I<br />
ωC<br />
diagramm für einen Kondensator eilt der Zeiger der Länge I<br />
dem Zeiger der Länge U um die Phase π/2 voraus.<br />
21
7. Mai 2012 120506Ph4-12<strong>Induktion</strong>-<strong>Wechselstrom</strong>.TEX<br />
3.4.2. Induktiver Widerstand<br />
Bild B1 b)<br />
UL<br />
I<br />
Auf die Elektronen einer Spule wirkt nicht nur die von außen<br />
angelegte Spannung U(t), sondern auch die in der Spule<br />
erzeugte Selbstinduktionsspannung U ind(t) = −L · ˙I(t). Für<br />
die Stromstärke gilt zu jedem Zeitpunkt I(t) = U(t) − L ˙I(t)<br />
.<br />
R<br />
Multipliziert man diese Gleichung mit R, dann erhält man<br />
I(t) · R = U(t) − L ˙I(t). Bei vernachlässigbar kleinem ohmschen<br />
Widerstand R, d. h. eine ideale Spule, erhält man<br />
˙I(t) = U(t)<br />
. Für eine äußere sinusförmige Spannung U(t) =<br />
L<br />
U sin(ωt) folgt die Gleichung ˙I(t) = U<br />
L sin(ωt).<br />
Als Stammfunktion erhalten wir I(t) = U<br />
(− cos(ωt)) + K. Die Integrationskonstan-<br />
ωL<br />
te stellt den Gleichstromanteil dar. Da die anliegende Wechselspannung aber keinen<br />
Gleichstromanteil enthält, muss K = 0 sein. Es gilt I = U<br />
ωL <strong>und</strong> somit XL = U eff<br />
U<br />
I = ωL Im zugehörigen Zeigerdiagramm für eine Spule hinkt der Zeiger der Länge I<br />
dem Zeiger der Länge U um die Phase π/2 hinterher.<br />
Legt man eine sinusförmige Wechselspannung U(t) an einen Kondensator oder an<br />
eine Spule, so ist die Stromstärke I(t) ebensfalls sinnusförmig. Beim Kondensator<br />
eilt die Stromstärke der Spannung um 90 ◦ ∧<br />
= π<br />
in der Phase voraus, bei der Spule<br />
hinkt sie um 90 ◦ ∧<br />
= π<br />
hinterher. Man nennt<br />
2<br />
den kapazitiven Widerstand. Es gilt XC = 1<br />
ω C .<br />
XC = U eff<br />
I eff<br />
Man nennt den Quotienten XL = Ueff Ieff gilt XL = ω L<br />
3.5. Blind- <strong>und</strong> Wirkwiderstand zugleich<br />
2<br />
I eff<br />
den induktiven Widerstand einer Spule. Es<br />
Der ohmsche Wirkwiderstand R einer Spule lässt sich nicht immer vernachlässigen.<br />
Dann muss die allgemeine Gleichung I(t) = U(t) − L ˙I<br />
verwendet werden. Es gilt<br />
R<br />
somit<br />
U(t) = I(t) R + L ˙I(t) = UR(t) + UL(t)<br />
22<br />
=
7. Mai 2012 120506Ph4-12<strong>Induktion</strong>-<strong>Wechselstrom</strong>.TEX<br />
Diese Gleichung kann nicht einfach gelöst werden. Deshalb betrachtet man die Teilspannungen<br />
UR(t) <strong>und</strong> UL(t).<br />
Die von außen angelegte Spannung U(t) liegt mit der ersten Teilspannung UR(t) =<br />
I(t) R am ohmschen Widerstand R. Die zweite Teilspannung UL(t) = +L ˙I kompensiert<br />
die Selbstinduktionsspannung U ind = −L ˙I. In jedem Augenblick werden also Teilspannungen<br />
addiert. Man kann daher in einem Ersatzschaltbild den ohmschen Wirkwiderstand<br />
R aus einer Spule herausnehmen <strong>und</strong> mit ihrem induktiven Blindwiderstand<br />
XL in Reihe legen (vgl. Dorn-Bader S. 80 B2). Weitere Wirkwiderstände addiert man zu<br />
