9 Qualitätsmanagement: Anwendung von ... - FB 4 Allgemein

Die Zuverlässigkeitstheorie beschäftigt sich mit der Messung, Vorhersage und Optimierung
der Qualität von Systemen und Produktionsprozessen sowie mit der Zuverlässigkeit und
Überprüfung der Lebensdauer und Ausfall von Produkten und Systemen.
Die Fähigkeit eines Produktes, eine geforderte Funktion während einer (meist längeren)
vorgegebenen Zeitdauer zu erfüllen wird Zuverlässigkeit (Reliability) genannt. Diese kann
durch eine Wahrscheinlichkeitsverteilung bewertet werden. Die Lebensdauer eines Produkts ist
die Zeit bis zum Ausfall (Failure).
.
Zuverlässigkeit und Ausfallrate (Failure Rate, Hazard Function)
Die Zuverlässigkeit eines Bauteils, einer Komponente (Bauelement) oder ein System hängt von
der Betriebsdauer ab. Daher ist die Untersuchung der Ausfallwahrscheinlichkeit wichtig.
Für die Zuverlässigkeits- bzw. Ausfall-Wahrscheinlichkeit eines Serien-System mit n
unabhängigen Komponenten mit den jeweiligen Zuverlässigkeitswahrscheinlichkeiten:
P( A 1 ) = p 1 ; P( A 2 ) = p 2 ; . . . ; P( A n ) = p n ,
und den jeweiligen Ausfallwahrscheinlichkeiten
q 1 = 1 – p 1 ; q 2 = 1 – p 2 ; . . . ; q n = 1 – p n
erhält man folgende Formel.
Zuverlässigkeit eines Serien-Systems
Die Zuverlässigkeitswahrscheinlichkeit eines Serien-Systems aus n unabhängigen
Komponenten ist:
R
s
=
n
∏
i = 1
R
i
A 1 A 2 A n
wobei R i = P( A i ) = p i die Zuverlässigkeitswahrscheinlichkeiten der einzelnen n
Komponenten des Systems sind
1

Für die Zuverlässigkeits- bzw. Ausfall-Wahrscheinlichkeit eines Parallel-System mit n
unabhängigen Komponenten mit den jeweiligen Zuverlässigkeitswahrscheinlichkeiten:
P( A 1 ) = p 1 ; P( A 2 ) = p 2 ; . . . ; P( A n ) = p n ,
und den jeweiligen Ausfallwahrscheinlichkeiten
q 1 = 1 – p 1 ; q 2 = 1 – p 2 ; . . . ; q n = 1 – p n )
erhält man folgende Formel.
Zuverlässigkeit eines Parallel-Systems
Die Zuverlässigkeitswahrscheinlichkeit eines Parallel-Systems aus n unabhängigen
Komponenten ist:
R
p
=
1
−
n
∏
i = 1
A 1
A 2
A n
( 1 − R )
i
wobei R i = P( A i ) = p i die Zuverlässigkeitswahrscheinlichkeiten der einzelnen n
Komponenten des Systems sind.
Die Ausfall-Wahrscheinlichkeitsverteilung (Failure Time Distrubution), die die Verteilung für
die Zeit bis zum Ausfall einer Komponente angibt, wird durch die Dichtefunktion f ( t )
beschrieben. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Komponente in der Zeit von 0 bis t ausfällt, ist
gegeben durch die Verteilungsfunktion:
F
t
( t ) = f ( u ) ⋅ du
0
Folglich ist Überlebenswahrscheinlichkeit oder Zuverlässigkeit (Reliability), d.h., dass die
Komponente aber in der Zeit von 0 bis t überlebt, gegeben durch die Verteilungsfunktion:
R ( t ) = 1 – F ( t )
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Die Wahrscheinlichkeit, dass die Komponente in einem kleinen Zeitintervall von t bis t + t
ausfällt ist:
P(F 1 )
P(R 1 )
t + ∆t
F ( t + t ) – F ( t ) = f ( u ) ⋅ du
0 t t + t
R 1
F 1
t
P( R 2 | R 1 ) R 2
P( F 2 | R 1 )
F 2
P( R 2 | F 1 ) = 0 R2
P( F 2 | F 1 ) = 1
F 2
t
Somit ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Komponente im Zeitintervall t bis t + t ausfällt unter
der Bedingung, dass sie noch bis zur Zeit t überlebt hat, gegeben durch die bedingte
Wahrscheinlichkeit:
( t + ∆t
)
R ( t )
F ( t )
F −
Dividieren wir diesen Ausdruck durch t , so erhält man die mittlere Rate dafür, dass im
Zeitintervall t bis t + t die Komponente ausfällt, unter der Bedingung, dass sie bis zur Zeit t
überlebt hat.
( t )
Bildet man t → 0 , so erhält man:
( t + ∆t
) − F ( t )
1 F
⋅
R ∆ t
λλλλ ( )
1 d F
t = ⋅
R dt
( t )
Somit erhalten wir die folgende Gleichung:
( t )
Allgemeine Gleichung für die Ausfall-Rate-Funktion (Hazard Function)
λλλλ ( t )
=
f
R
( t )
( t )
=
1
f
−
( )
( ) ⋅
t
F t
Sei P( R 1 ) die Wahrscheinlichkeit, dass
die Komponente noch bis Zeit zur t
überlebt hat und sei P( F 2 ∩ R 1 ) die
Wahrscheinlichkeit, dass sie bis zur Zeit t
überlebt hat UND ab dieser Zeit ausfällt,
so ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass
sie ausfällt unter der Bedingung, dass sie
bis zur Zeit t überlebt hat gegeben durch:
P
( F |
R )
2
1
=
P
( F2
∩ R1
)
P ( R )
1
3

