9 Qualitätsmanagement: Anwendung von ... - FB 4 Allgemein

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Falls die Ausfallrate konstant ist λ ( t ) = α so erhält man aus den beiden obigen Gleichungen
die Exponential-Verteilung:
f
− αααα ⋅ t
( t ) = ⋅
αααα e für t > 0 mit α > 0
Hat ein Bauteil einmal das Alter t erreicht, so wird es künftig auch die gleiche Zuverlässigkeit
besitzen, wie zum Zeitpunkt t = 0. Die Wahrscheinlichkeit für einen Ausfall hängt nicht von t
(also von der bisher verflossenen Zeit) ab. Diese Eigenschaft wird auch Gedächtnislosigkeit
genannt.
Die Exponentialverteilung ist ein Modell für die Wirkung von Zufallsausfällen und für Systeme in
denen Verschleißprozesse keine Rolle spielen.
Man kann die Ausfallzeit als eine Wartezeit interpretieren, so dass der Ausfall als ein Ereignis in
einem Poisson-Prozess betrachtet werden kann. Die mittlere Zeit zwischen
aufeinanderfolgenden Ereignissen in den Stufen eines Poisson-Prozesses ist α (s. Kapitel 8)
Die Konstante 1 / α wird als die mittlere Zeit zwischen Ausfällen (Mean Time Between Failures)
MTBF bezeichnet.
Die Überlebenswahrscheinlichkeit oder Zuverlässigkeit der Exponential-Verteilung ist:
R
− αααα ⋅ t
( t ) = e
Aufgabe 1a
Zeigen Sie anhand der beiden Gleichungen, dass man bei einer konstanten Ausfallrate
λ ( t ) = α mit α > 0 die Exponential-Verteilung erhält.
Aufgabe 1b
Leiten Sie Funktionsgleichung für die Überlebenswahrscheinlichkeit der Exponential-Verteilung
her.
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