Methoden der formalen Begriffsanalyse bei der Behandlung ...

Methoden der formalen Begriffsanalyse bei der 

Behandlung unvollständigen Wissens 

Vom Fachbereich Mathematik 

der Technischen Universität Darmstadt 

zur Erlangung des Grades eines 

Doktors der Naturwissenschaften 

(Dr. rer. nat.) 

genehmigte 

Dissertation 

von 

Richard Holzer 

aus Frankfurt am Main 

Referent: Prof. Dr. P. Burmeister 

Korreferent: Prof. Dr. C. Herrmann 

Tag der Einreichung: 13.12.2000 

Tag der mündlichen Prüfung: 15.2.2001 

Darmstadt 2001 

D 17

Inhalt 

Einleitung .................................................................................................................................. 9 

1. Grundlagen .......................................................................................................................... 21 

1.1 Kleene-Algebren............................................................................................................ 21 

1.2 Formale Begriffsanalyse................................................................................................ 25 

1.3 Logik.............................................................................................................................. 29 

2. Unvollständiges Kontextwissen .......................................................................................... 33 

2.1 Unvollständige Kontexte ............................................................................................... 33 

2.2 Implikationen................................................................................................................. 51 

2.3 Rahmenkontexte ............................................................................................................ 73 

2.4 Unvollständige Kontexte mit negierten Merkmalen...................................................... 81 

2.5 Unvollständige mehrwertige Kontexte.......................................................................... 93 

3. Merkmalexploration .......................................................................................................... 107 

3.1 Merkmalexploration mit einwertigem Universum ...................................................... 108 

3.1.1 Pseudoabgeschlossene Mengen............................................................................ 108 

3.1.2 Fragezeichenreduktion.......................................................................................... 117 

3.1.3 Merkmalexplorationsalgorithmus......................................................................... 125 

3.1.4 Vollständiges Wissen über Teilkontexte .............................................................. 147 

3.1.5 Bemerkungen zum Merkmalexplorationsalgorithmus und Erweiterungen .......... 155 

3.2 Merkmalexploration mit mehrwertigen Universum .................................................... 161 

4. Merkmalexploration an Beispielen.................................................................................... 167 

4.1 Merkmalexploration in der Ringtheorie .................................................................... 167 

4.2 Merkmalexploration bei natürlichen Zahlen ............................................................. 185 

4.3 Mehrwertige Merkmalexploration an einem Beispiel ............................................... 189 

5. Zusammenfassung ............................................................................................................. 193 

Anhang A: Grundlagen der Ringtheorie................................................................................ 197 

Anhang B: Literatur............................................................................................................... 209 

Anhang C: Index.................................................................................................................... 217

Einleitung 

Bei der Darstellung begrifflichen Wissens kommt es häufig vor, daß nicht alle Informationen 

bekannt sind. In dieser Arbeit werden Methoden untersucht, unvollständiges Wissen darzustellen 

und zu verarbeiten. Für die Darstellung von unvollständigen Daten eignen sich Kontexte aus der 

formalen Begriffsanalyse. Ein (einwertiger) Kontext |K = (G, M, I) besteht aus einer Menge G von 

Gegenständen, einer Menge M von Merkmalen und einer Relation I ⊆ G × M. Man kann sich einen 

Kontext auch als Tabelle vorstellen: In jeder Zeile der Tabelle steht ein Gegenstand, und in jeder 

Spalte der Tabelle steht ein Merkmal. Der Tabelleneintrag zeigt an, ob der Gegenstand das 

Merkmal hat oder nicht: In der Zeile von g ∈ G steht in der Spalte von m ∈ M genau dann der Wert 

×, wenn (g, m) ∈ I ist, ansonsten bleibt der Tabelleneintrag leer. Sei |K z.B. der Kontext mit der 

Gegenstandsmenge G = {1, 2, 3, 4} und der Merkmalsmenge M = {gerade, ungerade, prim}. Dann 

sieht die Tabelle wie folgt aus: 

|K gerade ungerade prim 

1 × 

2 × × 

3 × × 

4 × 

In der Literatur wird manchmal auch dann eine Leerstelle in der Tabelle verwendet, wenn es nicht 

bekannt ist, ob der Gegenstand das Merkmal hat. Dies hat jedoch den Nachteil, daß man am 

Tabelleneintrag nicht mehr erkennen kann, ob der Gegenstand das Merkmal mit Sicherheit nicht 

hat, oder ob es nur unbekannt ist. 

Ein mehrwertiger Kontext |K = (G, M, W, I) kann im Gegensatz zum einwertigen Kontext in der 

Tabelle unterschiedliche Werte als Einträge haben. Die Kontextrelation I ⊆ G × M × W wird hierbei 

als Funktion I : G × M → W aufgefaßt, welche angibt, welcher Wert in der Tabellenzeile eines 

Gegenstandes g ∈ G in der Spalte eines Merkmals m ∈ M steht. 

Im ersten Kapitel dieser Arbeit werden die Grundlagen bereit gestellt, die in den nachfolgenden 

Kapiteln verwendet werden. Insbesondere werden hier die wichtigsten Eigenschaften von Kleene- 

Algebren, der formalen Begriffsanalyse und der Aussagenlogik zusammengestellt. Die meisten 

dieser Grundlagen findet man auch in der Literatur. 1 

Häufig kommt es vor, daß nicht alle Tabelleneinträge eines Kontextes bekannt sind. Man kann dann 

z.B. durch ein Fragezeichen in der Tabelle andeuten, daß nicht bekannt ist, ob der Gegenstand das 

Merkmal hat. Wenn mehr Informationen über den Eintrag in der Tabelle bekannt sind, könnte man 

die Wahrscheinlichkeit dafür, daß der Gegenstand das Merkmal hat, als Tabelleneintrag benutzen, 

jedoch eignen sich solche Wahrscheinlichkeitskontexte mehr für Auswertungen von statistischen 

Experimenten mit Zufallsvariablen, als für die Darstellung begrifflichen Wissens, weil Abhängigkeiten 

zwischen den Merkmalen in solchen Kontexten nicht dargestellt werden können. Aus diesem 

Grund wurde dieser Ansatz hier nicht weiter verfolgt. 

Im zweiten Kapitel wird die Darstellung von unbekannten Daten durch mehrwertige Kontexte 

untersucht. Unter anderem werden hier unvollständige Kontexte verwendet. Ein unvollständiger 

Kontext ist ein dreiwertiger Kontext mit der Wertemenge {×, ?, o}, wobei der Wert × benutzt wird, 

wenn der Gegenstand das Merkmal besitzt, der Wert o bedeutet, daß der Gegenstand das Merkmal 

1 vgl. z.B. [Pagliani97], [GanterWille96] und [EbbinghausFlumThomas] 

9

nicht hat, und ein Fragezeichen zeigt an, daß nicht bekannt ist, ob der Gegenstand das Merkmal hat. 

Es werden verschiedene Logiksysteme aus der Literatur benutzt, um die Gültigkeit und Erfüllbarkeit 

von Formeln über der Menge der Merkmale zu definieren. Insbesondere erweist sich die in 

[Burmeister91a] eingeführte Logik auch in dieser Arbeit als sehr brauchbar. Hierbei wird die 

Informationsordnung verwendet: Der Wert "?" enthält weniger Informationen als die Werte "×" und 

"o", also gilt ? < × und ? < o. Die Werte × und o sind in der Informationsordnung unvergleichbar. 

Diese Informationsordnung läßt sich auch auf unvollständige Kontexte übertragen: |K1 ≤ |K2 gilt 

genau dann, wenn man |K2 aus |K1 erhält, indem man einige Fragezeichen durch andere Werte 

ersetzt. Mit Hilfe dieser Ordnung wird die Kripke-Gültigkeit und die Erfüllbarkeit von Formeln 

definiert: Eine Formel ist genau dann erfüllbar in einem unvollständigen Kontext |K, wenn es eine 

Vervollständigung (d.h. alle Fragezeichen von |K werden durch andere Werte ersetzt) gibt, in der sie 

gültig ist, und eine Formel ist genau dann Kripke-gültig in |K, wenn sie in allen Vervollständigungen 

gültig ist. 

Bei einigen Formeln spielt auch die in [Burmeister91a] und [Pagliani] verwendete dreiwertige 

Kleene-Logik eine wichtige Rolle. Bei der Kleene-Logik wird die Wahrheitsordnung verwendet: 

o < ? < ×. Die verschiedenen Logiksysteme werden in dieser Arbeit verglichen und es werden 

einige Zusammenhänge zwischen den Logiksystemen hergestellt, insbesondere wird gezeigt, daß 

die Kleene-Logik und die Kripke-Semantik für alle aussagenlogische Formeln, in denen jede 

Variable höchstens einmal vorkommt, übereinstimmen. 2 Dies ist gerade für Merkmalimplikationen 

und Klauseln besonders nützlich, weil man eine Implikation (bzw. nichttriviale Klausel) immer 

durch eine äquivalente Implikation (bzw. Klausel) ersetzten kann, bei der die Prämisse disjunkt zur 

Konklusion ist, und somit jede Variable höchstens einmal vorkommt. Eine Merkmalimplikation 

A → B besteht aus zwei Mengen A, B ⊆ M von Merkmalen. Die Gültigkeit solch einer Implikation 

in einem einwertigen Kontext bedeutet gerade, daß jeder Gegenstand, welcher alle Merkmale aus A 

hat, auch alle Merkmale aus B hat. Bei beliebigen aussagenlogischen Formeln ist die Kleene-Logik 

zwar nicht mehr äquivalent zur Kripke-Semantik, es gibt aber trotzdem noch einige 

Zusammenhänge. Wenn z.B. die Auswertung einer Formel in der Kleene-Logik für einen 

Gegenstand g ∈ G den Wert × liefert, dann ist diese Formel für diesen Gegenstand auch Kripkegültig. 

3 Die Erfüllbarkeit von Formeln für einzelne Gegenstände läßt sich durch die Kripke- 

Gültigkeit ausdrücken: Eine Formel ist genau dann erfüllbar für einen Gegenstand g ∈ G, wenn die 

Negation der Formel nicht Kripke-gültig für g ist. 4 Auch die modale Logik eignet sich gut, um die 

Kripke-Gültigkeit und Erfüllbarkeit von Formeln für einzelne Gegenstände auszudrücken. Die 

Kripke-Gültigkeit einer Formel α entspricht hier gerade der Gültigkeit der modalen Formel ‡α, 

und die Erfüllbarkeit entspricht der Gültigkeit der modalen Formel zα. 5 

In [Pagliani] wird zu jedem unvollständigen Kontext eine Kleene-Algebra L(|K) definiert, um 

Formeln in der Kleene-Logik auszuwerten. Diese Kleene-Algebra läßt sich auch verwenden, um die 

Menge aller Gegenstände g ∈ G zu finden, für die eine gegebene Formel in der Kleene-Logik stark 

gültig ist: Jede Formel α läßt sich als Term in der Signatur der Kleene-Algebren auffassen, und die 

Auswertung dieses Terms in der Algebra L(|K) liefert ein Paar (A, B) von Gegenstandsmengen, 

welche in der ersten Komponente genau diejenigen Gegenstände enthält, die in der Kleene-Logik 

stark gültig sind, und in der zweiten Komponente genau diejenigen Gegenstände enthält, die in der 

Kleene-Logik nicht schwach gültig sind. 6 In dieser Arbeit wird die Algebra L(|K) aus [Pagliani] 

weiter untersucht und ordnungserhaltende Abbildungen zwischen Begriffsverbänden von ein- 

2 vgl. Satz 2.25 


4 vgl. Lemma 2.8 



10

wertigen Kontexten und L(|K) konstruiert. Wenn der Kontext |K einwertig ist, dann läßt sich der 

Begriffsverband von |K in L(|K) als ∧-Halbverband einbetten. 7 

Die Äquivalenz von Formeln bezüglich der Kleene-Logik läßt sich durch die Gültigkeit von 

Gleichungen in Kleene-Algebren beschreiben: Die Gleichung α = β ist genau dann in allen Kleene- 

Algebren gültig, wenn die Formel α zur Formel β in der Kleene-Logik äquivalent ist, 8 d.h. wenn für 

jeden unvollständigen Kontext |K gilt: α ist genau dann in der Kleene-Logik stark gültig in |K, wenn 

β in der Kleene-Logik stark gültig in |K ist. Eine analoge Aussage erhält man für Gleichungen in 

Booleschen Algebren und die Kripke-Semantik. 9 

Die Ableitungsoperatoren in einwertigen Kontexten lassen sich auf unvollständige Kontexte 

verallgemeinern: Seien |K = (G, M, {×, ?, o}, I) ein unvollständiger Kontext, S ⊆ G und T ⊆ M. 

T ‡ := {g ∈ G | I(g, m) = × für alle m ∈ T} ist der sichere (oder notwendige) Umfang von T. 

T z := {g ∈ G | I(g, m) ∈ {×, ?} für alle m ∈ T} ist der maximal mögliche Umfang von T. 

S ‡ := {m ∈ M | I(g, m) = × für alle g ∈ S} ist der sichere (oder notwendige) Inhalt von S. 

S z := {m ∈ M | I(g, m) ∈ {×, ?} für alle g ∈ S} ist der maximal mögliche Inhalt von S. 

Mit Hilfe dieser Ableitungsoperatoren lassen sich die Gültigkeit und die Erfüllbarkeit von 

Merkmalimplikationen in den verschiedenen Logiksystemen beschreiben. 10 Einen vollständigen 

und korrekten Herleitungskalkül für die Kripke-Gültigkeit von Implikationen bilden die Armstrong- 

Regeln (vgl. [Maier] und [Armstrong]). Für die Erfüllbarkeit wird der Kalkül aus [Lien] und 

[AtzeniMorfuni84] verwendet. Die meisten Sätze aus Kapitel 2.1 und 2.2 folgen auch aus 

[GanterWille96], [Burmeister91a] und [TischikWolter] und werden in dieser Arbeit nur zum 

besseren Verständnis noch einmal wiederholt. 

Um Hintergrundwissen zur Untersuchung eines Kontextes darzustellen, werden Rahmenkontexte 11 

verwendet: Ein Rahmenkontext ist ein Mengensystem über der Merkmalsmenge M. Für praktische 

Anwendungen (z.B. Merkmalexplorationen) schränkt man durch einen Rahmenkontext die Menge 

der möglichen Gegenstandsinhalte ein, d.h. man interessiert sich nur noch für solche einwertigen 

Kontexte, bei denen jeder Gegenstandsinhalt im Rahmenkontext liegt. Man kann den 

Rahmenkontext auch dazu benutzen, die Gültigkeit von Formeln zu fordern: Wenn E eine Menge 

von aussagenlogischen Formeln ist, dann kann man die Menge der aussagenlogischen Modelle als 

Rahmenkontext verwenden, weil dann die Eigenschaft, daß jeder Gegenstandsinhalt eines 

einwertigen Kontextes |K im Rahmenkontext liegt, äquivalent zur Gültigkeit von E in |K ist. Eine 

Form von Hintergrundwissen ist die Eigenschaft, daß einige Merkmale negiert zueinander sind. 

Diese Eigenschaft kann durch eine bijektive Abbildung ⎯ : M+ → M- zwischen zwei disjunkten 

Teilmengen von M beschrieben werden. 12 Der zugehörige Rahmenkontext enthält gerade die 

vollständig konsistenten Mengen: 

VKon( ⎯ ) := {T ⊆ M | |T ∩ {m, m }| = 1 für alle m ∈ M+}. 

Diese speziellen Rahmenkontexte werden in Kapitel 2.4 gesondert untersucht, und es werden 

Regelsysteme für die Kripke-Gültigkeit und Erfüllbarkeit von Implikationen für unvollständige 

Kontexte mit negierten Merkmalen aufgestellt. Die Regeln für die Kripke-Gültigkeit findet man 

auch in [Burmeister91a] (jedoch ohne den Beweis der Vollständigkeit), und die Regeln für die 

Erfüllbarkeit werden in dieser Dissertation neu eingeführt. 13 

7 vgl. Korollar 2.67 



10 vgl. Satz 2.57 und Satz 2.58 

11 vgl. [Ganter98] 

12 vgl. [Burmeister91a] 

13 vgl. Definition 2.92 

11

Auch bei mehrwertigen Kontexten gibt es manchmal unbekanntes Kontextwissen. Hier wird 

ebenfalls ein Fragezeichen verwendet, wenn der Wert in der Tabelle nicht bekannt ist, d.h. bei 

einem unvollständigen mehrwertigen Kontext |K = (G, M, W, I) ist I eine Funktion von G × M nach 

W ∪ {?}. 

In einem mehrwertigen Kontext gibt es unterschiedliche Möglichkeiten, eine Merkmalimplikation 

zu interpretieren. Die in der Praxis am häufigsten verwendete Form von Implikationen ist die 

funktionale Abhängigkeit. Hierbei bedeutet die Gültigkeit einer Merkmalimplikation A → B in 

einem mehrwertigen Kontext, daß die Spalten von B funktional abhängig von den Spalten aus A 

sind, d.h. wenn I(g, a) = I(h, a) für alle a ∈ A gilt, dann gilt auch I(g, b) = I(h, b) für alle b ∈ B für 

jedes Gegenstandspaar (g, h) ∈ G 2 . Auch andere Interpretationen von Merkmalimplikationen 

werden in der Literatur verwendet (z.B. die ordinale Abhängigkeit). Allgemein läßt sich die 

Interpretation durch eine Relation ρ ⊆ W τ einer geeigneten Stelligkeit τ = τ(ρ) beschreiben. Die 

funktionale Abhängigkeit entspricht hierbei gerade der Relation ρ = idW, und die ordinale 

Abhängigkeit entspricht der Ordnung ρ = ≤W auf der Wertemenge. Während in der Literatur ein 

mehrwertiger Kontext häufig mit Hilfe einer Familie von einwertigen Kontexten durch Skalierung 

in einen einwertigen Kontext transformiert wird, wird in dieser Arbeit die "Skalierung" nach der 

Relation ρ verwendet, d.h. die Relation ρ wird benutzt, um aus einem mehrwertigen Kontext einen 

einwertigen Kontext zu erzeugen. Im Gegensatz zur normalen Skalierung nach einer Familie von 

Kontexten bleiben bei der Skalierung nach ρ die Gültigkeit von Formeln erhalten, d.h. eine Formel 

über der Merkmalsmenge M ist genau dann gültig in einem mehrwertigen Kontext, wenn sie in dem 

zugehörigen einwertigen Kontext gültig ist. Diese Eigenschaft gilt auch für unvollständige 

mehrwertige Kontexte. 14 

Auch bei mehrwertigen Kontexten läßt sich Hintergrundwissen durch einen Rahmenkontext 

beschreiben. Durch einen Rahmenkontext wird die Menge der "interessanten" Kontexte 

eingeschränkt (z.B. durch die Forderung, daß eine Menge E von Formeln in den Kontexten gültig 

sein sollen). Der Kalkül aus Kapitel 2.3 ist zwar bei mehrwertigen Kontexten nicht in allen Fällen 

adäquat, er ist jedoch immer korrekt, 15 und für die in der Praxis häufig vorkommenden Relationen ρ 

auch vollständig. 16 Und selbst wenn eine Relation ρ benutzt wird, für die der Kalkül nicht 

vollständig ist, läßt sich die Relation durch Erweiterung der Wertemenge ohne Probleme in eine 

andere Relation transformieren, so daß der Kalkül vollständig ist. 17 

Im dritten Kapitel werden verschiedene Algorithmen zur Wissensverarbeitung mit unbekanntem 

Wissen untersucht, insbesondere die Merkmalexploration bei einwertigen und mehrwertigen 

Kontexten. Bei der Merkmalexploration wird durch ein interaktives Computerprogramm versucht, 

möglichst viele Informationen über die Gültigkeit von Merkmalimplikationen in einem 

unbekannten Kontext |K 8 (im folgenden auch Universum genannt) zu erhalten. Das Programm 

liefert eine Liste P * von Implikationen, welche im Universum mit Sicherheit gültig sind, und eine 

Liste von Gegenbeispielen zu Implikationen, welche im Universum mit Sicherheit nicht gültig sind, 

wobei diese beiden Listen möglichst vollständig sein sollten, d.h. wenn der Experte weiß, daß eine 

Implikation A → B im Universum gültig ist, dann ist diese Implikation aus P * herleitbar, und wenn 

der Experte weiß, daß A → B nicht gültig ist, dann liefert die Exploration auch einen Gegenstand, 

welcher diese Implikation widerlegt. 

In Kapitel 3.1.1 werden zunächst spezielle Erzeugendensysteme von Implikationenmengen 

untersucht, welche für die Merkmalexploration nützlich sind, damit dem Experten nicht unnötig 

14 vgl. Satz 2.104 

15 vgl. Satz 2.110 

16 vgl. Satz 2.119 

17 vgl. Satz 2.117 

12

viele Fragen gestellt werden. Die aus der Literatur für einwertige Kontexte bekannte Duquenne- 

Gigue-Basis wird hier für unvollständige Kontexte verallgemeinert, wobei auch Hintergrundwissen 

in Form eines Rahmenkontextes berücksichtigt wird. Hüllensysteme eignen sich als Rahmenkontexte 

besonders gut, um die Anzahl der Implikationen in der Duquenne-Gigue-Basis (und damit 

auch die Anzahl der Fragen bei der Merkmalexploration) zu verringern. 

Das Merkmalexplorationsprogramm wählt nach und nach eine Implikation aus, um den Experten 

nach dessen Gültigkeit zu fragen. Bei der Exploration werden dabei unvollständige Kontexte bzw. 

unvollständige mehrwertige Kontexte verwendet, falls dem Experten einige Einträge des Kontextes 

unbekannt sind. Während man bei einer Merkmalexploration mit vollständigen Wissen immer eine 

Basis der im Universum |K 8 gültigen Implikationen erhält, kann man bei einer Merkmalexploration 

mit unvollständigem Wissen nur über einen Teil der Implikationen sicher sagen, ob sie gültig sind. 

Für die Merkmalexploration mit unvollständigem Wissen existiert bereits ein Computerprogramm 

"Conimp" von Peter Burmeister (vgl. [Burmeister91b] und [Burmeister96b]). Wenn bei diesem 

Programm eine Implikation als unbekannt akzeptiert wird, dann wird die Implikation im weiteren 

Verlauf der Exploration wie eine gültige Implikation behandelt. Dies hat den Nachteil, daß manche 

Fragen nach der Gültigkeit von Implikationen gar nicht mehr gestellt werden, auch wenn der 

Experte genug Wissen hat, diese Fragen zu beantworten. In dieser Arbeit wird der Algorithmus 

verbessert, indem bei einer unbekannten Implikation dem aktuellen Kontext fiktive Gegenstände 

hinzugefügt werden, welche diese Implikation widerlegen. 18 

Auch bei unvollständigem Kontextwissen wird in dieser Arbeit der Algorithmus von Conimp 

verallgemeinert: Um während der Exploration unbekanntes Kontextwissen weitestgehend zu vervollständigen, 

wird mit Hilfe von bekanntem Wissen eine Fragezeichenreduktion beim aktuellen 

unvollständigen Kontext durchgeführt. Hierbei werden einige Fragezeichen automatisch durch 

andere Werte ersetzt, sofern diese Ersetzung aus dem bekannten Wissen folgt. Das bekannte Wissen 

besteht dabei aus dem Rahmenkontext, welcher durch den Experten vorgegeben wurde, und den bis 

zu diesen Zeitpunkt als gültig akzeptierten Implikationen. Der Experte erhält nach seinem 

Wissensstand maximale Informationen über die Einträge des Kontextes: Ein Fragezeichen im 

Kontext wird genau dann ersetzt, wenn diese Ersetzung aus dem bekannten Wissen folgt. Wenn 

z.B. die Implikation A → B (mit A, B ⊆ M) als gültig akzeptiert wurde, und im aktuellen Kontext 

ein Gegenstand g alle Merkmale aus A hat, dann können die Fragezeichen in den Spalten von B 

beim Gegenstand g durch den Wert × ersetzt werden. Auf diese Weise werden bei der Exploration 

weniger Fragen gestellt, weil Gegenbeispiele zu Implikationen früher erkannt werden können. 

Diese Fragezeichenreduktion wird jedoch nicht auf alle Gegenstände des aktuellen Kontextes 

angewendet, denn der Kontext kann auch fiktive Gegenstände enthalten, wenn dem Experte die 

Gültigkeit von einigen Implikationen unbekannt ist. Da es nicht sicher ist, daß auch im Universum 

|K 8 die als unbekannt akzeptierten Implikationen durch Gegenstände widerlegt werden, könnte man 

durch eine Fragezeichenreduktion bei der Kontextzeile eines fiktiven Gegenstandes Informationen 

über das Universum verlieren. 19 Während der Exploration wird die Fragezeichenreduktion nur für 

die "sicheren" Gegenstände durchgeführt, die auch im Universum vorkommen. Erst am Ende der 

Exploration darf die Fragezeichenreduktion auch für fiktive Gegenstände durchgeführt werden, um 

einen besseren Überblick über die möglichen Kontextzeilen von Gegenbeispielen zu bekommen, 

sofern es Gegenbeispiele für die als unbekannt akzeptierten Implikationen im Universum |K 8 gibt. 

Der Experte erhält am Ende der Exploration maximales Wissen bezüglich seines Wissenstandes 

über das Universum |K 8 : 

• eine Liste P * von Implikationen, welche im Universum sicher gültig sind, 

18 vgl. Kapitel 3.1.3 

19 vgl. Beispiel 3.54 

13

• eine Liste P u von Implikationen, die bei der Exploration als unbekannt akzeptiert wurden, 

• eine Liste von sicheren Gegenständen, welche alle Implikationen widerlegen, die mit Sicherheit 

im Universum nicht gültig sind, 

• eine Liste von fiktiven Gegenständen, welche die als unbekannt akzeptierten Implikationen 

widerlegen. 

Desweiteren weiß der Experte, daß es eine Teilmenge von P u gibt, so daß alle im Universum 

gültigen Implikationen aus dieser Teilmenge und P * herleitbar sind. 20 Diese Teilmenge ist dem 

Experten im allgemeinen zwar nicht bekannt, jedoch wird dem Experten durch die Exploration eine 

Einschachtelung der gültigen Implikationen geliefert: Die Implikationen aus P * sind sicher gültig, 

die Implikationen aus P u sind möglicherweise gültig, und die Implikationen, die nicht aus P * ∪ P u 

herleitbar sind, sind mit Sicherheit nicht gültig. Um vollständiges Wissen über die im Universum 

gültigen Implikationen zu erhalten, reicht es aus, diese Liste P u zu untersuchen. Sobald der Experte 

für jede dieser Implikationen aus P u entscheiden kann, ob sie im Universum gültig ist, erhält er ein 

Erzeugendensystem aller gültigen Implikationen. Dieses Erzeugendensystem besteht gerade aus den 

als gültig akzeptierten Implikationen und den unbekannten Implikationen aus P u , die im Universum 

gültig sind. Wenn der Experte nicht bei allen unbekannten Implikationen aus P u entscheiden kann, 

ob sie gültig sind, erhält er durch die Exploration möglichst viele Informationen über die 

Implikationen, die im unbekannten Kontext gültig sind. 

Falls in den Kontextzeilen der sicheren Gegenstände am Ende der Exploration noch Fragezeichen 

vorkommen, können diese Gegenstände aus dem Kontext entfernt werden, ohne daß sich die Menge 

der im Kontext erfüllbaren Implikationen dadurch ändert. 21 Eine weitere Möglichkeit, die 

Fragezeichen zu beseitigen, besteht darin, am Ende der Exploration eine Fragezeichenreduktion für 

alle Gegenstände (also auch für die fiktiven Gegenstände) durchzuführen, und anschließend alle 

noch vorhandenen Fragezeichen durch den Wert o zu ersetzen. Auch hierbei verändert sich nicht 

die Menge der erfüllbaren Implikationen. 22 Für den Begriffsverband des Universums läßt sich nach 

der Exploration eine untere und eine obere Schranke (in Form von injektiven ∨-Halbverbandshomomorphismen) 

angeben, indem der unvollständige Kontext nach der Exploration auf eine 

geeignete Weise in einen einwertigen Kontext transformiert wird, so daß die wichtigsten 

Informationen erhalten bleiben. 23 

Durch Einschränkung der Merkmalsmenge oder Gegenstandsmenge bekommt man oft trotz 

Unvollständigkeit der Exploration vollständiges Wissen über die gültigen Implikationen von 

Teilkontexten. In Kapitel 3.1.4 wird untersucht, wie man eine geeignete Teilmenge der 

Merkmalsmenge bzw. der Gegenstandsmenge auswählen kann, damit der Experte alle gültigen 

Implikationen des Teilkontextes kennt. In Kapitel 3.1.5 werden einige Modifikationen des 

Algorithmus' diskutiert, und es wird die Redundanz von Gegenständen nach der Merkmalexploration 

untersucht. Durch eine sinnvolle Wahl von Gegenbeispielen zu den bei der Exploration 

gefragten Implikationen läßt sich die Exploration verkürzen. 

Die Merkmalexploration läßt sich auch für mehrwertige Kontexte durchführen. In Kapitel 3.2 wird 

gezeigt, daß sich die meisten Eigenschaften der einwertigen Exploration auch auf die mehrwertige 

Exploration übertragen lassen. 24 Auch hier erhält der Experte am Ende der Exploration maximales 

Wissen (bezüglich seines Wissensstandes) über die im Universum gültigen Implikationen, und er 

braucht nach der Exploration nur noch die als unbekannt akzeptierten Implikationen zu 

untersuchen, um vollständiges Wissen zu erhalten. 

20 vgl. Satz 3.53 

21 vgl. Satz 3.55 

22 vgl. Satz 3.57 

23 vgl. Satz 3.55 


14

Im vierten Kapitel werden drei Beispiele für die Merkmalexploration mit einwertigem und 

mehrwertigem Universum angegeben. Im ersten Beispiel werden einige Merkmale aus der 

Ringtheorie untersucht (z.B. rechtsartinsch, Integritätsbereich, euklidisch, ...). Die Definition dieser 

Eigenschaften findet man auch in [LidlWiesenbauer]. Die Exploration wird für zwei verschiedene 

Rahmenkontexte durchgeführt, und die Ergebnisse verglichen. An diesem Beispiel werden die 

verschiedenen Algorithmen aus dem dritten Kapitel erläutert und weitere Probleme diskutiert. 

Während man durch die Einschränkung des Kontextes auf die kommutativen Ringe vollständiges 

Wissen über die Merkmalimplikationen erhält, bleiben für den Kontext aller Ringe noch einige 

Implikationen unbekannt. Da dies keine Arbeit über Ringtheorie ist, sondern extra ein Beispiel 

verwendet wurde, bei dem zu erwarten sein würde, daß dem Durchführenden nicht alle 

Implikationen bekannt sein würden, um die Algorithmen bei der Merkmalexloration mit 

unvollständigem Wissen zu verdeutlichen, wurden für diese Arbeit auch keine intensiven 

Untersuchungen über die unbekannten Implikationen gemacht. 25 In Kapitel 4.2 wird der 

Zusammenhang zwischen dem Begriffsverband eines unbekannten Universums |K 8 und den 

Begriffsverbänden, die man mit Hilfe der Daten des Kontextes am Ende der Merkmalexploration 

aufstellen kann, anhand eines Beispiels mit natürlichen Zahlen erläutert. Im Kapitel 4.3 wird die 

Merkmalexploration mit mehrwertigem Universum an einem Beispiel durchgeführt. Bei diesem 

Beispiel werden die Implikationen zwischen Eigenschaften der Planeten unseres Sonnensystems 

untersucht. 

