Aufgabenblatt 4: Besteuerung, Investition und Finanzierung

Prof. Dr. R. Borck/Dr. M. Sahm Lösungshinweise SS08 1
Aufgabenblatt 4:
Besteuerung, Investition und Finanzierung
Aufgabe 1 (Verzerrungen der Investitions- und Finanzierungsentscheidung)
Intention: Die Teilnehmer untersuchen den Einfluss von Unternehmensteuern
sowie persönlichen Einkommensteuern auf die Investitions- und Finanzierungsentscheidung
von Unternehmen.
Angaben: F(Kt,Lt) = K α t L 1−α
t , 0 < α < 1, ¯ L = 1, p = 1, rt = r,
K2 = V2 = 0, ρ = 0.
(a) Wir bestimmen zunächst die Arbeitsnachfrage des Unternehmens. Um
einen möglichst hohen Barwert des Unternehmens zu generieren, setzt
das Unternehmen in Periode t die Menge des Faktors Arbeit Lt ein, die
den Periodengewinn
Gt(Kt,Lt) = pF(Kt,Lt) − wtLt − rtBt
maximiert. Über die Bedingung erster Ordnung für ein Optimum (FOC)
∂Gt
∂Lt
=
∂F − wt = ∂Lt
⇔ (1 − α)K α t L −α
t
ist die Arbeitsnachfrage implizit bestimmt.
0
= wt
Im Arbeitsmarkt-Gleichgewicht müssen sich Angebot und Nachfrage
die Waage halten, d.h. es gilt Lt = ¯ L = 1. Somit stellt sich ein gleichgewichtiger
Lohn in Höhe von
ein; für den Cash-Flow folgt
wt = (1 − α)K α t
πt = π(Kt) = pF(Kt,Lt) − wtLt = K α t − (1 − α)K α t = αK α t . (2)
(b) Die Bedingung der Arbitragefreiheit besagt, dass auf einem vollkommenen
Markt keine risikolosen Gewinne möglich sind. Im Kapitalmarkt-
Gleichgewicht muss daher die Anlage im Unternehmen den gleichen Ertrag
generieren wie die Anlage zum Weltmarktzins. In Periode t setzt
sich der Ertrag der Anteilseigner eines Unternehmens mit Unternehmenswert
Vt zusammen aus der Dividendenzahlung Dt und dem Beteiligungsgewinn,
also dem Wertzuwachs der gehaltenen Anteile zt∆vt.
(1)

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Alternativ könnte auf dem Weltmarkt ein Ertrag in Höhe von rVt erzielt
werden. Es muss also folgende Identität herrschen:
Dt + zt∆vt = rVt.
Wir bestimmen nun zunächst die Höhe des Beteiligungsgewinns. Der
Unternehmenswert Vt = ztvt in Periode t entspricht dem Produkt aus
der Zahl der Anteile zt und dem Preis pro Anteil vt. Entsprechend gilt
in Periode t + 1
Vt+1 = zt+1vt+1 = (zt + ∆zt)(vt + ∆vt)
= ztvt +
zt∆vt
+ ∆ztvt+1
Vt Beteiligungsgewinn V N
t
⇔ zt∆vt = Vt+1 − Vt − V N
t .
Somit lautet die Bedingung der Arbitragefreiheit
Dt + (Vt+1 − Vt − V N
t ) = rVt. (3)
Für t = 1 folgt mit V2 = 0 aus dieser Gleichung V1 =
für t = 0 die Gleichung der Zielfunktion
D1−V N
1
1+r und somit
(1 + r)V0 = D0 − V N
0 + D1 − V N
1
. (4)
1 + r
(c) Finanzierungsneutralität: Um zu beweisen, dass die Investitionsent-
scheidungen It = Et +V N
t +B N t nicht davon abhängen, ob sich ein Unternehmen
durch Eigen- oder Fremdkapital B finanziert (Modigliani-
Miller-Theorem), vergleichen wir im Folgenden die drei Fälle, in denen
das Unternehmen jeweils ausschließlich auf eine der alternativen Finanzierungsformen
zurückgreift, und zeigen, dass die Investitionsentscheidungen
übereinstimmen.
Eigenkapital-Finanzierung: Bt = B N t = 0.
Selbstfinanzierung: It = Et, V N
t = 0.
Um die Zielfunktion (4) zu spezifizieren, bestimmen wir für t ∈ {0, 1}
die Dividendenzahlungen Dt in Abhängigkeit von Kt. Der buchhalterische
Gewinn des Unternehmens kann einerseits für Dividendenzahlungen
ausgezahlt oder andererseits für neue Investitionen einbehalten
werden:
Gt = πt − rBt = Dt + Et. (5)

