Filterung von Bildern (2D-Filter)

Bildverarbeitung und Biometrik   

Prof. Dr.-Ing. Thomas Zielke " 

Filterung von Bildern 

(2D-Filter) 

Bildverarbeitung und Biometrik 

SS13 5.1

Optische Filter  

(Quelle: Produktinformation Rodenstock-Filter)" 

Beispiel Skylightfilter 

Weil das Himmelslicht im Schatten einen zu 

hohen Anteil an kurzen und einen zu 

geringen Anteil an langen Wellenlängen hat, 

ist für farbneutrale Farbdias ein Filter nötig, 

dessen Lichtdurchlässigkeit wie im 

Diagramm unten zu kurzen Wellenlängen 

hin kontinuierlich abnimmt. Der Blaustich 

verschwindet, die Fotos werden so 

farbneutral wie bei Digitalkameras mit 

automatischem Weißabgleich. 


SS13 5.2

Filterung eines Bildes  

Implementierungsalternativen (lineare Filter)" 

Bei der Filterung eines Bildes werden die Bildpunkte (Pixel) 

in Abhängigkeit von ihrer Nachbarschaft manipuliert. 

Ortsraum 

• Direkte Manipulation der Pixelwerte im Bildbereich 

Frequenzraum 

• Bildtransformation (z.B. Diskrete Fourier Transformation / DFT) 

• Manipulation der Transformierten 

• Rücktransformation in den Bildbereich 

Eine Filteroperation ist im Frequenzraum bedeutend weniger rechenaufwendig als im 

Ortsraum. Jedoch ist bei Filteroperationen, die nur eine kleine Bildnachbarschaft 

einbeziehen, der fixe Aufwand für die Bildtransformationen i.d.R. größer als der 

Aufwand für die Berechnung der Filterung selbst. 


SS13 5.3

Erzeugung einer Frequenzraumdarstellung (1)  

Diskrete 2D Fourier-Transformation" 

Die zweidimensionale diskrete Fourier-Transformation 

eines (Grauwert-)Bildes G(r,c) ist definiert als: 

F(u, v) = 1 

r und c sind die 

Indizes der 

Bildzeilen bzw. 

Bildspalten. 

N 

N !1 N!1 

# # 

r=0 c= 0 

G(r, c) e 

u und v sind 

Ortsfrequenzen 

entlang der 

Bildspalten bzw. 

Bildzeilen. 

!i 2" (ur+ v c ) 

N 

e 

ist die Basis des 

natürlichen 

Logarithmus 

(ca. 2,71828) und 

i = !1 ist die 

imaginäre 

Koordinate für eine 

komplexe Zahl. 


SS13 5.4


Diskrete 2D Fourier-Transformation" 

F(u, v) = 1 

N 

N !1 

# 

r=0 

N!1 

# 

c= 0 

(ur+ v c ) 

!i 2" 

N 

G(r, c) e 

Die Fourier-Transformation ist invertierbar (umkehrbar). 

Das Originalbild kann durch Rücktransformation in den 

Ortsraum wieder hergestellt werden. 

Die komplexe Fourier-Transformierte F(u,v) 

kann auch als Summe des Realteils R(u,v) und 

des Imaginärteils I(u,v) ausgedrückt werden: 

F(u, v) = R(u, v) + i I(u, v) 


SS13 5.5

Allgemeine Form einer komplexen Zahl: 

1. Komponentendarstellung 

(Realteil und Imaginärteil) 

2. Darstellung durch Betrag und Winkel 

in der komplexen Ebene 

Betrag: 

Exkurs: Komplexe Zahlen" 

Euler-Identität: 

Phase: 


SS13 5.6


Fourierspektrum (Spektrum der Ortsfrequenzen)" 

Den Betrag der komplexen Fourier-Transformierten bezeichnet man 

als Fourierspektrum (auch "Amplitudenspektrum" oder "Spektrum"): 

P(u, v) = [R(u, v)] 2 +[I(u, v)] 2 

Leistungsspektrum (power spectrum): 

512 × 512 

| F(u, v) | = [R(u, v)] 2 +[I(u, v)] 2 

u 


SS13 5.7 

v

Verschiedene Sinusgitter  

und ihre Frequenzbilddarstellung" 

Der Betrag der Fourier-Transformierten 

kann als ein "Frequenz-Bild" dargestellt 

werden. 