Im Anhang A befinden sich die ringtheoretischen Grundlagen, die beim Beispiel in Kapitel 4.1 

verwendet werden. Die meisten der angegebenen Definitionen und Sätze findet man auch in der 

Literatur. 

Zusammenhang zur Prädikatenlogik: 

Die Merkmalexploration läßt sich auch prädikatenlogisch formulieren: Jeder unvollständige 

Kontext |K = (G, M, {×, o, ?}, I) kann durch die Formelmenge 

T|K := {m(g) | I(g, m) = ×, g ∈ G, m ∈ M} ∪ {¬m(g) | I(g, m) = o, g ∈ G, m ∈ M} 

dargestellt werden, wobei jeder Gegenstand g ∈ G als konstantes Operationssymbol und jedes 

Merkmal m ∈ M als einstelliges Relationssymbol verwendet wird. Jede Merkmalimplikation 

α :≡ A → B kann durch die allquantifizierte positive Hornformel 

Hα := ∀x. 

m∈A ∧ m(x) → ∧ m(x) 

m∈B dargestellt werden, und jede Menge P von Merkmalimplikationen kann durch die Formelmenge 

HP := {Hα | α ∈ P} 

dargestellt werden. Eine Merkmalimplikation α ≡ A → B ist im unvollständigen Kontext |K genau 

dann erfüllbar, wenn T|K W/ ¬Hα gilt. Das Problem der Merkmalexploration läßt sich dann 

prädikatenlogisch wie folgt formulieren: Gegeben sei eine unbekannte Menge T 8 von Literalen und 

eine unbekannte Menge H 8 von (allquantifizierten) positiven Hornformeln, so daß 

T 8 W ¬α gdw. H 8 W/ α 

für alle positiven Hornformeln α gilt. Gesucht ist eine Menge H * von positiven Hornformeln und 

Mengen T s und T ? von Literalen, so daß für jede positive Hornformel α 

T s ∪ T ? W ¬α gdw. H * W/ α 

gilt. Die Menge H 8 entspricht bei der Merkmalexploration der formalen Begriffsanalyse (einem 

Erzeugendensystem) der Menge der im Universum |K 8 gültigen Implikationen, und die Menge T 8 

entspricht der Menge T|K 8, d.h. der Formelmenge, die die Einträge des Kontextes |K 8 darstellt. Die 

25 

Nach der Einreichung dieser Dissertation wurde von Christian Herrmann ein Beweis für die Gültigkeit der 

unbekannten Implikationen gefunden. 

15

Menge T s entspricht der Formelmenge, die die Einträge der sicheren Gegenstände nach der 

Exploration darstellt, und analog stellt die Menge T ? die fiktiven Gegenstände dar. Die Menge H * 

ist die Menge der bei der Exploration als gültig akzeptierten Implikationen. Auf diese Weise kann 

die Exploration in der Prädikatenlogik durchgeführt werden: Das Computerprogramm fragt in 

jedem Schritt nach der Gültigkeit einer positiven Hornformel, und wenn der Experte diese Frage 

mit "nein" beantwortet, muß er eine Menge T von Literalen angeben, welche diese Hornformel 

widerlegen, 26 d.h. es gilt T W ¬α. Die Menge T s am Ende der Exploration besteht genau aus diesen 

Literalen, die durch den Experten eingegeben wurden. Wenn der Experte eine Frage des Programms 

mit "unbekannt" beantwortet, wird durch das Programm für jedes Literal der Konklusion, für die die 

Implikation unbekannt ist, mittels neuer nullstelliger Operationssymbole eine minimale Menge T 

von Literalen erzeugt, welche die Implikation widerlegt. Die Menge T ? am Ende der Exploration 

besteht genau aus diesen Literalen, die durch das Programm erzeugt wurden. Wenn der Experte die 

Frage mit "ja" beantwortet wird die Hornformel der Menge H * hinzugefügt. 

Zusammenhang zur Datenbanktheorie: 

Seien W eine Menge und k > 0. Eine unvollständige Datenbank 27 ist eine endliche Teilmenge von 

(W ∪ {?}) k . Jeder unvollständigen Datenbank D ⊆ (W ∪ {?}) k läßt sich in kanonischer Weise ein 

unvollständiger mehrwertiger Kontext zuordnen: |K := (G, M, W ∪ {?}, I) mit M = {1, 2, ..., k}, 

G = {1, 2, ..., |D|} und I(g, m) = dg(m), wobei D = {d1, d2, ..., d|D|} ist. Jeder endliche unvollständige 

mehrwertige Kontext |K = (G, M, W ∪ {?}, I) induziert eine unvollständige Datenbank D := {(I(g, 

m1), I(g, m2), ..., I(g, mk)) | g ∈ G}, wobei k = |M| und M = {m1, m2, ..., mk} ist. Eine unvollständige 

Datenbank ist in diesem Sinne also nichts anderes, als ein endlicher unvollständiger mehrwertiger 

Kontext, bei dem die Gegenstandsmenge und die Merkmalsmenge nicht explizit angegeben sind. 

Für die Praxis ist es häufig sinnvoll, den Spalten einer Datenbank D Namen zu geben, d.h. man 

führt eine Merkmalsmenge M mit |M| = k ein, um mit Hilfe der Elemente von M auf eine Spalte der 

Datenbank zugreifen zu können. 28 Die Untersuchung der Abhängigkeiten zwischen den Spalten 

einer unvollständigen Datenbank läßt sich auf die Untersuchung von unvollständigen mehrwertigen 

Kontexten zurückführen. Da bei einer Datenbank die Gegenstände nicht explizit gegeben sind, wird 

auf die Daten mit Hilfe eines sogenannten Schlüssels zugegriffen. Ein Schlüssel einer vollständigen 

Datenbank ist eine Teilmenge T ⊆ M, so daß M von T funktional abhängig ist, d.h. für den die 

Implikation T → M für die Relation ρ = id in dem zugehörigen vollständigen mehrwertigen 

Kontext |K gültig ist. Auf diese Weise kann man auch ohne Gegenstandsmenge auf jede Zeile d ∈ D 

der Datenbank zugreifen, indem man den Schlüssel (d(t))t∈T ∈ W T verwendet, der die Zeile 

eindeutig identifiziert. 

In der Literatur wurden unvollständige Datenbanken bereits eingehend untersucht. 29 Der Wert "?" 

wird als Nullmarke bezeichnet. Eine Nullmarke kann in der Praxis mehrere Bedeutungen haben: 

1. der Wert in der Datenbank ist unbekannt 

2. der Wert existiert nicht (z.B. wenn ein Kunde einer Firma keine Bankverbindung hat, dann 

enthält die Kundendatenbank an dieser Stelle eine Nullmarke) 

3. der Wert ist undefiniert (z.B. das Maximum der leeren Menge) 

4. der Wert ist ungültig 

5. der Wert wurde nicht angegeben (verweigerte Aussage) 

26 

Man könnte hierbei noch fordern, daß in dieser Menge nur ein Operationssymbol auftreten darf, jedoch kann es auch 

bei der Exploration in der formalen Begriffsanalyse manchmal sinnvoll sein, wenn der Experte bei einigen bereits 

eingegebenen Kontextzeilen Fragezeichen durch den Wert × oder o ersetzen kann, wenn er festgestellt hat, daß ihm 

diese Einträge bekannt sind. In solch einem Fall kann also die Menge T auch mehrere Operationssymbole enthalten. 

27 

vgl. [Klein99] (Kapitel 2) 

28 

vgl. [Klein99] (Kapitel 2) 

29 

vgl. [Codd], [Codd79], [Date86], [Date89], [Klein99] 

16

Eine Vervollständigung eines unbekannten Kontextes entspricht in der Theorie der Datenbanken 

einer Relation, die dadurch aus der unvollständigen Relation entsteht, daß jede Nullmarke durch 

einen anderen Wert ersetzt wird. Im Gegensatz zu Kontexten kann es bei Datenbanken passieren, 

daß mehrere Zeilen der Datenbank miteinander identifiziert werden, wenn durch die Vervollständigung 

dasselbe Tupel entsteht. In [Klein97] wird auch der Fall betrachtet, daß eine Nullmarke 

durch mehrere Werte ersetzt werden kann, in diesem Fall kann die Vervollständigung somit auch 

mehr Zeilen enthalten, als die unvollständige Datenbank. In der Praxis sind diese Arten von 

Vervollständigungen in der Datenbanktheorie sehr nützlich, weil bei einer Datenbank im Gegensatz 

zum Kontext nicht jeder Zeile ein Gegenstand zugeordnet wird, sondern Wertetupel als Elemente 

der Datenbank verwendet werden. Wenn man also durch eine unvollständige Datenbank 

Informationen einer unbekannten vollständigen Datenbank darstellt, kann es passieren, daß zwei 

verschiedene Zeilen der vollständigen Datenbank durch dasselbe unvollständige Tupel dargestellt 

werden, und somit miteinander identifiziert werden. Dieses Problem könnte man dadurch 

beseitigen, daß man verlangt, daß im Schlüssel einer Datenbank keine Nullmarke vorkommen darf, 

denn in diesem Fall können verschiedene Zeilen nicht durch dieselbe unvollständige Zeile 

dargestellt werden. Umgekehrt können auch bei der Bildung der Vervollständigung einer solchen 

unvollständigen Datenbank keine Zeilen miteinander identifiziert werden, denn zwei unterschiedliche 

Zeilen der unvollständigen Datenbank haben sowohl vor als auch nach der Vervollständigung 

im Schlüssel unterschiedliche Werte. Die Vervollständigung enthält in einem solchen 

Fall genauso viele Zeilen, wie die unvollständige Datenbank. 

Die Einschachtelung für die in einem unbekannten Kontext gültigen Formeln durch die Angabe von 

erfüllbaren und Kripke-gültigen Formeln in Kapitel 2 wird in der Literatur in ähnlicher Weise auch 

bei unvollständigen Datenbanken verwendet: In den Arbeiten von W. Lipski 30 erhält man bei einer 

Anfrage zu einer unvollständigen Datenbank eine Menge von sicheren Antworten als untere 

Schranke, und eine Menge von möglichen Antworten als obere Schranke zu der Antwortmenge, die 

sich bei vollständigem Wissen ergeben würde. Dadurch erhält der Benutzer ein besseres Ergebnis, 

als bei der Verwendung der Kleene-Logik, denn bei der Einschachtelung durch die möglichen und 

sicheren Antworten können alle Informationen der Datenbank benutzt werden, während die Kleene- 

Logik oft nur eine schlechtere Einschachtelung zuläßt, und manchmal sogar überhaupt keine 

Informationen über die Antwortmenge liefert. Wenn z.B. die Differenz x-x berechnet werden soll, 

und x einen unbekannten Wert enthält, dann ist das Ergebnis in der Kleene-Logik der Wert "?". Um 

das Verhalten bei Abfragen zu verbessern, könnte der Benutzer default-Werte für Nullmarken 

angeben. 31 In diesem Fall wird bei jeder Datenbankabfrage ein unbekannter Wert durch den default- 

Wert ersetzt. Dadurch tauchen zwar nicht mehr die Probleme wie bei der Kleene-Logik auf, jedoch 

kann der Benutzer am Ergebnis seiner Abfrage nicht erkennen, ob bei anderen default-Werten ein 

anderes Ergebnis entstehen würde. In [Klein97] wird neben der Kleene-Logik auch die Logik von 

Lukasiewicz untersucht, welche bei unvollständigen Datenbanken (und unvollständigen Kontexten) 

auch einen falschen Wert liefern kann, weil die Implikation "? → ?" zum Wahrheitswert "true" 

ausgewertet wird. Bei den anderen Junktoren ∧, ∨ und ¬ stimmt die Logik von Lukasiewicz mit der 

Kleene-Logik überein. Neben diesen dreiwertigen Logiken wird in [Klein99] auch eine fünfwertige 

Logik untersucht, welche bessere Ergebnisse liefert, als die Kleene-Logik. Ein weiterer Vorschlag 

zur Verbesserung der Kleene-Logik ist die Verwendung von mehreren Nullwerten in 

unvollständigen Datenbanken. 32 Es wird für jeden unbekannten Wert in der Datenbank eine 

Variable eingeführt. Wenn dieselbe Variable an mehreren Stellen der Datenbank vorkommt, dann 

wird dadurch ausgedrückt, daß in der unbekannten Vervollständigung an diesen Stellen derselbe 

Wert steht. Auf diese Weise ergeben sich neue Möglichkeiten für Algorithmen 33 zur Berechnung 

von sicheren bzw. möglichen Ausdrücken zu einer Anfrage. Jedoch sind diese Algorithmen 

30 

vgl. [Lipski76], [Lipski79], [Lipski81], [Lipski84] 

31 

vgl. [Date86] 

32 

vgl. [Klein97] 

33 

vgl. [Klein97] 

17

exponentiell, wenn man genau die sicheren bzw. möglichen Antworten berechnen möchte. Um 

einen polynomiellen Algorithmus zu erhalten muß man entweder Einschränkungen bei den 

Anfragen machen, oder Unvollständigkeit in Kauf nehmen. Die Frage nach der Gültigkeit bzw. 

Erfüllbarkeit einer Formel α ∈ F(M) in einem unvollständigen Kontext läßt sich als Spezialfall 

einer Anfrage an eine Datenbank auffassen, also können diese Überlegungen auch auf die formale 

Begriffsanalyse übertragen werden. 

Für eine Menge P ⊆ ImpM von Implikationen und einen unvollständigen Kontext |K folgt aus der 

Existenz einer Vervollständigung |K' ∈ V(|K) mit P ⊆ Imp(|K') schon die Erfüllbarkeit von P in |K. 

Die Umkehrung dieser Aussage ist jedoch falsch, denn die gleichzeitige Erfüllbarkeit aller 

Implikationen aus P ist eine stärkere Forderung, als die Erfüllbarkeit jeder einzelnen Implikation 

aus P. Eine Menge P, für die diese beiden Bedingungen in allen unvollständigen Kontexten 

äquivalent sind, wird in der Datenbanktheorie (z.B. in [LeveneLoizou]) "additiv" genannt. Hierbei 

ist jedoch zu beachten, daß die Additivität bei Datenbanken andere Eigenschaften hat, als für 

unvollständige Kontexte. Z.B. ist der Charakterisierungssatz für additive Implikationenmengen aus 

[LeveneLoizou] für unvollständige Kontexte nicht gültig. Dies liegt daran, daß Implikationen in 

Datenbanken funktionale Abhängigkeit bedeuten, und die Erfüllbarkeit einer Implikation A → B 

für eine ganze Datenbank ist stärker als die Erfüllbarkeit von A → B für jedes Paar (g, h) ∈ G 2 von 

Gegenständen (vgl. Beispiel 2.99 in Kapitel 2.5). Für unvollständige Kontexte ergibt sich daher eine 

andere Charakterisierung von additiven Implikationenmengen 34 als für Datenbanken. 35 

Weitere Explorationsalgorithmen aus der Literatur: 

Es gibt in der Literatur neben der Merkmalexploration noch andere Algorithmen, die ähnlich 

verlaufen: 

1. Begriffexploration 

2. Regelexploration 

3. Prädikatexploration 36 und andere Lernverfahren der künstlichen Intelligenz 

Bei der Begriffexploration 37 fragt das Explorationsprogramm nach Unter- bzw. Oberbegriffsbeziehungen 

zwischen den Begriffen des aktuellen Kontextes. Die Gegenstands- und die Merkmalsmenge 

des gesammten Kontextes sind am Anfang der Exploration noch nicht festgelegt. Während 

der Exploration werden dem aktuellen Kontext Gegenstände oder Merkmale hinzugefügt, wenn 

eine Frage mit "nein" beantwortet werden. Begriffexploration mit unvollständigen Wissen wurde in 

der Literatur bis jetzt noch nicht untersucht. 

Die Regelexploration kann als Erweiterung der Merkmalexploration aufgefaßt werden. Bei der 

Regelexploration werden prädikatenlogische Hornformeln untersucht. 38 

Auf dem Gebiet der künstlichen Intelligenz gibt es sehr viele Ansätze für Lernverfahren. 39 Eines der 

wichtigen Lernverfahren der KI ist die Exploration von Prädikaten. Hierbei wird eine n-stellige 

Relation auf einer gegebenen Grundmenge gesucht. Das Explorationsprogramm fragt den Benutzer 

ob bestimmte Tupel in der Relation vorkommen, und versucht, durch die Antworten des Benutzers 

eine Beschreibung (z.B. durch Klauseln oder Hornformeln 40 ) der Relation zu finden. Bei diesem 

Verfahren wird auch unbekanntes Wissen des Benutzers berücksichtigt. 41 Weitere Verfahren und 

Algorithmen findet man in [Muggleton]. 

34 

vgl. Satz 2.60 und Satz 2.61 

35 

vgl. Theorem 6.4 in [LeveneLoizou] 

36 

in der Literatur auch "concept-learning" genannt (vgl. [Muggleton] oder [RaedtBruynooghe]) 

37 

vgl. [KlotzMann], [Stumme95], [Stumme96], [Stumme97a], [Stumme97c] 

38 

vgl. [Zickwolff] 

39 

vgl. [Muggleton] 

40 

vgl. [Flach] 

41 

vgl. [RaedtBruynooghe] oder Kaptiel 8 in [Muggelton] 

18

Die Explorationsalgorithmen aus der Literatur unterscheiden sich sowohl in der Problemstellung als 

auch im Algorithmus von der Merkmalexploration. Die Gemeinsamkeit besteht hier nur in der 

Interaktion mit dem Benutzer: Das Computerprogramm stellt dem Benutzer fragen, und das 

Programm liefert dem Benutzer durch die Auswertung seiner Antworten Informationen über das 

(möglicherweise unbekannte) Universum, welches exploriert werden soll. Auch unvollständiges 

Wissen des Benutzers wird bei den verschiedenen Explorationsalgorithmen anders behandelt, als in 

dieser Dissertation. 

Ich bedanke mich bei Prof. Burmeister für die Betreuung und Unterstützung bei dieser Arbeit. Ich 

danke Prof. Herrmann, Prof. Wille, Prof. Streicher, Selma Strahringer und anderen Mitgliedern des 

Fachbereichs Mathematik für hilfreiche Anregungen und Verbesserungsvorschläge. 

19

1. Grundlagen 

1.1 Kleene-Algebren 

In den nachfolgenden Kapiteln werden häufig Kleene-Algebren verwendet, um Logiksysteme für 

die Merkmalslogik von unvollständigen Kontexten zu definieren. Aus diesem Grund werden hier 

die wichtigsten Eigenschaften von Kleene-Algebren zusammengefaßt. 

1.1. Definition (Kleene-Algebra): 

Eine Kleene-Algebra A = (A, ∧ A , ∨ A , → A , ¬ A , Z A , Y A ) ist ein distributiver beschränkter Verband, 

so daß zusätzlich für x, y ∈ A folgende Axiome in A gültig sind: 42 

(1) ¬¬x = x 

(2) ¬(x ∧ y) = ¬x ∨ ¬y 

(3) ¬x ∧ x ≤ ¬y ∨ y 

(4) x → y = ¬x ∨ y 

A heißt boolesch, wenn zusätzlich das Axiom x ∨ ¬x = Y in A gilt. 

Die Operationen ∨, → und Y lassen sich durch die Operationen ∧, ¬ und Z ausdrücken, denn die 

Gleichungen 

x ∨ y = ¬(¬x ∧ ¬y) 

x → y = ¬x ∨ y 

Y = ¬Z 

folgen direkt aus den Axiomen der Kleene-Algebren. Die Operationen ∨, → und Y sind somit 

Termoperationen 43 über dem Typ (∧, ¬, Z), also gilt folgender Satz: 

1.2. Satz (Homomorphismen und Kongruenzrelationen bei Kleene-Algrbren): 

Jede Abbildung zwischen Kleene-Algebren, die mit ∧, ¬ und Z verträglich ist, ist auch mit den 

Operationen ∨, → und Y verträglich. Eine analoge Aussage gilt für Kongruenzrelationen, wobei 

hier auch schon die Verträglichkeit in einer Komponente ausreicht: Eine Äquivalenzrelation R auf 

einer Kleene-Algebra A ist genau dann eine Kongruenzrelation, wenn für alle a, b, c ∈ A mit 

(a, b) ∈ R auch (a ∧ c, b ∧ c) ∈ R und (¬a, ¬b) ∈ R gilt. 

❚ 

Während bei booleschen Algebren die Operation ¬ nur in der einelementigen booleschen Algebra 

einen Fixpunkt haben kann (d.h. ¬x = x), kommt es bei Kleene-Algebren häufig vor, daß die 

Operation ¬ einen Fixpunkt hat. Im folgenden Lemma wird jedoch bewiesen, daß der Fixpunkt 

einer Kleene-Algebra eindeutig bestimmt ist, falls er existiert. 

1.3. Lemma (eindeutiger Fixpunkt der Negation): 

In einer Kleene-Algebra A hat die Operation ¬ höchstens einen Fixpunkt. 44 

42 Der Index A an den Operationen einer Kleene-Algebra (∧ A , ∨ A , ...) wird manchmal auch weggelassen, wenn aus dem 

Zusammenhang klar ist, welche Kleene-Algebra gemeint ist. 

43 Die Implikation → wird in der Literatur manchmal nicht in die Signatur der Kleene-Algebren aufgenommen (vgl. 

[Pagliani97], [Cignoli]). In diesem Fall enthält die Signatur nur die Operationen ∧, ∨, ¬, Z und Y. 

44 Dieser Fixpunkt wird auch Zentrum von A genannt, wenn er existiert (vgl. [Cignoli], Seite 264). 

21

Beweis: 

Für x, y ∈ A mit x = ¬x und y = ¬y gilt 

x = x ∧ ¬x ≤ y ∨ ¬y = y und y = y ∧ ¬y ≤ x ∨ ¬x = x, also x = y. 

❚ 

1.4. Definition (Kleene-Algebren 3 und 2): 

Sei 3 := ({×, ?, o}, ∧ 3 , ∨ 3 , ¬ 3 , → 3 , Z 3 , Y 3 ) die Algebra mit den Operationen 

22 

∧ 3 o ? × ∨ 3 o ? × 

o o o o o o ? × 

? o ? ? ? ? ? × 

× o ? × × × × × 

→ 3 o ? × ¬ 3 

o × × × o × 

? ? ? × ? ? 

× o ? × × o 

und Z 3 = o und Y 3 = ×. Sei 2 := ({×, o}, ∧ 2 , ∨ 2 , ¬ 2 , → 2 , Z 2 , Y 2 ) die (einzige echte) Unteralgebra 

von 3. 

Es ist offensichtlich, daß alle Axiome der Kleene-Algebren für 3 erfüllt sind, d.h. 2 und 3 sind 

Kleene-Algebren. 2 ist boolesch, denn für x ∈ {×, o} gilt x ∨ 2 ¬ 2 x = Y 2 . Die Verbandsordnung auf 

3 ist durch o < ? < × gegeben. 

Die beiden Kleene-Algebren 2 und 3 werden in den nachfolgenden Kapiteln verwendet um die 

Gültigkeit von Formeln in einem Kontext durch Homomorphismen in die Kleene-Algebren 2 und 3 

auszudrücken. Die Algebra 2 ist auch die Semantik der booleschen Aussagenlogik, d.h. die 

Operationen von 2 entsprechen den Junktoren in der Aussagenlogik. Die Algebra 3 ist die Semantik 

der dreiwertigen Kleene-Logik. Diese Logik wird häufig benutzt, um aussagenlogische Formeln 

auswerten zu können, wenn für einige Variablen nicht bekannt ist, ob sie den Wahrheitswert wahr 

oder falsch haben. 

Um einen besseren Überblick über die Kleene-Algebren zu bekommen, ist es nützlich, die subdirekt 

irreduziblen Kleene-Algebren zu untersuchen, weil jede Kleene-Algebra subdirektes Produkt von 

subdirekt irreduziblen Kleene-Algebren ist. Während bei den distributiven Verbänden der 

zweielementige Verband der einzige subdirekt irreduzible distributive Verband ist, gibt es bei 

Kleene-Algebren genau zwei subdirekt irreduzible Algebren: 

1.5. Satz (subdirekt irreduzible Kleene-Algebren): 

2 und 3 sind (bis auf Isomorphie) die einzigen subdirekt irreduziblen Kleene-Algebren. 45 

❚ 

Um im Kapitel 2 die Gültigkeit von Formeln in einem Kontext durch Kleene-Algebren 

auszudrücken, wird nun eine weitere Kleene-Algebra definiert: 

1.6. Definition (Kleene-Algebra AG): 

Seien G eine Menge und AG = (AG, ∧, ∨, →, ¬, Z, Y) die Kleene-Algebra 46 mit 

45 vgl. [Cignoli], Seite 271 

46 vgl. [Pagliani97], Seite 8

AG = {(B1, B2) | B1, B2 ⊆ G, B1 ∩ B2 = ∅} 

(B1, B2) ∧ (C1, C2) := (B1 ∩ C1, B2 ∪ C2) 

(B1, B2) ∨ (C1, C2) := (B1 ∪ C1, B2 ∩ C2) 

(B1, B2) → (C1, C2) := (B2 ∪ C1, B1 ∩ C2) 

¬(B1, B2) := (B2, B1) 

Y := (G, ∅) 

Z := (∅, G) 

Die Ordnung auf dem Verband (AG, ∧, ∨) ist durch 

(B1, B2) ≤ (C1, C2) gdw. B1 ⊆ C1 und C2 ⊆ B2 

für (B1, B2), (C1, C2) ∈ AG definiert, denn (B1, B2) ∧ (C1, C2) = (B1, B2) gilt genau dann, wenn 

B1 ∩ C1 = B1 und B2 ∪ C2 = B2 gilt. 

Es besteht ein enger Zusammenhang 47 zwischen der Kleene-Algebra AG und der Kleene-Algebra 3: 

1.7. Lemma (AG ist isomorph zu 3 G ): 

Es gilt AG ≅ 3 G . Der Isomorphismus ist die Abbildung h : 3 G → AG mit h(f) = (f -1 (×), f -1 (o)) für 

f : G → 3. 

Beweis: 

Für f1, f2 : G → 3 mit h(f1) = h(f2) gilt f1 -1 (×) = f2 -1 (×) und f1 -1 (o) = f2 -1 (o), also auch f1 -1 (?) = f2 -1 (?) 

und damit f1 = f2, also ist h injektiv. 

Für (B1, B2) ∈ AG und f : G → 3 mit 

f(g) = × für g ∈ B1, 

f(g) = o für g ∈ B2, 

f(g) = ? für g ∈ G - (B1 ∪ B2) 

gilt h(f) = (B1, B2), also ist h surjektiv. 

Für f, f1, f2 : G → 3 gilt: 

h(f1 ∧ f2) = ( {g ∈ G | (f1 ∧ f2)(g) = ×}, {g ∈ G | (f1 ∧ f2)(g) = o}) = 

( {g ∈ G | f1(g) = × und f2(g) = ×}, {g ∈ G | f1(g) = o oder f2(g) = o}) = 

(f1 -1 (×) ∩ f2 -1 (×), f1 -1 (o) ∪ f2 -1 (o)) = h(f1) ∧ h(f2) 

h(¬f) = ( {g ∈ G | (¬f)(g) = ×}, {g ∈ G | (¬f)(g) = o}) = 

( {g ∈ G | f(g) = o}, {g ∈ G | f(g) = ×}) = ¬h(f) 

h(Z) = (∅, G) = Z 

Nach Satz 1.2 ist h ein Homomorphismus, also ein Isomorphismus. 

❚ 

47 dieser Zusammenhang wird in [Pagliani97] nicht erwähnt 

23

1.2 Formale Begriffsanalyse 

Die folgenden Definitionen und Sätze können auch aus [GanterWille96] (Kapitel 1) entnommen 

werden: 

Ein einwertiger Kontext |K = (G, M, I) besteht aus einer Menge G von Gegenständen, einer Menge 

M von Merkmalen und einer Relation I ⊆ G × M. Für A ⊆ G und B ⊆ M seien 

A I := A' := {m ∈ M | (g, m) ∈ I für alle g ∈ A} und 

B I := B' := {g ∈ G | (g, m) ∈ I für alle m ∈ B}. 

Die (Ableitungs-)Operatoren ' : ℘(G) → ℘(M) und ' : ℘(M) → ℘(G) bilden eine Galoisverbindung 

zwischen G und M, d.h. ' ist antiton und '' ist ein Hüllenoperator auf G bzw. M. 

Für A ⊆ G und B ⊆ M heißt das Paar (A, B) Begriff von |K, wenn A' = B und B' = A gilt. A heißt 

Umfang und B heißt Inhalt des Begriffs (A, B). Eine Menge B ⊆ M heißt Gegenstandsinhalt, wenn 

es einen Gegenstand g ∈ G mit B = g' := {g}' gibt. Die Begriffe bilden einen vollständigen 

(Begriffs-)Verband X(|K) mit 

(A1, B1) ≤ (A2, B2) gdw. A1 ⊆ A2 gdw. B2 ⊆ B1, 

(A1, B1) ∨ (A2, B2) = ((A1 ∪ A2)'', B1 ∩ B2) = ((B1 ∩ B2)', B1 ∩ B2) und 

(A1, B1) ∧ (A2, B2) = (A1 ∩ A2, (B1 ∪ B2)'') = (A1 ∩ A2, (A1 ∩ A2)') 

für (A1, B1), (A2, B2) ∈ X(|K). Beliebige Suprema und Infima werden analog gebildet. 

Ext(|K) := {A ⊆ G | (A, B) ∈ X(|K) für ein B ⊆ M} = {A ⊆ G | A = A''} = {B' | B ⊆ M} 

Int(|K) := {B ⊆ M | (A, B) ∈ X(|K) für ein A ⊆ G} = {B ⊆ M | B = B''} = {A' | A ⊆ G} 

Man kann sich einen (endlichen) einwertigen Kontext als Tabelle vorstellen. Jeder Gegenstand 

g ∈ G entspricht einer Zeile in der Tabelle, und jedes Merkmal m ∈ M entspricht einer Spalte der 

Tabelle. In der Zeile g und der Spalte m steht genau dann ein ×, wenn (g, m) ∈ I ist, ansonsten 

bleibt der Tabelleneintrag leer. 

Wenn für g, h ∈ G aus g I = h I schon g = h folgt, dann heißt der Kontext |K gegenstandsbereinigt. 

Die Identifizierung von solchen Gegenständen g ≠ h mit g I = h I heißt Gegenstandsbereinigung. 

Ein mehrwertiger Kontext |K = (G, M, W, I) besteht aus einer Menge G von Gegenständen, einer 

Menge M von Merkmalen, einer Familie W = (Wm)m∈M von Wertemengen und einer Relation 

I ⊆ G × M × W, so daß für alle g ∈ G und alle m ∈ M genau ein w ∈ Wm mit (g, m, w) ∈ I 

existiert 48 . Dieser Wert w wird auch mit I(g, m) oder m(g) bezeichnet. Wenn Wm = Wn für alle 

m, n ∈ M gilt, wird die Familie W von Wertemengen häufig auch als einzelne Menge definiert: 

W := Wm. In diesem Fall wird |K auch als n-wertiger Kontext bezeichnet, wenn |W| = n ≥ 2 gilt. 

