Beispiel einer 3. Schulaufgabe - FOS-Friedberg

1.0 Gegeben ist die reelle Funktion
3. Schulaufgabe aus der Mathematik
Arbeitszeit: 85 Minuten
f : x
Analysis
1
ln( x)
mit D IR
x
2 max .
1.1 Geben Sie den größtmöglichen Definitionsbereich Dmax IR an.
Untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte f(x) bei Annäherung an die Grenzen
von D max . Verwenden Sie dabei eine Darstellung, aus der Ihre einzelnen Überlegungen
genau hervorgehen und verwenden Sie – falls möglich – dabei die Regeln von L`Hospital.
( 4 BE )
1.2 Bestimmen Sie die Nullstelle der Funktion f. ( 2 BE )
1.3 Bestimmen Sie die maximalen Monotonieintervalle von f und daraus die Art und die Koordinaten
des relativen Extrempunktes von f. ( 6 BE )
1
2ln(
x)
( Teilergebnis: f
( x)
)
x
3
1.4 Berechnen Sie die Koordinaten des Wendepunktes des Graphen von f. ( 4 BE )
1.5 Zeichnen Sie unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse den Graph von f für
1
x 3 in ein kartesisches Koordinatensystem.
e
Maßstab auf beiden Achsen: 1 LE = 2 cm ( 4 BE )
1.6 Zeigen Sie, dass die Funktion
F : x
2 ln( x)
eine Stammfunktion von f ist.
x
( 2 BE )
1.7 Berechnen Sie den Inhalt der sich ins Unendliche erstreckenden Fläche, die vom Graph
von f und der x-Achse im ersten Quadranten begrenzt wird. ( 5 BE )
Fortsetzung auf der Rückseite !

Lineare Algebra und analytische Geometrie
1.0 Gegeben sind die Ebenen E : x2
x3
1
0 und F : x1
x2
x3
1
0 .
1.1 Bestimmen Sie eine Gleichung der Schnittgeraden der Ebenen E und F und beschreiben
Sie die besondere Lage dieser Schnittgeraden im Koordinatensystem. ( 3 BE )
1.2 Bestimmen Sie den Wert des Koeffizienten a so, dass die Ebene G : x1
a x3
3 keinen
gemeinsamen Punkt mit den Ebenen E und F hat. ( 3 BE )
2.0 Die Abteilungen U, V und W eines Unternehmens sind nach dem Leontief-Modell miteinan-
der verflochten. In einem Produktionszeitraum wurden folgende Mengeneinheiten (ME)
hergestellt und geliefert:
Abteilung U V W Markt
U 4 10 10 16
V 12 20 5 63
W 16 10 15 9
2.1 Bestimmen Sie den Produktionsvektor und die Inputmatrix A.
[ Teilergebnis: die erste Zeile von A lautet: ( 0,1 0,1 0,2 ) ] ( 3 BE )
2.2 Künftig sollen bei gleichbleibender Inputmatrix von U acht ME und von V und W je zwanzig
ME an den Markt geliefert werden.
Berechnen Sie die künftigen Produktionsmengen von U, V und W. ( 6 BE )
2.3 Durch Verlagerung und Verbesserung kann die Produktion so umgestellt werden, dass U
und V nichts mehr von W brauchen und die Abteilung W stillgelegt wird. U und V produzieren
insgesamt genauso viel wie in der Tabelle unter 2.0, die Zahlenwerte der Inputmatrix
für die Verflechtung von U und V untereinander bleiben auch erhalten.
Berechnen Sie die sich daraus ergebende Abgabe an den Markt für diese beiden Sektoren.
( 3 BE )
_________
45 BE