Das Frequenzbild ist radialsymmetrisch 

bzgl. seines Ursprungs, des Null- 

Frequenz-Punkts ("DC"-Komponente). 

Horizontale (vertikale) Frequenzen im 

Ortsraum werden im Frequenzbild 

entlang der horizontalen (vertikalen) 

Achse aufgetragen. 


SS13 5.8

Originalbild 

Frequenzbilddarstellung eines Bildes aus  

unterschiedlichen lokalen Sinusmustern " 

Fourier- 

Transformation 

und 

anschließende 

Betragsbildung 

Betrag der 

Fourier-Transformierten 


SS13 5.9

Filterung mit Hilfe der Fourier-Transformation (1)  

(Quelle: The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing)" 


SS13 5.10

Filterung mit Hilfe der Fourier-Transformation (2)  

(Quelle: The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing)" 


SS13 5.11

Prinzip der diskreten zweidimensionalen Faltung   

(Örtliche Faltung / Spatial Convolution)" 

Filtermaske 

(3 × 3) 

w -1,-1 w -1,0 w -1,1 

w 0,-1 w 0,0 w 0,1 

Eingangsbild 

Bei der Faltung berechnet sich jeder Pixel 

des Ausgangsbildes als gewichtete 

Summe der Pixel einer Bildnachbarschaft. 

Die Gewichte sind die Koeffizienten der 

Filtermaske (des Filterkerns). 

w 1,-1 w 1,0 w 1,1 Filterkoeffizienten (Gewichte) 

× 

Ausgangsbild 


SS13 5.12

Eingangsbild Ii,j 

I 0,0 I 0,1 I 0,2 … I 0,M 

I 1,0 I 1,1 … 

I 2,0 

: 

… 

I N,0 … I N,M 

Berechnung der diskreten Faltung " 

W / 2 

" 

p= !W / 2 

Filtermaske Mp,q 

M -1,-1 M -1,0 M -1,1 

M 0,-1 M 0,0 M 0,1 

M 1,-1 M 1,0 M 1,1 

Maskengröße W = 3 

W / 2 

" 

q= !W / 2 

Ausgangsbild Oi,j 

O 0,0 O 0,1 O 0,2 … O 0,M 

O 1,0 O 1,1 … 

O 2,0 

: 

… 

O N,0 … O N,M 

O[i, j] = I[i 

+ p, j + q]# M[p, q] 


SS13 5.13

Prinzip des Faltungsprozesses " 

Masken- 

zentrum 

× 

× 

Die Faltung des Bildes mit dem 

Filterkern an einer Bildposition 

liefert den Bildwert an der jeweils 

gleichen Position im Ergebnisbild. 

Für die Filterung des kompletten 

Bildes wird die Maske sukzessiv 

über alle Bildpositionen platziert. 

× 


SS13 5.14

Konvolution mit Filtermasken  

Randbetrachtungen " 

Je nach Größe der Filtermaske 

existiert ein Bildrand (min. 1 Pixel 

breit), dessen Pixel nicht normal 

berechnet werden können, weil 

ein Teil der Maske außerhalb des 

Eingangsbildes liegt. 

Gängige Methoden der 

Randbehandlung: 

keine Randbetrachtung 

Zero-Padding 

Last-Value 

Periodische Fortsetzung 

Symmetrische Fortsetzung 

Interpolative Fortsetzung 

Konstruktion spezieller Filtermasken 

? 

? 