Man kann sich einen (endlichen) mehrwertigen Kontext ebenfalls als Tabelle vorstellen, wobei 

I(g, m) der Tabelleneintrag in Zeile g und Spalte m ist. Die Kontextzeile eines Gegenstandes g ∈ G 

ist die Abbildung I(g, ⋅) : M → W, welche jedem Merkmal m ∈ M den Wert I(g, m) zuordnet. Auch 

bei einwertigen Kontexten |K = (G, M, I) läßt sich die Kontextezeile eines Gegenstandes g ∈ G als 

Abbildung I(g, ⋅) : M → {×, o} auffassen, wobei I(g, m) = × gdw. (g, m) ∈ I für m ∈ M ist. 

Häufig interessiert man sich nicht für den gesamten Kontext, sondern nur für einen Teilkontext. 

Seien |K = (G, M, I) ein einwertiger Kontext und S ⊆ G, T ⊆ M. Die Teilkontexte von |K mit der 

48 In der Literatur wird häufig auch zugelassen, daß für g ∈ G und m ∈ M höchstens ein w ∈ W mit (g, m, w) ∈ I 

existiert. Solche "partiellen" Kontexte können jedoch zu einen "totalen" Kontext umgeformt werden, indem die Menge 

W um ein neues Element erweitert wird (vgl. auch Definition von unvollständigen mehrwertigen Kontexten in Kapitel 

2.5). 

25

Gegenstandsmenge S bzw. Merkmalsmenge T werden wie folgt definiert: 49 

|K| S := (S, M, I ∩ (S × M)) 

|K| T := (G, T, I ∩ (G × T)) 

|K| S×T := (S, T, I ∩ (S × T)) 

Die Einschränkung der Gegenstands- bzw. Merkmalsmenge von mehrwertigen Kontexten wird 

analog definiert. 

Der folgende Satz liefert einen Zusammenhang zwischen dem Begriffsverband eines einwertigen 

Kontextes |K und dem Begriffsverband eines Teilkontextes von |K. 

1.8. Satz (Halbverbandshomomorphismen zwischen Begriffsverbänden nach Einschränkung 

der Gegenstandsmenge): 50 

Seien |K = (G, M, I) ein einwertiger Kontext und S ⊆ G. Sei |K|S = (S, M, J) der Teilkontext von |K 

mit J = I ∩ (S × M). 

Sei h : X(|K|S) → X(|K) mit h(A J , A) := (A I , A) für (A J , A) ∈ X(|K|S). 

Sei k : X(|K) → X(|K|S) mit k(A, A I ) := (S ∩ A, (S ∩ A) J ) für (A, A I ) ∈ X(|K). 

Dann ist h ist ein injektiver ∨-Halbverbandshomomorphismus, und k ist ein surjektiver ∧-Halbverbandshomomorphismus. 

❚ 

Nach der Einschränkung der Gegenstandsmenge ist der Begriffsverband X(|K|S) des Teilkontextes 

|K' als ∨-Halbverband isomorph zu einem Unterhalbverband von X(|K). 

Durch Vertauschen von Gegenstandsmenge und Merkmalsmenge erhält man duale Aussagen über 

Teilkontexte durch Einschränkung der Merkmalsmenge: Für einen Kontext |K = (G, M, I) und |K|T = 

(G, T, J) mit T ⊆ M ist h : X(|K|T) → X(|K) mit h(A, A J ) := (A, A I ) für (A, A J ) ∈ X(|K|T) ein 

injektiver ∧-Halbverbandshomomorphismus, und die Abbildung k : X(|K) → X(|K|T) mit k(A I , A) 

:= ((T ∩ A) J , T ∩ A) für (A I , A) ∈ X(|K) ist ein surjektiver ∨-Halbverbandshomomorphismus, 

denn durch Vertauschung der Gegenstandsmenge und Merkmalsmenge wird die Ordnung im 

Begriffsverband umgedreht. 

Seien |K = (G, M, W, I) ein mehrwertiger Kontext und $ = ($m)m∈M eine Familie von mehrwertigen 

Kontexten mit $m = (Gm, Mm, Wm, Im) und Wm = (Wm,v)v∈M und I(G, m) ⊆ Gm für m ∈ M. Durch 

m 

eine Skalierung läßt sich der Kontext |K in einen anderen Kontext |K$ := (G, M$, W$, I$) transformieren: 

M$ := {m} × Mm, 

m∈M 

W$ := (Wm,v)(m,v)∈M $ , 

I$(g, (m, v)) := Im(I(g, m), v) für g ∈ G, m ∈ M, v ∈ Mm. 

|K$ heißt abgeleiteter Kontext von |K bezüglich der Skalen ($m)m∈M. Anschaulich gesehen wird bei 

der Skalierung jeder Wert w ∈ W in einer Zeile g in einer Spalte m des Kontextes |K durch die 

Kontextzeile von w in $m ersetzt. 

In [GanterWille96] (Kapitel 1.3) wird die Skalierung nur mit einwertigen Skalen definiert, die 

mehrwertige Skalierung läßt sich als Verallgemeinerung der einwertigen Skalierung auffassen, 

49 Wenn die Gegenstandsmenge nicht disjunkt zur Merkmalsmenge ist, dann geht aus dem Zusammenhang hervor, ob 

mit |K|S die Einschränkung der Gegenstandsmenge oder der Merkmalsmenge gemeint ist. 

50 vgl. [GanterWille96], Kapitel 3.1 

26

wenn man einen einwertigen Kontext mit dem zugehörigen mehrwertigen Kontext mit der 

Wertemenge W = {×, o} identifiziert. Da in dieser Arbeit auch unvollständiges Kontextwissen 

untersucht wird, ist es manchmal nützlich, wenn durch die Skalierung nicht ein einwertiger sondern 

ein unvollständiger Kontext 51 (mit den Werten ×, o und ?) entsteht. Auch die Faktorisierung von 

Wertemengen läßt sich durch mehrwertige Skalierung realisieren: Sei |K = (G, M, W, I) ein 

mehrwertiger Kontext und ≈m eine Äquivalenzrelation auf Wm für m ∈ M. Sei $ = ($m)m∈M mit 

$m = (Wm, {m}, Wm/≈m, Im) und Im(w, m) = w/≈m für w ∈ Wm und m ∈ M. Dann enthält der 

abgeleitete Kontext |K$ Äquivalenzklassen als Einträge. Jeder Wert w ∈ Wm wurde durch seine 

Äquivalenzklasse w/≈m ersetzt. Die Merkmalsmenge {(m, m) | m ∈ M} des abgeleiteten Kontext 

kann man hierbei mit der Merkmalsmenge M von |K identifizieren. Durch die Faktorisierung erhält 

man eine Vergröberung der Werte. Wenn z.B. das Merkmal "Alter" im Kontext |K vorkommt, durch 

welches das Alter von Personen beschrieben wird, kann man die konkreten Zahlen in dieser 

Kontextspalte von |K durch die Werte "jung" (falls I(g, m) < 40 ist) und "alt" (falls I(g, m) ≥ 40 ist) 

ersetzen. Dies entspricht gerade der Faktorisierung nach der Relation 

≈Alter = {(v, w) ∈ WAlter 2 | v, w < 40 oder v, w ≥ 40}. 

51 vgl. Kapitel 2 

27

1.3 Logik 

Um Zusammenhänge zwischen den Spalten eines (einwertigen oder mehrwertigen) Kontextes zu 

beschreiben, werden in dieser Arbeit aussagenlogische Formeln über der Merkmalsmenge 

verwendet. In Kapitel 2 wird gezeigt, daß sich der Korrektheitssatz und der Vollständigkeitssatz der 

Aussagenlogik (vgl. Satz 1.12) auch auf die Merkmalslogik bei einwertigen und unvollständigen 

Kontexten übertragen lassen. 

1.9. Definition (Formeln, var, Modell, Mod, Th): 

Sei M eine Menge (von Variablen). Die Menge F = F(M) der Formeln über M wird induktiv 

definiert: 

• Z und Y sind atomare Formeln. 

• Für m ∈ M ist m eine atomare Formel. 

• Wenn α und β Formeln sind, dann sind auch α ∧ β, α ∨ β, α → β und ¬α Formeln. 

Jede endliche Teilmenge A ⊆ M wird auch als Abkürzung für eine Formel aufgefaßt: 

∧ m. Für A = ∅ entspricht A der Formel Y. 

A :≡ ∧A :≡ 

m∈A 

Eine Formel der Form A → ∨B :≡ 

∧ m → 

m∈A ∨ m für A, B ⊆ M heißt Klausel. Für B = ∅ 

m∈B entspricht ∨B der Formel Z. 

Für α ∈ F sei var(α) ⊆ M die Menge der in α vorkommenden Variablen. 

F := (F, ∧, ∨, →, ¬, Z, Y) ist die Termalgebra über der Variablenmenge M in der Signatur der 

Kleene-Algebren. 

Sei α ∈ F. Eine Menge A ⊆ M heißt Modell von α, wenn vA(α) = × für den (eindeutig bestimmten) 

Homomorphismus vA : F → 2 mit 

v(m) = × gdw. m ∈ A 

für m ∈ M gilt. 52 

Für H ⊆ ℘(M) und P ⊆ F seien Th(H) = {α ∈ F | für alle A ∈ H ist A ein Modell von α} und 

Mod(P) = {A ⊆ M | für alle α ∈ P ist A ein Modell von α}. 

1.10. Lemma (Th und Mod bilden Galoisverbindung): 

Die Abbildungen Th : ℘(℘(M)) → ℘(F) und Mod : ℘(F) → ℘(℘(M)) bilden eine 

Galoisverbindung. 

Beweis: 

Th und Mod sind die Ableitungsoperatoren im Kontext (℘(M), F, I) mit 

(T, α) ∈ I gdw. T ist ein Modell von α 

für T ⊆ M und α ∈ F. 

❚ 

52 In der Literatur wird manchmal auch die zugehörige Variablenbelegung (d.h. die charakteristische Funktion 

χA : M → 2 von A) oder die homomorphe Fortsetzung vA : F → 2 als Modell bezeichnet. Wegen den bijektiven 

Zuordnungen zwischen ℘(M), 2 M und Hom(F, 2) macht es keinen großen Unterschied, welche dieser drei 

Darstellungen als Modelle verwendet werden. In der Darstellung als Menge A ⊆ M werden die syntaktischen Objekte 

(Variablen) auch als semantische Objekte (Elemente des Modells) verwendet. Durch eine Variablenbelegung v : M → 2 

würde dagegen eine strengere Trennung zwischen Syntax und Semantik erzielt: Jeder Variablen wird durch die 

Funktion v seine semantische Bedeutung zugeordnet. 

29

Die in dieser Arbeit am häufigsten verwendeten Formeln sind Implikationen der Form A → B mit 

A, B ⊆ M. In Kapitel 2 wird bewiesen, daß die Modellklassen von Implikationen (d.h. 

Mengensysteme der Form Mod(P) für eine Menge P von Implikationen) gerade die Hüllensysteme 

sind. Im folgenden Lemma wird gezeigt, daß sich jedes Mengensystem als Modellklasse von 

Klauseln darstellen läßt. Hierbei wird verwendet, daß eine Menge T ⊆ M genau dann ein Modell 

einer Klausel A → ∨B mit A, B ⊆ M ist, wenn aus A ⊆ T schon B ∩ T ≠ ∅ folgt. 53 

1.11. Lemma (Modelle sind durch gültige Klauseln eindeutig bestimmt): 54 

Sei M eine endliche Menge und H ⊆ ℘(M). Dann gilt: 

(1) Für A ⊆ M ist die Klausel A → ∨(M-A) genau dann in Th(H), wenn A ∉ H ist. 

(2) Mod(Th(H)) = H. 

(3) H = Mod({A → ∨(M-A) | A ⊆ M, A ∉ H}) 

= Mod({α ∈ F | α ist eine Klausel aus Th(H)}) 

Beweis von (1): 

A ist die einzige Menge, die kein Modell von A → ∨(M-A) ist, also gilt 

A ∉ H gdw. A → ∨(M-A) ∈ Th(H). 

Beweis von (2) und (3): 

H ⊆1.10 Mod(Th(H)) ⊆1.10 Mod({α ∈ F | α ist eine Klausel aus Th(H)}) ⊆(1) 

Mod({A → ∨(M-A) | A ⊆ M, A ∉ H}) ⊆ H. 

❚ 

Insbesondere ist H bereits durch die in H gültigen Klauseln eindeutig bestimmt. Jede Menge P von 

Formeln ist somit äquivalent zu einer Menge P' von Klauseln, d.h. es gilt Mod(P) = Mod(P'). 

Es wird nun der Kalkül der klassischen Logik 55 eingeführt, welcher korrekt und vollständig für die 

semantische Folgerungsbeziehung ist, d.h. eine Formel α ist genau dann aus einer Menge P ⊆ F im 

Kalkül herleitbar, wenn α ∈ Th(Mod(P)) gilt. Ein Teilkalkül der klassischen Logik ist die 

intuitionistische Logik: er enthält alle Regeln des Kalküls der klassischen Logik außer dem Axiom 

tertium non datur. Es wird nun zunächst ein Regelsystem für den Kalkül der intuitionistischen 

Logik angegeben. 

Seien P ⊆ F und α, β, γ ∈ F. 

Für P ∪ {α} wird im folgenden Kalkül auch P, α geschrieben. 56 

Der intuitionistische Kalkül der Aussagenlogik besteht aus folgenden Regeln und Axiomen: 

53 vgl. z.B. [Krauße], Seite 5 

54 vgl. auch [Krauße], Seite 7 

55 vgl. [EbbinghausFlumThomas], Kapitel IV 

56 In der Literatur wird P im Kalkül üblicherweise nicht als Menge sondern als Sequenz benutzt (vgl. 

[EbbinghausFlumThomas], Kapitel IV). Die Verwendung von Mengen hat den Vorteil, daß mehrfach auftretende 

Formeln zusammengefaßt werden können ( {α, α} = {α} ) und daß man die Reihenfolge der Formeln vertauschen kann 

( {α, β} = {β, α} ) 

30

____________(ax) 

P, α W α 

P W α 

_____________(∨-I1) 

P W α ∨ β 

P W β 

_____________(∨-I2) 

P W α ∨ β 

P W α ∨ β P, α W γ P, β W γ 

_______________________________________________(∨-E) 

P W γ 

P W α P W β 

_____________________________(∧-I) 

P W α ∧ β 

P W α ∧ β 

______________(∧-E1) 

P W α 

P W α ∧ β 

_____________(∧-E2) 

P W β 

P, α W β 

_______________(→-I) 

P W α → β 

P W α P W α → β 

________________________________(→-E) 

P W β 

P, α W Z 

____________(¬-I) 

P W ¬α 

P W α P W ¬α 

____________________________(¬-E) 

P W Z 

________(true) 

P W Y 

P W Z 

________(false) 

P W α 

P W β 

___________(weak) 

P, α W β 

Der Kalkül der klassischen Aussagenlogik enthält zusätzlich noch das Axiom 

_______________(tnd) 

P W α ∨ ¬α 

Es folgt nun der Satz über die Vollständigkeit und Korrektheit für den Kalkül der klassischen 

Logik: 

1.12. Satz (Adäquatheit des Kalküls der klassischen Logik): 57 

Für P ⊆ F und α ∈ F sind folgende Aussagen äquivalent: 

(1) α ist aus P im Kalkül der klassischen Logik herleitbar (d.h. es gibt einen Beweisbaum mit der 

Wurzel P W α, dessen Blätter Axiome sind) 

(2) Jedes Modell von P ist auch ein Modell von α 

(3) α ∈ Th(Mod(P)) 

❚ 

57 vgl. [EbbinghausFlumThomas], Kapitel V 

31

Der Kalkül der klassischen Logik ist nach dem letzten Satz vollständig und korrekt. Der 

semantische Folgerungsbegriff ist mit dem syntaktischen Herleitungsbegriff identisch, d.h. eine 

Formel α ist genau dann aus P herleitbar, wenn α semantisch aus P folgt. 

32

2. Unvollständiges Kontextwissen 

2.1 Unvollständige Kontexte 

Bei der Erstellung eines einwertigen Kontextes zur Darstellung von Informationen kommt es 

manchmal vor, daß einige Einträge in der Tabelle unbekannt sind. An diesen Stellen kann man z.B. 

ein Fragezeichen als Wert in der Tabelle verwenden, um anzudeuten, daß nicht bekannt ist, ob der 

Gegenstand das Merkmal hat. Dies führt zu einem dreiwertigen Kontext mit der Wertemenge 

W = {×, ?, o}. Während bei Kleene-Algebren die Wahrheitsordnung verwendet wird (je größer ein 

Wert in der Kleene-Algebra 3 ist, desto mehr Wahrheitsgehalt hat er), wird bei Kontexten die 

Informationsordnung benutzt: Ein Fragezeichen enthält weniger Information als die Werte × und o, 

d.h. es gilt ? < × und ? < o. 

Ein unvollständiger Kontext ist ein dreiwertiger Kontext |K = (G, M, W, I) mit W = {×, ?, o}. 

Zwischen unvollständigen Kontexten mit gleichen Gegenstands- und Merkmalsmengen wird nun 

eine Ordnung definiert: 

Für unvollständige Kontexte |K1 = (G, M, {×, ?, o}, I1) und |K2 = (G, M, {×, ?, o}, I2) gilt |K1 ≤ |K2 

gdw. für alle g ∈ G und m ∈ M gilt: Aus I1(g, m) = × folgt I2(g, m) = × und aus I1(g, m) = o folgt 

I2(g, m) = o. 

Für feste Mengen G und M bilden die unvollständigen Kontexte mit dieser Ordnung einen 

∧-Halbverband U(G, M): 

|K1 ∧ |K2 := (G, M, {×, ?, o}, I) mit 

I(g, m) = × gdw. I1(g, m) = × = I2(g, m), 

I(g, m) = o gdw. I1(g, m) = o = I2(g, m) 

I(g, m) = ? sonst. 

Ein unvollständiger Kontext |K ist genau dann ein maximales Element von U(G, M), wenn |K kein 

Fragezeichen enthält. Wenn |K = (G, M, {×, ?, o}, I) maximal in U(G, M) ist, dann wird dieser 

Kontext auch als einwertiger Kontext (G, M, J) aufgefaßt: (g, m) ∈ J gdw. I(g, m) = ×. 

Für einen unvollständigen Kontext |K wird 

V(|K) := {|K' ∈ U(G, M) | |K' ist maximal in U(G, M), |K ≤ |K'} 

definiert. V(|K) ist die Menge aller Vervollständigungen von |K. 

Das Supremum zweier unvollständiger Kontexte existiert genau dann, wenn sie keine 

widersprüchliche Informationen enthalten. Der Halbverband U(G, M) läßt sich auch als Potenz 

eines dreielementigen Halbverbands auffassen: 

2.1. Lemma (U(G, M) ist isomorph zur einer Potenz eines dreielementigen Halbverbands): 

Seien G, M Mengen und H = ({×, ?, o}, ∧) der dreielementige Halbverband mit o ∧ × = ?. 

Dann gilt U(G, M) ≅ H G×M . 

Beweis: 

Die Abbildung h : U(G, M) → H G×M mit h(G, M, {×, ?, o}, I) = I für I : G × M → H ist 

offensichtlich bijektiv und es gilt 

h(|K1 ∧ |K2)(g, m) = I1(g, m) ∧ I2(g, m) = h(|K1)(g, m) ∧ h(|K2)(g, m) 

für |K1 = (G, M, {×, ?, o}, I1), |K2 = (G, M, {×, ?, o}, I2) ∈ U(G, M), g ∈ G und m ∈ M. Damit 

ist h ein Isomorphismus. 

❚ 

33

Unvollständige und einwertige Kontexte kann man auch als Semantik von Logiksystemen 

verwenden. Sei M eine Menge von Merkmalen. Jedem Merkmal m ∈ M wird nun ein 

Merkmalsname mˆ zugeordnet. Die Abbildung ^ : M → M ˆ := { mˆ | m ∈ M} ist dabei bijektiv. Der 

Merkmalsname mˆ ist damit eine atomare Formel von F( M ˆ ). 

In der Aussagenlogik lassen sich die Variablen mˆ ∈ M ˆ durch Variablenbelegungen v : M ˆ → 2 

interpretieren. Ein einwertiger Kontext |K = (G, M, I) induziert eine Familie (vg)g∈G von Variablenbelegungen 

vg : M ˆ → 2 mit vg( mˆ ) = × gdw. (g, m) ∈ I. Die Semantik eines Merkmalsnamens mˆ 

ist das zugehörige Merkmal m mit seiner Kontextspalte I(⋅, m) = (I(g, m))g∈G : G → 2. 

Auch in einem unvollständigen Kontext |K = (G, M, {×, ?, o}, I) ist die Kontextspalte 

I(⋅, m) : G → 3 von m die Interpretation eines Merkmalsnamens mˆ ∈ M ˆ . 

Zur Vereinfachung der Schreibweise wird im folgenden die Abbildung ^ als identische Abbildung 

verwendet, d.h. jedes Merkmal m ∈ M wird auch als atomare Formel aufgefaßt, und umgekehrt ist 

jeder syntaktischer Merkmalsname auch ein Merkmal des Kontextes. Ob m ein Merkmal oder ein 

Merkmalsname ist, geht aus dem Zusammenhang hervor. 

Nun wird die Gültigkeit von Formeln α ∈ F(M) := F( M ˆ ) in einwertigen und unvollständigen 

Kontexten definiert. In unvollständigen Kontexten gibt es dabei verschiedene Möglichkeiten, die 

Gültigkeit (oder Erfüllbarkeit) von Formeln zu definieren. 58 

2.2. Definition (starke Gültigkeit, schwache Gültigkeit, Kripke-Gültigkeit, Erfüllbarkeit): 

Seien |K = (G, M, {×, ?, o}, I) ein unvollständiger Kontext, α ∈ F, g ∈ G und vg : F → 3 der 

(eindeutig bestimmte) Homomorphismus mit vg|M = I(g, ⋅), d.h. vg(m) = I(g, m) für m ∈ M. 

α heißt stark gültig für g (Schreibweise: |K ]!g α), wenn vg(α) = × gilt. 

α heißt stark gültig in |K (Schreibweise: |K ]! α), wenn α für alle g ∈ G stark gültig ist. 

α heißt schwach gültig für g (Schreibweise: |K ]?g α), wenn vg(α) ≠ o gilt. 

α heißt schwach gültig in |K (Schreibweise: |K ]? α), wenn α für alle g ∈ G schwach gültig ist. 

α heißt Kripke-gültig für g (Schreibweise: |K ]g α), wenn α in jeder Vervollständigung |K' ∈ V(|K) 

stark gültig für g ist. 

α heißt Kripke-gültig in |K (Schreibweise: |K ] α), wenn α für alle g ∈ G Kripke-gültig ist. 

α heißt erfüllbar für g, wenn α in (mindestens) einer Vervollständigung |K' ∈ V(|K) stark gültig für 

g ist. 

α heißt erfüllbar in |K, wenn α für alle g ∈ G erfüllbar ist. 

Für eine Menge P ⊆ F gilt |K ]g P (bzw. |K ] P), wenn |K ]g α (bzw. |K ] α) für alle α ∈ P gilt. 

Seien α + (|K) := {g ∈ G | |K ]!g α} = {g ∈ G | vg(α) = ×} und 

α - (|K) := {g ∈ G | |K b?g α} = {g ∈ G | vg(α) = o}. 

Die starke und schwache Gültigkeit einer Formel α für einen Gegenstand g entsprechen also gerade 

der Interpretation der Formel α in der dreiwertigen Kleene-Logik. Die Menge α + (|K) besteht aus 

den Gegenständen, für die α stark gültig ist, und α - (|K) enthält genau die Gegenstände, für die α 

nicht schwach gültig ist. 

In diesem Kapitel wird gezeigt, daß ein enger Zusammenhang zwischen der Kripke-Gültigkeit und 

der Aussagenlogik besteht: Die Äquivalenz bezüglich der Kripke-Gültigkeit zweier Formeln 

entspricht gerade der aussagenlogischen Äquivalenz (vgl. Satz 2.18). In Satz 2.21 wird bewiesen, 

daß eine Formel genau dann für einen Gegenstand g Kripke-gültig ist, wenn sie in klassischer Logik 

aus den Formeln, welche die Kontexteinträge von g beschreiben, herleitbar ist. Der semantische 

58 vgl. auch [Pagliani] (Kapitel II) und [Burmeister91a] (Kapitel 2) 

34

Folgerungsbegriff bei Kripke-Gültigkeit entspricht genau dem Folgerungsbegriff der Aussagenlogik 

(vgl. Satz 2.17). Die starke und schwache Gültigkeit haben dagegen einen engen Bezug zu Kleene- 

Algebren: Die Äquivalenz bezüglich der starken (oder schwachen) Gültigkeit zweier Formeln 

entspricht gerade der Gültigkeit der zugehörigen Gleichung in der Klasse aller Kleene-Algebren 

(vgl. Satz 2.19). In Satz 2.25 wird bewiesen, daß bei Formeln, in denen jedes Merkmal höchstens 

einmal vorkommt, die starke Gültigkeit äquivalent zur Kripke-Gültigkeit ist. Bei beliebigen 

Formeln sind die Gültigkeitsbegriffe zwar nicht äquivalent, jedoch folgt die Kripke-Gültigkeit aus 

der starken Gültigkeit, und die schwache Gültigkeit folgt aus der Erfüllbarkeit (vgl. Satz 2.24). 

Da jeder einwertige Kontext auch als unvollständiger Kontext aufgefaßt werden kann, läßt sich 

Definition 2.2 auch auf einwertige Kontexte übertragen. In einwertigen Kontexten gibt es keine 

Fragezeichen, deshalb kommen bei der Variablenbelegung I(g, ⋅) nur die Werte × und o vor. Im 

folgenden Lemma wird bewiesen, daß die verschiedenen Gültigkeitsbegriffe für einwertige 

Kontexte übereinstimmen. 

2.3. Lemma (Äquivalenz der Gültigkeitsbegriffe in einwertigen Kontexten): 

Wenn |K maximal in U(G, M) ist, dann sind für g ∈ G und α ∈ F folgende Aussagen äquivalent: 

(1) |K ]!g α 

(2) |K ]?g α 

(3) |K ]g α 

(4) α ist erfüllbar für g 

Beweis: 

Sei vg : F → 3 die homomorphe Fortsetzung von I(g, ⋅). Dann gilt v(M) ⊆ 2, weil |K kein 

Fragezeichen enthält, also auch vg(F) ⊆ 2, weil 2 eine Unteralgebra ist. 

Somit gilt vg(α) = × gdw. vg(α) ≠ o, also (1) ⇔ (2). 

Es gilt V(|K) = {|K}, also (4) ⇔ (1) ⇔ (3). 

❚ 

Für einen einwertigen Kontext |K braucht man somit die verschiedenen Gültigkeitsbegriffe nicht zu 

unterscheiden. Anstatt des Ausdrucks "stark gültig in |K" wird daher oft auch der Ausdruck "gültig 

in |K" verwendet. 

2.4. Korollar (Charakterisierung von Kripke-Gültigkeit in einwertigen Kontexten durch 

Auswertungshomomorphismen): 

Seien |K = (G, M, I) ein einwertiger Kontext, α ∈ F, g ∈ G, vg : F → 2 die homomorphe 

Fortsetzung der Kontextzeile von g, d.h. v ist der eindeutig bestimmte Homomorphismus mit vg(m) 

= × gdw. (g, m) ∈ I für m ∈ M. Es gilt genau dann vg(α) = ×, wenn |K ]g α gilt. 

❚ 

2.5. Korollar (Charakterisierung von Kripke-Gültigkeit in einwertigen Kontexten durch 

Gegenstandsinhalte): 

Seien |K = (G, M, I) ein einwertiger Kontext, g ∈ G und P ⊆ F. Genau dann gilt |K ]g P, wenn 

g' ∈ Mod(P) gilt. 59 

Beweis: 

Für α ∈ P gilt: 

|K ]g α gdw. 


35

vg(α) = × gilt für den Homomorphismus vg : F → 2 mit vg(m) = × für m ∈ g' und vg(m) = o für 

m ∈ M-g' gdw. 

g' ist ein Modell von α 

❚ 

Wenn man also einen einwertigen Kontext |K = (G, M, I) als Familie (I(g, ⋅))g∈G von 

Variablenbelegungen auffaßt, dann entspricht die Gültigkeit einer Formel α ∈ F im Kontext |K 

genau der Gültigkeit von α für diese Variablenbelegungen. |K ] α gilt genau dann, wenn jeder 

Gegenstandsinhalt ein Modell von α ist, d.h. wenn α ∈ Th({g I | g ∈ G} gilt. 

2.6. Lemma (α + (|K) und α - (|K) sind in einwertigen Kontexten komplementär): 

Für einwertige Kontexte |K gilt α + (|K) = G-α - (|K) für α ∈ F. 

Beweis: 

α + (|K) = {g ∈ G | |K ]!g α} =2.3 {g ∈ G | |K ]?g α} = G-{g ∈ G | |K b?g α} = G-α - (|K). 

❚ 

2.7. Lemma (starke und schwache Gültigkeit vonTeilformeln): 

Seien |K = (G, M, {×, ?, o}, I) ein unvollständiger Kontext, α, β ∈ F, g ∈ G und m ∈ M. 

(1) Es gilt |K ]!g Y und |K ]?g Y. 

(2) Es gilt |K b!g Z und |K b?g Z. 

(3) |K ]!g m gilt genau dann, wenn I(g, m) = × ist. 

(4) |K ]?g m gilt genau dann, wenn I(g, m) ∈ {×, ?} ist. 

(5) |K ]!g ¬α gilt genau dann, wenn |K b?g α gilt. 

(6) |K ]?g ¬α gilt genau dann, wenn |K b!g α gilt. 

(7) |K ]!g α ∧ β gilt genau dann, wenn |K ]!g α und |K ]!g β gilt. 

(8) |K ]?g α ∧ β gilt genau dann, wenn |K ]?g α und |K ]?g β gilt. 

(9) |K ]!g α ∨ β gilt genau dann, wenn |K ]!g α oder |K ]!g β gilt. 

(10) |K ]?g α ∨ β gilt genau dann, wenn |K ]?g α oder |K ]?g β gilt. 

(11) |K ]!g α → β gilt genau dann, wenn |K b?g α oder |K ]!g β gilt. 

(12) |K ]?g α → β gilt genau dann, wenn |K b!g α oder |K ]?g β gilt. 

Beweis: 

Sei vg : F → 3 der (eindeutig bestimmte) Homomorphismus mit vg|M = I(g, ⋅). 