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Somit gilt bei Selbstfinanzierung Dt = πt−It. Die Investitionen erhöhen
den Kapitalstock, d.h. Kt+1 = Kt + It. Mit K2 = 0 folgt I0 = K1 − K0
sowie I1 = −K1 und damit
D0 = π(K0) − (K1 − K0),
D1 = π(K1) + K1.
Einsetzen in (4) liefert folgende Zielfunktion
(1 + r)V0 = π(K0) − (K1 − K0) + π(K1) + K1
,
1 + r
die das Unternehmen durch Wahl von K1 maximiert. Aus der FOC
ergibt sich
−1 + π′ (K1)+1
1+r = 0
⇔ π ′ (K1) = r (6)
⇔
= r
⇔ K1
2 α
=
r
α 2
K 1−α
1
Anteilsfinanzierung: It = V N
t , Et = 0.
1
1−α
. (7)
Somit gilt gemäß (5) bei Anteilsfinanzierung Dt = πt und V N
0 = I0 =
K1 −K0 sowie V N
1 = I1 = −K1. Einsetzen in (4) liefert nun die gleiche
Zielfunktion und damit die gleiche Lösung wie bei Selbstfinanzierung:
(1 + r)V0 = π(K0) − (K1 − K0) + π(K1) + K1
.
1 + r
Fremdkapital-Finanzierung: It = B N t , Et = V N
t = 0, B0 = K0.
Somit gilt gemäß (5) bei Fremdkapital-Finanzierung Dt = πt − rBt.
Mit Bt+1 = Bt + B N t folgt
D0 = π(K0) − rB0 = π(K0) − rK0,
D1 = π(K1) − rB1 = π(K1) − r(B0 + B N 0 ) = π(K1) − r(K0 + I0)
= π(K1) − r(K0 + K1 − K0) = π(K1) − rK1.
Einsetzen in (4) liefert folgende Zielfunktion
(1 + r)V0 = π(K0) − rK0 + π(K1) − rK1
,
1 + r

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die das Unternehmen durch Wahl von K1 maximiert. Aus der FOC
ergibt sich die gleiche Optimalitäts-Bedingung und damit die gleiche
Lösung wie bei Eigenkapital-Finanzierung:
π ′ (K1)−r
1+r
= 0
⇔ π ′ (K1) = r.
(d) Wirkung einer Unternehmensteuer τ auf den Periodengewinn Gt.
Die Besteuerung des buchhalterischen Gewinns schmälert den Betrag,
der einerseits für Dividendenzahlungen ausgezahlt oder andererseits für
neue Investitionen einbehalten werden kann:
(1 − τ)Gt = (1 − τ)(πt − rBt) = Dt + Et. (8)
(i) Investitions- und Finanzierungs-Entscheidung
Fremdkapital-Finanzierung: It = B N t , Et = V N
t = 0, B0 = K0.
Somit gilt gemäß (8) bei Fremdkapital-Finanzierung
Dt = (1 − τ)(πt − rBt).
Mit Bt+1 = Bt + B N t folgt analog zu Aufgabenteil (c)
D0 = (1 − τ)(π(K0) − rK0),
D1 = (1 − τ)(π(K1) − rK1).
Einsetzen in (4) liefert folgende Zielfunktion
(1 + r)V0 = (1 − τ)(π(K0) − rK0) + (1 − τ) π(K1) − rK1
,
1 + r
die das Unternehmen durch Wahl von K1 maximiert. Aus der
FOC ergibt sich die gleiche Optimalitäts-Bedingung und damit
die gleiche Lösung wie in Aufgabenteil (c) ohne Gewinnsteuer:
(1 − τ) π′ (K1)−r
1+r = 0
⇔ π ′ (K1) = r.
Bei Fremdkapital-Finanzierung verzerrt eine Gewinnsteuer also
die Investitionsentscheidung nicht. Die ökonomische Intuition für
dieses Neutralitäts-Ergebnis liegt darin, dass die Gewinnsteuer Erträge
einerseits und (Fremdkapital-)Kosten andererseits symmetrisch
behandelt (vgl. mittlerer Teil von Gleichung (8)): Während