R.<br />
Bild B3<br />
UL<br />
U<br />
UR<br />
I<br />
Die Stromstärke I(t) ist in den hintereinanderliegenden Widerständen<br />
stets gleich groß. Legt man die Sinusspannung U(t) an, schwingt<br />
I(t) phasenverschoben mit. Die Teilspannung am ohmschen Widerstand<br />
ist mit I(t) in Phase. Addiert man die beiden Zeiger UR <strong>und</strong> UL<br />
geometrisch zum Zeiger U, so erzeugt die Projektion auf die U-Achse<br />
die Addition U(t) = UR(t) + UL(t). Für den Scheitelwert U gilt U<br />
<br />
=<br />
U 2 R + U 2 R =<br />
<br />
(I R) 2 + (I ω L) 2 = I R2 + (ω L) 2 = I<br />
Man sieht, dass wiederum U ∼ I ist. Der Quotient Z = U<br />
<br />
R 2 + X 2 L<br />
<br />
R 2 + (ω L) 2<br />
I = Ueff =<br />
Ieff ist von Ueff unabhängig. Z vereinigt den Wirkwiderstand R <strong>und</strong> den Blindwiderstand<br />
XL = ω L der Spule.<br />
Z heißt Schein- oder <strong>Wechselstrom</strong>widerstand der Spule.<br />
Der Strom I(t) hinkt der angelegten Spannung U(t) um den Winkel ϕ der Phasenver-<br />
schiebung nach. Es gilt tan ϕ = UL<br />
UR<br />
= ω L<br />
R .<br />
Die Phasenverschiebung ändert sich stark mit ω, L <strong>und</strong> R.<br />
Übungen Dorn-Bader S. 81 A1 - A6<br />
3.6. Siebkette <strong>und</strong> Sperrkreis<br />
3.6.<strong>1.</strong> Siebkette<br />
Versuch Dorn-Bader Versuch V1 S. 82<br />
23
7. Mai 2012 120506Ph4-12<strong>Induktion</strong>-<strong>Wechselstrom</strong>.TEX<br />
;?@ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ[ /0123456789: . - )*+, "#$%&' ( ! }~ | klmnopqrstuvwxyz{ j ^_àbcdefghi ] \<br />
C<br />
L<br />
Oszi-<br />
Kanal 1<br />
angelegte<br />
Wechselspannung<br />
Oszi-<br />
Kanal 2<br />
Stromverlauf<br />
Ergebnis:<br />
Den Stromverlauf kann man mit einem Oszilloskop<br />
über die Teilspannung am ohmschen Widerstand<br />
UR(t) darstellen. Sie ist ja nach UR(t) = R1 I(t) direkt<br />
zur Stromstärke proportional. Der Strom I(t)<br />
ist wie die angelegte Spannung U(t) sinusförmig,<br />
aber zu U(t) phasenverschoben. Die Sinusspannung<br />
U(t) teilt sich in drei Teilspannungen UR, UL <strong>und</strong><br />
UC auf (vgl. Dorn-Bader S. 82 V1). Deren Summe<br />
ist gleich U(t). Wegen der Phasenverschiebung bildet<br />
man U(t) wieder über das Zeigerdiagramm (vgl.<br />
Dorn-Bader Abb. B1 S. 82):<br />
Zu R1 addieren wir alle ohmschen Widerstände. An diesem Wirkwiderstand R liegt<br />
dann die Teilspannung UR = R I(t). Sie ist mit I(t) in Phase. Ihr Zeiger UR = I R läuft<br />
mit dem I-Zeiger synchron.<br />
Bild B1 S. 82<br />
UL<br />
UC<br />
U<br />
UR<br />
I<br />
Am induktiven Widerstand liegt die Teilspannung UL(t) <strong>und</strong><br />
kompensiert die induzierte Spannung − L ˙I. UL(t) eilt dem<br />
gemeinsamen Strom I(t) um π/2 voraus.<br />
Die Spannung UC(t) am Kondensator hinkt dem gemeinsamen<br />
Strom um π/2 hinterher.<br />
Den Zeiger U der Gesamtspannung erhält man durch geometrische<br />
