9 Qualitätsmanagement: Anwendung von ... - FB 4 Allgemein
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Die Zuverlässigkeitstheorie beschäftigt sich mit der Messung, Vorhersage und Optimierung<br />
der Qualität <strong>von</strong> Systemen und Produktionsprozessen sowie mit der Zuverlässigkeit und<br />
Überprüfung der Lebensdauer und Ausfall <strong>von</strong> Produkten und Systemen.<br />
Die Fähigkeit eines Produktes, eine geforderte Funktion während einer (meist längeren)<br />
vorgegebenen Zeitdauer zu erfüllen wird Zuverlässigkeit (Reliability) genannt. Diese kann<br />
durch eine Wahrscheinlichkeitsverteilung bewertet werden. Die Lebensdauer eines Produkts ist<br />
die Zeit bis zum Ausfall (Failure).<br />
.<br />
Zuverlässigkeit und Ausfallrate (Failure Rate, Hazard Function)<br />
Die Zuverlässigkeit eines Bauteils, einer Komponente (Bauelement) oder ein System hängt <strong>von</strong><br />
der Betriebsdauer ab. Daher ist die Untersuchung der Ausfallwahrscheinlichkeit wichtig.<br />
Für die Zuverlässigkeits- bzw. Ausfall-Wahrscheinlichkeit eines Serien-System mit n<br />
unabhängigen Komponenten mit den jeweiligen Zuverlässigkeitswahrscheinlichkeiten:<br />
P( A 1 ) = p 1 ; P( A 2 ) = p 2 ; . . . ; P( A n ) = p n ,<br />
und den jeweiligen Ausfallwahrscheinlichkeiten<br />
q 1 = 1 – p 1 ; q 2 = 1 – p 2 ; . . . ; q n = 1 – p n<br />
erhält man folgende Formel.<br />
Zuverlässigkeit eines Serien-Systems<br />
Die Zuverlässigkeitswahrscheinlichkeit eines Serien-Systems aus n unabhängigen<br />
Komponenten ist:<br />
R<br />
s<br />
=<br />
n<br />
∏<br />
i = 1<br />
R<br />
i<br />
A 1 A 2 A n<br />
wobei R i = P( A i ) = p i die Zuverlässigkeitswahrscheinlichkeiten der einzelnen n<br />
Komponenten des Systems sind<br />
1
Für die Zuverlässigkeits- bzw. Ausfall-Wahrscheinlichkeit eines Parallel-System mit n<br />
unabhängigen Komponenten mit den jeweiligen Zuverlässigkeitswahrscheinlichkeiten:<br />
P( A 1 ) = p 1 ; P( A 2 ) = p 2 ; . . . ; P( A n ) = p n ,<br />
und den jeweiligen Ausfallwahrscheinlichkeiten<br />
q 1 = 1 – p 1 ; q 2 = 1 – p 2 ; . . . ; q n = 1 – p n )<br />
erhält man folgende Formel.<br />
Zuverlässigkeit eines Parallel-Systems<br />
Die Zuverlässigkeitswahrscheinlichkeit eines Parallel-Systems aus n unabhängigen<br />
Komponenten ist:<br />
R<br />
p<br />
=<br />
1<br />
−<br />
n<br />
∏<br />
i = 1<br />
A 1<br />
A 2<br />
A n<br />
( 1 − R )<br />
i<br />
wobei R i = P( A i ) = p i die Zuverlässigkeitswahrscheinlichkeiten der einzelnen n<br />
Komponenten des Systems sind.<br />
Die Ausfall-Wahrscheinlichkeitsverteilung (Failure Time Distrubution), die die Verteilung für<br />
die Zeit bis zum Ausfall einer Komponente angibt, wird durch die Dichtefunktion f ( t )<br />
beschrieben. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Komponente in der Zeit <strong>von</strong> 0 bis t ausfällt, ist<br />
gegeben durch die Verteilungsfunktion:<br />
F<br />
t<br />
( t ) = f ( u ) ⋅ du<br />
0<br />
Folglich ist Überlebenswahrscheinlichkeit oder Zuverlässigkeit (Reliability), d.h., dass die<br />
Komponente aber in der Zeit <strong>von</strong> 0 bis t überlebt, gegeben durch die Verteilungsfunktion:<br />
R ( t ) = 1 – F ( t )<br />
2
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Komponente in einem kleinen Zeitintervall <strong>von</strong> t bis t + t<br />
ausfällt ist:<br />
P(F 1 )<br />
P(R 1 )<br />
t + ∆t<br />
F ( t + t ) – F ( t ) = f ( u ) ⋅ du<br />
0 t t + t<br />
R 1<br />
F 1<br />
t<br />
P( R 2 | R 1 ) R 2<br />
P( F 2 | R 1 )<br />
F 2<br />
P( R 2 | F 1 ) = 0 R2<br />
P( F 2 | F 1 ) = 1<br />
F 2<br />
t<br />
Somit ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Komponente im Zeitintervall t bis t + t ausfällt unter<br />
der Bedingung, dass sie noch bis zur Zeit t überlebt hat, gegeben durch die bedingte<br />
