Funktionen - Fachbereich 4: HTW Berlin

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Wirtschaftsmathematik I Wintersemester 2012/13
Funktionen
Darstellung
1. Gegeben ist die folgende tabellarische Darstellung einer Funktion:
Tag Umsatz
Montag 350
Dienstag 550
Mittwoch 430
Donnerstag 370
Freitag 290
Samstag 300
a) Zeichnen Sie den Graph der Funktion.
b) Geben Sie ein Pfeildiagramm für die Funktion an.
2. Zeichnen Sie die Graphen der folgenden Funktionen:
a) f ( x ) = 2 x 2
b) f ( x ) = x 2 + 2
c) y = 1.5 x 2 + x − 2
d) y = − 0.5 x 2 + x + 1
e) f ( x ) = 1
x
Aufgaben Blatt 3
© Wolfgang Hebold

f) f ( x ) = 1
x 2 −x
2
3. Ermitteln Sie den Zusammenhang zwischen Ergebnis eines Würfelwurfs, also den Augenzahlen,
und der Wahrscheinlichkeit, dass dieses Ergebnis erscheint.
a) Stellen Sie diesen Zusammenhang tabellarisch, graphisch und analytisch dar.
b) Zeichen Sie ein Pfeildiagramm.
4. Gegeben sei der folgende Zensurenspiegel:
1 2 3 4 5 6
3 5 9 6 3 -
a) Stellen Sie den Zusammenhang zwischen der Note und der Zahl der Schüler, die die
entsprechende Note geschrieben haben graphisch und analytisch dar.
b) Zeichen Sie ein Pfeildiagramm.
5. Angenommen ein Konto mit einem Stand von K0 wird mit 10% jährlich verzinst. Für K0 können Sie
einen beliebigen festen Wert nehmen.
a) Stellen Sie den Kontostand über die nächsten 10 Jahre in Abhängigkeit der Jahre dar, wenn
linear, diskret und stetig verzinst wird. Zur Darstellung nehmen Sie:
i) ein Pfeildiagramm
ii) eine Formel
iii) eine Graphik
iv) eine Tabelle
6. Angenommen ein Konto mit dem Stand K0 wird mit 5% jährlich verzinst. Für K0 können Sie einen
beliebigen festen Wert nehmen.
a) Stellen Sie den Kontostand des nächsten Jahres in Abhängigkeit der Monate dar, wenn am
Ende jeden Monats der entsprechende Anteil der Jahreszinsen auf das Konto eingezahlt
wird. Zur Darstellung nehmen Sie:

i) ein Pfeildiagramm
ii) die algebraische Schreibweise
iii) eine Graphik
iv) eine Tabelle
v)
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7. Angenommen ein Konto wird mit 5% jährlich verzinst. Stellen Sie analytisch, graphisch und
tabellarisch den Kontostand in Abhängigkeit der Tage dar, wenn am Ende jedes Tages der
entsprechende Anteil der Jahreszinsen auf das Konto eingezahlt wird. Für den Kontostand
nehmen Sie einen beliebigen festen Wert oder eine Variable.
8. Angenommen ein Konto wird mit 10% jährlich verzinst. Stellen Sie analytisch, graphisch und
tabellarisch den Kontostand am Ende des Jahres in Abhängigkeit von der Anzahl der zeitlichen
Unterteilungen, in der das Geld wieder eingezahlt werden kann, dar. Für den Kontostand nehmen
Sie einen beliebigen festen Wert oder eine Variable.
Beispiel:
Wenn die Zinsen jeden Monat eingezahlt werden können, ergibt sich eine Unterteilung von 12.
Bei einer täglichen Einzahlung eine Unterteilung von 365. Der Grad der Unterteilung geht also
gegen unendlich, m.a.W. die Zeitintervalle werden immer kleiner. Negative und Werte kleiner 1
sind nicht sinnvoll.
9. Erläutern Sie mit Hilfe von Funktionsverläufen den Begriff des Grenznutzens.
10. Ein Unternehmen hat eine Kosten- und eine Umsatzfunktion für die letzten 5 Jahre erstellt.
Skizzieren Sie beide Funktionen und die entsprechende Gewinnfunktion graphisch. Es geht also
ausdrücklich nicht um einzelne Zahlwerte, sondern um den groben Zusammenhang.
11. Ein Unternehmen, das ein Produkt P produziert, hat die Kostenfunktion:
K ( p ) = 0.2 p 3 - 5 p 2 + 1000 p + 12000
Die über einen bestimmten Zeitraum produzierte Menge von Produkten betragen:
Jahr Menge
2001 50