Addition der Zeiger von UR, UL <strong>und</strong> UC. Für den<br />
Scheitelwert gilt somit<br />
U =<br />
<br />
U 2 R + ( UL − UC) 2 <br />
= I R2 <br />
+ ω L − 1<br />
2 ω C<br />
Ergebnis: Wieder ist U der Stromstärke I proportional, das Ohmsche Gesetz wird für<br />
Scheitel- <strong>und</strong> Effektivwerte erfüllt. Deshalb kann auch in diesem allgemeinen<br />
Falle der Scheinwiderstand Z = U<br />
I = Ueff berechnet werden mit<br />
Z = U eff<br />
I eff<br />
=<br />
<br />
R 2 +<br />
I eff<br />
<br />
ω L − 1<br />
2 ω C<br />
Der Scheinwiderstand Z enthält neben dem Wirkwiderstand R den Blindwiderstand<br />
X = ω L − 1<br />
ω C .<br />
Die Phasenverschiebung ϕ zwischen Strom <strong>und</strong> Spannung liest man wieder aus dem<br />
24
7. Mai 2012 120506Ph4-12<strong>Induktion</strong>-<strong>Wechselstrom</strong>.TEX<br />
Zeigerdiagramm ab. Es gilt<br />
tan ϕ = UL − UC<br />
UR<br />
= ω L − 1<br />
ω C<br />
R<br />
Wenn ϕ > 0 ist, hinkt der Strom I(t) der Spannung U(t) nach; für ϕ < 0 eilt er der<br />
Spannung voraus.<br />
Versuche zur Siebkette<br />
Dorn-Bader S. 83 V2 (mit Lämpchen als ohmscher Widerstand)<br />
Wenn die Lampe am hellsten leuchtet, misst man<br />
an der Spule die Spannung U L,eff = I effω L <strong>und</strong> am<br />
Kondensator die Spannung U C,eff = I eff<br />
ω C .<br />
Aus dem Zeigerbild entnimmt man, dass UL <strong>und</strong><br />
UC in entgegengesetzte Richtungen weisen <strong>und</strong> sich<br />
kompensieren. Die Teilspannung U R,eff = I effR an<br />
R ist somit gleich der angelegten Spannung U eff =<br />
I effZ.<br />
Der Abgleich des resultierenden Blindwiderstandes ω L − 1<br />
kann statt durch eine L-<br />
ω C<br />
Änderung auch durch eine Frequenzänderung durchgeführt werden. Wenn die Kreisfrequenz<br />
den aus ω0 L − 1<br />
√ annimmt, ist<br />
LC<br />
die Stromstärke maximal.<br />
Versuch Dorn-Bader S. 83 V2<br />
ω0 C = 0 folgenden Resonanzwert ω0 = 1<br />
Ergebnis: Ändert man in der R, L, C-Reihenschaltung nur die Frequenz f , so durchläuft<br />
die Stromstärke I eff ein Maximum. Der Scheinwiderstand Z nimmt dabei den<br />
Wert Z = R an (vgl. Dorn-Bader S. 83 Abb B3 ).<br />
Phasenverschiebung <strong>und</strong> resultierender Blindwiderstand X sind Null. Die zu I eff proportionalen<br />
Teilspannungen UL <strong>und</strong> UC haben sich bei dieser Spannungsresonanz je zu<br />
ihrem Maximum aufgeschaukelt <strong>und</strong> kompensieren sich.<br />
Bei höheren Frequenzen ist ω L > 1<br />
. Die Spule drosselt den Strom. Der Strom hin-<br />
ω C<br />
kt der Spannung nach (ϕ > 0). Bei Frequenzen unterhalb der Resonanzfrequenz f0<br />
blockiert der Kondensator den Strom ( 1<br />
> ω L). Die Spannung hinkt dem Strom<br />
ω C<br />
hinterher (ϕ < 0).<br />
Diese Siebkette lässt die Resonanzfrequenz bevorzugt durch; andere Frequenzen werden<br />
ausgesiebt.<br />
25
7. Mai 2012 120506Ph4-12<strong>Induktion</strong>-<strong>Wechselstrom</strong>.TEX<br />
3.6.2. Sperrkreis<br />