λ ( t )
Ausfall-Rate-Funktion
Frühausfälle Zufallsausfälle Verschleißausfälle
Frühausfälle
Sie kommen durch Produktionsfehler zustande; die Ausfällrate fällt monoton mit der Zeit ab.
Zufallsausfälle
Es findet fast kein Verschleiß statt. Nachdem die Frühausfälle ausbleiben treten nur
Zufallsausfälle in Erscheinung; die Ausfallrate ist konstant.
Verschleißausfälle
Es kommt zunehmender Alterungsverschleiß zustande; die Ausfallrate steigt monoton an
! " # $
Das Lösen der Differentialgleichung des vorigen Abschnitts
λλλλ ( )
( t )
liefert die folgende Gleichung
( t )
( t )
t
[ 1 − R ( t ) ]
1 d F 1 d
1 d R
t = ⋅ = ⋅
= ⋅
R dt R dt R dt
Allgemeine Gleichung für die Ausfall-Zeit-Verteilung (Failure-Time Distubution)
f
( t ) = λλλλ
( t )
t
− λλλλ ( u )
⋅ e 0
( t )
( t )
4

! $
Falls die Ausfallrate konstant ist λ ( t ) = α so erhält man aus den beiden obigen Gleichungen
die Exponential-Verteilung:
f
− αααα ⋅ t
( t ) = ⋅
αααα e für t > 0 mit α > 0
Hat ein Bauteil einmal das Alter t erreicht, so wird es künftig auch die gleiche Zuverlässigkeit
besitzen, wie zum Zeitpunkt t = 0. Die Wahrscheinlichkeit für einen Ausfall hängt nicht von t
(also von der bisher verflossenen Zeit) ab. Diese Eigenschaft wird auch Gedächtnislosigkeit
genannt.
Die Exponentialverteilung ist ein Modell für die Wirkung von Zufallsausfällen und für Systeme in
denen Verschleißprozesse keine Rolle spielen.
Man kann die Ausfallzeit als eine Wartezeit interpretieren, so dass der Ausfall als ein Ereignis in
einem Poisson-Prozess betrachtet werden kann. Die mittlere Zeit zwischen
aufeinanderfolgenden Ereignissen in den Stufen eines Poisson-Prozesses ist α (s. Kapitel 8)
Die Konstante 1 / α wird als die mittlere Zeit zwischen Ausfällen (Mean Time Between Failures)
MTBF bezeichnet.
Die Überlebenswahrscheinlichkeit oder Zuverlässigkeit der Exponential-Verteilung ist:
R
− αααα ⋅ t
( t ) = e
Aufgabe 1a
Zeigen Sie anhand der beiden Gleichungen, dass man bei einer konstanten Ausfallrate
λ ( t ) = α mit α > 0 die Exponential-Verteilung erhält.
Aufgabe 1b
Leiten Sie Funktionsgleichung für die Überlebenswahrscheinlichkeit der Exponential-Verteilung
her.
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