2002 55
2003 60
2004 65
2005 75
2006 82
2007 90
2008 70
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a) Bestimmen Sie die Kosten und die absolute und relative Kostensteigerung pro Jahr für die
Werte aus der angegebenen Tabelle und stellen Sie den Zusammenhang zwischen Jahr und
Kosten bzw. Kostensteigerung graphisch dar.
12. Um einen Würfel auf Korrektheit zu überprüfen, wurde eine Testreihe mit 2000 Würfen
durchgeführt. Dabei ergaben sich folgende Häufigkeiten:
Augenzahl: 1 2 3 4 5 6
Häufigkeit: 339 310 311 367 332 341
a) Stellen Sie in einem Pfeildiagramm die Gesamtzahl aller Würfe mit einer bestimmten
Augenzahl in Abhängigkeit zur Augenzahl dar. (Absolute Häufigkeit H ( x ))
b) Stellen Sie in einer Tabelle das Verhältnis der Augenzahl zur Gesamtzahl aller Würfe mit
dieser Augenzahl in Abhängigkeit zur Augenzahl dar (Relative Häufigkeit h ( x )).
c) Stellen Sie die folgende Funktion (Summe der Häufigkeiten) mit Hilfe der obigen Tabelle
graphisch dar. x steht für den numerischen Wert der Augenzahl. F ( x ) ist die Funktion aus
a):
F (x−1)+H(x) : x≥2
F (x) = { H(x) : x=1
13. Stellen Sie die Werte der Zahlenfolge:
a n= {
an−1 +an−2 :n>2
1 :n=2
1 :n=1
a) als Funktion von 0 < n ≤ 10 graphisch dar.

14. Zeichen Sie die Graphen der folgenden Funktionen:
2
x
a) f (x)=e
b) f ( x ) = ln ( x + 1 )
c) f (x)=e −x3
(−x )2
d) f ( x)=e
e) f ( x ) = ln ( x − 1 )
−(−x )3
f) f (x)=e
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15. Auf einem Schachbrett werden auf dem Feld A1 ein Reiskorn, auf dem Feld B1 zwei, auf dem Feld
C1 vier, d.h. jeweils doppelt so viele Reiskörner gelegt, wie auf das vorhergehende Feld und das
bis zum Feld H8.
a) Beschreiben Sie den funktionalen Zusammenhang graphisch.
b) Geben Sie eine Funktion an, die den Zusammenhang analytisch beschreibt.
c) Wieviele Reiskörner befinden sich auf dem letzten Feld, also dem Feld H8.
d) Berechnen Sie die Ableitung der Funktion.
a)
b) f(x) = 2 x−1
c) 2 63
d) f ' ( x ) = ln 2 ⋅ 2 x−1
16. Es sind die Mengen A = { 1, 2, 3, 4 } und B = { 1, 2, 3, 4 } gegeben.
a) Geben Sie ein Beispiel für eine injektive Funktion A → B an und stellen Sie sie graphisch dar.
(Anm: Es geht nur um irgendeine Zuordnung von A auf A. Denken Sie sich also eine aus. Sie
müssen aber die Menge A als Definitions- und Wertebereich verwenden und die Funktion
muss injektiv sein.)

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b) Geben Sie ein Beispiel für eine surjektive Funktion A → B an und stellen Sie sie als
Pfeildiagramm dar.
c) Geben Sie ein Beispiel für eine bijektive Funktion A → B an und stellen Sie sie tabellarisch
dar.
d) Wie müssen die Mengen A und B verändert werden, damit keine injektive Funktion mehr
definiert werden kann? Es müssen nicht beide Mengen verändert werden.
e) Wie müssen die Mengen A und B verändert werden, damit keine surjektive Funktion mehr
definiert werden kann? Es müssen nicht beide Mengen verändert werden.
17. Die Zinseszinsformel lautet: Kn = K0 q n .
Zeichnen Sie die Graphen der folgenden Funktionen:
a) f : ℝ → ℝ : f ( x ) = x q n ; n = 5, q = 1.1, x ∈ { 0.0, 1.0, 1.5, 3.0 }
b) g : ℝ + → ℝ : g ( x ) = K0 x n ; n = 3, K0 = 5, x ∈ { 0.5, 1.0, 1.5 }
c) h : ℕ → ℝ : h ( x ) = K0 q x ; q = 1.2, K0 = 3, x ∈ { 0, 1, 3, 5 }
d) Worin unterscheiden sich die Werteverläufe der drei Funktionen f, g und h aus a) - e)
grundlegend, d.h. worin unterscheiden sie sich, wenn man die konkreten Zahlwerte nicht zur
Unterscheidung heranzieht, sondern nur die ungefähren Funktionsverläufe?
e) Stellen Sie die Zinseszinsformel so um, dass die Zinsperiode n eine Funktion der Werte von
K0, Kn und p wird.
f) Zeichnen Sie die Graphen der drei Funktionen, die die Zinsperiode n in Abhängigkeit K0, Kn
bzw. p zeigen. Für die freien Variablen nehmen Sie beliebige Werte.