Professur für Maß- und Integrationstheorie

Mass- und Integrationstheorie
Professur für Maß-
und Integrationstheorie
Maß- und Integrationstheorie
Flächen- bzw. Volumenbestimmungen für spezielle
geometrische Objekte beschäftigten die Mathematiker
schon vor mehr als 2000 Jahren. Dabei wurde der Begriff
des Flächeninhalts einer ebenen geometrischen Figur und
des Volumens eines Körpers zunächst als undefi nierter
Grundbegriff vorausgesetzt, der keiner weiteren Erklärung
bedurfte. Erst mit der Entwicklung der Mengenlehre
und dem damit verbundenen Auftreten immer komplizierterer
Mengen ergab sich die Notwendigkeit, Länge,
Fläche bzw. Volumen von ein-, zwei- bzw. dreidimensionalen
Objekten exakt zu defi nieren. Daraus entstand die
moderne Maß- und Integrationstheorie, die als abstrakten
Oberbegriff für Länge, Fläche und Volumen den
Maßbegriff entwickelte und den Begriff des Integrals in
einen neuen Kontext
stellte. Heute liefert
die Maß- und IntegrationstheorieunentbehrlicheHilfsmittel
für zahlreiche
Disziplinen in und
außerhalb der Mathematik.
Neben der
klassischen Analysis
(= Differential- und
Integralrechnung) fi n-
Veranschaulichung eines Maßes
durch eine Grauwertbelegung
den ihre Konzepte und Resultate unter anderem Anwendungen
bei der Untersuchung von Funktionenräumen in
der Funktionalanalysis, bei der Formulierung der Quantenmechanik,
bei der mathematischen Modellierung von
Zufallsphänomenen in der Wahrscheinlichkeitstheorie
und bei der Analyse von Signalen und Bildern. Im zuletzt
genannten Bereich sind die beiden folgenden Vorlesungen
der Professur für Maß- und Integrationstheorie
angesiedelt.
Mathematische Grundlagen
der Computertomographie
Prof. Dr. Siegfried Graf
Sekretariat:
Gislinde Oberländer
Wiss. Mitarbeiter:
Dr. Wolfgang Kreitmeier
In einem Computertomographen wird der zu untersuchende
Querschnitt des Patienten aus allen Richtungen
mit Röntgenstrahlen „durchleuchtet“. Die Schwächung
jedes der Strahlen wird gemessen. Diese Maßzahl entspricht
mathematisch über eine einfache Umrechnungsformel
dem Integral der sogenannten Gewebedichtefunktion
längs des jeweiligen Strahls. Dabei entspricht
die Gewebedichtefunktion auf dem Patientenquerschnitt
einem Grauwertbild dieses Querschnitts. Aus den Inte-
gralen längs der Röntgenstrahlen lässt sich nun mit Methoden
der Maß- und Integrationstheorie und mit Hilfe
eines Computers die Gewebedichtefunktion und damit
das Bild des Patientenquerschnitts berechnen und auf
dem Bildschirm ausgeben. Dieses Bild ist aber kein Röntgenbild
im klassischen Sinne, sondern eine mittels komplizierter
Mathematik errechnete Darstellung.
Mathematische Grundlagen der
Bilddatenkompression
Bei einer Aufnahme mit einer digitalen Kamera wird ein
Bild zunächst in Pixel zerlegt und für jedes Pixel werden
die Grau- bzw. die Farbwerte in Bitfolgen umgesetzt. Dabei
entsteht eine riesige Datenmenge, die auch mit modernen
Computern nur schwer zu bewältigen ist. Deshalb
werden mathematische Verfahren eingesetzt, die die zu
einem Bild gehörende Datenmenge reduzieren sollen,
ohne dabei die Bildqualität wesentlich zu beeinträchtigen.
Solche Bilddatenkompressionsverfahren nutzen
statistische Eigenschaften der Bilder aus, die als zufällig
erzeugt gedacht werden. Bei der Entwicklung und Analyse
von Datenkompressionsverfahren spielt die Maß- und
Integrationstheorie sowohl bei der Modellierung des
zugrunde gelegten Zufallsmechanismus als auch bei der
Konstruktion geeigneter Maße für die Bildqualität eine
wichtige Rolle.