Die Auswertungen der Operationen in 3 lassen sich direkt an den Wertetabellen von Definition 1.4 

ablesen: 

Beweis von (1): vg(Y) = × 

Beweis von (2): vg(Z) = o 

Beweis von (3): und (4): vg(m) = I(g, m) 

Beweis von (5): vg(¬α) = × gdw. vg(α) = o 

Beweis von (6): vg(¬α) ≠ o gdw. vg(α) ≠ × 

Beweis von (7): vg(α ∧ β) = × gdw. vg(α) = × und vg(β) = × 

Beweis von (8): vg(α ∧ β) ≠ o gdw. vg(α) ≠ o und vg(β) ≠ o 

Beweis von (9): vg(α ∨ β) = × gdw. vg(α) = × oder vg(β) = × 

Beweis von (10): vg(α ∨ β) ≠ o gdw. vg(α) ≠ o oder vg(β) ≠ o 

Beweis von (11): vg(α → β) = × gdw. vg(α) = o oder vg(β) = × 

36

Beweis von (12): vg(α → β) ≠ o gdw. vg(α) ≠ × oder vg(β) ≠ o 

❚ 

Dieses Lemma liefert auch eine induktive Definition der starken und schwachen Gültigkeit: Die 

starke und schwache Gültigkeit von α ∈ F für einen Gegenstand g läßt sich durch die starke und 

schwache Gültigkeit von echten Teilformeln von α ausdrücken. Mit Hilfe der Bedingungen (1)-(12) 

von Lemma 2.7 lassen sich somit die starke und schwache Gültigkeit einer Formel α für einen 

Gegenstand g überprüfen, ohne die homomorphe Fortsetzung vg : F → 3 der Kontextzeile von g 

aufzustellen. Für einwertige Kontexte kann auf diese Weise auch die Kripke-Gültigkeit und 

Erfüllbarkeit von Formeln überprüft werden, weil die Kripke-Gültigkeit und Erfüllbarkeit in 

einwertigen Kontexten nach Lemma 2.3 zur starken Gültigkeit äquivalent sind. 

Um zu entscheiden, ob eine Formel α ∈ F in einem unvollständigen Kontext Kripke-gültig oder 

erfüllbar ist, ist es häufig nützlich noch weitere Charakterisierungen der Kripke-Gültigkeit und der 

Erfüllbarkeit zu kennen. Die Erfüllbarkeit einer Formel α für einen Gegenstand läßt sich auch durch 

die Kripke-Gültigkeit der Negation von α ausdrücken, was im folgenden Lemma bewiesen wird. 

2.8. Lemma (Eine Formel ist genau dann erfüllbar für einen Gegenstand, wenn die Negation 

nicht Kripke-gültig ist): 

Seien |K = (G, M, {×, ?, o}, I) ein unvollständiger Kontext, g ∈ G und α ∈ F. Die Fomel α ist genau 

dann erfüllbar für g, wenn |K bg ¬α gilt, d.h. wenn ¬α für den Gegenstand g nicht Kripke-gültig 

ist. 

Beweis: 

Nach Lemma 2.7.(6) und 2.3 gilt: 

α erfüllbar für g gdw. 

|K' ]!g α für ein |K' ∈ V(|K) gdw. 

|K' b?g ¬α für ein |K' ∈ V(|K) gdw. 

|K' b!g ¬α für ein |K' ∈ V(|K) gdw. 

|K bg ¬α. 

❚ 

Eine Formel α ist genau dann in einem unvollständigen Kontext |K erfüllbar, wenn die Negation 

von α für keinen Gegenstand gültig ist. Wenn bei der Erstellung eines einwertigen Kontextes 

|K' = (G, M, J) einige Einträge unbekannt sind, dann kann ein unvollständiger Kontext |K = (G, M, 

{×, ?, o}, I) verwendet werden, so daß |K' ∈ V(|K) gilt. Für eine Formel α ∈ F bedeutet |K ]g α 

gerade, daß im (unbekannten) Kontext |K' die Formel α mit Sicherheit für den Gegenstand g gültig 

ist, und |K bg ¬α sagt aus, daß es möglich ist, daß α in |K' für den Gegenstand g gültig ist. 

Die Kripke-Gültigkeit von Formeln α ∈ F in unvollständigen Kontexten läßt sich auch durch die 

Auswertung von α in der booleschen Algebra 2 überprüfen: 

2.9. Satz (Zusammenhang zwischen Kripke-Gültigkeit und Auswertungshomomorphismen): 

Seien |K = (G, M, {×, ?, o}, I) ein unvollständiger Kontext, α ∈ F und g ∈ G. 

(1) |K ]g α gilt genau dann, wenn v(α) = × für jeden Homomorphismus v : F → 2 gilt, für den aus 

I(g, m) ≠ ? schon v(m) = I(g, m) folgt, für alle Merkmale m ∈ M. 

(2) |K bg ¬α gilt genau dann, wenn v(α) = × für einen Homomorphismus v : F → 2 gilt, für den aus 

I(g, m) ≠ ? schon v(m) = I(g, m) folgt, für alle Merkmale m ∈ M. 

37


'⇒': 

Gelte |K ]g α, und sei v : F → 2 ein Homomorphismus mit v(m) = I(g, m) für alle m ∈ M mit 

I(g, m) ≠ ?. Sei |K' = (G, M, J) mit (g, m) ∈ J gdw. v(m) = × und (h, m) ∈ J gdw. I(h, m) = × für g ≠ 

h ∈ G und m ∈ M. Dann gilt |K' ∈ V(|K), denn wenn I(g, m) = × ist, dann gilt v(m) = I(g, m) = ×, 

also (g, m) ∈ J und analog (g, m) ∉ J für I(g, m) = o. Es gilt |K' ]g α, also v(α) = × nach Korollar 

2.4. 

'⇐': 

Gelte v(α) = × für jeden Homomorphismus v : F → 2 gilt, für den aus I(g, m) ≠ ? schon v(m) = 

I(g, m) folgt, für alle Merkmale m ∈ M. Seien |K' = (G, M, J) ∈ V(|K) und v : F → 2 der 

Homomorphismus mit 

v(m) = × gdw. (g, m) ∈ J 

für m ∈ M. Dann gilt v(m) = I(g, m) für alle m ∈ M mit I(g, m) ≠ ?, also v(α) = ×. Damit gilt 

|K' ]g α nach Korollar 2.4, also |K ]g α. 


Nach (1) gilt: 

|K |≠g ¬α gdw. 

für einen Homomorphismus v : F → 2 mit v(m) = I(g, m) für I(g, m) ≠ ? gilt v(¬α) ≠ × gdw. 

für einen Homomorphismus v : F → 2 mit v(m) = I(g, m) für I(g, m) ≠ ? gilt v(α) = ×. 

❚ 

2.10. Lemma (Kripke-Gültigkeit ist äquivalent zur Kripke-Gültigkeit in allen (bzgl. der 

Informationsordnung) größeren unvollständigen Kontexten): 

Folgende Aussagen sind für einen unvollständigen Kontext |K = (G, M, {×, ?, o}, I) und α ∈ F 

äquivalent: 

(1) |K ] α 

(2) |K' ] α für alle |K' ∈ U(G, M) mit |K ≤ |K' 

Beweis: 

(1) ⇒ (2): 

Sei |K ≤ |K', dann gilt V(|K') ⊆ V(|K), also gilt |K'' ] α für alle |K'' ∈ V(|K') wegen (1). Damit gilt 

auch |K' ] α. 

(2) ⇒ (1): 

Es gilt |K ≤ |K. 

❚ 

Wenn eine Formel α in einem unvollständigen Kontext |K Kripke-gültig ist, dann ist sie somit auch 

in allen Kontexten des von |K erzeugten Ordnungsfilters in U(G, M) Kripke-gültig. Da die Relation 

≤ die Informationsordnung ist, entspricht dies der Aussage, daß eine Kripke-gültige Formel α durch 

Hinzufügen von Informationen nicht falsch werden kann. 

Pagliani hat bereits gezeigt, daß mit Hilfe der Kleene-Algebra 

AG = ({(B1, B2) | B1, B2 ⊆ G, B1 ∩ B2 = ∅}, ∧, ∨, →, ¬, Z, Y) 

aus Definition 1.6 die Menge aller Gegenstände eines unvollständigen Kontextes, für die eine 

Formel α ∈ F stark gültig ist, beschrieben werden können. Dazu wird in der folgenden Definition 

eine Abbildung π : F → AG definiert, welche zur Auswertung von Formeln in der Kleene-Algebra 

AG dient. 

38

2.11. Definition (L(|K) und π|K): 60 

Seien |K = (G, M, {×, ?, o}, I) ein unvollständiger Kontext und π|K : F → AG der eindeutig 

bestimmte Homomorphismus mit 

π|K(m) := ({g ∈ G | I(g, m) = ×}, {g ∈ G | I(g, m) = o}) 

für m ∈ M. 

L(|K) := π|K(F) ist die von der Menge {π|K(m) | m ∈ M} erzeugte Unteralgebra von AG. 

π|K(α) enthält in der ersten Komponente genau diejenigen Gegenstände, für die α im Kontext stark 

gültig ist, und die zweite Komponente enthält genau diejenigen Gegenstände, für die α nicht 

schwach gültig ist. Dies wird Satz 2.12 bewiesen. 

Pagliani gibt eine äquivalente Definition der starken Gültigkeit einer Formel an: 

Seien g ∈ G, m ∈ M, α, β ∈ F. 

g ] m gilt genau dann, wenn I(g, m) = × ist. 

g ] ¬m gilt genau dann, wenn I(g, m) = o ist. 

g ] ¬¬α gilt genau dann, wenn g ] α gilt. 

g ] α ∧ β gilt genau dann, wenn g ] α und g ] β gilt. 

g ] ¬(α ∧ β) gilt genau dann, wenn g ] ¬α oder g ] ¬β gilt. 

g ] α ∨ β gilt genau dann, wenn g ] α oder g ] β gilt. 

g ] ¬(α ∨ β) gilt genau dann, wenn g ] ¬α und g ] ¬β gilt. 

g ] α → β gilt genau dann, wenn g ] ¬α oder g ] β gilt. 

g ] ¬(α → β) gilt genau dann, wenn g ] α und g ] ¬β gilt. 

In [Pagliani] (Seite 7) wird bewiesen, daß π|K(α) = ({g ∈ G | g ] α}, {g ∈ G | g ] ¬α}) für alle 

α ∈ F gilt. Aus Satz 2.12 folgt daher die Äquivalenz der beiden Definitionen: 

g ] α gdw. |K ]!g α. 

2.12. Satz (π|K liefert zu jeder Formel die Menge der Gegenstände, für welche diese Formel 

stark gültig ist, und die Menge der Gegenstände, für welche diese Formel nicht schwach 

gültig ist): 61 

Sei |K = (G, M, {×, ?, o}, I) ein unvollständiger Kontext. 

Für jede Formel α ∈ F gilt π|K(α) = (α + (|K), α - (|K)). 

Beweis: 

Seien g ∈ G und vg : F → 3 die homomorphe Fortsetzung von I(g, ⋅). 

Sei h : 3 G → AG der Isomorphismus 62 mit h(f) = (f -1 (×), f -1 (o)) für f : G → 3. 

Sei prg : 3 G → 3 die Projektion auf die Komponente g, d.h. prg(f) = f(g) für f : G → 3. 

Für alle m ∈ M gilt 

prg(h -1 (π|K(m)) = h -1 ({x ∈ G | I(x, m) = ×}, {x ∈ G | I(x, m) = o})(g) = I(g, m) = vg(m), und wegen 

der eindeutigen homomorphen Fortsetzung gilt sogar prg ° h -1 ° π|K = vg. 

Für (B1, B2) = π|K(α) gilt: 

60 vgl. [Pagliani], Kapitel III 

61 vgl. [Pagliani], Kapitel III 


39

g ∈ α + (|K) gdw. vg(α) = × gdw. prg(h -1 (π|K(α)) = × gdw. h -1 (B1, B2)(g) = × gdw. g ∈ B1, und 

g ∈ α - (|K) gdw. vg(α) = o gdw. prg(h -1 (π|K(α)) = o gdw. h -1 (B1, B2)(g) = o gdw. g ∈ B2, also 

π|K(α) = (B1, B2) = (α + (|K), α - (|K)). 

❚ 

Während die Algebra 3 gut geeignet ist, um für einen festen Gegenstand g ∈ G die starke und 

schwache Gültigkeit zu untersuchen, kann man nach Satz 2.12 die Algebra AG dazu verwenden, alle 

Gegenstände zu finden, für die eine Formel α ∈ F stark gültig (bzw. nicht schwach gültig) ist. 

2.13. Korollar (starke Gültigkeit im Kontext ist äquivalent dazu, daß π|K den Wert Y liefert): 

Für α ∈ F gilt π|K(α) = Y genau dann, wenn |K ]! α gilt. 

Beweis: 

π|K(α) = Y gdw. α + (|K) = G gdw. |K ]!g α für alle g ∈ G gdw. |K ]! α 

❚ 

2.14. Satz (Charakterisierung von vollständigen Kontexten durch L(|K)): 

L(|K) ist genau dann eine boolesche Algebra, wenn |K maximal in U(G, M) ist. 

Beweis: 

'⇐': 

Seien |K maximal in U(G, M) und α ∈ F. Dann gilt 

π|K(α) ∨ ¬π|K(α) =2.12 (α + (|K) ∪ α - (|K), α - (|K) ∩ α + (|K)) =2.6 (G, ∅) = Y. 

Damit ist das Axiom x ∨ ¬x = Y in L(|K) = π|K(F) gültig, und L(|K) ist boolesch. 

'⇒': 

Sei |K nicht maximal in U(G, M), d.h. I(g, m) = ? für ein g ∈ G und ein m ∈ M. 

Dann gilt g ∉ m + (|K) und g ∉ m - (|K), also 

π|K(m) ∨ ¬π|K(m) =2.12 (m + (|K) ∪ m - (|K), m - (|K) ∩ m + (|K)) ≠ (G, ∅) = Y. 

L(|K) ist deshalb keine boolesche Algebra. 

❚ 

Im folgenden Satz wird bewiesen, daß sich jede Kleene-Algebra bis auf Isomorphie als L(|K) für 

einen geeigneten unvollständigen Kontext darstellen läßt. 

2.15. Satz (Jede Kleene-Algebra wird durch einen unvollständigen Kontext induziert): 

Eine Algebra A ist genau dann eine Kleene-Algebra, wenn es einen unvollständigen Kontext |K mit 

A ≅ L(|K) gibt. 

Beweis: 

Wenn A ≅ L(|K) bezüglich eines unvollständigen Kontextes |K ist, dann ist A eine Kleene-Algebra, 

weil AG nach Definition 1.6 eine Kleene-Algebra und L(|K) gemäß Definition 2.11 eine 

Unteralgebra von AG ist. 

Sei nun A eine Kleene-Algebra. Dann ist A subdirektes Produkt von subdirekt irreduziblen Kleene- 

Algebren. Da 2 und 3 nach Satz 1.5 die einzigen subdirekt irreduziblen Kleene-Algebren sind, und 

2 eine Unteralgebra von 3 ist, ist A isomorph zu einer Unteralgebra von 3 G für eine geeignete 

Menge G. Nach Satz 1.7 gilt 3 G ≅ AG, also gibt es eine Unteralgebra M von AG mit M ≅ A. Sei 

|K = (G, M, {×, ?, o}, I) der unvollständige Kontext mit 

I(g, (B1, B2)) = × gdw. g ∈ B1, 

I(g, (B1, B2)) = o gdw. g ∈ B2, 

I(g, (B1, B2)) = ? gdw. g ∈ G - (B1 ∪ B2) 

40

für (B1, B2) ∈ M und g ∈ G. 

Es gilt π|K(B1, B2) = (B1, B2) für (B1, B2) ∈ M, also L(|K) = π|K(F) = M ≅ A. 

❚ 

2.16. Korollar (Jede boolesche Algebra wird durch einen einwertigen Kontext induziert): 

Eine Algebra A ist genau dann eine boolesche Kleene-Algebra, wenn es einen einwertigen Kontext 

|K mit A ≅ L(|K) gibt. 

Beweis: 

Wenn A ≅ L(|K) für einen einwertigen Kontext |K ist, dann ist A nach Satz 2.14 eine boolesche 

Algebra. 

Sei nun A eine boolesche Algebra. Da A auch eine Kleene-Algebra ist, gibt es nach Satz 2.15 einen 

(unvollständigen) Kontext |K mit L(|K) ≅ A. Damit ist auch L(|K) boolesch, also muß |K nach Satz 

2.14 vollständig sein. 

❚ 

Der folgende Satz zeigt, daß der Folgerungsbegriff von Formeln für die Kripke-Gültigkeit bei 

unvollständigen und einwertigen Kontexten mit dem Folgerungsbegriff aus Kapitel 1.3 übereinstimmt. 

2.17. Satz (Adäquatheit der klassischen Logik für unvollständige Kontexte): 

Seien M eine Menge, P ⊆ F und α ∈ F. Dann sind folgende Aussagen äquivalent: 

(1) α ist in klassischer Logik aus P herleitbar. 

(2) Für alle Homomorphismen v : F → 2 mit v(β) = × für alle β ∈ P gilt v(α) = ×. 

(3) Für alle unvollständigen Kontexte |K mit Merkmalsmenge M und |K ] P gilt |K ] α. 

(4) Für alle einwertigen Kontexte |K mit Merkmalsmenge M und |K ] P gilt |K ] α. 

(5) Für alle einwertigen Kontexte |K mit Merkmalsmenge M und einelementiger Gegenstandsmenge 

G und |K ] P gilt |K ] α. 

Beweis: 

(1) ⇔ (2) gilt wegen der Korrektheit und Vollständigkeit des Kalküls der klassischen Logik, 63 denn 

v(α) = × gilt genau dann, wenn {m ∈ M | v(m) = ×} ein Modell von α ist. 

(2) ⇒ (3): 

Seien |K = (G, M, {×, ?, o}, I) ein unvollständiger Kontext mit |K ] P und g ∈ G. Sei v : F → 2 ein 

Homomorphismus mit v(m) = I(g, m) für alle m ∈ M mit I(g, m) ≠ ?. Es gilt |K ]g β für alle β ∈ P, 

also v(β) = × nach Satz 2.9, und nach (2) auch v(α) = ×, also gilt |K ]g α nach Satz 2.9. Somit gilt 

|K ] α. 

(3) ⇒ (4): 

Jeder einwertiger Kontext kann als unvollständiger Kontext aufgefaßt werden. 

(4) ⇒ (5): 

Trivial. 

(5) ⇒ (2): 

Seien v : F → 2 ein Homomorphismus mit v(β) = × für alle β ∈ P, |K = ({g}, M, I) mit (g, m) ∈ I 

gdw. v(m) = × für m ∈ M. Dann gilt |K ]g P nach Korollar 2.4, also |K ]g α wegen (5), und deshalb 

v(α) = × nach Korollar 2.4. 

❚ 

63 vgl. Satz 1.12 

41

Die in einem unvollständigen Kontext |K gültigen Formeln sind somit bezüglich der Regeln der 

klassischen Logik abgeschlossen. Nach Satz 1.12 und Satz 2.17 (Äquivalenz (1) ⇔ (3)) sind die in 

|K gültigen Formeln auch bezüglich des Operators Th ° Mod abgeschlossen: 

Th(Mod({α ∈ F | |K ] α})) = {α ∈ F | |K ] α}. 

Die Äquivalenz zweier Formeln für die Kripke-Gültigkeit, starke Gültigkeit und schwache 

Gültigkeit läßt sich durch Gleichungen in den Algebren 2 und 3 beschreiben. Dies wird in den 

Sätzen 2.18 und 2.19 bewiesen. 

2.18. Satz (Äquivalenz von Formeln durch Gleichungen in 2): 

Seien M eine Menge und α, β ∈ F. Folgende Aussagen sind äquivalent: 

(1) In 2 gilt die Gleichung α = β. 

(2) Für alle unvollständigen Kontexte |K = (G, M, {×, ?, o}, I) und alle g ∈ G gilt genau dann 

|K ]g α, wenn |K ]g β gilt. 


|K bg ¬α, wenn |K bg ¬β gilt. 

Beweis: 

(1) ⇒ (2): 

Seien |K = (G, M, {×, ?, o}, I) und g ∈ G. Nach (1) und Satz 2.9.(1) gilt: 

|K ]g α 

gdw. v(α) = × für alle v : F → 2 mit v(m) = I(g, m) für I(g, m) ≠ ? 

gdw. v(β) = × für alle v : F → 2 mit v(m) = I(g, m) für I(g, m) ≠ ? 

gdw. |K ]g β 

(2) ⇒ (3): 

Seien |K = (G, M, {×, ?, o}, I) ein unvollständiger Kontext und g ∈ G. Nach (2) und Lemma 2.8 

gilt: 

|K bg ¬α gdw. 

es gibt eine Vervollständigung |K' ∈ V(|K) mit |K' ]g α gdw. 

es gibt eine Vervollständigung |K' ∈ V(|K) mit |K' ]g β gdw. 

|K bg ¬β. 

(3) ⇒ (1): 

Seien v : F → 2 ein Homomorphismus, |K = ({g}, M, {×, ?, o}, I) der Kontext mit I(g, ⋅) = v|M. 

Dann ist |K ein vollständiger Kontext. Nach (3) und Satz 2.9.(2) gilt 

v(α) = × gdw. |K bg ¬α gdw. |K bg ¬β gdw. v(β) = ×, 

und damit auch v(α) = o gdw. v(β) = o, also v(α) = v(β). 

❚ 

Zwei Formeln sind für die Kripke-Gültigkeit (bzw. Erfüllbarkeit) genau dann äquivalent, wenn die 

Auswertungen dieser Formeln in 2 für jede Variablenbelegung den gleichen Wert liefern. Der 

folgende Satz liefert die analoge Aussage für die starke und schwache Gültigkeit bei Auswertungen 

in der Algebra 3. 

2.19. Satz (Äquivalenz von Formeln durch Gleichungen in 3): 

Seien M eine Menge und α, β ∈ F. Folgende Aussagen sind äquivalent: 

(1) In 3 gilt die Gleichung α = β. 


|K ]!g α, wenn |K ]!g β gilt. 

42


|K ]?g α, wenn |K ]?g β gilt. 

Beweis: 

(1) ⇒ (2): 

Seien |K = (G, M, {×, ?, o}, I), g ∈ G und vg : F → 3 der Homomorphismus mit vg|M = I(g, ⋅). Nach 

(1) und Definition 2.2 gilt: |K ]!g α gdw. vg(α) = × gdw. vg(β) = × gdw. |K ]!g β. 

(2) ⇒ (3): 

Seien |K = (G, M, {×, ?, o}, I), g ∈ G und vg : F → 3 der Homomorphismus mit vg|M = I(g, ⋅). Sei 

|K2 = ({g}, M, {×, ?, o}, J) der unvollständige Kontext mit J(g, ⋅) = ¬ 3 vg|M. Nach (2) und Definition 

2.2 gilt: |K ]?g α gdw. vg(α) ≠ o gdw. ¬ 3 vg(α) ≠ × gdw. |K2 b!g α gdw. |K2 b!g β gdw. ¬ 3 vg(β) ≠ × 

gdw. vg(β) ≠ o gdw. |K ]?g β. 

(3) ⇒ (1): 

Sei v : F → 3 ein Homomorphismus. Es wird nun gezeigt, daß v(α) = v(β) gilt. 

Seien |K1 = ({g}, M, {×, ?, o}, I) der unvollständige Kontext mit I(g, ⋅) = v|M, und 

|K2 = ({g}, M, {×, ?, o}, J) der unvollständige Kontext mit J(g, ⋅) = ¬ 3 v|M. Nach (3) gilt: 

v(α) = o gdw. |K1 b?g α gdw. |K1 b?g β gdw. v(β) = o und 

v(α) = × gdw. ¬ 3 v(α) = o gdw. |K2 b?g α gdw. |K2 b?g β gdw. ¬ 3 v(β) = o gdw. v(β) = ×, 

und damit gilt auch v(α) = ? gdw. v(β) = ?, also v(α) = v(β). 

❚ 

2.20. Korollar (Beispiele für Äquivalenzen von Formeln): 

Für |K = (G, M, {×, ?, o}, I), g ∈ G, α, β, γ ∈ F und x ∈ {g, !g, ?g, ε, !, ?} (wobei ε das leere Wort 

bezeichnet) gilt: 

(1) |K ]x ¬¬α gilt genau dann, wenn |K ]x α gilt. 

(2) |K ]x α ∧ (β ∨ γ) gilt genau dann, wenn |K ]x (α ∧ β) ∨ (α ∧ γ) gilt. 

(3) |K ]x α ∨ (β ∧ γ) gilt genau dann, wenn |K ]x (α ∨ β) ∧ (α ∨ γ) gilt. 

(4) |K ]x ¬(α ∧ β) gilt genau dann, wenn |K ]x ¬α ∨ ¬β gilt. 

(5) |K ]x ¬(α ∨ β) gilt genau dann, wenn |K ]x ¬α ∧ ¬β gilt. 

(6) |K ]x α → β gilt genau dann, wenn |K ]x ¬α ∨ β gilt. 

(7) |K ]x ¬(α → β) gilt genau dann, wenn |K ]x α ∧ ¬β gilt. 

Beweis: 

Die Gültigkeit der zugehörigen Gleichungen (¬¬α = α, ...) in den Algebren 2 und 3 folgt direkt aus 

den Axiomen der Kleene-Algebren, also folgen die Behauptungen aus Satz 2.18 und Satz 2.19. 

❚ 

Nach Satz 2.18 sind diese Formeln auch erfüllbarkeitsäquivalent, d.h. ¬¬α ist in einem unvollständigen 

Kontext |K für einen Gegenstand g genau dann erfüllbar, wenn α für g erfüllbar ist, und 

analog für die Formeln aus (2)-(7). 

2.21. Satz (Äquivalenz von Kripke-Gültigkeit zur Herleitbarkeit aus den Kontexteinträgen): 

Seien |K = (G, M, {×, ?, o}, I), α ∈ F und g ∈ G. Es gilt |K ]g α genau dann, wenn α in klassischer 

Logik aus Pg := {m ∈ M | I(g, m) = ×} ∪ {¬m | m ∈ M, I(g, m) = o} herleitbar ist. 

Beweis: 

Nach Satz 2.9.(1) gilt: 

43

|K ]g α gdw. 

für jeden Homomorphismus v : F → 2 mit v(m) = I(g, m) für I(g, m) ≠ ? gilt v(α) = × gdw. 

für jeden Homomorphismus v : F → 2 mit v(β) = × für alle β ∈ Pg gilt v(α) = × gdw. 64 

α ist aus Pg herleitbar 

❚ 

Durch die Menge Pg := {m ∈ M | I(g, m) = ×} ∪ {¬m | m ∈ M, I(g, m) = o} werden die Informationen 

der Kontextezeile von g durch Formeln ausgedrückt. Pg enthält also genügend Informationen, 

um mit Hilfe der klassischen Logik die Kripke-Gültigkeit einer Formel α bezüglich g 

überprüfen zu können. 

2.22. Korollar (Tautologien sind genau diejenigen Formeln, welche in allen (unvollständigen) 

Kontexten Kripke-gültig sind): 

Seien M eine Menge und α ∈ F. Folgende Aussagen sind äquivalent: 

(1) |K ] α gilt für alle unvollständigen Kontexte |K mit Merkmalsmenge M. 

(2) |K? ] α gilt für den Kontext |K? := ({g}, M, I) mit I(g, m) = ? für alle m ∈ M. 

(3) α ist in klassischer Logik aus P := ∅ herleitbar. 

(4) Mod({α}) = ℘(M) 

(5) In 2 ist die Gleichung α = Y gültig, wobei die Elemente von M als Variablen aufgefaßt werden. 

Beweis: 

(1) ⇒ (2) ist trivial 

(2) ⇒ (3) folgt aus dem vorigen Satz mit |K = |K? und Pg = ∅. 

(3) ⇒ (1) folgt ebenfalls aus dem vorigen Satz. 

(3) ⇔ (4) gilt wegen der Korrektheit und Vollständigkeit des Kalküls der klassischen Logik. 

(4) ⇔ (5): Mod({α}) = ℘(M) gdw. v(α) = × für jeden Homomorphismus v : F → 2. 

❚ 

Während bei Satz 2.21 die Herleitbarkeit äquivalent zur Kripke-Gültigkeit ist, liefert der folgende 

Satz nur eine hinreichende Bedingung für die Herleitbarkeit: Aus der starken Gültigkeit von α für 

den Gegenstand g folgt die Herleitbarkeit von α aus Pg in intuitionistischer Logik, und damit auch 

in klassischer Logik, denn das Regelsystem des intuitionistischen Kalküls ist im klassischen Kalkül 

enthalten. 

2.23. Satz (starke Gültigkeit impliziert Herleitbarkeit in intuitionistischer Logik): 

Seien |K = (G, M, {×, ?, o}, I), α ∈ F und g ∈ G mit |K ]!g α. Dann ist α in intuitionistischer 

Logik 65 aus Pg := {m ∈ M | I(g, m) = ×} ∪ {¬m | m ∈ M, I(g, m) = o} herleitbar. 

Beweis durch Induktion: 

Fall 1: α ∈ {Z, ¬Y} 

Dieser Fall kann nicht eintreten, da |K ]!g α gelten muß. 

Fall 2: α ≡ Y 

Die Regel (true) ist eine Herleitung von α. 

Fall 3: α ≡ m ∈ M 

Wegen |K ]!g α gilt I(g, m) = ×, also α ∈ Pg. Damit ist α mit der Regel (ax) herleitbar. 

64 vgl. 2.17 (Äquivalenz (1) ⇔ (2)) 

65 vgl. Kapitel 1.3 

44

Fall 4.1: α ≡ ¬Z 

_____________(ax) 

Pg, Z W Z 

____________(¬-I) 

Pg W ¬Z 

Fall 4.2: α ≡ ¬m für ein m ∈ M 

Wegen |K ]!g α gilt I(g, m) = o, also α ∈ Pg. Damit ist α mit der Regel (ax) herleitbar. 

Fall 4.3: α ≡ ¬¬β 

Es gilt |K ]!g β nach Korollar 2.20.(1). 

Nach Induktionsannahme ist β aus Pg herleitbar. 

Pg W β 

______________(weak) ________________(ax) 

Pg, ¬β W β Pg, ¬β W ¬β 

___________________________________________(¬-E) 

Pg, ¬β W Z 

_______________(¬-I) 

Pg W ¬¬β 

Fall 4.4: α ≡ ¬(β ∨ γ) 

Es gilt |K ]!g ¬β ∧ ¬γ nach Korollar 2.20.(5), also |K ]!g ¬β und |K ]!g ¬γ nach Lemma 2.7.(7). 

Nach Induktionsannahme sind ¬β und ¬γ aus Pg herleitbar. 

Pg W ¬β Pg W ¬γ 

______________(weak) ____________(ax) _____________(weak) ____________(ax) 

Pg, β W ¬β Pg, β W β Pg, γ W ¬γ Pg, γ W γ 

_______________________________________(¬-E) __________________________________(¬-E) 

Pg, β W Z Pg, γ W Z 

________________________(weak) ______________________(weak) _______________________(ax) 

Pg, β ∨ γ, β W Z Pg, β ∨ γ, γ W Z Pg, β ∨ γ W β ∨ γ 

____________________________________________________________________________________________________(∨-E) 

Pg, β ∨ γ W Z 

_________________(¬-I) 

Pg W ¬(β ∨ γ) 

Fall 4.5: α ≡ ¬(β ∧ γ) 

Es gilt |K ]!g ¬β ∨ ¬γ nach Korollar 2.20.(4), also |K ]!g ¬β oder |K ]!g ¬γ nach Lemma 2.7.(9). 