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die Steuer die Erträge schmälert, sind die (Fremdkapital-)Kosten
im gleichen Maße von der Steuer abzugsfähig.
Eigenkapital-Finanzierung: Bt = BN t = 0.
Selbstfinanzierung: It = Et, V N
t = 0.
Somit gilt gemäß (8) bei Selbstfinanzierung
Dt = (1 − τ)Gt − Et = (1 − τ)πt − It.
Analog zu Aufgabenteil (c) erhält man
D0 = (1 − τ)π(K0) − (K1 − K0),
D1 = (1 − τ)π(K1) + K1.
Einsetzen in (4) liefert folgende Zielfunktion
(1 + r)V0 = (1 − τ)π(K0) − (K1 − K0) + (1 − τ)π(K1) + K1
,
1 + r
die das Unternehmen durch Wahl von K1 maximiert. Aus der FOC
ergibt sich
−1 + (1−τ)π′ (K1)+1
1+r = 0
⇔ (1 − τ)π ′ (K1) = r (9)
α ⇔
2
K 1−α =
1
r
1 − τ
2 (1 − τ)α
⇔ K1 =
r
1
1−α
2 α
<
r
1
1−α
.(10)
Anteilsfinanzierung: gleiches Ergebnis wie bei Selbstfinanzierung
(Hausaufgabe!)
Bei Eigenkapital-Finanzierung verzerrt eine Gewinnsteuer also die
Investitionsentscheidung nach unten. Die ökonomische Intuition
für sinkende Investitionen liegt darin, dass die Gewinnsteuer die
Erträge einerseits und die Opportunitätskosten des Eigenkapitals
andererseits nicht symmetrisch behandelt: Während die Steuer die
Erträge schmälert, sind die Opportunitätskosten des Eigenkapitals
nicht von der Steuer abzugsfähig.
(ii) Steuerinzidenz
Auswirkung auf den gleichgewichtigen Lohn in Periode 1: Ohne
Gewinnsteuer oder bei Fremdkapital-Finanzierung gilt gemäß
Gleichungen (1) und (7)
w 0 α
2 1−α α
1 = (1 − α) .
r

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Fazit:
Mit Gewinnsteuer und bei Eigenkapital-Finanzierung gilt gemäß
Gleichungen (1) und (10)
w τ 2 (1 − τ)α
1 = (1 − α)
r
α
1−α
< w 0 1.
Bei Eigenkapital-Finanzierung senkt die Gewinnsteuer also den
gleichgewichtigen Lohn in Periode 1.
• Eine Steuer auf Unternehmensgewinne verletzt die Finanzierungs-
Neutralität: Sie bevorteilt Fremd- gegenüber Eigenkapital-Finanzierung.
Dadurch kann es zu einer Überschuldung des Unternehmenssektors
kommen.
• Sind Unternehmen auf Eigenkapital-Finanzierung angewiesen, so
senkt die Gewinnsteuer die Investitionen (und damit u.U. auch
das Wirtschaftswachstum).
• Die Gewinnsteuer wird teilweise vom Faktor Kapital auf den Faktor
Arbeit überwälzt.
(e) Wirkung persönlicher Einkommensteuern auf ausgezahlte Dividenden
mit dem Satz t D sowie auf Kapitalgewinne mit dem Satz t V .
(i) Bei der Besteuerung von Kapitalerträgen gilt in der Regel das so
genannte Realisationsprinzip: Die Steuer auf Kapitalgewinne wird
erst dann fällig, wenn diese Gewinne auch tatsächlich (z.B. durch
den Verkauf entsprechender Aktien) realisiert werden. Dadurch
erhalten die Anleger mit aufgelaufenen Gewinnen die Option, die
Steuerzahlungen aufzuschieben, und genießen so im Vergleich zu
Steuerschulden aus Dividendenzahlungen, die unverzüglich anfallen,
einen Zinsvorteil. Das ist der Grund dafür, weshalb man für
die effektiven Steuersätze zumeist t D > t V annimmt, auch wenn
Dividenden und Kapitalgewinne mit dem gleichen nominalen Einkommensteuersatz
besteuert werden.
Die persönlichen Einkommensteuern auf Dividenden und Beteiligungsgewinne
senken die Nettoerträge einer Anlage im Unternehmen;
die Bedingung für Arbitragefreiheit lautet nunmehr
(1 − t D )Dt + (1 − t V )(Vt+1 − Vt − V N
t ) = rVt. (11)