Fraktale Geometrie
Objekte der klassischen Geometrie der Ebene und
des Raumes zeichnen sich dadurch aus, dass sie weitgehend
glatt sind und nur wenige Ecken und Kanten
Computertomograph (Foto aus Wikipedia)
besitzen. Wegen dieser Eigenschaft eignen sie sich
nur sehr bedingt, um Gegenstände aus der Natur
wie z.B. Schneefl ocken, Farne, Baumkronen, Küstenlinien,
Gebirge oder Wolken abzubilden. Andererseits
lassen sich Objekte der klassischen Geometrie
in der Regel mit wenigen reellen Zahlen beschreiben
und mit einfachen Algorithmen aus den charakterisierenden
Parametern zurückgewinnen. Auf der
Suche nach einer Geometrie, die diesen Vorteil beibehält
und gleichzeitig natürliche Phänomene visuell
überzeugender mathematisch modelliert, entstand
in der zweiten Hälfte des letzten Jahrhunderts
die fraktale Geometrie. Sie erlaubt es zum Beispiel,
alle Informationen über das Bild eines Farns oder
einer Schneefl ocke in jeweils einer 4x6-Tabelle reeller
Zahlen abzuspeichern und liefert auch die Methoden,
um diese Bilder aus den Tabellen neu entstehen
zu lassen. Die grundlegende Idee in diesem
Zusammenhang ist die Selbstaffi nität.
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Selbstaffine und statistisch selbstaffine Mengen
Mengen in der Ebene oder im Raum sind selbstaffin,
wenn sie Vereinigung von endlich vielen kleinen affinen
Kopien ihrer selbst sind. Alle Informationen über eine solche
Menge kann man aus den reellen Zahlen zurückgewinnen,
die die affinen Abbildungen beschreiben, welche
die Gesamtmenge auf die affinen Kopien abbilden, aus
denen sie sich konstituiert. Ausgehend von Überlegungen
von Mandelbrot wurde nachgewiesen, dass zahlreiche
Phänomene in Natur, Wissenschaft und Technik sich (annähernd)
durch selbstaffine Mengen modellieren lassen.
Um die Modellierungseigenschaften zu verbessern,
wurde zusätzlich der Zufall ins Spiel gebracht. So entstand
das Konzept der statistisch selbstaffinen zufälligen
Menge. Die Professur für Maß- und Integrationstheorie
hat sich ausgiebig mit Erzeugungsprinzipien für diese
Mengen beschäftigt. Außerdem wurde für die Unterklasse
der statistisch selbstähnlichen Mengen die (Hausdorff)
Dimension bestimmt.
Fraktale Dimensionskonzepte
Eine Kenngröße für die Ausdehnung einer Menge ist
ihre Dimension. In der klassischen Geometrie sind
Dimensionen immer ganzzahlig. So hat eine Strecke
Dimension 1, ein Quadrat Dimension 2 und ein
Farn (nach Barnsley)
a b c d e f
0 0 0 0,16 0 0
0,85 0,04 -0,04 0,85 0 1,6
0,2 -0,26 0,26 0,22 0 0,8
-0,15 0,28 0,26 0,24 0 1
Daten für den Farn
Kubus Dimension 3. Mit Hilfe der Maßtheorie hat
Hausdorff ein Dimensionskonzept eingeführt, das
beliebige nicht negative reelle Zahlen als Dimensionen
zulässt. Stark zerklüftete Küsten sind dann
keine eindimensionalen Linien, sondern haben
eine Hausdorff Dimension strikt zwischen 1 und 2.
Ähnlich haben Gebirgsoberflächen eine Dimension
zwischen 2 und 3. Die Bestimmung der Hausdorff
Dimension für fraktale Mengen und der Vergleich
der Hausdorff Dimension mit anderen fraktalen
Dimensionen wie etwa der Quantisierungsdimension
sind der Inhalt eines wichtigen Arbeitsgebiets der
Professur für Maß- und Integrationstheorie.