SS13 5.15

Tiefpass 

• Unterdrückung von 

hohen Frequenzen 

(feinen Details) 

Ideale und nichtideale 

1D- 

Filterfunktion im 

Frequenzbereich 

Hochpass 

• Unterdrückung 

von niedrigen 

Frequenzen 

(von groben 

Strukturen und 

dem Gleichanteil) 

Lineare Filter (1)" 


SS13 5.16

Bandpass 


von hohen und 

niedrigen 

Frequenzen 

Bandstop 


von 

Mittenfrequenzen 

Lineare Filter (2)" 

Ideales eindimensionales 

Bandpass-Filter im Frequenzbereich 

Ideales 1D- 

Bandstop-Filter im 

Frequenzbereich 


SS13 5.17

Anwendung eines Bandstop-Filters  

Beispiel: Bildrestauration" 

Unterdrückung 

der 

Störfrequenz 

Verarbeitungsschritte mit ImageJ: 

• Bild um 34º im Uhrzeigersinn rotieren, damit die Streifen horizontal ausgerichtet 

werden. 

• Plugin "FFT-Filter" aufrufen. 

• "Suppress stripes in one direction" auf "horizontal" einstellen (die Streifenfrequenz 

wird vom Programm automatisch bestimmt). 

• Filter für kleine Strukturen auf Minimal stellen, Filter für große Strukturen auf 

halbe Bildbreite ("FFT-Filter" ist eigentlich ein Bandpassfilter, das hier nicht 

benutzt werden soll). 


SS13 5.18

Diskrete Tiefpass-Filter  

(Filtermasken)" 

Glättungseffekt (Smoothing, Blur) 

Koeffizienten sind ausnahmslos positiv 

Koeffizienten sind normalisiert 

(Summe aller Koeffizienten ergibt 1) 

Beispiel: Mittelwertfilter 

3 × 3 

5 × 5 


SS13 5.19

Mittelwertfilter  

(Beispiel)" 

Original Filterungsergebnis 

mit 3×3 Maske 

Filterungsergebnis 

mit 5×5 Maske 


SS13 5.20

Gaußsches Glättungsfilter  

(Gaussian smoothing filter)" 

Zweidimensionale diskrete Gaußfunktion mit Mittelwert 0: 

g[l, k] = !( l 2 + k 2 )/ (2" 2 e 

) 

Filtermaske: 

M[p, q] = 

! ! 

p q 

g[p, q] 

g[ p, q] 

σ (sigma) = 

"Filterbreite" 


SS13 5.21

Gaußsches Glättungsfilter  

Beispiel" 

Original 5 × 5 , σ = 1 9 × 9 , σ = 2 


SS13 5.22

α 

Verstärkungsfaktor 

Anwendung des Tiefpassfilters  

für das Schärfen (sharpening) eines Bildes" 

"Unsharp Masking" - Verfahren 

Eingangsbild 

Tiefpass 

(lowpass) 

Filterung 

× – 

σ 

Sigma des 

Tiefpassfilters 

Ergebnisbild 


SS13 5.23

Unscharfe Maske (Unsharp Masking)  

Bildbeispiele" 


SS13 5.24

Diskrete Hochpass-Filter" 

Betonung von Kanten (Grauwertänderungen) 

Unterdrückung von homogenen Flächen 

Die Filtermaske hat positive und negative 

Koeffizienten 

Die Filterkoeffizienten sind normalisiert 

Summe der Koeffizienten ergibt 0 

Beispiel: Differenzfilter 

-1 -1 -1 

-1 8 -1 

-1 -1 -1 


SS13 5.25

-1 -1 -1 

-1 8 -1 

-1 -1 -1 

Differenzfilter   

Beispiel" 

Filterergebnis 

vorzeichenbehaftet 

(Nullwert des gefilterten 

Bildes in dieser Darstellung bei 

Grauwert 100) 

Filterergebnis 

Absolutwert 


SS13 5.26

Differenzierung eines kontinuierlichen 1D-Signals" 

S(x) 

S'(x) = 

! S 

! x 

S''(x) = ! 2 S 

! x 2 

Zeitlicher oder örtlicher 

Signalverlauf 

x 

1. Ableitung nach x 

x 

2. Ableitung nach x 

x 


SS13 5.27

Ableitungsfilter (1)" 

Gradient 

in einem Punkt (x,y) einer 

zweidimensionalen kontinuierlichen 

Funktion (Ableitungsvektor) 

! f (x, y)= G[ f (x, y)] = 

" 

$ 

$ 

# $ 

G x 

G y 

" ( f 

% $ 

( x 

' $ 

' = 

$ 

& ' ( f 

$ 

# $ ( y 

% 

' 