Wahrscheinlichkeit:<br />
( t + ∆t<br />
)<br />
R ( t )<br />
F ( t )<br />
F −<br />
Dividieren wir diesen Ausdruck durch t , so erhält man die mittlere Rate dafür, dass im<br />
Zeitintervall t bis t + t die Komponente ausfällt, unter der Bedingung, dass sie bis zur Zeit t<br />
überlebt hat.<br />
( t )<br />
Bildet man t → 0 , so erhält man:<br />
( t + ∆t<br />
) − F ( t )<br />
1 F<br />
⋅<br />
R ∆ t<br />
λλλλ ( )<br />
1 d F<br />
t = ⋅<br />
R dt<br />
( t )<br />
Somit erhalten wir die folgende Gleichung:<br />
( t )<br />
<strong>Allgemein</strong>e Gleichung für die Ausfall-Rate-Funktion (Hazard Function)<br />
λλλλ ( t )<br />
=<br />
f<br />
R<br />
( t )<br />
( t )<br />
=<br />
1<br />
f<br />
−<br />
( )<br />
( ) ⋅<br />
t<br />
F t<br />
Sei P( R 1 ) die Wahrscheinlichkeit, dass<br />
die Komponente noch bis Zeit zur t<br />
überlebt hat und sei P( F 2 ∩ R 1 ) die<br />
Wahrscheinlichkeit, dass sie bis zur Zeit t<br />
überlebt hat UND ab dieser Zeit ausfällt,<br />
so ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass<br />
sie ausfällt unter der Bedingung, dass sie<br />
bis zur Zeit t überlebt hat gegeben durch:<br />
P<br />
( F |<br />
R )<br />
2<br />
1<br />
=<br />
P<br />
( F2<br />
∩ R1<br />
)<br />
P ( R )<br />
1<br />
3
λ ( t )<br />
Ausfall-Rate-Funktion<br />
Frühausfälle Zufallsausfälle Verschleißausfälle<br />
Frühausfälle<br />
Sie kommen durch Produktionsfehler zustande; die Ausfällrate fällt monoton mit der Zeit ab.<br />
Zufallsausfälle<br />
Es findet fast kein Verschleiß statt. Nachdem die Frühausfälle ausbleiben treten nur<br />
Zufallsausfälle in Erscheinung; die Ausfallrate ist konstant.<br />
Verschleißausfälle<br />
Es kommt zunehmender Alterungsverschleiß zustande; die Ausfallrate steigt monoton an<br />
! " # $<br />
Das Lösen der Differentialgleichung des vorigen Abschnitts<br />
λλλλ ( )<br />
( t )<br />
liefert die folgende Gleichung<br />
( t )<br />
( t )<br />
t<br />
[ 1 − R ( t ) ]<br />
1 d F 1 d<br />
1 d R<br />
t = ⋅ = ⋅<br />
= ⋅<br />
R dt R dt R dt<br />
<strong>Allgemein</strong>e Gleichung für die Ausfall-Zeit-Verteilung (Failure-Time Distubution)<br />
f<br />
( t ) = λλλλ<br />
( t )<br />
t<br />
− λλλλ ( u )<br />
⋅ e 0<br />
( t )<br />
( t )<br />
4
! $<br />
Falls die Ausfallrate konstant ist λ ( t ) = α so erhält man aus den beiden obigen Gleichungen<br />
die Exponential-Verteilung:<br />
f<br />
− αααα ⋅ t<br />
( t ) = ⋅<br />
αααα e für t > 0 mit α > 0<br />
Hat ein Bauteil einmal das Alter t erreicht, so wird es künftig auch die gleiche Zuverlässigkeit<br />
besitzen, wie zum Zeitpunkt t = 0. Die Wahrscheinlichkeit für einen Ausfall hängt nicht <strong>von</strong> t<br />
(also <strong>von</strong> der bisher verflossenen Zeit) ab. Diese Eigenschaft wird auch Gedächtnislosigkeit<br />
genannt.<br />
Die Exponentialverteilung ist ein Modell für die Wirkung <strong>von</strong> Zufallsausfällen und für Systeme in<br />
denen Verschleißprozesse keine Rolle spielen.<br />
Man kann die Ausfallzeit als eine Wartezeit interpretieren, so dass der Ausfall als ein Ereignis in<br />
einem Poisson-Prozess betrachtet werden kann. Die mittlere Zeit zwischen<br />
aufeinanderfolgenden Ereignissen in den Stufen eines Poisson-Prozesses ist α (s. Kapitel 8)<br />
Die Konstante 1 / α wird als die mittlere Zeit zwischen Ausfällen (Mean Time Between Failures)<br />
MTBF bezeichnet.<br />
Die Überlebenswahrscheinlichkeit oder Zuverlässigkeit der Exponential-Verteilung ist:<br />
R<br />
− αααα ⋅ t<br />
( t ) = e<br />
Aufgabe 1a<br />
Zeigen Sie anhand der beiden Gleichungen, dass man bei einer konstanten Ausfallrate<br />
λ ( t ) = α mit α > 0 die Exponential-Verteilung erhält.<br />
Aufgabe 1b<br />
Leiten Sie Funktionsgleichung für die Überlebenswahrscheinlichkeit der Exponential-Verteilung<br />
her.<br />
5