Versuch Dorn-Bader S. 84 V1<br />
;?@ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ[ /0123456789: . - )*+, "#$%&' ( ! }~ | klmnopqrstuvwxyz{ j ^_àbcdefghi ] \<br />
L 3<br />
L<br />
L 1<br />
C<br />
L 2<br />
Legt man bei der Resonanzfrequenz f0 die Spannung U eff einmal nur an den Kondensator<br />
<strong>und</strong> einmal nur an die Spule, so sind die Ströme I C,eff <strong>und</strong> I L,eff erwartungsgemäß<br />
ungefähr gleich groß.<br />
Legt man dann die Spule parallel zum Kondensator, so sinkt in der Zuleitung die<br />
Stromstärke I fast auf Null. Wegen der Parallelschaltung ist jetzt beiden Elementen die<br />
Spannung U in Größe <strong>und</strong> Phase gemeinsam. Deshalb nimmt man im Zeigerbild diese<br />
Spannung als Bezugsgröße.<br />
Der Kondensatorstrom IC eilt der Spannung U um π/2 voraus, der Spulenstrom IL<br />
hinkt der Spannung U um fasst (infolge des kleinen ohmschen Widerstandes in der<br />
Spule) π/2 nach (Dorn-Bader S. 84 V1, B1).<br />
Versuch Dorn-Bader S. 84, V1<br />
Ergebnis: Bei einer bestimmten Jochstellung leuchten die Lämpchen L2 <strong>und</strong> L3 hell,<br />
während L1 dunkel bleibt. Die beiden Ströme IL <strong>und</strong> IC bilden für sich einen<br />
geschlossenen starken Kreisstrom. Solange ein starker Strom IL fließt, sitzt<br />
die Energie im Magnetfeld der Spule. Eine kurze Zeit später wächst die Spannung<br />
am Kondensator; die Energie ist zum elektrischen Feld gewandert. Sie<br />
pendelt zwischen Kondensator <strong>und</strong> Spule hin <strong>und</strong> her. Ohne die ohmschen<br />
Widerstände in den Lampen <strong>und</strong> Leitungen würde dieser Stromkreis unaufhörlich<br />
schwingen: Schwingkreis.<br />
Da gerade bei der Resonanzfrequenz f0 der Gesamtstrom minimal wird, heißt dieser<br />
Stromkreis Sperrkreis. Baut man ihn in eine Leitung, so wird die unerwünschte Frequenz<br />
f0 eines Störsenders unterdrückt.<br />
Übungen Dorn-Bader S. 85 A1 bis A14<br />
26
7. Mai 2012 120506Ph4-12<strong>Induktion</strong>-<strong>Wechselstrom</strong>.TEX<br />
3.7. Die Leistung des <strong>Wechselstrom</strong>s<br />
Versuch Wir legen eine 100 W Lampe über einen Leistungsmesser an die Wechselspannung<br />
U eff = 220 V <strong>und</strong> messen I eff = 0,45 A. Der Leistungsmesser zeigt P = 100 W<br />
= 220 V · 0,45 A, also U eff · I eff richtig an.<br />
Ergebnis: Die momentane Leistung bei rein ohmschen Wirkwiderständen beträgt P(t) =<br />
U(t) · I(t) = I(t) 2 R. Sie schwankt zwischen Null <strong>und</strong> dem maximalen Wert<br />
UI mit der doppelten <strong>Wechselstrom</strong>frequenz, da die Wärmeentwicklung nicht<br />
von der Stromrichtung abhängt.<br />
Bei rein kapazitivem oder rein induktivem Widerstand zeigt der Leistungsmesser Null<br />
an. Der Stromzähler ist für ihn „blind“. Man nennt diesen Strom deshalb Blindstrom.<br />
Er eilt der Spannung U(t) um 90 ◦ in der Phase vor bzw. hinkt um 90 ◦ in der Phase nach<br />