' 

' 

' 

& ' 

Richtungsableitungen 


SS13 5.28

Ableitungsfilter (2)" 

Betrag des Gradienten an einem Punkt (x,y) einer 

zweidimensionalen kontinuierlichen Funktion: 

!f (x,y) = G[f (x,y)] = G 

2 

+ 

2 

x 

Gy 

Richtung des Gradienten an einem Punkt (x,y) 

einer zweidimensionalen kontinuierlichen Funktion: 

!(x, y) =tan "1 G # & y 

% ( 

$ ' 

G x 


SS13 5.29

Ergebnis mit 

einfachem 

Ableitungsfilter 

Ergebnis mit "second 

derivative operator" 

z.B. "Laplace Filter" 

Helligkeitskeitssteigung 

(brightness slope)" 

Helligkeitssteigung an 

zwei benachbarten Pixeln 


SS13 5.30

Maske für horizontale 

2. Ableitung 

Diskrete Ableitung in 2D  

(Numerische Approximation)" 

Horizontale Maske 

Vertikale 

Maske 


SS13 5.31

Kombination einer 

horizontalen und einer 

vertikalen Faltung durch 

Addition der Filtermasken: 

( 1 !2 1) 

+ 

Herleitung von Filtermasken  

Beispiel: 3×3 Laplace - Operator" 

Allgemeiner 

Laplace-Operator: 

" 1 % 

$ ' 

$ 

!2 

$ ' 

# 1 & 

= 

" 0 0 0% 

$ 

$ 

1 

$ 

# 0 

!2 

0 

' 

1 

' 

0& 

+ 

" 0 1 0% 

$ 

$ 

0 

$ 

# 0 

!2 

1 

' 

0 

' 

0& 

= 

" 0 1 0% 

$ 

$ 

1 

$ 

# 0 

!4 

1 

' 

1 

' 

0& 

Subtraktion des Laplacegefilterten 

Bildes vom Original: 

! 0 0 0$ 

# 

# 

0 

# 

" 0 

1 

0 

0 

& 

& 

0% 

' 

! 0 1 0$ 

# 

# 

1 

# 

" 0 

'4 

1 

1 

& 

& 

0% 

= 

! 0 '1 0 $ 

# 

# 

'1 

# 

" 0 

5 

'1 

'1 

& 

& 

0 % 


SS13 5.32

0 0 -1 0 0 

0 -1 -2 -1 

-1 -2 16 -2 

0 -1 -2 -1 

0 0 -1 0 

0 

-1 

0 

0 

Laplace - Filter  

(Mexican Hat)" 

Das Laplace-Filter ist ein isotropes 

2-fach differenzierendes Filter! 

-1 -1 -1 

-1 8 -1 

-1 -1 -1 

0 -1 0 

-1 4 -1 

0 -1 0 


SS13 5.33

Einfache Ableitungsfilter  

Roberts Operatoren" 


SS13 5.34

Anwendung des Roberts Operators  

auf Binärbilder" 

G[ B[i, j] ]= (B[i, j]! B[i +1, j +1]) 2 + (B[i +1, j] ! B[i, j +1]) 2 

G[ B[i, j] ]= B[i, j] ! B[i +1, j +1] + B[i +1, j]! B[i, j +1] 


SS13 5.35

Sobel - Operator" 

-1 -2 -1 

0 0 0 

1 2 1 

Zeilenmaske 

-1 0 1 

-2 0 2 

-1 0 1 

Spaltenmaske 


SS13 5.36

Kantenextraktion  

Binarisierung des Ableitungsbildes" 

Ergebnis der Sobel-Filterung Schwellwert τ = 40 


SS13 5.37

Binarisierung des Ableitungsbildes  

zur Kantenextraktion  

Wahl des Schwellwertes ist entscheidend!" 


SS13 5.38

Multiskalen-Bildanalyse / Auflösungspyramide  

(multiscale image analysis / resolution pyramid)" 

Bedeutsame 

Bildinformation existiert 

auf mehreren 

Auflösungsebenen 

(Skalen). 