Nach Induktionsannahme ist ¬β oder ¬γ aus Pg herleitbar. Wenn ¬β herleitbar ist, dann ist auch α 

herleitbar: 

_____________________(ax) 

Pg W ¬β Pg, β ∧ γ W β ∧ γ 

__________________(weak) _____________________(∧-E) 

Pg, β ∧ γ W ¬β Pg, β ∧ γ W β 

_____________________________________________________(¬-E) 

Pg, β ∧ γ W Z 

_________________(¬-I) 

Pg W ¬(β ∧ γ) 

Analog liefert eine Herleitung von ¬γ auch eine Herleitung von α. 

Fall 4.6: α ≡ ¬(β → γ) 

Es gilt |K ]!g β ∧ ¬γ nach Korollar 2.20.(7), also |K ]!g β und |K ]!g ¬γ nach Lemma 2.7.(7). Nach 

Induktionsannahme gibt es Herleitungen für β und ¬γ. 

45

46 

Pg W β 

________________________(ax) __________________(weak) 

Pg, β → γ W β → γ Pg, β → γ W β Pg W ¬γ 

_____________________________________________________(→-E) ____________________(weak) 

Pg, β → γ W γ Pg, β → γ W ¬γ 

_________________________________________________________________(¬-E) 

Pg, β → γ W Z 

____________________(¬-I) 

Pg W ¬(β → γ) 

Fall 5: α = β ∨ γ 

Es gilt |K ]!g β oder |K ]!g γ nach Lemma 2.7.(9). Nach Induktionsannahme ist β oder γ aus Pg 

herleitbar. Die Regel (∨-I) liefert in beiden Fällen die Herleitung von α. 

Fall 6: α = β ∧ γ 

Es gilt |K ]!g β und |K ]!g γ nach Lemma 2.7.(7). Nach Induktionsannahme sind β und γ aus Pg 

herleitbar. Die Regel (∧-I) liefert die Herleitung von α. 

Fall 7: α = β → γ 

Es gilt |K ]!g ¬β ∨ γ nach Korollar 2.20.(6), also |K ]!g ¬β oder |K ]!g γ und Lemma 2.7.(9), und 

nach Induktionsannahme ist ¬β oder γ aus Pg herleitbar. Wenn ¬β herleitbar ist, dann ist auch α 

herleitbar: 

Pg W ¬β 

____________(ax) ______________(weak) 

Pg, β W β Pg, β W ¬β 

___________________________________________(¬-E) 

Pg, β W Z 

_____________(false) 

Pg, β W γ 

________________(→-I) 

Pg W β → γ 

Wenn γ herleitbar ist, dann ist α ebenfalls herleitbar: 

Pg W γ 

____________(weak) 

Pg, β W γ 

_______________(→-I) 

Pg W β → γ 

❚ 

Sei |K der Kontext 

|K a b 

g × o 

h ? × 

Die Formeln a → a und ¬(a ∧ ¬a) sind für den Gegenstand h nicht stark gültig, aber sie sind in 

intuitionistischer Logik herleitbar:

________(ax) 

a W a 

___________(→-I) 

W a → a 

____________________(ax) _____________________(ax) 

a ∧ ¬a W a ∧¬a a ∧ ¬a W a ∧ ¬a 

___________________(∧-E1) _____________________(∧-E2) 

a ∧ ¬a W a a ∧ ¬a W ¬a 

__________________________________________(¬-E) 

a ∧ ¬a W Z 

____________________(¬-I) 

W ¬(a ∧ ¬a) 

Dies zeigt, daß Satz 2.23 nicht umkehrbar ist. Auch aus der Äquivalenz von Formeln läßt sich noch 

nicht die Äquivalenz der Herleitbarkeit folgern, z.B. ist in einem Kontext die Formel a → a nach 

Korollar 2.20 genau dann stark gültig, wenn ¬a ∨ a stark gültig ist, jedoch ist die Formel ¬a ∨ a 

nicht in intuitionistischer Logik aus ∅ herleitbar, obwohl a → a herleitbar ist. Satz 2.23 sagt nur 

etwas über die Herleitbarkeit aus den Daten einer Kontextzeile aus: Wenn eine Formel für eine 

Kontextzeile stark gültig ist, dann ist diese Formel aus den "sicheren" Einträgen der Kontextzeile in 

intuitionistischer Logik herleitbar. 

Im Beispiel gilt |K ]! a ∨ b, diese Formel ist jedoch weder in der klassischen noch in der 

intuitionistischen Logik aus der Formelmenge 

{m ∈ M | m(x) = × für alle x ∈ G} ∪ {¬m | m(x) = o für alle x ∈ G} = ∅ 

herleitbar. Die Herleitbarkeit folgt also nur aus der starken Gültigkeit von einzelnen Kontextzeilen. 

Im folgenden Satz werden Zusammenhänge zwischen den verschiedenen Logiksystemen bewiesen. 

2.24. Satz (Zusammenhang zwischen verschiedenen Gültigkeitsbegriffen): 

Seien |K = (G, M, {×, ?, o}, I) ein unvollständiger Kontext, g ∈ G und α ∈ F. 

(1) Wenn |K ]!g α gilt, dann gilt |K ]g α. 

(2) Wenn |K ]g α gilt, dann gilt |K bg ¬α 

(3) Wenn |K bg ¬α gilt, dann gilt |K ]?g α. 


Wenn |K ]!g α gilt, dann ist α nach Satz 2.23 in intuitionistischer Logik aus Pg herleitbar, also auch 

in klassischer Logik. Damit gilt |K ]g α nach Satz 2.21. 


Wenn |K ]g α gilt, dann gilt |K' ]g α für alle |K' ∈ V(|K), also |K' bg ¬α und damit auch |K bg ¬α. 


Wenn |K bg ¬α gilt, dann gilt |K b!g ¬α wegen (1), also |K ]?g α nach Lemma 2.7.(5). 

❚ 

Da im dritten Kapitel nur die Kripke-Gültigkeit und Erfüllbarkeit verwendet wird, ist es nützlich, 

auch hinreichende Bedingungen für die Äquivalenz von starker Gültigkeit und Kripke-Gültigkeit zu 

kennen, damit man Formeln in der Kleene-Algebra 3 auswerten kann, um die Kripke-Gültigkeit und 

Erfüllbarkeit zu überprüfen. 

2.25. Satz (Äquivalenz zwischen verschiedenen Gültigkeitsbegriffen, wenn in einer Formel 

jedes Merkmal höchstens einmal vorkommt): 

Seien |K = (G, M, {×, ?, o}, I) ein unvollständiger Kontext, g ∈ G und α ∈ F eine Formel, in der 

jedes Merkmal m ∈ M höchstens einmal vorkommt. 

47

(1) |K ]g α gilt genau dann, wenn |K ]!g α gilt. 

(2) |K bg ¬α gilt genau dann, wenn |K ]?g α gilt. 

Beweis von (1) durch Induktion: 

Nach Satz 2.24 folgt aus |K ]!g α auch |K ]g α, also gelte nun |K ]g α. 

Fall 1: α ∈ {Z, Y, ¬Z, ¬Y} 

Dieser Fall ist trivial. 

Fall 2: α ≡ m ∈ M 

Es gilt I(g, m) = ×, wegen |K ]g α, also gilt |K ]!g α. 

Fall 3: α ≡ β ∨ γ 

Annahme: Es gibt |K1 = (G, M, I1) ∈ V(|K) und |K2 = (G, M, I2) ∈ V(|K) mit |K1 bg β und |K2 bg γ. 

Sei |K3 = (G, M, I3) ∈ V(|K) mit (x, m) ∈ I3 gdw. (x, m) ∈ I1 für x ∈ G und m ∈ var(β), sowie 

(x, m) ∈ I3 gdw. (x, m) ∈ I2 für x ∈ G und m ∈ M-var(β). Da |K1 bg β gilt, gilt auch |K3 bg β, und 

wegen |K2 bg γ und var(γ) ⊆ M-var(β) gilt auch |K3 bg γ. Damit gilt |K3 bg β ∨ γ nach Lemma 

2.7.(9) und Lemma 2.3, was ein Widerspruch zu |K ]g β ∨ γ ist, denn es gilt |K3 ∈ V(|K). 

Also gilt |K' ]g β für alle |K' ∈ V(|K) oder |K' ]g γ für alle |K' ∈ V(|K). Damit gilt |K ]g β oder 

|K ]g γ, und nach Induktionsannahme auch |K ]!g β oder |K ]!g γ und damit |K ]!g α nach Lemma 

2.7.(9). 

Fall 4: α ≡ β ∧ γ 

Es gilt |K' ]g β ∧ γ für alle |K' ∈ V(|K), also gilt |K' ]g β und |K' ]g γ nach Lemma 2.7.(7) und 

Lemma 2.3. Damit gilt |K ]g β und |K ]g γ. Nach Induktionsannahme gilt |K ]!g β und |K ]!g γ und 

deshalb |K ]!g α nach Lemma 2.7.(7). 

Fall 5.1: α ≡ ¬m, m ∈ M 

Es gilt |K' ]g ¬m für alle |K' ∈ V(|K), also I(g, m) = o und deshalb |K b?g m und |K ]!g ¬m nach 

Lemma 2.7.(5). 

Fall 5.2: α ≡ ¬¬β 

Es gilt |K ]g β nach Korollar 2.20.(1), also |K ]!g β nach Induktionsannahme und |K ]!g ¬¬β nach 

Korollar 2.20(1). 

Fall 5.3: α ≡ ¬(β ∨ γ) oder α ≡ ¬(β → γ) 

Nach Korollar 2.20 und Fall 4 gilt |K ]!g α. 

Fall 5.4: α ≡ ¬(β ∧ γ) oder α ≡ β → γ 

Nach Korollar 2.20 und Fall 3 gilt |K ]!g α. 


Nach (1) und Lemma 2.7.(5) gilt |K bg ¬α gdw. |K b!g ¬α gdw. |K ]?g α. 

❚ 

2.26. Korollar (Äquivalenz von Gleichungen in 2 und 3, wenn in den Termen jedes Merkmal 

höchstens einmal vorkommt): 

Seien α1, α2 ∈ F so daß in αj jedes Merkmal m ∈ M höchstens einmal vorkommt für j ∈ {1, 2}. 66 

Wenn die Gleichung α1 = α2 in 2 gilt, dann gilt die Gleichung auch in 3. 67 

66 var(α1) und var(α2) brauchen nicht disjunkt zu sein 

67 und damit auch in allen Kleene-Algebren, denn 2 und 3 sind die einzigen subdirekt irreduziblen Kleene-Algebren. 

48

Beweis: 

Die Behauptung folgt aus den Sätzen 2.18, 2.25 und 2.19. 

❚ 

Die Kripke-Gültigkeit von Formeln läßt sich auch durch die modale Logik ausdrücken. In der 

modalen Logik gibt es noch zwei zusätzliche Junktoren ‡ und z, wobei z nur eine Abkürzung für 

¬‡¬ ist. Die Semantik (W, R) der modalen Logik besteht aus einer Menge W von Welten und 

einer Erreichbarkeitsrelation R ⊆ W × W. Seien v : M × W → 2 eine Abbildung, w ∈ W, 

vw : F → 2 die homomorphe Fortsetzung von v(⋅, w) und α ∈ F. Dann ist das Tripel (W, R, v) ein 

modales Modell von α in der Welt w, wenn vw(α) = × ist. Das Tripel (W, R, v) ist ein modales 

Modell von ‡α in der Welt w, wenn (W, R, v) ein modales Modell von α in allen Welten w' ∈ W 

mit (w, w') ∈ R ist. (W, R, v) ist ein modales Modell von zα in der Welt w, wenn (W, R, v) ein 

modales Modell von α in einer Welt w' mit (w, w') ∈ R ist. 68 

2.27. Satz (Kripke-Gültigkeit für einen Gegenstand durch modale Logik): 

Die Menge der Welten W := U(G, M) sei die Menge der unvollständigen Kontexte mit 

Gegenstandsmenge G und Merkmalsmenge M, die Erreichbarkeitsrelation sei die Informationsordnung 

≤. Seien g ∈ G und v : M × U(G, M) → 2 die Abbildung mit v(m, |K) = × gdw. I(g, m) = × 

für |K = (G, M, {×, ?, o}, I) ∈ W und m ∈ M. Dann gilt für alle α ∈ F und |K ∈ U(G, M): 

(1) |K ]g α gdw. (W, ≤, v) ist ein modales Modell von ‡α in der Welt |K 

(2) |K bg ¬α gdw. (W, ≤, v) ist ein modales Modell von zα in der Welt |K 


'⇒': 

Gelte |K ]g α und sei |K ≤ |K' = (G, M, {×, ?, o}, J) ∈ U(G, M). Dann gilt |K' ]g α nach Lemma 

2.10, also nach Satz 2.9 auch vg(α) = × für den (eindeutig bestimmten) Homomorphismus 

vg : F → 2 mit vg(m) = × gdw. J(g, m) = × für m ∈ M. Es gilt v(m, |K') = × gdw. J(g, m) = × gdw. 

vg(m) = ×, also ist vg die homomorphe Fortsetzung von v(⋅, |K'), und (W, ≤, v) ist ein modales 

Modell von ‡α in der Welt |K. 

'⇐': 

Seien (W, ≤, v) ist ein modales Modell von ‡α in der Welt |K und |K' = (G, M, J) ∈ V(|K). Wegen 

|K ≤ |K' ist (W, ≤, v) ein modales Modell von α in der Welt |K', also vg(α) = × für den eindeutig 

bestimmten Homomorphismus vg : F → 2 mit vg(m) = × gdw. (g, m) ∈ J. Damit gilt |K' ]g α nach 

Lemma 2.3, also |K ]g α. 


Nach (1) gilt: 

|K bg ¬α gdw. 

(W, ≤, v) ist kein modales Modell von ‡¬α in der Welt |K gdw. 

(W, ≤, v) ist ein modales Modell von zα ≡ ¬‡¬α in der Welt |K. 

❚ 

Die Abbildung v(⋅, |K) : M → 2 aus Satz 2.27 für einen unvollständingen Kontext |K entspricht der 

Kontextzeile von g, wobei die Fragezeichen durch o ersetzt werden: 

v(m, |K) = × gdw. I(g, m) = × 

68 diese Bedingung ist äquivalent zu der Eigenschaft, daß (W, R, v) kein modales Modell von ‡¬α in der Welt w ist. 

49

Behauptung (1) von Satz 2.27 sagt aus, daß eine Formel α genau dann für einen Gegenstand g von 

|K Kripke-gültig ist, wenn die Auswertung von α in allen erreichbaren Kontexten (d.h. Kontexten, 

die mehr Informationen enthalten als |K) den Wert × liefert. 

Behauptung (2) von Satz 2.27 sagt aus, daß α genau dann für den Gegenstand g von |K erfüllbar ist, 

wenn die Auswertung von α in einem erreichbaren Kontext den Wert × liefert. 

Die modale Logik eignet sich daher gut, um die Kripke-Gültigkeit von Formeln für einzelne 

Gegenstände auszudrücken. Die Kripke-Gültigkeit von Formeln im gesamten Kontext läßt sich 

jedoch nicht mehr durch eine einzelne Variablenbelegung ausdrücken. Hierfür benötigt man 

mehrere Variablenbelegungen: 

2.28. Korollar (Kripke-Gültigkeit im unvollständigen Kontext durch modale Logik): 

Seien W := U(G, M) und R = ≤. Für g ∈ G sei vg : M × U(G, M) → 2 die Abbildung mit 

vg(m, |K) = × gdw. I(g, m) = × für |K = (G, M, {×, ?, o}, I) ∈ W und m ∈ M. Dann gilt für alle 

α ∈ F und |K ∈ U(G, M): 

(1) |K ] α gdw. {(W, ≤, vg) | g ∈ G} sind modale Modelle von ‡α in der Welt |K 

(2) α ist erfüllbar in |K gdw. {(W, ≤, vg) | g ∈ G} sind modale Modelle von zα in der Welt |K 

❚ 

50

2.2 Implikationen 

Abhängigkeiten zwischen Merkmalen werden häufig durch Implikationen der Form A → B mit A, 

B ⊆ M ausgedrückt. Auch bei der in Kapitel 3 behandelten Merkmalexploration interessiert man 

sich für die Gültigkeit von Merkmalimplikationen in einem Kontext. In diesem Kapitel werden die 

wichtigsten Eigenschaften von Gültigkeit und Erfüllbarkeit von Implikationen in einwertigen und 

unvollständigen Kontextes erläutert. 

2.29. Definition (Merkmalimplikationen, respektieren, Operatoren Imp, Resp, Erf, < ⋅ >): 

Seien |K ein unvollständiger Kontext mit endlicher Merkmalsmenge M. 

ImpM := {A → B | A, B ⊆ M} sei die Menge aller Merkmalimplikationen auf M. 

Imp(|K) := {A → B ∈ ImpM | |K ] A → B} sei die Menge der im Kontext |K Kripke-gültigen 

Merkmalimplikationen. 69 

Erf(|K) := {A → B ∈ ImpM | A → B ist erfüllbar in |K} sei die Menge der im Kontext |K erfüllbaren 

Merkmalimplikationen. 

Eine Menge T ⊆ M respektiert eine Implikation A → B, wenn aus A ⊆ T auch B ⊆ T folgt. 

Eine Abbildung h : ℘(M) → ℘(M) respektiert eine Implikation A → B, wenn B ⊆ h(A) gilt. 

Für H ⊆ ℘(M), h : ℘(M) → ℘(M), P ⊆ ImpM und D ⊆ M definiere: 

Imp(H) := {A → B ∈ ImpM | jede Menge T ∈ H respektiert A → B} 

Imp(h) := {A → B ∈ ImpM | h respektiert A → B} 

Resp(P) := {T ⊆ M | T respektiert jede Implikation A → B ∈ P} 

P := ∩{T ∈ Resp(P) | D ⊆ T} ist die implikationale Hülle von D bezüglich P. 

Die Menge Imp(|K) für einen unvollständigen Kontext |K enthält genau diejenigen Merkmalimplikationen, 

die in |K Kripke-gültig sind, und Erf(|K) enthält die in |K erfüllbaren Merkmalimplikationen. 

Für |K' ∈ V(|K) gilt Imp(|K) ⊆ Imp(|K') ⊆ Erf(|K), denn wenn eine Implikation in |K Kripke-gültig ist, 

dann gilt sie auch in allen Vervollständigungen, und wenn eine Implikation in einer 

Vervollständigung gilt, dann ist sie erfüllbar in |K. Für einwertige Kontexte |K gilt Imp(|K) = Erf(|K) 

wegen V(|K) = {|K}. 

Die Abbildungen Imp : ℘(℘(M)) → ℘(ImpM) und Resp : ℘(ImpM) → ℘(℘(M)) sind die 

Einschränkungen der Abbildungen Th und Mod auf die Mengen von Implikationen, d.h. es gilt 

Resp(P) = Mod(P) für P ⊆ ImpM und Imp(H) = Th(H) ∩ ImpM für H ⊆ ℘(M). 

2.30. Lemma (Imp und Resp bilden eine Galoisverbindung): 

Das Paar (Imp, Resp) ist eine Galoisverbindung. 

Beweis: 

Die Abbildungen Imp und Resp sind die Ableitungsoperatoren im Kontext (℘(M), ImpM, J) mit 

(T, A → B) ∈ J gdw. T respektiert A → B für T ⊆ M und A → B ∈ ImpM. 

❚ 

Im folgenden Lemma wird bewiesen, daß Resp(P) für P ⊆ ImpM ein Hüllensystem ist, deshalb ist 

< ⋅ >P : ℘(M) → ℘(M) der Hüllenoperator des Hüllensystems Resp(P): 


51

2.31. Lemma (Resp(P) ist das Hüllensystem zum Hüllenoperator < ⋅ >P): 70 

Für P ⊆ ImpM ist Resp(P) ein Hüllensystem auf M, und < ⋅ >P : ℘(M) → ℘(M) ist der zugehörige 

Hüllenoperator: P ist für A ⊆ M die kleinste P respektierende Obermenge von A, d.h. P ist 

die kleinste Menge T ⊆ M mit folgenden Eigenschaften: 

• A ⊆ T 

• Wenn C → D ∈ P und C ⊆ T ist, dann ist auch D ⊆ T. 

Beweis: 

Seien H ⊆ Resp(P) und C → D ∈ P mit C ⊆ ∩H. Dann gilt C ⊆ T für alle T ∈ H, also D ⊆ T für 

alle T ∈ H und damit D ⊆ ∩H. Damit gilt ∩H ∈ Resp(P) und Resp(P) ist ein Hüllensystem. 

Wegen P = ∩{T ∈ Resp(P) | A ⊆ T} für A ⊆ M ist < ⋅ >P der zugehörige Hüllenoperator. 

❚ 

2.32. Korollar (größere Implikationenmenge liefert größeren Hüllenoperator): 

Für P ⊆ Q ⊆ ImpM und A ⊆ M gilt P ⊆ Q. 

Beweis: 

P ist die kleinste P respektierende Obermenge von A, und Q respektiert P. 

❚ 

Im folgenden Lemma wird ein Zusammenhang zwischen den respektierenden Mengen einer 

Abbildung h : ℘(M) → ℘(M) und den respektierenden Mengen eines Hüllensystems 8 hergestellt. 

2.33. Lemma (Ein Hüllensystem liefert genau dann die Implikationen einer Abbildung h, 

wenn h der zugehörige Hüllenoperator ist): 

Seien 8 ⊆ ℘(M) ein Hüllensystem auf M und h : ℘(M) → ℘(M) eine Abbildung. 

Es gilt genau dann Imp(8) = Imp(h), wenn h der Hüllenoperator des Hüllensystems 8 ist. 

Beweis: 

'⇒': 

Gelte Imp(8) = Imp(h). Für A ⊆ M gilt 

A → ∩{T ∈ 8 | A ⊆ T} ∈ Imp(8) = Imp(h), denn jede Menge T ∈ 8 respektiert diese 

Implikation. Damit gilt ∩{T ∈ 8 | A ⊆ T} ⊆ h(A). Es gilt A → h(A) ∈ Imp(h) = Imp(8), also 

h(A) ⊆ ∩{T ∈ 8 | A ⊆ T}, denn jede Menge T ∈ 8 muß die Implikation A → h(A) respektieren. 

Damit gilt ∩{T ∈ 8 | A ⊆ T} = h(A), und h ist der Hüllenoperator von 8. 

'⇐': 

Sei h der Hüllenoperator von 8. Sei A → B ∈ Imp(8), dann gilt wegen A ⊆ h(A) ∈ 8 auch 

B ⊆ h(A) und A → B ∈ Imp(h). 

Für A → B ∈ Imp(h) gilt B ⊆ h(A), also folgt aus T ∈ 8 mit A ⊆ T schon 

B ⊆ h(A) ⊆ h(T) = T, also A → B ∈ Imp(8). Damit gilt Imp(8) = Imp(h). 

❚ 

70 vgl. [Ganter98], Kapitel 1.3 

52

Wenn h der Hüllenoperator des Hüllensystems 8 ist, dann gilt A → h(A) ∈ Imp(8) für alle 

Mengen A ⊆ M, denn A → h(A) ∈ Imp(h) folgt direkt aus der Definition von Imp(h). Die Menge 

h(A) ist die größte Menge B mit A → B ∈ Imp(8). 

Zu jedem Mengensystem H ⊆ ℘(M) gibt es ein kleinstes Hüllensystem, welches H enthält. Dieses 

Hüllensystem besteht genau aus den Mengen, die alle Implikationen respektieren, die auch H 

respektiert. Diese Aussage wird im folgenden Lemma bewiesen. 

2.34. Lemma (Resp ° Imp ist der Hüllenoperator des Systems aller Hüllensysteme auf M): 

Für H ⊆ ℘(M) ist Resp(Imp(H)) das kleinste Hüllensystem auf M, welches H enthält. 

Beweis: 

Resp(Imp(H)) ist nach Lemma 2.31 ein Hüllensystem, und es gilt H ⊆ Resp(Imp(H)) weil das 

Paar (Imp, Resp) nach Lemma 2.30 eine Galoisverbindung ist. 

Sei 8 ⊆ ℘(M) ein anderes Hüllensystem mit H ⊆ 8. Seien h der zugehörige Hüllenoperator von 

8 und A ∈ Resp(Imp(H)). Wegen A → h(A) ∈ Imp(h) =2.33 Imp(8) ⊆2.30 Imp(H) muß dann 

h(A) ⊆ A gelten, also A ∈ 8. Damit gilt Resp(Imp(H)) ⊆ 8, und Resp(Imp(H)) ist das kleinste 

Hüllensystem, welches H enthält. 

❚ 

Insbesondere gilt genau dann H = Resp(Imp(H)), wenn H ein Hüllensystem ist. Die Hüllensysteme 

auf M sind genau die Mengensysteme der Form Resp(P) für eine Menge P ⊆ ImpM von 

Implikationen. 

Das folgende Lemma liefert unterschiedliche Charakterisierungen für die gültigen Implikationen 

eines einwertigen Kontextes |K. Später werden auch für unvollständige Kontexte äquivalente Eigenschaften 

zur Kripke-Gültigkeit und starken Gültigkeit angegeben. 

2.35. Lemma (Charakterisierung der Gültigkeit von Implikationen in einwertigen Kontexten): 

71 

Seien |K = (G, M, J) ein einwertiger Kontext mit endlicher 72 Merkmalsmenge M und A, B ⊆ M. 

Folgende Aussagen sind äquivalent: 

(1) A → B ∈ Imp(|K) 

(2) A → B ∈ Imp({g' | g ∈ G}) 

(3) A → B ∈ Imp(Int(|K)) 

(4) B ⊆ A'' 

(5) A' ⊆ B' 

(6) Für g ∈ G folgt aus (g, m) ∈ J für alle m ∈ A schon (g, m) ∈ J für alle m ∈ B. 

Beweis: 

(1) ⇒ (6): 

Sei (g, m) ∈ J für alle m ∈ A, dann gilt |K ]g A, also |K ]g B wegen (1) und Lemma 2.7.(11), und 

damit gilt (g, m) ∈ J für m ∈ B. 

(6) ⇒ (5): 

Nach (6) folgt aus g ∈ A' auch g ∈ B', also A' ⊆ B'. 


72 Wenn man Merkmalimplikationen A → B auch für unendliche Mengen A und B definiert, ist die Endlichkeit von M 

bei diesem Satz nicht erforderlich, die Eigenschaften sind auch für unendliche Merkmalsmengen äquivalent. 

53

(5) ⇒ (4): 

Es gilt B ⊆ B'' ⊆ A'' nach (5). 

(4) ⇒ (3): 

Sei D ein Begriffsinhalt mit A ⊆ D. Wegen (4) gilt B ⊆ A'' ⊆ D'' = D, also gilt (3). 

(3) ⇒ (2): 

Es gilt {g' | g ∈ G} ⊆ Int(|K), also Imp(Int(|K)) ⊆2.30 Imp({g' | g ∈ G}). 

(2) ⇒ (1): 

Sei g ∈ G mit |K ]g A. Dann gilt A ⊆ g' und nach (2) auch B ⊆ g', also |K ]g B. Nach Lemma 

2.7.(11) gilt |K ]g A → B und somit |K ] A → B. 

❚ 

Die in |K gültigen Implikationen sind somit gerade diejenigen Implikationen, die von allen 

(Gegenstands-)inhalten respektiert werden. 

2.36. Korollar (Begriffsinhalte sind diejenigen Mengen, welche die gültigen Implikationen 

respektieren): 73 

Für einen einwertigen Kontext |K = (G, M, I) mit endlicher Menge M gilt: 

(1) Imp(|K) = Imp(Int(|K)) 

(2) Int(|K) = Resp(Imp(|K)) 

(3) Imp(|K) = A'' für A ⊆ M. 

❚ 

Die Begriffsinhalte eines einwertigen Kontextes |K sind somit genau die Mengen, die alle in |K 

gültigen Implikationen respektieren. Insbesondere ist der Begriffsverband X(|K) bis auf Isomorphie 

durch Imp(|K) eindeutig bestimmt, denn X(|K) ist antiisomorph zum Verband aller Begriffsinhalte 

von |K. 

2.37. Korollar (Imp( |K) und Erf( |K) liefern untere und obere Schranken für den von A in 

einer Vervollständigung erzeugten Begriffsinhalt): 

Seien |K = (G, M, {×, ?, o}, I) mit endlicher Menge M, |K' = (G, M, J) ∈ V(|K) und A ⊆ M. Dann 

gilt Imp(|K) ⊆ A JJ ⊆ Erf(|K). 

Beweis: 

Es gilt Imp(|K) ⊆2.32 Imp(|K') =2.36 A JJ und A JJ =2.36 Imp(|K') ⊆2.32 Erf(|K). 

❚ 

Nicht jede Menge B ⊆ M mit Imp(|K) ⊆ B ⊆ Erf(|K) ist ein Begriffsinhalt einer 

Vervollständigung von |K, wie folgendes Beispiel zeigt: 

|K a b c 

g ? o o 

Für A = {a} und B = {a, b} gilt Imp(|K) = {a} ⊆ B ⊆ {a, b, c} = Erf(|K). Der Kontext |K hat 

zwei verschiedene Vervollständigungen, in beiden Vervollständigungen gilt A'' ≠ B. 

Es wird nun ein adäquates Regelsystem für die Folgerbarkeit von Implikationen in unvollständigen 

und einwertigen Kontexten angegeben. In Satz 2.40 wird die Korrektheit und Vollständigkeit des 

Regelsystems bewiesen, d.h. der semantische Folgerungsbegriff stimmt mit dem syntaktischen 

Herleitungsbegriff überein. Wenn für eine Menge von Implikationen P ⊆ ImpM bekannt ist, daß sie 

in einem unvollständigen Kontext |K Kripke-gültig ist, dann lassen sich mit dem Regelsystem noch 


54

weitere Implikationen aus P herleiten. Diese Implikationen sind wegen der Korrektheit des 

Regelsystems auch im Kontext |K gültig. In dieser Arbeit werden nicht die in der Literatur 

verwendeten Armstrong-Regeln benutzt, 74 stattdessen wird hier ein anderes Regelsystem 

eingeführt, welches kürzer ist, als die Armstrong-Regeln. Dies hat den Vorteil, daß die Beweise der 

nachfolgenden Sätze vereinfacht werden. 

Auch für die Erfüllbarkeit wird ein adäquates Regelsystem angegeben: Eine Formel ist genau dann 

mit dem Regelsystem aus einer Menge von Implikationen herleitbar, wenn sie semantisch bezüglich 

der Erfüllbarkeit aus dieser Menge folgt. 

2.38. Definition (Regeln (AX), (PS), (PR), (AU) und (AD) Operator Cons): 

Die Regeln (AX), (PS), (PR), (AU) und (AD) seien gegeben durch 75 

_______________ (AX) 

A ∪ B → A (Axiom) 

A → B ∪ C 

_______________ (PR) 

A → B (Projektivität) 

A → B B ∪ C → D 

_________________________________ (PS) 

A ∪ C → D (Pseudotransitivität) 

A → C 

_______________ (AU) 

A ∪ B → C (Augmentation) 

A → B A → C 

_________________________ (AD) 

A → B ∪ C (Additivität) 

für A, B, C, D ⊆ M. 

