9 Qualitätsmanagement: Anwendung von ... - FB 4 Allgemein

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Komponente in einem kleinen Zeitintervall von t bis t + t
ausfällt ist:
P(F 1 )
P(R 1 )
t + ∆t
F ( t + t ) – F ( t ) = f ( u ) ⋅ du
0 t t + t
R 1
F 1
t
P( R 2 | R 1 ) R 2
P( F 2 | R 1 )
F 2
P( R 2 | F 1 ) = 0 R2
P( F 2 | F 1 ) = 1
F 2
t
Somit ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Komponente im Zeitintervall t bis t + t ausfällt unter
der Bedingung, dass sie noch bis zur Zeit t überlebt hat, gegeben durch die bedingte
Wahrscheinlichkeit:
( t + ∆t
)
R ( t )
F ( t )
F −
Dividieren wir diesen Ausdruck durch t , so erhält man die mittlere Rate dafür, dass im
Zeitintervall t bis t + t die Komponente ausfällt, unter der Bedingung, dass sie bis zur Zeit t
überlebt hat.
( t )
Bildet man t → 0 , so erhält man:
( t + ∆t
) − F ( t )
1 F
⋅
R ∆ t
λλλλ ( )
1 d F
t = ⋅
R dt
( t )
Somit erhalten wir die folgende Gleichung:
( t )
Allgemeine Gleichung für die Ausfall-Rate-Funktion (Hazard Function)
λλλλ ( t )
=
f
R
( t )
( t )
=
1
f
−
( )
( ) ⋅
t
F t
Sei P( R 1 ) die Wahrscheinlichkeit, dass
die Komponente noch bis Zeit zur t
überlebt hat und sei P( F 2 ∩ R 1 ) die
Wahrscheinlichkeit, dass sie bis zur Zeit t
überlebt hat UND ab dieser Zeit ausfällt,
so ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass
sie ausfällt unter der Bedingung, dass sie
bis zur Zeit t überlebt hat gegeben durch:
P
( F |
R )
2
1
=
P
( F2
∩ R1
)
P ( R )
1
3