In einem Porträtbild 

z.B. sind bei hoher 

Auflösung die Augen 

zu erkennen, bei sehr 

niedriger Auflösung nur 

die Form des Kopfes 

und des Oberkörpers. 


SS13 5.39

Multiskalen-Kantenfilterung  

ImageJ "Find Edges": Berechnung des Gradientenbetrags mit Hilfe von 3x3 Sobel-Masken" 

Viele Kanten (= starke Gradienten) 

existieren auf mehreren Skalen 

(Auflösungsebenen). 

Andere Kanten existieren nur auf 

bestimmten bzw. wenigen Skalen. 

2736 x 1824 Pixel 684 x 456 Pixel 171 x 114 Pixel 


SS13 5.40

Difference of two successive 

images in the Gaussian 

pyramid 

The Laplacian Pyramid as a Compact Image Code  

PETER J. BURT, EDWARD H. ADELSON,   

IEEE TRANSACTIONS ON COMMUNICATIONS, VOL. COM-3l, NO. 4, APRIL 1983  

" 

Gaussian Pyramid Laplacian Pyramid 

Gaussian Pyramid 

Laplacian Pyramid 


SS13 5.41

Multiskalen-Bildrepräsentationen" 

Die Fourier-Transformation zerlegt ein Signal in seine 

Frequenzkomponenten. Damit werden die Energieanteile des 

Signals auf beliebigen "Skalen" explizit dargestellt. 

Ein großer Nachteil dieser Repräsentation ist der völlige Verlust des 

Zugangs zur Ortsinformation. Die Frequenzkomponenten sind im 

Bild nicht lokalisiert. 

Die Laplace-Pyramide ist eine Multiskalen-Repräsentation, deren 

Komponenten sowohl bezüglich des Orts als auch der Ortsfrequenz 

lokalisiert sind. 

Aus der Laplace-Pyramide kann, wie aus der Fourier- 

Transformierten, das Originalbild rekonstruiert werden. Diese 

Eigenschaft garantiert die Vollständigkeit einer Repräsentation. 

Die Vorteile der Fourier-Transformation und der Laplace-Pyramide 

werden von der "Wavelet-Transformation" vereint. Die Wavelet- 

Theorie begründet weitere Vorteile dieser Repräsentation. 


SS13 5.42

Wavelet- und Fourier-Transformation im Vergleich  

(Andreas Niemöller, Die Wavelet-Analyse als chemometrisches Werkzeug: 

Analytische Anwendungen in der NIR-Spektrometrie, 

http://duepublico.uni-duisburg-essen.de/servlets/DerivateServlet/Derivate-5254/inhalt.htm)  

Schematische Darstellung der 

Ausdehnung von Zeit-Frequenz- 

Fenstern (1D/Zeitsignal): 

a) im Zeitbereich, 

b) nach Fourier-Transformation, 

c) nach gefensterter Fourier- 

Transformation und 

d) nach Wavelet-Transformation. 


SS13 5.43

Was sind Wavelets ("kleine Wellen") ?" 

Wavelets werden zur Repräsentation von Funktionen benutzt # 

Zerlegung der Funktionen in bestimmte Funktionsanteile ähnlich wie bei der 

Fourieranalyse. 

Die Funktionsanteile sind bei der Fourieranalyse die Sinus- und 

Kosinusfunktionen, bei der Wavelet-Transformation sind es 

Funktionsanteile, die sowohl im Ortsbereich, als auch im 

Frequenzbereich räumlich begrenzte Intervalle der Funktionen 

darstellen. 

Wavelets werden in Familien eingeteilt, die jeweils auf einem Mutter- 

Wavelet aufbauen. Aus diesem Mutter-Wavelet entsteht die Familie, 

indem Ausdehnung, Verschiebung und Orientierung (2D) des Mutter- 

Wavelets variiert werden. 


SS13 5.44

Was sind Wavelets ("kleine Wellen") ?" 

Ein eindimensionales Mutter-Wavelet ψ : 

Eine Wavelet-Familie wird durch das 

Mutter-Wavelet und eine Menge von 

gestauchten und verschobenen 

Kopien des Mutter-Wavelets gebildet: 


SS13 5.45

Filterung von Bildern (2D-Filter)

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