Für P ⊆ ImpM sei Cons(P) ⊆ ImpM die kleinste Obermenge von P, die bezüglich (AX) und (PS) 

abgeschlossen ist. 

2.39. Lemma (die Regeln (PR), (AU) und (AD) folgen aus (AX) und (PS)): 

Für P ⊆ ImpM ist Cons(P) bezüglich der Regeln (PR), (AU) und (AD) abgeschlossen: 76 

Beweis: 

______________ (AX) 

A → B ∪ C B ∪ C → B 

_________________________________ (PS) 

A → B 

_____________________ (AX) 

A → C C ∪ B → B ∪ C 

___________________________________ (PS) 

A → B B ∪ A → B ∪ C 

___________________________________________ (PS) 

A ∪ A → B ∪ C 

❚ 

_______________ (AX) 

A ∪ B → A A → C 

______________________________ (PS) 

A ∪ B → C 

Es folgt nun der Korrektheits- und Vollständigkeitssatz für die Regeln (AX) und (PS). 

2.40. Satz (Adäquatheit von (AX) und (PS) für Kripke-Gültigkeit): 77 

Seien M eine endliche Menge, A, B ⊆ M und P ⊆ ImpM. Dann sind folgende Aussagen äquivalent: 

(1) A → B ist mit (AX) und (PS) aus P herleitbar, d.h. es gilt A → B ∈ Cons(P) 

(2) A → B ∈ Imp(Resp(P)) 

74 

vgl. [Armstrong] und [Ganter98] (Kapitel 1.3) 

75 

vgl. [Maier] 

76 

weitere Regeln befinden sich in [Burmeister91a] (Kapitel 3) und [Maier] 

77 

vgl. [GanterWille96] (Kapitel 2.3) und [Burmeister91a] (Kapitel 3) 

55

(3) B ⊆ P 

(4) Für jeden unvollständigen Kontext |K mit P ⊆ Imp(|K) gilt A → B ∈ Imp(|K). 

(5) Für jeden einwertigen Kontext |K mit P ⊆ Imp(|K) gilt A → B ∈ Imp(|K). 

(6) Für jeden einwertigen Kontext |K = (G, M, I) mit |G| = 1 und P ⊆ Imp(|K) gilt A → B ∈ Imp(|K). 

(7) A → B ist in klassischer Logik aus P herleitbar. 

Beweis: 

(1) ⇒ (2) durch Induktion über die Herleitung mit (AX) und (PS): 

Sei T ∈ Resp(P) mit A ⊆ T. 

Fall 1: A → B ∈ P 

Wegen P ⊆ Imp(Resp(P)) gilt (2). 

Fall 2: Bei der Herleitung von A → B wird (AX) als letzte Regel angewendet. 

Dann gibt es eine Menge C mit B ∪ C = A, also B ⊆ A ⊆ T. 

Fall 3: Bei der Herleitung von A → B wird (PS) als letzte Regel angewendet. 

Dann gibt es Mengen C, D, E ⊆ M mit D ∪ C = A und D → E ∈ Cons(P), sowie 

E ∪ C → B ∈ Cons(P). Nach Induktionsannahme gilt D → E ∈ Imp(Resp(P)) und 

E ∪ C → B ∈ Imp(Resp(P)). Wegen D ⊆ A ⊆ T gilt E ⊆ T und wegen 

E ∪ C ⊆ E ∪ A ⊆ T gilt auch B ⊆ T. 

Damit ist A → B ∈ Imp(Resp(P)) bewiesen. 

(2) ⇒ (3): 

< ⋅ >P ist nach Satz 2.31 der Hüllenoperator von Resp(P), deshalb gilt wegen (2) 

A → B ∈ Imp(Resp(P)) =2.33 Imp(< ⋅ >P). Damit gilt B ⊆ P. 

(3) ⇒ (4): 

Seien |K = (G, M, {×, ?, o}, I) mit P ⊆ Imp(|K) und |K' = (G, M, J) ∈ V(|K). 

Dann gilt B ⊆(3) P ⊆2.32 Imp(|K') =2.36 A JJ , also A → B ∈ Imp(|K') nach Lemma 2.35 und damit 

auch A → B ∈ Imp(|K), weil |K' ∈ V(|K) beliebig gewählt wurde. 

(4) ⇒ (5): 

Jeder einwertiger Kontext kann als unvollständiger Kontext aufgefaßt werden. 

(5) ⇒ (6): Trivial. 

(6) ⇒ (1): 

Sei T = {m ∈ M | A → m ∈ Cons(P)}. Nach Lemma 2.39 und Regel (AD) gilt dann A → T ∈ 

Cons(P), denn M ist endlich. Es wird nun T ∈ Resp(P) bewiesen. 

Für C → D ∈ P mit C ⊆ T gilt A → C ∈ Cons(P) nach Regel (PR) und daher A → D ∈ Cons(P) 

nach Regel (PS), also nach Regel (PR) auch A → m ∈ Cons(P) für alle m ∈ D und somit D ⊆ T. 

Damit respektiert T die Menge P und |K := ({g}, M, {g} × T) ist ein Kontext mit P ⊆ Imp(|K) nach 

Lemma 2.35 (Äquivalenz (1) ⇔ (2)). Wegen der Regel (AX) gilt A ⊆ T, und wegen (6) gilt B ⊆ T, 

also A → B ∈ Cons(P) nach Regel (PR). 

(5) ⇔ (7): 

P ⊆ Imp(|K) ist äquivalent zu |K ] P, deshalb folgt (5) ⇔ (7) aus Satz 2.17 (Äquivalenz (1) ⇔ (4)). 

❚ 

Die Implikationen, die semantisch aus P folgen, sind also genau die Implikationen, die mit den 

Regeln (AX) und (PS) aus P herleitbar sind. Die Kripke-gültigen Implikationen eines 

unvollständigen Kontextes |K sind regelabgeschlossen, d.h. es gilt Cons(Imp(|K)) = Imp(|K). Für 

H ⊆ ℘(M) gilt auch Cons(Imp(H)) = Imp(Resp(Imp(H))) = Imp(H), d.h. die Implikationen, die 

H respektieren, sind bezüglich der Regeln (AX) und (PS) abgeschlossen. Wegen Bedingung (3) des 

vorigen Satzes ist A → P aus P herleitbar. Damit gilt folgendes Korollar: 

56

2.41. Korollar (Hülle einer Menge ist darstellbar als maximale Konklusion): 

Seien M endlich, P ⊆ ImpM und A ⊆ M. Dann gilt: 

P = Cons(P) = max {C ⊆ M | A → C ∈ Cons(P)} 

Beweis: 

Es gilt Resp(P) =2.30 Resp(Imp(Resp(P))) =2.40 Resp(Cons(P)) also sind auch die zugehörigen 

Hüllenoperatoren gleich: P =2.31 Cons(P). 

Es gilt A → P ∈ Cons(P) nach Satz 2.40 (Äquivalenz (1) ⇔ (3)), und für alle C ⊆ M mit 

A → C ∈ Cons(P) gilt C ⊆ P. Damit gilt auch P = max {C ⊆ M | A → C ∈ Cons(P)}. 

❚ 

Die Hülle P von A bezüglich der Implikationenmenge P ⊆ ImpM ist somit die größte Menge B, 

so daß A → B aus P herleitbar ist. 

Wenn man auch für unendliche Mengen A und B die Implikation A → B als Formel verwendet, 

gibt es kein adäquates Regelsystem in der Form der Regeln (AX) und (PS), denn bei Regeln mit 

endlichem Verzweigungsgrad (d.h. über dem Strich stehen nur endlich viele Implikationen) gilt wie 

auch bei der Aussagenlogik und Prädikatenlogik der Kompaktheitssatz: Wenn eine Implikation 

A → B ∈ ImpM aus einer Formelmenge P ⊆ ImpM herleitbar ist, dann ist A → B auch aus einer 

endlichen Teilmenge von P herleitbar, weil Beweisbäume endlich sind. Die Implikation ∅ → M 

folgt semantisch aus der Menge P := {∅ → m | m ∈ M}, sie folgt jedoch nicht aus einer endlichen 

Teilmenge von P, wenn M unendlich ist. Um ein adäquates Regelsystem aufzustellen, braucht man 

deshalb eine Regel mit unendlichen Verzweigungsgrad: 

(A → Bj)j∈J 

_______________________ (AD∞) 

A → ∪{Bj | j ∈ J} 

für A, Bj ⊆ M, j ∈ J für eine Menge J. Zusammen mit (AX) und (PS) bildet (AD∞) ein adäquates 

Regelsystem für unendliche Implikationen, d.h. die Aussagen (1)-(6) von Satz 2.40 sind äquivalent. 

Der Beweis verläuft analog, jede Verwendung von (AD) muß beim Beweis durch (AD∞) ersetzt 

werden. Im folgenden werden jedoch nur endliche Implikationen betrachtet. 

Ein Mengensystem H ⊆ ℘(M) läßt sich auch als Kontext auffassen, dessen Gegenstandsinhalte 

gerade die Elemente aus H sind. Die Implikationen, die in diesem Kontext gültig sind, sind genau 

die Implikationen, die H respektieren: 

2.42. Lemma (Implikationen eines Mengensystems werden in kanonischer Weise durch 

einen Kontext induziert): 78 

Seien M eine endliche Menge, H ⊆ ℘(M) und |K = (H, M, ∋). Dann gilt Imp(|K) = Imp(H) und 

Int(|K) = Resp(Imp(H)). 

Beweis: 

Für A, B ⊆ M gilt nach Lemma 2.35 (Äquivalenz (1) ⇔ (6)): 

A → B ∈ Imp(|K) gdw. für alle T ∈ H mit A ⊆ T gilt B ⊆ T gdw. A → B ∈ Imp(H). 

Damit gilt Imp(|K) = Imp(H) und Int(|K) =2.36 Resp(Imp(H)). 

❚ 


57

Die Begriffsinhalte des Kontextes (H, M, ∋) sind somit genau diejenigen Mengen, die alle gültigen 

Implikationen respektieren. Dies ist nach Lemma 2.34 das kleinste Hüllensystem, welches H 

enthält. 

Wenn man als Mengensystem H die Menge aller P respektierenden Mengen (für P ⊆ ImpM) wählt, 

erhält man dadurch einen Kontext |KP, dessen gültigen Implikationen gerade die Implikationen sind, 

die aus P herleitbar sind: 

2.43. Definition(|KP): 

Für P ⊆ ImpM sei |KP := (Resp(P), M, ∋). 

2.44. Korollar (Eigenschaften des Kontextes |KP): 

Für P ⊆ ImpM gilt Imp(|KP) = Cons(P) und Int(|KP) = Resp(P). 

Beweis: 

Imp(|KP) =2.42 Imp(Resp(P)) =2.40 Cons(P). 

Int(|KP) =2.42 Resp(Imp(Resp(P))) =2.30 Resp(P). 

❚ 

Mit Hilfe der Regeln (AX) und (PS) lassen sich auch Hüllenoperatoren charakterisieren. Im 

folgenden Satz wird bewiesen, daß eine Abbildung h : ℘(M) → ℘(M) genau dann ein Hüllenoperator 

ist, wenn die Implikationen, welche von h respektiert werden, regelabgeschlossen sind. 

2.45. Satz (Charakterisierung von Hüllenoperatoren durch die Regeln (AX) und (PS)): 

Sei h : ℘(M) → ℘(M) eine Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent: 

(1) h ist ein Hüllenoperator 

(2) Cons(Imp(h)) = Imp(h) 

(3) h ist verträglich mit den Regeln (AX) und (PS), d.h. h respektiert A ∪ B → A, und wenn h die 

Implikationen A → B und B ∪ C → D respektiert, dann respektiert h auch die Implikation 

A ∪ C → D für A, B, C, D ⊆ M. 

(4) Es gibt einen einwertigen Kontext |K mit h(A) = A'' für alle A ⊆ M. 

Beweis: 

(1) ⇒ (2): 

Seien h ein Hüllenoperator und 8 das zugehörige Hüllensystem, dann gilt 

Cons(Imp(h)) =2.33 Cons(Imp(8)) =2.40 Imp(Resp(Imp(8))) =2.30 Imp(8) =2.33 Imp(h). 

(2) ⇔ (3): 

Imp(h) ist genau dann mit den Regeln (AX) und (PS) verträglich, wenn 

Cons(Imp(h)) = Imp(h) gilt. 

(2) ⇒ (4): 

Für den Kontext |KP = (Resp(P), M, ∋) mit P := Imp(h) gilt 

Imp(Int(|KP)) =2.36 Imp(|KP) =2.44 Cons(P) =(2) Imp(h), also h(A) =2.33 A''. 

(4) ⇒ (1): 

Nach Kapitel 1.2 ist '' ein Hüllenoperator. 

❚ 

Während sich die Erfüllbarkeit von Formeln α ∈ F meistens von der schwachen Gültigkeit 

unterscheidet, ist dies bei Implikationen nicht mehr der Fall. Auch zwischen der Kripke-Gültigkeit 

und der starken Gültigkeit von Implikationen in unvollständigen Kontexten gibt es enge Zusammenhänge, 

die im folgenden verdeutlicht werden. Zunächst wird im folgenden Lemma die Auswertung 

der Abbildung π|K aus Definition 2.11 für Konjunktionen von Merkmalen untersucht. 

58

2.46. Lemma (Beschreibung von π|K(A) für A ⊆ M): 

Für jede endliche Menge A ⊆ M gilt 79 

π|K(A) = ({g ∈ G | I(g, m) = × für alle m ∈ A}, {g ∈ G | I(g, m) = o für ein m ∈ A}). 

Beweis: 

Wegen A ≡ ∧ m gilt 

m∈A π|K(A) = 

m∈A ∧ π|K(m) = ( 

m∈A ∩ {g ∈ G | I(g, m) = ×}, 

∪ {g ∈ G | I(g, m) = o}) = 

m∈A ({g ∈ G | I(g, m) = × für alle m ∈ A}, {g ∈ G | I(g, m) = o für ein m ∈ A}). 

❚ 

Nach vorigem Lemma ist die Formel A ≡ ∧ m für A ⊆ M genau dann stark gültig für einen 

m∈A Gegenstand g ∈ G, wenn I(g, m) = × für alle m ∈ A ist. Die Formel A ist genau dann schwach 

gültig für einen Gegenstand g ∈ G, wenn I(g, m) ≠ o für alle m ∈ A ist. Damit lassen sich die starke 

und schwache Gültigkeit von Implikationen direkt an der Kontextzeile ablesen. Das folgende 

Lemma zeigt dies für die starke Gültigkeit: 

2.47. Lemma (Charakterisierung der starken Gültigkeit von Implikationen durch 

Kontexteinträge): 80 

Seien |K = (G, M, {×, ?, o}, I) ein unvollständiger Kontext, A, B ⊆ M endlich und g ∈ G. Folgende 

Aussagen sind äquivalent: 

(1) Aus I(g, a) ≠ o für alle a ∈ A folgt I(g, b) = × für alle b ∈ B. 

(2) |K ]!g A → B 

Beweis: 

(1) ⇒ (2): 

Wenn I(g, a) = o für ein a ∈ A ist, dann gilt |K b?g A nach Lemma 2.46 und Satz 2.12, also 

|K ]!g A → B nach Lemma 2.7.(11), ansonsten gilt I(g, a) ≠ o für alle a ∈ A, also I(g, b) = × für alle 

b ∈ B nach (1), und somit |K ]!g B nach Lemma 2.46 und Satz 2.12, und damit gilt ebenfalls 

|K ]!g A → B nach Lemma 2.7.(11). 

(2) ⇒ (1): 

Sei I(g, a) ≠ o für alle a ∈ A. Dann gilt |K ]?g A nach Lemma 2.46 und Satz 2.12. Wegen 

|K ]!g A → B muß |K ]!g B nach Lemma 2.7.(11) gelten, also I(g, b) = × für alle b ∈ B nach 

Lemma 2.46 und Satz 2.12. 

❚ 

2.48. Lemma (Äquivalenz von verschiedenen Gültigkeitsbegriffen bei Implikationen und 

Klauseln): 81 

Für g ∈ G und A, B ⊆ M mit A ∩ B = ∅ gilt: 

(1) |K ]!g A → B gdw. |K ]g A → B 

(2) |K ]!g A → ∨B gdw. |K ]g A → ∨B 


80 vgl. [Pagliani] (Kapitel I und IV) und [Burmeister91a], Kapitel 3 

81 vgl. [Burmeister91a], Kapitel 3 

59

Beweis: 

In den Formeln A → B ≡ 

60 

∧ m → 

m∈B 

m∈A 

∧ m und A → ∨B ≡ 

∧ m → 

m∈B 

m∈A 

∨ m 

kommt jedes Merkmal m ∈ M höchstens einmal vor, weil A und B disjunkt sind. Deshalb folgen 

die Behauptungen aus Satz 2.25. 

❚ 

2.49. Korollar (Charakterisierung der Kripke-Gültigkeit von Implikationen): 82 

Für einen unvollständigen Kontext |K = (G, M, {×, ?, o}, I) und endliche Mengen A, B ⊆ M sind 

folgende Aussagen äquivalent: 

(1) A → B ∈ Imp(|K) 

(2) A → (B-A) ∈ Imp(|K) 

(3) |K ]! A → (B-A) 

(4) Für alle g ∈ G gilt: Aus I(g, a) ≠ o für alle a ∈ A folgt I(g, b) = × für alle b ∈ B-A 

(5) Für alle b ∈ B gilt A → b ∈ Imp(|K) 

❚ 

Um die Kripke-Gültigkeit einer Implikation A → B zu überprüfen, kann man also die Formel 

A → B-A in der dreiwertigen Kleene-Logik auswerten. Die Implikation A → B ist genau dann 

Kripke-gültig für einen Gegenstand g ∈ G, wenn diese Auswertung den Wert × liefert. Jede Formel 

α ∈ F ist nach Lemma 1.11 (aussagenlogisch) äquivalent zu einer Menge (bzw. Konjunktion) von 

Klauseln der Form A → ∨B mit A, B ⊆ M, wobei A und B disjunkt gewählt werden können, weil 

eine solche Klausel für A ∩ B ≠ ∅ äquivalent zu Y ist. Die starke Gültigkeit dieser Klauseln in 

einem Kontext ist äquivalent zur Kripke-Gültigkeit. Um also die Kripke-Gültigkeit einer Formel 

α ∈ F in einem Kontext zu bestimmen, kann man für die zugehörigen Klauseln die dreiwertige 

Kleene-Logik verwenden: α ist genau dann Kripke-gültig in |K, wenn die Menge E der Klauseln mit 

disjunkten Mengen, welche α eindeutig beschreiben, in |K stark gültig ist. In Lemma 2.51 wird 

dieser Zusammenhang auch für die schwache Gültigkeit und Erfüllbarkeit von Klauseln bewiesen, 

wobei dann die Voraussetzung, daß A und B disjunkt sind, nicht mehr benötigt wird. Auch bei 

Merkmalimplikationen ist die Erfüllbarkeit von A → B äquivalent zur schwachen Gültigkeit von 

A → B, auch wenn A und B nicht disjunkt sind: 

2.50. Lemma (Äquivalenz von schwacher Gültigkeit und Erfüllbarkeit bei Implikationen): 83 



(1) Aus I(g, a) = × für alle a ∈ A folgt I(g, b) ≠ o für alle b ∈ B. 

(2) |K ]?g A → B 

(3) A → B ist für den Gegenstand g erfüllbar 

Beweis: 

(1) ⇒ (3): 

Wenn I(g, a) ≠ × für ein a ∈ A ist, dann ist A → B in |K' := (G, M, J) ∈ V(|K) mit 

(x, m) ∈ J gdw. I(x, m) = × 

für x ∈ G, m ∈ M für den Gegenstand g gültig, also gilt (3), ansonsten gilt I(g, a) = × für alle a ∈ A 

und I(g, b) ≠ o für alle b ∈ B nach (1), also ist A → B in |K' := (G, M, J) ∈ V(|K) mit 

(x, m) ∈ J gdw. I(x, m) ≠ o 

für x ∈ G, m ∈ M für den Gegenstand g gültig, also gilt hier ebenfalls (3). 


83 vgl. [Burmeister91a], Kapitel 3

(3) ⇒ (2): 

Nach Satz 2.24.(3) folgt (2) aus (3), denn A → B ist nach Lemma 2.8 genau dann für g erfüllbar, 

wenn |K bg ¬(A → B) gilt. 

(2) ⇒ (1): 

Sei I(g, a) = × für alle a ∈ A. Dann gilt |K ]!g A nach Lemma 2.46. Wegen |K ]?g A → B muß 

|K ]?g B nach Satz 2.7.(11) gelten, also I(g, b) ≠ o für alle b ∈ B. 

❚ 

Für Implikationen A → B ∈ ImpM ist somit die Erfüllbarkeit äquivalent zur schwachen Gültigkeit: 

A → B ∈ Erf(|K) gilt genau dann, wenn |K ]? A → B gilt. Man kann die Formel A → B unter der 

Variablenbelegung I(g, ⋅) : M → 3 für einen Gegenstand g in der Kleene-Logik auswerten, um zu 

entscheiden, ob A → B für den Gegenstand g erfüllbar ist. Dagegen läßt sich die Kripke-Gültigkeit 

nur für spezielle Implikationen durch die Auswertung in mehrwertiger Logik ausdrücken, jedoch 

nicht für ganz ImpM: 

Sei Z = (Z, ∧ Z , ∨ Z , → Z , ¬ Z , Z Z , Y Z ) eine beliebige Algebra mit {×, ?, o} ⊆ Z, welche die Semantik 

irgendeiner mehrwertigen Logik ist. Sei |K der unvollständige Kontext 

|K a b 

g ? ? 

Dann liefert die Auswertung der Formel a → b in Z unter der Variablenbelegung 

I(g, ⋅) : M → Z den gleichen Wert wie die Auswertung der Formel a → a, jedoch ist die Formel 

a → b nicht Kripke-gültig für den Gegenstand g, d.h. nur mit dem Ergebnis der Auswertung in der 

mehrwertigen Logik Z kann kann noch nicht entscheiden, ob eine Implikation Kripke-gültig ist. 

Um die Erfüllbarkeit einer Implikation A → B für den ganzen Kontext zu untersuchen, kann auch 

die Algebra AG verwendet werden: A → B ist genau dann erfüllbar in |K, wenn die zweite 

Komponente von π|K(A → B) die leere Menge ist. 84 

Auch für Klauseln sind diese Aussagen richtig: 

2.51. Lemma (Äquivalenz von schwacher Gültigkeit und Erfüllbarkeit bei Klauseln): 



(1) Aus I(g, a) = × für alle a ∈ A folgt I(g, b) ≠ o für ein b ∈ B. 

(2) |K ]?g A → ∨B 

(3) A → ∨B ist für den Gegenstand g erfüllbar 

Beweis: 

Der Beweis verläuft analog dem Beweis von Lemma 2.50: 

(1) ⇒ (3): 

Wenn I(g, a) ≠ × für ein a ∈ A ist, dann ist A → ∨B in |K' := (G, M, J) ∈ V(|K) mit 

(x, m) ∈ J gdw. I(x, m) = × 

für x ∈ G, m ∈ M für den Gegenstand g gültig, also gilt (3), ansonsten gilt I(g, a) = × für alle a ∈ A 

und I(g, b) ≠ o für ein b ∈ B nach (1), also ist A → ∨B in |K' := (G, M, J) ∈ V(|K) mit 

(x, m) ∈ J gdw. I(x, m) ≠ o 

für x ∈ G, m ∈ M für den Gegenstand g gültig, und hier gilt ebenfalls (3). 

(3) ⇒ (2): 

84 vgl. Lemma 2.50 und Satz 2.12 

61

Nach Satz 2.24.(3) folgt (2) aus (3), denn A → ∨B ist nach Lemma 2.8 genau dann für g erfüllbar, 

wenn |K bg ¬(A → ∨B) gilt. 

(2) ⇒ (1): 

Sei I(g, a) = × für alle a ∈ A. Dann gilt |K ]!g A. Wegen |K ]?g A → ∨B muß es ein b ∈ B mit 

|K ]?g b geben, also I(g, b) ≠ o. 

❚ 

Während die Regeln (AX) und (PS) korrekt und vollständig für die Gültigkeit von Implikationen 

sind, ist die Regel (PS) für die Erfüllbarkeit von Implikationen nicht korrekt, wie folgendes Beispiel 

zeigt: 

|K a b c 

g × ? o 

Es gilt a → b ∈ Erf(|K) und b → c ∈ Erf(|K), aber a → c ∉ Erf(|K). 

Es wird nun ein anderes Regelsystem aufgestellt, so daß die herleitbaren Implikationen genau die 

bezüglich der Erfüllbarkeit semantisch folgerbaren Implikationen sind. 

2.52. Definition (Operator ConsErf): 

Für P ⊆ ImpM sei ConsErf(P) ⊆ ImpM die kleinste Obermenge von P, die bezüglich (AX), (PR), 

(AU) und (AD) abgeschlossen ist. 

2.53. Lemma (Wenn eine Formel mit ConsErf herleitbar ist, dann auch mit Cons): 

Für P ⊆ ImpM gilt ConsErf(P) ⊆ Cons(P). 

Beweis: 

Wenn A → B mit den Regeln (AX), (PR), (AU) und (AD) aus P herleitbar ist, dann nach Lemma 

2.39 auch mit (AX) und (PS). 

❚ 

Zwar sind die erfüllbaren Implikationen eines unvollständigen Kontextes eine Obermenge der 

Kripke-gültigen Implikationen des Kontextes, jedoch liefert der Operator ConsErf, der für die 

Erfüllbarkeit vollständig und korrekt ist (vgl. Satz 2.55), weniger Implikationen als der Operator 

Cons. Dies liegt daran, daß die Menge P eine andere Bedeutung hat: Für P ⊆ ImpM werden beim 

Operator Cons nur solche unvollständigen Kontexte betrachtet, in denen P Kripke-gültig ist (vgl. 

Satz 2.40), beim Operator ConsErf werden jedoch diejenigen unvollständigen Kontexte betrachtet, 

in denen P erfüllbar ist. Dadurch erhält man im letzteren Fall weniger semantische Folgerungen, 

weil mehr unvollständige Kontexte betrachtet werden. 

2.54. Lemma (Eigenschaften der Regeln (AX), (PR) und (AU)): 

Seien M endlich, A ⊆ M, b ∈ A ∪ ∪{D ⊆ M | C → D ∈ P, C ⊆ A} und P ⊆ ImpM. Dann ist 

A → b mit den Regeln (AX), (PR) und (AU) aus P herleitbar. 

Beweis: 

Für b ∈ A ist A → b mit Regel (AX) herleitbar, ansonsten gibt es ein C → D ∈ P mit C ⊆ A und 

b ∈ D, also ist A → b mit den Regeln (AU) und (PR) herleitbar. 

❚ 

Der folgende Satz zeigt nun die Korrektheit und Vollständigkeit der Regeln (AX), (PR), (AU) und 

(AD) für die Erfüllbarkeit von Implikationen in unvollständigen Kontexten. 

62

2.55. Satz (Adäquatheit der Regeln (AX), (PR), (AU) und (AD) für Erfüllbarkeit): 85 

Seien M eine endliche Menge, A, B ⊆ M und P ⊆ ImpM. Dann sind folgende Aussagen äquivalent: 

(1) A → B ∈ ConsErf(P) 

(2) Für jeden unvollständigen Kontext |K mit P ⊆ Erf(|K) gilt A → B ∈ Erf(|K). 

(3) Für jeden unvollständigen Kontext |K = (G, M, {×, ?, o}, I) mit |G| = 1 und P ⊆ Erf(|K) gilt 

A → B ∈ Erf(|K). 

(4) B ⊆ A ∪ ∪{D ⊆ M | C → D ∈ P, C ⊆ A} 

Beweis: 

(1) ⇒ (2) durch Induktion über die Herleitung mit (AX), (PR), (AU) und (AD): 

Sei |K = (G, M, {×, ?, o}, I) ein unvollständiger Kontext mit P ⊆ Erf(|K). 

Fall 1: A → B ∈ P 

Dann gilt A → B ∈ Erf(|K). 

Fall 2: Bei der Herleitung von A → B wird (AX) als letzte Regel angewendet. 

Dann gibt es eine Menge C mit B ∪ C = A, also B ⊆ A. Damit gilt A → B ∈ Imp(|K') für alle 

|K' ∈ V(|K), also A → B ∈ Erf(|K). 

Fall 3: Bei der Herleitung von A → B wird (PR) als letzte Regel angewendet. 

Dann gibt es eine Menge C mit A → B ∪ C ∈ ConsErf(P). Nach Induktionsannahme gilt A → B ∪ 

C ∈ Erf(|K). Für |K' ∈ V(|K) mit A → B ∪ C ∈ Imp(|K') gilt auch 

A → B ∈ Imp(|K') ⊆ Erf(|K), denn Regel (PR) ist nach Lemma 2.39 korrekt für die Gültigkeit von 

Implikationen. 

Fall 4: Bei der Herleitung von A → B wird (AU) als letzte Regel angewendet. 

Dann gibt es Mengen C, D ⊆ M mit A = C ∪ D und C → B ∈ ConsErf(P). Nach 

Induktionsannahme gilt C → B ∈ Erf(|K). Sei |K' ∈ V(|K) mit C → B ∈ Imp(|K'). Dann gilt auch 

A → B ∈ Imp(|K') ⊆ Erf(|K), denn Regel (AU) ist korrekt für die Gültigkeit von Implikationen. 

Fall 5: Bei der Herleitung von A → B wird (AD) als letzte Regel angewendet. 

Dann gibt es C, D ⊆ M mit B = C ∪ D und A → C ∈ ConsErf(P) und A → D ∈ ConsErf(P). Nach 

Induktionsannahme gilt A → C, A → D ∈ Erf(|K). Sei |K' = (G, M, J) ∈ V(|K) diejenige 

Vervollständigung von |K, bei der jedes Fragezeichen der Kontextzeile eines beliebigen 

Gegenstandes g ∈ G genau dann durch den Wert × ersetzt wird, wenn I(g, a) = × für alle a ∈ A gilt, 

d.h. für g ∈ G, m ∈ M mit I(g, m) = ? gilt: 

(g, m) ∈ J gdw. I(g, a) = × für alle a ∈ A. 

Sei g ∈ G. Wenn I(g, a) ≠ × für ein a ∈ A ist, dann gilt (g, a) ∉ J, also |K' ]g A → B. Ansonsten gilt 

I(g, a) = × für alle a ∈ A. Wegen A → C ∈ Erf(|K) gilt deshalb I(g, c) ≠ o für alle c ∈ C, also 

(g, c) ∈ J für alle c ∈ C. Analog gilt (g, d) ∈ J für alle d ∈ D, also |K' ]g A → C ∪ D. Damit gilt 

A → B ∈ Erf(|K). 

(2) ⇒ (3): trivial 

(3) ⇒ (4): 

Sei |K = ({g}, M, {×, ?, o}, I) mit 

I(g, m) = × gdw. a ∈ A, 

I(g, m) = ? gdw. m ∈ ∪{D ⊆ M | C → D ∈ P, C ⊆ A}-A, 

I(g, m) = o sonst. 