Fraktale Bilddatenkompression
Selbstaffintätsüberlegungen bilden auch den Ausgangspunkt
für Verfahren der Bilddatenkompression.
Verschiedene der daraus abgeleiteten Algorithmen
wurden in Praktika und Diplomarbeiten
hinsichtlich ihrer Brauchbarkeit genauer untersucht.
Quantisierung von Maßen
Der Begriff „Quantisierung“ stammt ursprünglich
aus dem Bereich der Signalverarbeitung und bezeichnet
dort Methoden der Digitalisierung von
analogen Signalen (wie z.B. Sprache, Bilder, Video)
oder der Kompression von bereits digitalisierten
Signalen, die bei bekannter beschränkter Übertragungs-
oder Speicherkapazität übertragen oder ge-
Quantisierung
speichert werden sollen. Dies ist im Allgemeinen nur
möglich, wenn ein Informationsverlust (= Quantisierungsfehler)
in Kauf genommen wird. Natürlich
ist man an Verfahren interessiert, die den Quantisierungsfehler
unter den genannten Randbedingungen
möglichst klein halten. Dabei ist es wichtig, die
Größenordnung des kleinsten möglichen Quantisierungsfehlers
in Abhängigkeit von der zur Verfügung
stehenden Speicher- bzw. Übertragungskapazität
zu kennen und Verfahren der Quantisierung zu entwickeln,
die den kleinstmöglichen Quantisierungs-
fehler realisieren oder ihm doch nahe kommen. Um
entsprechende Verfahren zu entwickeln, geht man
davon aus, dass statistische Eigenschaften der interessierenden
Signale bekannt sind.
In der mathematischen Theorie stellt man Signale
als Elemente eines endlich- oder unendlich dimensionalen
Raumes dar, in dem der Abstand von je
zwei Elementen definiert ist. Die Signale denkt
man sich von einer Zufallsquelle erzeugt, die durch
ein Wahrscheinlichkeitsmaß P modelliert wird. Ein
Quantisierungsverfahren wird nun bei verfügbarer
Speicher- bzw. Übertragungskapazität n durch ein
n-elementiges Codebuch bestimmt, das alle möglichen
digitalisierten bzw. komprimierten Signale
enthält. Einem Ausgangssignal wird dann ein Signal
mit kleinstem Abstand aus dem Codebuch zugeordnet.
Der Quantisierungsfehler bei Verwendung des
Codebuchs ist dann das Integral
bezüglich des Wahrscheinlichkeitsmaßes
P über
alle Abstände einzelner
Signale zum Codebuch. Ein
n-elementiges Codebuch ist
n-optimal, wenn sein Quantisierungsfehlerkleinstmöglich
unter allen n-elemen-
Selbstaffine Simulation
eines „Vulkanausbruchs“
Quantisierungsschema für ein
Codebuch (schwarze Punkte)
(Diagramm aus Wikipedia)
tigen Codebüchern ist. Bisher konnten nur für wenige
Wahrscheinlichkeitsmaße optimale Codebücher bestimmt
werden. In zahlreichen Fällen gelang es aber,
näherungsweise optimale Codebücher anzugeben.
Für große Klassen von Wahrscheinlichkeitsmaßen
konnte die Größenordnung der Quantisierungsfehler
für große n bestimmt werden. Diese Größenordnungen
hängen auf überraschende Weise mit fraktalen
Dimensionen des Wahrscheinlichkeitsmaßes
P zusammen. Hier eröffnet sich ein interessantes
Forschungsgebiet, das in den nächsten Jahren im
Mittelpunkt der Aktivitäten der Professur für Maß-
und Integrationstheorie stehen wird.
Neben der Anwendung der mathematischen Quantisierungstheorie
in der Signalverarbeitung ergeben
sich unter anderem auch Anwendungen in folgenden
Gebieten:
• Cluster Analysis
(Quantisierung von empirischen Maßen)
• Mustererkennung, Spracherkennung
• Numerische Integration
• Mathematische Modelle in der Ökonomie
(optimale Platzierung von Servicezentren)
Schneeflockenkurve (nach von Koch)
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