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Daraus ergibt sich analog zum Vorgehen in Aufgabenteil (b) die
Zielfunktion
1 + r
1 − tV
V0 =
1 − tD
1 − t V D0 − V N
0 +
1−tD 1−tV D1 − V N
1
1 + r
1−tV . (12)
(ii) Anteilsfinanzierung (alte Sicht): It = V N
t , Et = 0 = Bt = B N t .
Somit gilt gemäß (5) bei Anteilsfinanzierung Dt = πt und V N
0 =
I0 = K1 −K0 sowie V N
1 = I1 = −K1. Einsetzen in (12) liefert nun
die Zielfunktion
1 + r
1 − tV
V0 =
1 − tD
1 − tV π(K0)
1−t
−(K1 −K0)+
D
1−t V π(K1) + K1
1 + r
1−t V
die das Unternehmen durch Wahl von K1 maximiert. Aus der FOC
ergibt sich
⇔
−1 +
1−t D
1−tV π′ (K1)+1
1+ r
1−tV = 0
1−tD 1−tV π ′ (K1) = r
1 − tV ⇔ (1 − t D )π ′ (K1) = r. (13)
Somit ist bei Anteilsfinanzierung die Steuer auf Kapitalgewinne
neutral, während die Dividendensteuer (analog zu einer Gewinnsteuer
auf Unternehmensebene, vgl. Aufgabenteil (d)) zu einem
Investitionsrückgang führt.
(iii) Selbstfinanzierung (neue Sicht): It = Et, V N
t = 0 = Bt = B N t .
Somit gilt gemäß (5) bei Selbstfinanzierung Dt = πt − It und
I0 = K1 − K0 sowie I1 = −K1. Einsetzen in (12) liefert nun die
Zielfunktion
1 + r
1 − tV
V0 =
1 − tD
1 − tV [π(K0)
1−t
− (K1 − K0)]+
D
1−t V [π(K1) + K1]
1 + r
1−t V
die das Unternehmen durch Wahl von K1 maximiert. Aus der FOC
ergibt sich
− 1−tD
1−t V +
1−t D
1−t V [π′ (K1)+1]
1+ r
1−t V
= 0
⇔ π ′ (K1) + 1 = 1 + r
1 − t V
⇔ (1 − t V )π ′ (K1) = r. (14)
,
,

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Fazit:
Somit ist bei Selbstfinanzierung die Dividendensteuer neutral, während
die Steuer auf Kapitalgewinne (analog zu einer Gewinnsteuer
auf Unternehmensebene, vgl. Aufgabenteil (d)) zu einem Investitionsrückgang
führt.
• Auch die persönliche Einkommensteuer verzerrt u.U. die Investitions-
und Finanzierungs-Entscheidungen von Unternehmen.
• Unterscheiden sich die Steuersätze für verschiedene Einkommensarten,
so ist die Finanzierungs-Neutralität verletzt. Für t D > t V
ziehen die Unternehmen bei Eigenkapital-Finanzierung, soweit möglich,
die Selbst- der Anteilsfinanzierung vor.
• Da die Selbstfinanzierung durch die Gewinnhöhe beschränkt ist,
kann es dadurch zu einer Diskriminierung junger (gewinnschwacher)
gegenüber alter (gewinnstarker) Unternehmen kommen.