Dann gilt P ⊆ Erf(|K) nach Lemma 2.50, denn für C → D ∈ P mit I(g, c) = × für alle c ∈ C gilt 

C ⊆ A, also I(g, d) ∈ {×, ?} für alle d ∈ D. Nach (3) gilt A → B ∈ Erf(|K), also I(g, b) ≠ o für alle 

b ∈ B, und somit B ⊆ A ∪ ∪{D ⊆ M | C → D ∈ P, C ⊆ A}. 

(4) ⇒ (1): 

85 vgl. [Lien] und [AtzeniMorfuni84] 

63

Für b ∈ B ⊆ A ∪ ∪{D ⊆ M | C → D ∈ P, C ⊆ A} gilt A → b ∈ ConsErf(P) nach Lemma 2.54, 

also auch A → B ∈ ConsErf(P) nach Regel (AD), denn M ist endlich. 

❚ 

Insbesondere sind also die in einem unvollständigen Kontext |K erfüllbaren Implikationen bezüglich 

der Regeln (AX), (PR), (AU) und (AD) abgeschlossen, d.h. es gilt 

ConsErf(Erf(|K)) = Erf(|K). 

Die starke und schwache Gültigkeit von Implikationen lassen sich auch durch Ableitungsoperatoren 

ausdrücken. Während es bei der Ableitung A' einer Menge von Merkmalen A ⊆ M in einem 

einwertigen Kontext keine Probleme gab, müssen bei unvollständigen Kontexten verschiedene 

Ableitungsoperatoren eingeführt werden: 

2.56. Definition (Ableitungsoperatoren in unvollständien Kontexten): 

Seien |K = (G, M, {×, ?, o}, I), S ⊆ G und T ⊆ M. 

T ‡ := {g ∈ G | I(g, m) = × für alle m ∈ T} ist der notwendige Umfang von T. 

T z := {g ∈ G | I(g, m) ∈ {×, ?} für alle m ∈ T} ist der maximal mögliche Umfang von T. 

S ‡ := {m ∈ M | I(g, m) = × für alle g ∈ S} ist der notwendige Inhalt von S. 

S z := {m ∈ M | I(g, m) ∈ {×, ?} für alle g ∈ S} ist der maximal mögliche Inhalt von S. 

Die Menge T ‡ enthält genau die Gegenstände, die im Umfang T J von T in jeder Vervollständigung 

(G, M, J) ∈ V(|K) liegen, und Tz enthält genau die Gegenstände, die im Umfang T J von T in 

irgendeiner Vervollständigung von |K liegen. Für A ⊆ G gilt genau dann T ‡ ⊆ A ⊆ Tz , wenn es 

eine Vervollständigung (G, M, J) ∈ V(|K) mit T J = A gibt. Für einwertige Kontexte |K stimmt die 

Definition der Ableitungsoperatoren ‡ und z mit der Definition der Operatoren ' : ℘(M) → ℘(G) 

und ' : ℘(G) → ℘(M) aus Kapitel 1.2 überein. Korollar 2.49 und Lemma 2.50 lassen sich auch 

durch die Ableitungsoperatoren ‡ und z ausdrücken: 

2.57. Satz (Kripke-Gültigkeit und Erfüllbarkeit von Implikationen durch Ableitungsoperatoren): 

86 

Seien |K = (G, M, {×, ?, o}, I) ein unvollständiger Kontext und g ∈ G. Eine Implikation A → B ∈ 

ImpM ist genau dann Kripke-gültig für g, wenn aus A ⊆ gz schon B-A ⊆ g ‡ folgt, und A → B ist 

genau dann erfüllbar für g, wenn aus A ⊆ g ‡ schon B ⊆ gz folgt. 

❚ 

2.58. Satz (Kompositionen der Ableitungsoperatoren): 

Seien |K = (G, M, {×, ?, o}, I) ein unvollständiger Kontext und A ⊆ M. Dann gilt 

(1) A ‡z = {m ∈ M | A → m ∈ Erf(|K)} = {m ∈ M | |K ]? A → m} 

(2) Az‡ = {m ∈ M | |K ]! A → m} 

(3) Die Operatoren ‡z : ℘(M) → ℘(M) und z‡ : ℘(M) → ℘(M) sind monoton. 

(4) Der Operator ‡z : ℘(M) → ℘(M) ist extensiv. 87 


Für m ∈ M gilt: 


87 Die Aussagen (3) und (4) gelten analog auch für die Gegenstandsmenge 

64

m ∈ A ‡z gdw. 

für alle g ∈ A ‡ gilt I(g, m) ∈ {×, ?} gdw. 

für alle g ∈ G mit I(g, a) = × für a ∈ A gilt I(g, m) ≠ o gdw. 88 

A → m ∈ Erf(|K). 

Damit gilt A ‡z = {m ∈ M | A → m ∈ Erf(|K)}. Die Gleichung 

{m ∈ M | A → m ∈ Erf(|K)} = {m ∈ M | |K ]? A → m} folgt aus Lemma 2.50. 


Für m ∈ M gilt: 

m ∈ A z‡ gdw. 

für alle g ∈ A z gilt I(g, m) = × gdw. 

für alle g ∈ G mit I(g, a) ≠ o für a ∈ A gilt I(g, m) = × gdw. 89 

|K ]! A → m. 

Damit gilt A z‡ = {m ∈ M | |K ]! A → m}. 


Die Operatoren ‡ und z sind offensichtlich antiton, also sind ‡z : ℘(M) → ℘(M) und z‡ : ℘(M) 

→ ℘(M) monoton. 


Für a ∈ A gilt I(g, a) = × für alle g ∈ A ‡ , also a ∈ A ‡z und A ⊆ A ‡z . 

❚ 

Für A, B ⊆ M gilt also genau dann B ⊆ A ‡z , wenn A → B in |K schwach gültig ist, und es gilt 

genau dann B ⊆ Az‡ , wenn A → B in |K stark gültig ist, d.h. A ‡z ist die größte Menge, für die 

A → A ‡z schwach gültig ist, und A z‡ ist die größte Menge, so daß A → A z‡ stark gültig ist. Im 

Gegensatz zu einwertigen Kontexten sind die Operatoren ‡z : ℘(M) → ℘(M) und z‡ : ℘(M) → 

℘(M) in unvollständige Kontexten keine Hüllenoperatoren mehr. Im Kontext 

|K a b c 

g × ? o 

gilt {a} ‡z = {g} z = {a, b}, aber ({a} ‡z ) ‡z = {a, b} ‡z = ∅ z = {a, b, c}, also ist ‡z nicht idempotent. 

Es gilt {b} z‡ = {g} ‡ = {a}, also ist z‡ im allgemeinen nicht extensiv. 

Während in Korollar 2.44 bewiesen wurde, daß im Kontext |KP für P ⊆ ImpM genau die bezüglich 

der Gültigkeit folgerbaren Implikationen gültig sind, wird im folgenden Satz ein unvollständiger 

Kontext konstruiert, dessen erfüllbaren Implikationen genau die Implikationen aus ConsErf(P) sind: 

2.59. Satz (Existenz eines unvollständigen Kontextes, welcher genau die aus einer 

Implikationenmenge bezüglich der Erfüllbarkeit folgerbaren Implikationen erfüllt): 

Sei M eine endliche Menge und P ⊆ ImpM. Dann gibt es einen unvollständigen Kontext |K mit 

Erf(|K) = ConsErf(P). 

Beweis: 

Sei |K = (G, M, {×, ?, o}, I) mit 



65

G = {(A, b) | A ⊆ M, b ∈ M, A → b ∉ ConsErf(P)}, 

I((A, b), m) = × gdw. m ∈ A, 

I((A, b), b) = o, 

I((A, b), m) = ? gdw. m ∈ M-(A ∪ {b}). 

Sei A → B ∈ ConsErf(P). Es wird nun gezeigt, daß A → B ∈ Erf(|K) gilt. Sei (C, d) ∈ G mit 

I((C, d), a) = × für alle a ∈ A. Dann gilt A ⊆ C. Wegen C → d ∉ ConsErf(P) gilt nach Regel (AU) 

auch A → d ∉ ConsErf(P). Nach Regel (PR) gilt d ∉ B, also I((C, d), b) ∈ {×, ?} für b ∈ B. Damit 

gilt A → B ∈ Erf(|K) nach Lemma 2.50, und somit gilt ConsErf(P) ⊆ Erf(|K). 

Seien nun A → B ∈ Erf(|K) und b ∈ B. Dann gilt A → b ∈ Erf(|K) und (A, b) ∉ G, denn A → b 

wäre für diesen Gegenstand nicht erfüllbar. Somit gilt A → b ∈ ConsErf(P), und nach Regel (AD) 

auch A → B ∈ ConsErf(P) und ConsErf(P) = Erf(|K). 

❚ 

Für eine Menge P ⊆ ImpM von Implikationen und einen unvollständigen Kontext |K folgt aus der 

Existenz einer Vervollständigung |K' ∈ V(|K) mit P ⊆ Imp(|K') schon die Erfüllbarkeit von P in |K. 

Die Umkehrung dieser Aussage ist jedoch falsch, denn die gleichzeitige Erfüllbarkeit aller 

Implikationen aus P ist eine stärkere Forderung, als die Erfüllbarkeit jeder einzelnen Implikation 

aus P. Satz 2.61 liefert eine Charakterisierung der Äquivalenz dieser beiden Bedingungen. Im Satz 

2.60 wird zunächst eine Bedingung für die Existenz einer Vervollständigung |K' ∈ V(|K) mit 

P ⊆ Imp(|K') angegeben. 

2.60. Satz (Gleichzeitige Erfüllbarkeit aller Implikationen einer Menge P ⊆ ImpM): 

Seien |K = (G, M, {×, ?, o}, I) ein unvollständiger Kontext und P ⊆ ImpM. Dann sind folgende 

Aussagen äquivalent: 

(1) Es gibt ein |K' ∈ V(|K) mit P ⊆ Imp(|K'). 

(2) Cons(P) ⊆ Erf(|K) 

Beweis: 

(1) ⇒ (2): 

Cons(P) ⊆2.40 Imp(|K') ⊆ Erf(|K) 

(2) ⇒ (1): 

Sei |K' = (G, M, J) der einwertige Kontext mit 

(g, m) ∈ J gdw. m ∈ P 

für g ∈ G und m ∈ M. Dann gilt |K' ∈ V(|K), denn für I(g, m) = × gilt m ∈ g ‡ ⊆ P, und für 

I(g, m) = o gilt g ‡ → m ∉ Erf(|K), also g ‡ → m ∉ Cons(P) wegen (2), und somit m ∉ P nach 

Satz 2.40 (Äquivalenz (1) ⇔ (3)). Nach Korollar 2.5 und Lemma 2.31 gilt P ⊆ Imp(|K'). 

❚ 

2.61. Satz (Charakterisierung der Äquivalenz der Erfüllbarkeit einer Menge P ⊆ ImpM zur 

gleichzeitigen Erfüllbarkeit aller Implikationen aus P): 

Sei M eine endliche Menge und P ⊆ ImpM. Dann sind folgende Aussagen äquivalent: 

(1) Für jeden unvollständigen Kontext |K gilt genau dann P ⊆ Erf(|K), wenn es eine Vervollständigung 

|K' ∈ V(|K) mit P ⊆ Imp(|K') gibt. 

(2) Cons(P) = ConsErf(P) 

(3) ConsErf(P) ist transitiv 

66

Beweis: 

(1) ⇒ (2): 

Nach Satz 2.59 gibt es einen unvollständigen Kontext |K mit ConsErf(P) = Erf(|K). Nach (1) gibt es 

ein |K' ∈ V(|K) mit P ⊆ Imp(|K'). Nach Satz 2.60 gilt Cons(P) ⊆ Erf(|K) = ConsErf(P), also gilt (2) 

nach Lemma 2.53. 

(2) ⇒ (3): 

Aus Regel (PS) folgt die Transitivität. 

(3) ⇒ (2): 

Es wird zunächst gezeigt, daß ConsErf(P) bezüglich Regel (PS) abgeschlossen ist. Seien A → B ∈ 

ConsErf(P) und B ∪ C → D ∈ ConsErf(P), dann gilt A ∪ C → B ∈ ConsErf(P) nach Regel (AU) 

und A ∪ C → B ∪ C ∈ ConsErf(P) nach Regel (AD) und (AX). Wegen der Transitivität gilt 

A ∪ C → D ∈ ConsErf(P). Damit ist ConsErf(P) bezüglich Regel (PS) abgeschlossen, und da 

Cons(P) die kleinste Obermenge von P ist, die bezüglich der Regeln (AX) und (PS) abgeschlossen 

ist, gilt ConsErf(P) = Cons(P). 

(2) ⇒ (1): 

Sei |K ein unvollständiger Kontext. Wenn es eine Vervollständigung |K' ∈ V(|K) mit P ⊆ Imp(|K') 

gibt, dann gilt P ⊆ Imp(|K') ⊆ Erf(|K). Wenn umgekehrt P ⊆ Erf(|K) gilt, dann gilt Cons(P) =(2) 

ConsErf(P) ⊆2.40 Erf(|K), und nach Satz 2.60 gibt es eine Vervollständigung |K' ∈ V(|K) mit 

P ⊆ Imp(|K'). 

❚ 

Die Eigenschaft, daß die Erfüllbarkeit jeder Implikation aus P in unvollständigen Kontexten zur 

gleichzeitigen Erfüllbarkeit aller Implikationen aus P äquivalent ist, läßt sich somit einfach durch 

Berechnung von ConsErf(P) überprüfen: Die beiden Bedingungen sind genau dann äquivalent, wenn 

ConsErf(P) transitiv ist. Aus diesem Satz folgt unter anderem, daß für alle unvollständigen Kontexte 

|K und alle Implikationenmengen P ⊆ ImpM, welche bezüglich (AX) und (PS) abgeschlossen sind, 

genau dann P ⊆ Erf(|K) gilt, wenn alle Implikationen von P gleichzeitig erfüllbar sind, denn 

ConsErf(P) = P = Cons(P) ist transitiv. Satz 2.61 liefert auch eine Charakterisierung für die 

Abgeschlossenheit der erfüllbaren Implikationen eines unvollständigen Kontextes bezüglich des 

Operators Cons. Diese Charakterisierung wird im folgenden Korollar angegeben: 

2.62. Korollar (Existenz einer Vervollständigung, welche dieselben Implikationen erfüllt): 

Für |K = (G, M, {×, ?, o}, I) sind folgende Aussagen äquivalent: 

(1) Cons(Erf(|K)) = Erf(|K) 

(2) Erf(|K) ist transitiv 

(3) Es gibt ein |K' ∈ V(|K) mit Erf(|K) ⊆ Imp(|K') 

(4) Es gibt ein |K' ∈ V(|K) mit Erf(|K) = Imp(|K') 

Beweis: 

(1) ⇒ (2): 

Aus Regel (PS) folgt die Transitivität. 

(2) ⇒ (3): 

Für P := Erf(|K) ist Bedingung (3) von Satz 2.61 erfüllt, also folgt die Behauptung aus Satz 2.61. 

(3) ⇒ (4): 

Für |K' ∈ V(|K) gilt Imp(|K') ⊆ Erf(|K). 

(4) ⇒ (1): 

Cons(Erf(|K)) =(4) Cons(Imp(|K')) =2.40 Imp(|K') =(4) Erf(|K) 

❚ 

67

Wenn bei einwertigen Kontexten |K und |K' mit gleicher Merkmalsmenge die gültigen Implikationen 

von |K' in |K gültig sind, dann gibt es auch einen Zusammenhang zwischen den zugehörigen 

Begriffsverbänden: 

2.63. Satz (Der Begriffsverband eines Kontextes |K läßt sich als ∨-Halbverband in den 

Begriffsverband eines Kontextes |K' einbetten, sofern die Implikationen von |K' in |K gültig 

sind): 90 

Seien |K = (G, M, I) ein einwertiger Kontext mit endlicher Merkmalsmenge M und |K' = (S, M, J) 

ein einwertiger Kontext mit Imp(|K') ⊆ Imp(|K). Dann gilt Int(|K) ⊆ Int(|K'), und die Abbildung 

h : X(|K) → X(|K') mit h(A I , A) = (A J , A) für A ∈ Int(|K) ist ein injektiver ∨-Halbverbandshomomorphismus. 

Beweis: 

Es gilt Imp(|K') ⊆ Imp(|K), also Int(|K) = Resp(Imp(|K)) ⊆ Resp(Imp(|K')) = Int(|K') nach Korollar 

2.36. Die Abbildung h ist injektiv, und für A, B ∈ Int(|K) gilt: 

h((A I , A) ∨ (B I , B)) = h((A ∩ B) I , A ∩ B) = ((A ∩ B) J , A ∩ B) = h(A I , A) ∨ h(B I , B). 

❚ 

Dieser Zusammenhang zwischen Begriffsverbänden wird im folgenden Korollar für einen 

unvollständigen Kontext verallgemeinert: 

2.64. Korollar (Die Begriffsverbande aller Vervollständigungen eines unvollständigen 

Kontextes |K lassen sich als ∨-Halbverband in den Begriffsverband eines einwertigen 

Kontextes |K' einbetten, sofern die Implikationen von |K' in |K gültig sind): 

Seien |K ein unvollständiger Kontext mit endlicher Merkmalsmenge M, |K' = (S, M, J) ein 

einwertiger Kontext mit Imp(|K') ⊆ Imp(|K) und |K'' = (G, M, I) ∈ V(|K). 

Dann gilt Int(|K'') ⊆ Int(|K'), und die Abbildung h : X(|K'') → X(|K') mit h(A I'' , A) = (A J , A) für 

A ∈ Int(|K'') ist ein injektiver ∨-Halbverbandshomomorphismus. 

Beweis: 

Es gilt Imp(|K') ⊆ Imp(|K) ⊆ Imp(|K''), also folgen die Behauptungen aus Satz 2.63. 

❚ 

Der Begriffsverband von |K'' ist somit als ∨-Halbverband isomorph zu einem ∨-Unterhalbverband 

von X(|K'). Wenn die Vervollständigung |K'' nicht bekannt ist, sondern nur der unvollständige 

Kontext |K, dann kann man mit Hilfe des folgenden Korollars Begriffsverbände von anderen 

einwertigen Kontexten zeichnen, um einige Informationen zu erhalten, wie der Begriffsverband 

X(|K') des unbekannten Kontextes |K' ungefähr aussehen könnte. 

2.65. Korollar (Einschachtelung des Begriffsverbandes einer Vervollständigung mit Hilfe 

der Begriffsverbände von |KImp( |K) und |KErf( |K)): 

Seien |K = (G, M, {×, ?, o}, I) ein unvollständiger Kontext mit endlicher Menge M und |K' ∈ V(|K). 

Für die Kontexte |KErf(|K) = (Resp(Erf(|K)), M, ∋) und |KImp(|K) = (Resp(Imp(|K)), M, ∋) gilt dann 

Int(|KErf(|K)) ⊆ Int(|K') ⊆ Int(|KImp(|K)), und X(|KErf(|K)) ist isomorph zu einem ∨-Unterhalbverband von 

X(|K'), und X(|K') ist isomorph zu einem ∨-Unterhalbverband von X(|KImp(|K)). 

90 In [GanterWille96] wird ein Spezialfall dieses Satzes bewiesen: Wenn G ⊆ S und |K = |K'|G ist, dann gilt Imp(|K') ⊆ 

Imp(|K), Int(|K) ⊆ Int(|K'), und die Abbildung h ist ein ∨-Halbverbandshomomorphismus. 

68

Beweis: 

Es gilt Imp(|KImp(|K)) =2.44 Cons(Imp(|K)) =2.40 Imp(|K) ⊆ Imp(|K') ⊆ Erf(|K) ⊆ Cons(Erf(|K)) =2.44 

Imp(|KErf(|K)), also folgen die Behauptungen aus dem vorigen Korollar. 

❚ 

Je weniger Fragezeichen der unvollständige Kontext |K enthält, desto mehr Informationen liefert 

dieses Korollar über die Gestalt des gesuchten Begriffsverbandes X(|K'), denn wenn Imp(|K) und 

Erf(|K) sich nur wenig voneinander unterscheiden, dann haben auch die Kontexte |KImp(|K) und |KErf(|K) 

keine großen Unterschiede, und damit auch die zugehörigen Begriffsverbände. Insbesondere ist 

X(|K') isomorph zu X(|KImp(|K)), falls Imp(|K) = Erf(|K) gilt. Die im unbekannten Kontext |K' gültigen 

Implikationen sind dann alle bekannt: 

Imp(|K') = Imp(|K) = Erf(|K). 

Anstatt des Kontextes |KImp(|K) kann auch die boolesche Ableitung |Kb aus [Burmeister91a] 

verwendet werden, weil Imp(|Kb) = Imp(|KImp(|K)) gilt. Bei der Bildung der booleschen Ableitung 

wird jede Kontextzeile von |K, welche Fragezeichen enthält, durch mehrere vollständige 

Kontextzeilen ersetzt, so daß die neuen Kontextzeilen genau die Implikationen widerlegen, die auch 

in der unvollständigen Kontextzeile nicht Kripke-gültig waren. 91 

Auch zwischen der Kleene-Algebra L(|K) und X(|K') für unvollständige Kontexte |K und einwertige 

Kontexte |K' gibt es Zusammenhänge, wenn die in |K und |K' gültigen Implikationen gewisse 

Eigenschaften erfüllen. Dies wird im folgenden Satz bewiesen: 

2.66. Satz (kanonische Abbildung vom Begriffsverband eines einwertigen Kontextes in die 

Kleene-Algebra eines unvollständigen Kontextes): 

Seien |K = (G, M, {×, ?, o}, I) ein unvollständiger Kontext mit endlicher Merkmalsmenge M und 

|K' = (S, M, J) ein einwertiger Kontext. Sei h : X(|K') → L(|K) die Abbildung mit h(A J , A) := π|K(A) 

für A ∈ Int(|K'). 92 Dann gilt: 

(1) h ist ordnungserhaltend. 

(2) Wenn Imp(|K') ⊆ Imp(|K) gilt, dann gilt h(Y) = Y, und h ist ein ∧-Halbverbandshomomorphismus. 

(3) Wenn Imp(|K) ⊆ Imp(|K') gilt 93 und |{m ∈ M | I(g, m) = ?}| ≤ 1 für alle g ∈ G ist, dann ist h eine 

Ordnungseinbettung, d.h. (A J , A) ≤ (B J , B) gilt genau dann, wenn h(A J , A) ≤ h(B J , B) gilt. 

Insbesondere ist h dann injektiv. 


Seien A, B ∈ Int(|K') mit (A J , A) ≤ (B J , B), dann gilt B ⊆ A, also 

h(A J , A) = π|K(A) = 

m∈A ∧ π|K(m) ≤ 

m∈B ∧ π|K(m) = π|K(B) = h(B J , B) 


Zunächst wird h(Y) = Y bewiesen: 

Für m ∈ S J = {m ∈ M | (g, m) ∈ J für alle g ∈ S} gilt ∅ → {m} ∈ Imp(|K') ⊆ Imp(|K). Damit gilt 

I(g, m) = × für alle g ∈ G und m ∈ S J . Es gilt (S J ) + (|K) = {g ∈ G | I(g, m) = × für alle m ∈ S J } = G 

und h(Y) = h(S, S J ) = π|K(S J ) = (G, ∅) = Y. 

Seien A, B ∈ Int(|K'). 

91 

vgl. [Burmeister91a] (Kapitel 3) 

92 

vgl. Lemma 2.46 

93 

z.B. |K' ∈ V(|K) 

69

h((A J , A) ∧ (B J , B)) = h(A J ∩ B J , (A ∪ B) JJ ) = π|K((A ∪ B) JJ ) = ∧ π|K(m) 

JJ 

h(A J , A) ∧ h(B J , B) = π|K(A) ∧ π|K(B) = 

Wegen JJ 

70 

∧ π|K(m) ≤ 

m∈A ∧ π|K(m) ∧ 

m∈( A∪B) 

m∈B ∧ π|K(m) = 

m A∪B 

∈ ∧ π|K(m) = π|K(A ∪ B) 

m∈( A∪B) 

m∈A∪B ∧ π|K(m) gilt auch π|K((A ∪ B) JJ ) ≤ π|K(A ∪ B). 

Um die umgekehrte Inklusion zu zeigen werden nun die beiden Inklusionen (A ∪ B) + (|K) ⊆ ((A ∪ 

B) JJ ) + (|K) und ((A ∪ B) JJ ) - (|K) ⊆ (A ∪ B) - (|K) bewiesen. 

Sei m ∈ (A ∪ B) JJ -(A ∪ B). Nach Lemma 2.35 gilt A ∪ B → m ∈ Imp(|K') ⊆ Imp(|K). Da A ∪ B 

und {m} disjunkt sind, gilt auch |K ]! A ∪ B → m nach Satz 2.25. Für alle g ∈ G gilt nach Lemma 

2.7.(11) deshalb |K b?g A ∪ B oder |K ]!g m. Sei g ∈ (A ∪ B) + (|K). Dann gilt |K ]?g A ∪ B und 

folglich |K ]!g m und g ∈ m + (|K). Da g beliebig war, gilt deshalb (A ∪ B) + (|K) ⊆ m + (|K). Für m ∈ A 

∪ B gilt diese Aussage wegen (A ∪ B) + (|K) = ∩{n + (|K) | n ∈ A ∪ B} auch, also gilt (A ∪ B) + (|K) 

⊆ m + (|K) für alle m ∈ (A ∪ B) JJ und damit (A ∪ B) + (|K) ⊆ ∩{m + (|K) | m ∈ (A ∪ B) JJ } = ((A ∪ 

B) JJ ) + (|K). 

Seien m ∈ (A ∪ B) JJ -(A ∪ B) und g ∈ m - (|K). Dann gilt |K b!g m. Wie oben bereits erwähnt muß 

jedoch |K b?g A ∪ B oder |K ]!g m gelten, also gilt |K b?g A ∪ B und damit g ∈ (A ∪ B) - (|K). 

Damit gilt m - (|K) ⊆ (A ∪ B) - (|K). Für m ∈ A ∪ B gilt diese Aussage wegen (A ∪ B) - (|K) = ∪{n - 

(|K) | n ∈ A ∪ B} auch, also gilt m - (|K) ⊆ (A ∪ B) - (|K) für alle m ∈ (A ∪ B) JJ und damit ((A ∪ 

B) JJ ) - (|K) = ∪{m - (|K) | m ∈ (A ∪ B) JJ } ⊆ (A ∪ B) - (|K). 

Damit ist auch π|K(A ∪ B) ≤ π|K((A ∪ B) JJ ) bewiesen und es gilt π|K(A ∪ B) = π|K((A ∪ B) JJ ). 

Die Abbildung h ist deshalb ein ∧-Halbverbandshomomorphismus. 


Seien A, B ∈ Int(|K') mit h(A J , A) ≤ h(B J , B). 

Es gilt A + (|K) ⊆ B + (|K) und B - (|K) ⊆ A - (|K) wegen π|K(A) = h(A J , A) ≤ h(B J , B) = π|K(B). 

Es wird zunächst bewiesen, daß A → B ∈ Imp(|K) gilt: 

Sei g ∈ G. 

Fall 1: I(g, a) = o für ein a ∈ A. 

Dann gilt |K ]g A → B. 

Fall 2: I(g, a) = × für alle a ∈ A. 

Dann gilt g ∈ A + (|K) ⊆ B + (|K), also I(g, b) = × für alle b ∈ B und |K ]g A → B. 

Fall 3: I(g, c) = ? für ein c ∈ A und I(g, a) ≠ o für alle a ∈ A-{c}. 

Da c das einzige Element von M mit I(g, c) = ? ist, gilt I(g, a) = × für a ∈ A-{c}. Es gilt 

g ∉ A + (|K) und g ∉ A - (|K), also g ∉ B - (|K) und somit I(g, b) ≠ o für alle b ∈ B. Für c ≠ b ∈ B gilt 

I(g, b) = ×, weil die Kontextzeile von g nur ein Fragezeichen enthält, also gilt |K ]g A → B-{c}. 

Es gilt |K ]g A → c wegen c ∈ A, also auch |K ]g A → B nach Regel (AD). 

Damit gilt A → B ∈ Imp(|K) ⊆ Imp(|K') und B ⊆2.35 A JJ = A, also (A J , A) ≤ (B J , B). Damit 

reflektiert h die Ordnung, und aus h(A J , A) = h(B J , B) folgt (A J , A) ≤ (B J , B) ≤ (A J , A), also ist h 

injektiv. 

❚ 

Wenn |K = |K' schon ein einwertiger Kontext ist, dann sind die Voraussetzungen des vorigen Satzes 

erfüllt, also gilt folgendes Korollar:

2.67. Korollar (Zusammenhang zwischen dem Begriffsverband und der Kleene-Algebra 

eines einwertigen Kontextes): 

Für einwertige Kontexte |K ist X(|K) als ∧-Halbverband isomorph zu einem Unterhalbverband der 

booleschen Algebra 94 L(|K). 

❚ 

Die Abbildung h : X(|K') → L(|K) aus Satz 2.66 ist im allgemeinen nicht mit der Operation ∨ 

verträglich. Wenn z.B. X(|K') nicht distributiv ist, dann kann es keinen injektiven Verbandshomomorphismus 

h : X(|K') → L(|K) geben, denn alle Unterverbände von L(|K) sind distributiv. 

94 vgl. Satz 2.14 

71

2.3 Rahmenkontexte 

Wenn eine Merkmalsmenge M gegeben ist, interessiert man sich häufig nicht für alle Kontexte mit 

dieser Merkmalsmenge, sondern nur für solche Kontexte, in denen zwischen den Merkmalen 

gewisse Zusammenhänge bestehen. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, Informationen über den 

Zusammenhang zwischen den Merkmalen zu beschreiben: 

(1) Durch eine bijektive Abbildung ⎯ : M+ → M- zwischen zwei disjunkten Teilmengen M+ und Mvon 

M wird ausgedrückt, daß einige Merkmale negiert zueinander sind. Man betrachtet dann 

nur noch solche Kontexte (G, M, I), bei denen die Spalte eines Merkmals m ∈ M+ zur Spalte 

des Merkmals m := ⎯ (m) negiert ist, d.h. (g, m) ∈ I gdw. (g, m) ∉ I für g ∈ G. 

(2) Durch eine Menge H ⊆ ImpM von Implikationen können Hintergrundimplikationen festgelegt 

werden, welche in den betrachteten Kontexten gültig sein sollen, d.h. man interessiert sich nur 

für solche Kontexte |K = (G, M, I) mit H ⊆ Imp(|K). 

(3) Man kann stattdessen auch eine Menge allgemeiner Formeln P ⊆ F(M) verwenden (z.B. eine 

Menge von Klauseln), welche in den Kontexten gültig sein sollen. 

(4) Durch ein Mengensystem H ⊆ ℘(M) kann man festlegen, welche Kontextzeilen möglich sind, 

d.h. man interessiert sich nur für solche (einwertigen) Kontexte |K = (G, M, I) mit g I ∈ H für 

alle g ∈ G. Dieses Mengensystem H wird dabei Rahmenkontext genannt. 