(bei XL). Während einer Periodendauer T ist die Momentanleistung P(t) = U(t) · I(t)<br />
zweimal positiv <strong>und</strong> zweimal negativ <strong>und</strong> gleich groß. Solange P(t) > 0 ist, wird vom<br />
E-Werk Energie geliefert. Solange P(t) < 0 ist, wird diese Energie wieder ans E-Werk<br />
zurückgegeben.<br />
Die Wirkleistung P lässt sich gr<strong>und</strong>sätzlich durch den Wirkstrom I eff <strong>und</strong> die Spannung<br />
am ohmschen Widerstand UR = U eff · cos ϕ ermitteln: P = U eff I eff cos ϕ.<br />
Der Faktor cos ϕ heißt Leistungsfaktor.<br />
Aufgaben Dorn - Bader 12/13 S. 87 A1 bis A8 <strong>und</strong> S. 96 A1 - A12<br />
3.8. Der Transformator (Trafo)<br />
3.8.<strong>1.</strong> Der unbelastete Trafo<br />
Vgl. Dorn-Bader S. 88<br />
Auf einem geschlossenen Eisenkern sitzen eine Primärspule mit n1 Windungen <strong>und</strong><br />
eine Sek<strong>und</strong>ärspule mit n2 Windungen.<br />
Versuch Dorn-Bader Versuch 1 S. 88<br />
Wird an die Primärspule eine Gleichspannung von U1 = 5 V gelegt, so fließt wegen<br />
des geringen ohmschen Widerstandes ein großer Primärstrom I von z.B. 4 A. Legt man<br />
eine Wechselspannung von 5 V an, so sinkt I eff auf einen sehr kleinen Wert von z.B.<br />
40 mA, d.h. 1%. Die Primärspule verhält sich wie ein normaler induktiver Blindwiderstand<br />
XL. Dies hat zur Folge, dass der schwache Magnetisierungsstrom von 40 mA in<br />
der Priemäbspule genügt, um in ihren n1 Windungen eine Selbstinduktionsspannung<br />
U ind zu erzeugen, welche die angelegte Spannung U1 fast kompensiert. Der hierzu nötige<br />
<strong>Induktion</strong>sfluß Φ durchsetzt den Eisenkern <strong>und</strong> somit die Sek<strong>und</strong>ärspule. Hat die<br />
27
7. Mai 2012 120506Ph4-12<strong>Induktion</strong>-<strong>Wechselstrom</strong>.TEX<br />
Sek<strong>und</strong>ärspule n2 = ü n1 Windungen, so wird in der Sek<strong>und</strong>ärspule die ü-fache Spannung<br />
U2 induziert.<br />
Legt man als Sek<strong>und</strong>ärwicklung n2 = 10 Windungen eines Experimentierkabels um<br />
den Eisenkern, hat die Primärwicklung n1 = 300 Windungen, so zeigt bei U 1e f f = 30 V<br />
die Sek<strong>und</strong>ärspannung U 2e f f = 1 V an.<br />
Merke:<br />
3.8.2. Der belastete Trafo<br />
U 1,eff<br />
U 2,eff<br />
= n1<br />
n2<br />
Die Spannungen eines Trafos<br />
verhalten sich wie die Windungszahlen<br />
Liegt an der Sek<strong>und</strong>ärspannung U2(t) ein Wirkwiderstand RS, so durchfließt ihn ein<br />
phasengleicher Wirkstrom I2(t) = U2(t)<br />
, der Wirkleistung abgibt. Sein Magnetfeld<br />
durchsetzt über den Eisenkern auch die Primärspule.<br />
U~<br />
R<br />
RS<br />
Primärspule<br />
des Trafo<br />
Kanal 1 Kanal 2<br />
Oszi<br />
Ergebnis: Solange die Sek<strong>und</strong>ärspule offen ist (I2 = 0), fließt nur der Blindstrom I(t)<br />
des unbelasteten Trafos. Er hinkt der Primärspannung U1(t) um 90 ◦ nach.<br />
Wird der Sek<strong>und</strong>ärstrom I2(t) von Null aus erhöht, dann belastet man den<br />
