7. Radizieren

Mathematik PM Radizieren
7 Radizieren
7.1 Einführung
Unter der n–ten Wurzel aus a versteht man eine Zahl b, die mit n potenziert a ergibt.
n
n
a b b a a: Radikant (a 0), n: Wurzelexponent
Mehrdeutigkeit von Wurzeln
Ist a b
2 , so ist auch a b
2 . Es gibt also zwei Zahlen, die ins Quadrat erhoben, b ergeben. Man merke
sich aber, bei der Quadratwurzel aus einer positiven Zahl ist das Ergebnis als positive Zahl definiert.
9 3
Sollen die positive und die negative Lösung gelten, so muss dies folgendermassen dargestellt werden:
a 9 3
2
2 9
3 9
2
2 25
5 25
3 2
9 3
3 9 3 3
2
Das Ergebnis der Quadratwurzel
ist als positive Zahl definiert!
Radizieren mit dem Taschenrechner
Beispiele
5
3
1
n m
a a
m
n
Wurzelziehen und Quadrieren heben sich auf.
Die Umkehrung gilt jedoch nicht immer!
Beweis:
Annahme :
quadrieren :
radizieren:
Somit:
x a
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x
2
x
x
5 0,
2
3
3
80 80 80 2,
40
182 182 5,
67
1
3
3 3
24 24 2,
88
2
2 1,
26
1
1
1
2
a
a
1
2
2
a a
a
1
2
2
2
a

Mathematik PM Radizieren
7.2 Addition und Subtraktion von Wurzeln
Bei der Addition und der Subtraktion von Wurzeln ist zu berücksichtigen, dass nur Wurzeln mit gleichen Exponenten
und Radikanten zu einem Glied zusammengefasst werden können.
3 3 3 3
5 a 3 b 7 a 12 a
7.3 Multiplikation und Division von Wurzeln
1
1
1
3
3
b
n n
n n
n
3 3
3
1. a b a b ab n ab z.B. 27 8 27 8 27 8
27
8 6
2.
n
a a
n 0
n
b
b
2
16 16
b z.B. 2 2
2
4 4
7.4 Potenzen einer Wurzel und Radizieren von Potenzen
x
1
x
1
x
n
n
x n x n
3. n
4 4
2 4 2 4 2
a a a a a
z.B. 16
16 16 4 16 16 16 4
4.
Achtung
m n
1
m
1 1
1
1 1
1
m
3
n n
mn mn
a a a
3 2
2 2
3 2 3 2
a a
z.B. 64 64 64
64 64 2
Im Gegensatz zu a b a b ist a b a b !!!
Zahlenbeispiel:
36
64
36
64
36
36
100 10
64 6 8 14
Somit: 36 64 36 64
64 6 8 48
Merke: Wurzeln aus Summen ziehen nur die ..........!!!
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2
1
1
3
2
1
3
1
3
1
1
3
2
1

Mathematik PM Radizieren
Beispiele:
1.
2.
2 2 1
3 2
3 32 3 3
x x x x x
3 9 9 3
3 3 3
3
3
3
2 2 23 2 3
x x x x x x x x
1
5
5
3. 28 28 1,
9473
2,
5
3 2,
5 3
4. 5,
2 5,
2 3,
9507
5.
6.
3
3
2 3 a 3 5
a 3 a 5
2 6
6
2
a a a
4 4 2
7. 25 5 5 5 5
8.
3
2
4
1 1 1 1 5
3 2 3 2 3 2 6 6 5
a a a a a a a
3 2 3
9. x x x x x x
10.
2
3
1
3
1
2
3
3
1 1 1
3
3 2 2 23 6 6
2 2 2 2 2
4 4 2
11. 36 6 6 6 6
2
4
2
4
4 4 2
12. 16 4 4 4 4 4 2
13.
1
2
2
4
2 2
Binom: a b ab ab 1
2
B
12 27
2 2
76,5 67,5
12 27
76,5 67,5 76,5 67,5
12
144
12
a
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1
3
27
9
1
3 1 1
12 4 2

Mathematik PM Radizieren
7.5 Übungen
3m 2m
1. a b
3 a b
2.
3.
4.
5.
6.
5 2 5
9
a
x
4
a
2
a b
b
4 4 4
4 3 6
2
x
a
6 x y
x y
z
3 2
x
5
3 2 2
x x
7. 3 2
3 6
x x
8.
4 n
x
nx
3
9
Mit Taschenrechner:
9.
10.
11.
12.
5 500
2,
5
5 7
2
3 3
2
3, 256789 2,
56783219
1
2
2a
b
a
b
4 4
2 4
z
4
3
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Mathematik PM Radizieren
13. Berechnen und vereinfachen Sie so weit als möglich:
E
4 u
12
3
s
5
1
3
1
s
u
5
6
s
1
2 3
u
2
14. Vereinfachen Sie den Ausdruck E und bestimmen Sie nachher seinen Wert für a und b 31,
5 :
7
a b b a
E
a b
15. Berechnen und vereinfachen Sie so weit als möglich:
E
12 5
v
v
3
4
t
t
1
3
5
6
t
1
3 2
v
16. Vereinfachen Sie den folgenden Ausdruck so weit als möglich:
3 4 3
5
5a a a a 2
a a a 4 a
17. Vereinfachen Sie den folgenden Ausdruck so weit als möglich:
2
2
4 2 2 4 2
a 1
a 1
2 2
a a a
18. Vereinfachen Sie den folgenden Ausdruck so weit als möglich:
2
1
2
2
1 a
A
1
1
a
a 2
1
a
3
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Mathematik PM Radizieren
7.6 Übungen Potenzieren und Radizieren
1. 7 3
3 ax
4 6
2. a a
3. 3
2 3 2
2a b 3ab
4. 2 2
5.
6.
7.
100
310
3
3 4
27
x x
a
3
10
8. 3
2
3 6
x x
9.
10.
49
98
2
4 3 n x
nx
2
2
4
11. a
14
49 2
2 2
2 3
12. n
x
3
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