Trafo. Jetzt steigt auch der Primärstrom an; seine Phasenverschiebung nimmt<br />
aber ab. Dem Blindstrom I(t) in der Primärspule überlagert sich ein immer<br />
stärker werdender Wirkstrom I1(t). Er ist mit U1(t) phasengleich <strong>und</strong> nimmt<br />
aus dem Netz die Wirkleistung P1 = U 1,eff · I 1,eff auf. Die Sek<strong>und</strong>ärseite gibt<br />
die Wirkleistung P2 = U 2,eff · I 2,eff ab. Da bei der <strong>Induktion</strong> die Energie erhalten<br />
bleibt, ist P2 = P1 ⇐⇒ U 2,eff · I 2,eff.<br />
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7. Mai 2012 120506Ph4-12<strong>Induktion</strong>-<strong>Wechselstrom</strong>.TEX<br />
Merke:<br />
U1,eff =<br />
U2,eff I2,eff I1,eff = n1<br />
n2<br />
Die beim Belasten eines Trafos zusätzlich auftretenden Wirkströme verhalten sich<br />
umgekehrt wie die Windungszahlen.<br />
Die primärseitig aufgenommene Wirkleistung ist beim idealen Trafo gleich der sek<strong>und</strong>ärseitig<br />
abgegebenen.<br />
3.9. Drehstrom<br />
An der Drehstromsteckdose stehen drei Leiter R, S <strong>und</strong> T mit drei Wechselspannungen<br />
mit U eff = 220 V gegen „Erde“ zur Verfügung.<br />
Versuch Dorn-Bader Versuch 1 S. 90<br />
An dem Drehstromnetzgerät liegen die ungefährlichen Spannungen 22 V. Die Phasen<br />
R, S <strong>und</strong> T werden der Reihe nach mit 18 V-Glühlampen verb<strong>und</strong>en.<br />
Ergebnis: Wird nur eine Glühlampe angeschlossen, so fließt ein Strom I<strong>1.</strong> Leitet man<br />
auch von der „Phase“ S den Strom I2 über eine zweite Glühlampe <strong>und</strong> denselben<br />
Strommesser zur Erde, so steigt sein Ausschlag nicht! Der Ausschalg<br />
geht sogar auf Null, wenn man auch noch den Strom I3 aus T über eine dritte<br />
Glühlampe <strong>und</strong> den Strommesser leitet.<br />
Ein Zweikanal-Oszilloskop zeigt dass die Spannungen von R, S <strong>und</strong> T jeweils um 120 ◦<br />
nachhinken. Somit fließen in den gleichen Widerständen der Glühlampen drei jeweils<br />
um 120 ◦ gegeneinander phasenverschobene Wechselströme. In jedem beliebigen Zeitpunkt<br />
addieren sich also die Momentanwerte von Strom oder Spannung zu Null.<br />
Die Steckdosen im Haushalt führen jeweils eine „Phase“ <strong>und</strong> den Null-Leiter.<br />
Drehstromgenerator <strong>und</strong> Drehstrommotor<br />
Bei einem Drehstromgenerator rotiert ein starker Elektromagnet <strong>und</strong> sein Magnetfeld<br />
B1 mit der Umlaufdauer T. Die <strong>Induktion</strong>sspulen für die drei Phasen R, S, T sind um<br />
gleiche Winkel versetzt. Die Maxima der induzierten Spannungen U1, U2 <strong>und</strong> U3 folgen<br />
mit dem Zeitunterschied T/3 aufeinander.<br />
Beim Drehstrommotor sind die Spulen wie beim Generator angeordnet. Es rotiert ein<br />
Magnetfeld B2 mit der gleichen Frequenz wie der Magnet im Generator. (vgl. Versuch<br />
158, Dorn-Bader S. 165)<br />
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