Die ersten drei Arten von Vorwissen über die Kontexte lassen sich auch durch das Mengensystem 

aus (4) beschreiben: 

Sei ⎯ : M+ → M- eine bijektive Abbildung zwischen zwei disjunkten Teilmengen von M. Eine 

Menge A ⊆ M heißt konsistent, wenn |A ∩ {m, m }| ≤ 1 für alle m ∈ M+ gilt. Eine Menge A ⊆ M 

heißt vollständig konsistent, wenn für alle m ∈ M+ entweder m ∈ A oder m ∈ A gilt, d.h. wenn 

|A ∩ {m, m }| = 1 für alle m ∈ M+ gilt. 

Sei VKon( ⎯ ) := {T ⊆ M | T ist vollständig konsistent}. 

Dann enthält der Rahmenkontext H := VKon( ⎯ ) gerade die Information, daß m negiert zu m ist, 

für alle m ∈ M+. Die einwertigen Kontexte |K, in denen die Spalte jedes Merkmals m ∈ M+ zur 

Spalte von m negiert ist, sind genau die Kontexte (G, M, I) mit g I ∈ H für alle g ∈ G, denn jeder 

Gegenstandsinhalt von |K ist vollständig konsistent. 

Wenn das Vorwissen durch eine Menge P von Formeln (oder Implikationen) gegeben ist, dann wird 

diese Information durch H := Mod(P) ausgedrückt, denn nach Korollar 2.5 gilt genau dann |K ] P, 

wenn g I ∈ H für alle g ∈ G gilt. 

Die Kombination der verschiedenen Arten von Vorwissen läßt sich durch den Durchschnitt der 

zugehörigen Mengensysteme ausdrücken: Das Mengensystem H ∩ VKon( ⎯ ) ∩ Mod(P) beschreibt 

genau diejenigen Kontexte mit negierten Merkmalen, in denen P gültig ist, und jeder 

Gegenstandsinhalt in H liegt. 

2.68. Definition (Operator RespH ): 

Für H ⊆ ℘(M) und P ⊆ ImpM definiere RespH (P) := Resp(P) ∩ H. 

Der Zusammenhang zwischen den Operatoren Imp und Resp aus Kapitel 2.2 gilt auch für die 

Operatoren Imp und Resp H : 

73

2.69. Lemma (Imp und RespH bilden eine Galoisverbindung): 

Die Abbildungen Imp : ℘(H) → ℘(ImpM) und RespH : ℘(ImpM) → ℘(H) bilden eine Galoisverbindung. 

Beweis: 

Die beiden Abbildungen sind die Ableitungsoperatoren im Kontext (H, ImpM, J) mit 

(T, A → B) ∈ J gdw. T respektiert A → B 

für T ∈ H und A → B ∈ ImpM. 

❚ 

Wie in Kapitel 2.2 wird auch hier ein vollständiges und korrektes Regelsystem aufgestellt, um die 

Implikationen von Kontexten zu charakterisieren, wobei nun Kontexte |K = (G, M, I) mit g I ∈ H für 

g ∈ G betrachtet werden. Diese Kontexte sind bis auf Gegenstandsbereinigung und Umbenennung 

der Gegenstände genau die Teilkontexte von (H, M, ∋) mit Merkmalsmenge M, denn jeder 

Gegenstandsinhalt g I von |K ist wegen 

{g I } ∋ = {m ∈ M | g I ∋ m} = g I 

auch ein Gegenstandsinhalt von (H, M, ∋). Der zugehörige Teilkontext (S, M, ∋) von (H, M, ∋) 

enthält also genau diejenigen Gegenstände T ∈ H, die in |K als Gegenstandsinhalt g I auftauchen: 

S = {g I | g ∈ G}. Der Kontext |K ist bis auf Gegenstandsbereinigung isomorph zu (S, M, ∋). 

2.70. Definition (Regel (H-EX), Operator ConsH ): 

Für H ⊆ ℘(M) sei (H-EX) die Regel gegeben durch 

(A ∪ {c} → B)c∈C 

_______________________(H-EX) 

74 

A → B (H-Exhaustion) 

für A, B, C ⊆ M mit A → ∨C ∈ Th(H). 

Für P ⊆ ImpM sei ConsH (P) die kleinste Obermenge von P, die bezüglich der Regeln (AX), 95 (PS) 

und (H-EX) abgeschlossen ist. 

Während die Regeln (AX) und (PS) für die Klasse aller (einwertigen oder unvollständigen) 

Kontexte mit Merkmalsmenge M korrekt und vollständig waren, bilden hier die drei Regeln (AX), 

(PS) und (H-EX) ein adäquates Regelsystem für einwertige Kontexte, dessen Gegenstandsinhalte 

im Rahmenkontext H liegen. Dies wird im folgenden Satz bewiesen. 

2.71. Satz (Adäquatheit der Regeln (AX), (PS) und (H-EX)): 

Seien H ⊆ ℘(M), P ⊆ ImpM und A, B ⊆ M. Dann sind folgende Aussagen äquivalent: 

(1) A → B ∈ ConsH (P) 

(2) A → B ∈ Imp(RespH (P)) 

(3) B ⊆ ∩{T ∈ Resp H (P) | A ⊆ T} 

(4) B ⊆ Cons H (P) 

(5) Für jeden einwertigen Kontext |K = (G, M, I) mit P ⊆ Imp(|K) und g I ∈ H für alle g ∈ G gilt 

A → B ∈ Imp(|K). 

95 vgl. Definition 2.38

(6) Für jeden einwertigen Kontext |K = (G, M, I) mit |G| = 1, P ⊆ Imp(|K) und g I ∈ H für den 

(einzigen) Gegenstand g ∈ G gilt A → B ∈ Imp(|K). 

(7) Für jeden Teilkontext |K = (G, M, ∋) von (H, M, ∋) mit P ⊆ Imp(|K) gilt A → B ∈ Imp(|K). 

(8) Für jeden Teilkontext |K = (G, M, ∋) von (H, M, ∋) mit |G| = 1 und P ⊆ Imp(|K) gilt A → B ∈ 

Imp(|K). 

(9) Für jeden einwertigen Kontext |K = (G, M, I) mit |K ] P ∪ Th(H) gilt A → B ∈ Imp(|K). 

(10) A → B ∈ Th(Mod(P ∪ Th(H))) 

(11) A → B ist in klassischer Logik aus P ∪ Th(H) herleitbar. 

Beweis: 96 

(1) ⇔ (4): 

B ⊆ Cons H (P) gdw. A → B ∈ Cons(Cons H (P)) = Cons H (P) nach Satz 2.40 (Äquivalenz (1) ⇔ 

(3)). 

(1) ⇒ (2) durch Induktion über die Herleitung von A → B mit (AX), (PS) und (H-EX): 

Sei T ∈ RespH (P) mit A ⊆ T. 

Fall 1: A → B ∈ P 

Wegen P ⊆2.69 Imp(RespH (P)) gilt (2). 

Fall 2: Bei der Herleitung von A → B wird (AX) oder (PS) als letztes angewendet. 

Analog dem Beweis von (1) ⇒ (2) in Satz 2.40 folgt B ⊆ T. 

Fall 3: Bei der Herleitung von A → B wird (H-EX) als letztes angewendet. 

Dann gibt es eine Menge C ⊆ M mit A ∪ {c} → B ∈ ConsH (P) für alle c ∈ C und A → ∨C ∈ 

Th(H). Nach Induktionsannahme gilt A ∪ {c} → B ∈ Imp(RespH (P)) für alle c ∈ C. Da T ∈ H 

mit A ⊆ T ist, muß C ∩ T ≠ ∅ sein. Sei c ∈ C ∩ T. Dann gilt A ∪ {c} ⊆ T, also B ⊆ T. 

(2) ⇒ (3): 

Aus T ∈ RespH (P) mit A ⊆ T folgt mit (2) auch B ⊆ T, also gilt 

B ⊆ ∩{T ∈ RespH (P) | A ⊆ T}. 

(3) ⇒ (5): 

Sei |K = (G, M, I) ein einwertiger Kontext mit P ⊆ Imp(|K) und g I ∈ H für alle g ∈ G. Sei g ∈ G mit 

A ⊆ g I . Nach Korollar 2.5 gilt g I ∈ Resp H (P), also B ⊆ ∩{T ∈ Resp H (P) | A ⊆ T} ⊆ g I . Nach Satz 

2.35 gilt A → B ∈ Imp(|K). 

(5) ⇒ (6): trivial 

(5) ⇔ (7) und (6) ⇔ (8): 

Die Kontexte |K = (G, M, I) mit g I ∈ H für alle g ∈ G sind bis auf Gegenstandsbereinigung und 

Umbenennung der Gegenstände genau die Teilkontexte von (H, M, ∋) mit der Merkmalsmenge M. 

(8) ⇒ (1): 

Annahme: A → B ∉ ConsH (P). 

Sei D ⊆ M maximal mit A ⊆ D und D → B ∉ ConsH (P). 

Fall 1: D ∉ H 

96 Die Äquivalenz von (1), (2) und (7) folgt auch aus [Ganter98], Kapitel 2.2 

75

Nach Satz 1.11.(1) gilt D → ∨(M-D) ∈ Th(H) und D ∪ {m} → B ∈ Cons H (P) für m ∈ M-D 

wegen der Maximalität von D, und nach Regel (H-EX) auch D → B ∈ Cons H (P), was ein 

Widerspruch ist. 

Fall 2: D ∉ Resp(P) 

Dann gibt es ein E → F ∈ P mit E ⊆ D und F ⊆/ D. Nach Regel (AU) und Lemma 2.39 gilt D → F ∈ 

Cons H (P). Wegen der Maximalität von D gilt D ∪ F → B ∈ Cons H (P), also gilt nach Regel (PS) 

auch D → B ∈ ConsH (P), was ein Widerspruch ist. 

Fall 3: D ∈ H ∩ Resp(P) 

Der Kontext |K := ({D}, M, ∋) ist ein Teilkontext von (H, M, ∋) mit P ⊆2.5 Imp(|K), also gilt A → B 

∈ Imp(|K) nach (8). Wegen A ⊆ D gilt B ⊆ D, also D → B ∈ ConsH (P) nach Regel (AX), was ein 

Widerspruch ist. 

(2) ⇔ (10): 

Mod(P ∪ Th(H)) =1.10 Mod(P) ∩ Mod(Th(H)) =1.11.(2) Resp(P) ∩ H = RespH (P), und somit gilt 

A → B ∈ Imp(RespH (P)) gdw. A → B ∈ Th(Mod(P ∪ Th(H))). 

(10) ⇔ (11): 

Vgl. Satz 1.12. 

(11) ⇔ (9): 

Vgl. Satz 2.17 (Äquivalenz (1) ⇔ (3)). 

❚ 

2.72. Bemerkung: 

Aus diesem Satz folgen einige interessante Eigenschaften: 

(1) Für alle Kontexte |K = (G, M, I) mit g I ∈ H für alle g ∈ G gilt ConsH (Imp(|K)) = Imp(|K). 

(2) Die Implikationen, die im Rahmenkontext H gültig sind, sind genau diejenigen Implikationen, 

welche aus der leeren Implikationenmenge herleitbar sind: 

Imp(H) = Imp(Resp(∅) ∩ H) = Imp(RespH (∅)) =2.71 ConsH (∅). 

(3) Für P ⊆ ImpM, H ⊆ ℘(M) und A ⊆ M ist ∩{T ∈ Resp H (P) | A ⊆ T} die Hülle von A im 

76 

Hüllensystem Resp(Cons H (P)), denn es gilt Cons H (P) = ∩{T ∈ Resp H (P) | A ⊆ T}. 

(4) Für P, H ⊆ ImpM und H = Resp(H) sind die aus P mit den Regeln (AX), (PS) und (H-EX) 

herleitbaren Implikationen genau diejenigen Implikationen, die mit den Regeln (AX) und (PS) 

aus P ∪ H herleitbar sind: 

Cons H (P) =2.71 Imp(Resp(P) ∩ Resp(H)) =2.30 Imp(Resp(P ∪ H)) =2.40 Cons(P ∪ H). 

Für A ⊆ M gilt Cons H (P) =2.41 P∪H. 

Wenn H ein Hüllensystem ist, dann ist auch Resp H (P) als Durchschnitt zweier Hüllensysteme 

wieder ein Hüllensystem, also ist ConsH (P) = ∩{T ∈ RespH (P) | A ⊆ T} die kleinste P 

respektierende Obermenge, welche in H liegt. Im allgemeinen ist ConsH (P) jedoch kein Element 

aus H, z.B. ist Cons H (∅) = ∅ für H = VKon( ⎯ ) (bezüglich einer Negation ⎯ ), denn der 

Durchschnitt aller vollständig konsistenten Mengen ist leer. 

Im folgenden Lemma werden einige Zusammenhänge zwischen den Hüllenoperatoren < ⋅ >P und 

< ⋅ > Cons H (P) und zwischen den Hüllensystemem Resp(P) und Resp(Cons H (P)) bewiesen.

2.73. Lemma (Wenn eine Menge von Implikationen durch ein Element des Rahmenkontextes 

respektiert wird, dann auch alle Folgerungen): 

Seien H ⊆ ℘(M) und P ⊆ ImpM. Dann gilt: 

(1) Für A ∈ H gilt genau dann A ∈ Resp(P), wenn A ∈ Resp(ConsH (P)) gilt. 

(2) Für B ⊆ M mit P ∈ H gilt P = Cons H (P) . 


Resp H (P) =2.69 Resp H (Imp(Resp H (P))) =2.71 Resp H (Cons H (P)) 


Nach Voraussetzung und Lemma 2.31 gilt P ∈ Resp(P) ∩ H = Resp H (P), also 

Cons H (P) =2.71 ∩{T ∈ Resp H (P) | B ⊆ T} ⊆ P ⊆2.32 Cons H (P) . 

❚ 

Für P ⊆ ImpM gibt es einen Teilkontext von (H, M, ∋), in dem genau die Implikationen aus 

ConsH (P) gültig sind. Dieser Teilkontext enthält gerade diejenigen Gegenstände von (H, M, ∋), die 

P respektieren: 

2.74. Definition (Kontext |K H P ): 

Für H ⊆ ℘(M) und P ⊆ ImpM definiere |K H P := (RespH (P), M, ∋). 

2.75. Lemma (Im Kontext |K H P sind alle Folgerungen von P gültig): 

Seien H ⊆ ℘(M), P ⊆ ImpM. Dann ist |K H P ein Teilkontext von (H, M, ∋), und es gilt 

(1) Imp(|K H P ) = ConsH (P) 

(2) Int(|K H P ) ∩ H = RespH (P) 

(3) Int(|K H P ) = Resp(ConsH (P)) 

Beweis: 

Imp(|K H P ) =2.42 Imp(Resp H (P)) =2.71 Cons H (P) 

Int(|K H P ) ∩ H =2.36 Resp(Imp(|K H P )) ∩ H =2.42 Resp H (Imp(Resp H (P))) =2.69 Resp H (P) 

Int(|K H P ) =2.36 Resp(Imp(|K H P )) =(1) Resp(Cons H (P)). 

❚ 

Die Begriffsinhalte von |K H P sind somit genau die Mengen, die ConsH (P) respektieren, und die im 

Kontext |K H P gültigen Implikationen sind genau die Implikationen, die aus P herleitbar sind. 

2.76. Definition (H-erzeugte Hüllensysteme): 

Seien H ⊆ ℘(M) und 8 ein Hüllensystem auf M. 8 heißt H-erzeugt, wenn 

A = ∩{B ∈ 8 | A ⊆ B ∈ H} für alle A ∈ 8 gilt, d.h. 8 ist ein von 8 ∩ H erzeugtes 

Hüllensystem. 97 

97 vgl. Satz 2.77 

77

Im folgenden Satz werden unterschiedliche Charakterisierungen der H-erzeugten Hüllensysteme 

angegeben, insbesondere wird gezeigt, daß sich jedes H-erzeugte Hüllensystem als Menge der 

Begriffsinhalte eines Kontextes |K = (G, M, I) mit g I ∈ H für g ∈ G darstellen läßt. 

2.77. Satz (Charakterisierung von H-erzeugten Hüllensystemen): 

Seien H ⊆ ℘(M) und 8 ein Hüllensystem auf einer endlichen Menge M. Dann sind folgende 


(1) 8 ist H-erzeugt 

(2) 8 = Resp(Imp(8 ∩ H)) 

(3) Imp(8) = Imp(8 ∩ H) 

(4) ConsH (Imp(8)) = Imp(8) 

(5) Der zugehörige Hüllenoperator h : ℘(M) → ℘(M) des Hüllensystems 8 ist mit der Regel 

(H-EX) verträglich, d.h. wenn h die Implikationen A ∪ {c} → B für alle c ∈ C respektiert und 

A → ∨C ∈ Th(H) ist, dann respektiert h auch die Implikation A → B. 

(6) Es gibt eine Menge P ⊆ ImpM mit ConsH (P) = P und 8 = Resp(P). 

(7) Es gibt einen Teilkontext |K von (H, M, ∋) mit Int(|K) = 8. 

(8) Im Verband (8, ⊆) liegt jedes schnittirreduzibles Element in H. 

Beweis: 

(1) ⇒ (2): 

Resp(Imp(8 ∩ H)) ist nach Lemma 2.34 das kleinste Hüllensystem, welches 8 ∩ H enthält, also 

Resp(Imp(8 ∩ H)) ⊆ 8. 

Nach (1) und Lemma 2.34 gilt A = ∩{B ∈ 8 | A ⊆ B ∈ H} ∈ Resp(Imp(8 ∩ H)) für alle 

A ∈ 8, also gilt auch 8 ⊆ Resp(Imp(8 ∩ H)). 

(2) ⇒ (3): 

Imp(8) =(2) Imp(Resp(Imp(8 ∩ H))) =2.30 Imp(8 ∩ H). 

(3) ⇒ (4): 

ConsH (Imp(8)) =(3) ConsH (Imp(8 ∩ H)) =2.71 Imp(RespH (Imp(8 ∩ H))) =2.30 

Imp(8 ∩ H) =(3) Imp(8). 

(4) ⇔ (5): 

Nach Lemma 2.33 gilt Imp(8) = Imp(h), und Imp(h) ist nach Satz 2.45 bezüglich der Regeln (AX) 

und (PS) abgeschlossen. Somit gilt genau dann ConsH (Imp(8)) = Imp(8), wenn Imp(h) 

bezüglich der Regel (H-EX) abgeschlossen ist 

(4) ⇒ (6): 

Für P = Imp(8) gilt ConsH (P) =(4) P und Resp(P) = Resp(Imp(8)) =2.34 8, denn 8 ist ein 

Hüllensystem. 

(6) ⇒ (7): 

Für den Kontext |K H P = (RespH (P), M, ∋) aus Definition 2.74 gilt: 

Int(|K H P ) =2.75.(3) Resp(ConsH (P)) =(6) Resp(P) =(6) 8. 

(7) ⇒ (8): 

78

Seien |K = (G, M, ∋) der Kontext aus (7) und A ∈ 8 = Int(|K) schnittirreduzibel. Im Begriffs- 

verband X(|K) gilt (A', A) = ∨{({g}'', {g}') | g ∈ A'}, also gilt A = ∩{{g}' | g ∈ A'}, und da A 

schnittirreduzibel ist, gibt es ein g ∈ G mit A = {g}' = {m ∈ M | g ∋ m} = g ∈ H. 

(8) ⇒ (1): 

Jedes Element von (8, ⊆) ist Durchschnitt von schnittirreduziblen Elementen von (8, ⊆), weil M 

endlich ist, also gilt A = ∩{B ∈ 8 | A ⊆ B ∈ H} für alle A ∈ 8 nach (8). 

❚ 


Es folgen einige Eigenschaften über die Teilkontexte |K = (G, M, ∋) von (H, M, ∋) (und damit auch 

über alle einwertigen Kontexte (G, M, I) mit g I ∈ H für alle g ∈ G): 

(1) Die Begriffsinhalte und die gültigen Implikationen sind für einen Teilkontext |K = (G, M, ∋) von 

(H, M, ∋) schon durch H ∩ Int(|K) eindeutig bestimmt, d.h. für alle Teilkontexte |K' = (S, M, ∋) 

von (H, M, ∋) mit H ∩ Int(|K) = H ∩ Int(|K') gilt Int(|K) = Int(|K') und Imp(|K) = Imp(|K'). 

(2) Für A ⊆ M gilt A'' = ∩{E ∈ H ∩ Int(|K) | A ⊆ E} im Kontext |K. 

(3) Für A, B ⊆ M ist die Gültigkeit der Implikation A → B in |K äquivalent zur Gültigkeit der 

Menge {E → B | A ⊆ E ∈ H}: Wenn {E → B | A ⊆ E ∈ H} ⊆ Imp(|K) gilt, dann gilt für alle 

g ∈ G ⊆ H mit A ⊆ {g} ∋ = {m ∈ M | g ∋ m} = g auch B ⊆ g = {g} ∋ , also A → B ∈ Imp(|K). 

Umgekehrt folgt aus der Gültigkeit von A → B nach Regel (AU) auch die Gültigkeit von {E → 

B | A ⊆ E ∈ H}. 

Wenn der Rahmenkontext H die Menge aller vollständig konsistenten Mengen bezüglich einer 

Negation ⎯ : M+ → M- ist, dann sind die H-erzeugten Hüllensysteme gerade die vollständig 

konsistent erzeugten Hüllensysteme, d.h. jede Hülle ist Durchschnitt von vollständig konsistenten 

Hüllen. 

Wenn H = ℘(M) ist, dann ist jedes Hüllensystem auf M H-erzeugt. 

79

2.4 Unvollständige Kontexte mit negierten Merkmalen 

Wenn der Rahmenkontext gleich der Menge der vollständig konsistenten Mengen bezüglich einer 

Negation ist, dann braucht man nur solche unvollständigen Kontexte zu betrachten, in denen die 

Spalte von m zur Spalte von m negiert ist, für alle m ∈ M+. Auch für die Kripke-Gültigkeit von 

Formeln (insbesondere von Klauseln) sind nur die Vervollständigungen interessant, in denen das 

Merkmal m zum Merkmal m negiert ist. 

2.79. Definition (unvollständiger Kontext mit negierten Merkmalen): 

Ein unvollständiger Kontext mit negierten Merkmalen |K N = (|K, M+, M-, ⎯ ) besteht aus einem 

unvollständigen Kontext |K = (G, M, {×, ?, o}, I), zwei disjunkten Teilmengen M+, M- von M und 

einer bijektiven Abbildung ⎯ : M+ → M-, so daß für alle m ∈ M+ und g ∈ G gilt: I(g, m) = 

¬ 3 I(g, m). 

Die Umkehrabbildung von ⎯ wird ebenfalls mit ⎯ bezeichnet. 

Für A ⊆ M sei A = {m ∈ M+ ∪ M- | m ∈ A} = { m| m ∈ A ∩ (M+ ∪ M-)}. 

Die Menge V(|K N ) aller Vervollständigungen von |K N ist die Menge aller einwertigen Kontexte |K' = 

(G, M, J) ∈ V(|K), so daß (g, m) ∈ J gdw. (g, m ) ∉ J für m ∈ M+ und g ∈ G ist. Wie üblich gilt für 

eine Formel α ∈ F und g ∈ G genau dann |K N ]g α, wenn |K' ]g α für alle |K' ∈ V(|K N ) gilt. α ist 

genau dann erfüllbar für g, wenn es ein |K' ∈ V(|K N ) mit |K' ]g α gibt. |K N ]!g α gilt genau dann, 

wenn |K ]!g α gilt, und |K N ]?g α gilt genau dann, wenn |K ]?g α gilt. Definiere 98 L(|K N ) := L(|K). 

Für α ∈ F(M) sei αo ∈ F(M-M-) diejenige Formel, welche aus α durch die Substitution jedes 

Merkmals m ∈ M- durch ¬ m entsteht. 

Für einwertige Kontexte mit negierten Merkmalen 99 |K N = (|K, M+, M-, ⎯ ) sind die verschiedenen 

Gültigkeitsbegriffe äquivalent, 100 denn es gilt V(|K N ) = |K: 

|K N ]!g α gdw. 

|K N ]?g α gdw. 

|K N ]g α gdw. 

α ist erfüllbar für g. 

Durch den Übergang von α zur Formel αo erhält man eine äquivalente Formel, wenn man nur 

solche Interpretationen betrachtet, in denen das Merkmal m negiert zum Merkmal m ist, für alle m 

∈ M+. Dies gilt sowohl für die Kripke-Gültigkeit, als auch für die starke und schwache Gültigkeit, 

was im folgenden Satz bewiesen wird. 

2.80. Satz (Transformation von unvollständigen Kontexten mit negierten Merkmalen in 

"normale" unvollständige Kontexte): 

Seien |K N = (|K, M+, M-, ⎯ ) ein unvollständiger Kontext mit negierten Merkmalen und |K = (G, M, 

{×, ?, o}, I). Seien T = M-M-, g ∈ G, x ∈ {g, !g, ?g, ε, !, ?} (wobei ε das leere Wort bezeichnet), 

α ∈ F(M). Seien π|K| T : F(T) → AG die Abbildung 101 bezüglich des Teilkontextes |K|T mit der 

Merkmalsmenge T und π|K : F(M) → AG die Abbildung bezüglich des Kontextes |K N . Dann gilt: 

(1) π|K| T (αo) = π|K(αo) = π|K(α) 

98 

vgl. Definition 2.11 

99 

d.h. (g, m) ∈ I gdw. (g, m ) ∉ I für g ∈ G und m ∈ M+ 

100 


101 

vgl. Definition 2.11. 

81

(2) |K N ]x α gilt genau dann, wenn |K|T ]x αo gilt. 

(3) L(|K|T) = L(|K N ) 


Nach Definition von |K|T ist die Abbildung π|K| T : F(T) → AG des Kontextes |K|T gerade die 

Einschränkung der Abbildung π|K : F(M) → AG des Kontextes |K N auf die Menge F(T). Für m ∈ Mgilt 

π|K(m) = ({g ∈ G | I(g, m) = ×}, {g ∈ G | I(g, m) = o}) = ({g ∈ G | m (g) = o}, {g ∈ G | m (g) = 

×}) = ¬π|K( m) = π|K(¬ m), also π|K(α) = π|K(αo) = π|K| T (αo). 


Nach (1) und Satz 2.12 gilt die Behauptung für x ∈ {!g, ?g, !, ?}. 

Für x ∈ {g, ε} gilt (2) nach Satz 2.3 für alle einwertigen Kontexte mit negierten Merkmalen, also 

gilt: 

|K N ]x α gdw. 

|K' ]x α für alle |K' ∈ V(|K N ) gdw. 

|K' ]!x α für alle |K' ∈ V(|K N ) gdw. 

|K'|T ]!x αo für alle |K' ∈ V(|K N ) gdw. 

|K'|T ]x αo für alle |K' ∈ V(|K N ) gdw. 

|K'' ]x αo für alle |K'' ∈ V(|K|T) gdw. 

|K|T ]x αo. 


Wegen F(T) ⊆ F(M) gilt auch π|K| T (F(T)) ⊆ π|K(F(M)). Nach (1) gibt es zu jedem π|K(β) ∈ π|K(F(M)) 

ein βo ∈ F(T) mit π|K(β) = π|K| T (βo), also gilt auch die Umkehrung: 

L(|K|T) = π|K| T (F(T)) = π|K(F(M)) = L(|K N ). 

❚ 

Die Behandlung eines unvollständigen Kontextes |K N = (|K, M+, M-, ⎯ ) mit negierten Merkmalen 

läßt sich nach dem vorigen Satz durch Entfernung der Menge M- auf die Behandlung eines 

normalen unvollständigen Kontextes |K|T zurückführen, jedoch sollte man dabei darauf achten, daß 

bei einer Formel α ∈ F(M), in der jedes Merkmal m ∈ M höchstens einmal vorkommt die 

zugehörige Formel αo ∈ F(M-M-) diese Eigenschaft nicht mehr erfüllen muß. Für disjunkte Mengen 

A, B ⊆ M folgt aus |K N ] A → B deshalb nicht immer |K N ]! A → B: 102 

|K N 

82 

m m n 

g ? ? ? 

In diesem Kontext gilt |K N ] {m , m} → n, aber es gilt vg({m , m} → n) = ? für die homomorphe 

Fortsezung vg der Kontextzeile, also |K N b! {m , m} → n. 


Sei |K N = (|K, M+, M-, ⎯ ) ein einwertiger Kontext mit negierten Merkmalen mit |K = (G, M, I). Dann 

ist X(|K|M-M- ) nach dem Dual von Satz 1.8 als ∧-Halbverband isomorph zu einem Unterhalbverband 

von X(|K N ) := X(|K). 

102 vgl. Lemma 2.48

Die Folgerbarkeit von Formeln α ∈ F(M) in unvollständigen Kontexten mit negierten Merkmalen 

läßt sich durch Transformation der Formel α nach αo ∈ F(M-M-) ähnlich wie in Kapitel 2.1 durch 

den Kalkül der klassischen Logik ausdrücken: 

2.82. Satz (Adäquatheit des Kalküls der klassischen Logik für unvollständige Kontexte mit 

negierten Merkmalen durch Transformation der Formeln): 

Seien M eine Menge, M+, M- zwei disjunkte Teilmengen von M und ⎯ : M+ → M- eine bijektive 

Abbildung. Seien P ⊆ F(M), α ∈ F(M) und Po = {βo | β ∈ P}. Dann sind folgende Aussagen 

äquivalent: 

(1) Für alle unvollständigen Kontexte mit negierten Merkmalen |K N = (|K, M+, M-, ⎯ ) mit |K N ] P 

gilt |K N ] α. 

(2) Für alle einwertigen Kontexte mit negierten Merkmalen |K N = (|K, M+, M-, ⎯ ) mit |K N ] P gilt 

|K N ] α. 

(3) αo ist in klassischer Logik aus Po herleitbar. 

Beweis: 

(1) ⇒ (2): Trivial 

(2) ⇒ (3): 

Es wird Bedingung (4) aus Satz 2.17 gezeigt: Seien |K' = (G, M-M-, I) ein einwertiger Kontext mit 

|K' ] Po und |K N = (|K, M+, M-, ⎯ ) die Erweiterung von |K' durch negierte Merkmale. Dann gilt 

|K N ] P nach Satz 2.80.(2), also |K N ] α wegen (2) und somit |K' ] αo nach Satz 2.80.(2). Da |K' 

beliebig war, folgt (3) aus Satz 2.17 (Äquivalenz (1) ⇔ (4)). 

(3) ⇒ (1): 

Sei |K N = (|K, M+, M-, ⎯ ) mit |K = (G, M, {×, ?, o}, I) und |K N ] P. 

Nach Satz 2.80.(2) gilt |K|M-M- ] Po, also |K|M-M- ] αo wegen (3) und Satz 2.17 (Äquivalenz (1) ⇔ 

(3)) und somit |K N ] α nach Satz 2.80.(2). 

❚ 

2.83. Korollar (Adäquatheit des Kalküls der Klassischen Logik mit den Regeln ( ⎯ -E) und 

( ⎯ -I) für unvollständige Kontexte mit negierten Merkmalen): 

Durch Hinzunahme der Regeln 

E W α E W αo 

_________ ( ⎯ -E) _________ ( ⎯ -I) 

E W αo und E W α 

für α ∈ F zum Kalkül der klassischen Logik erhält man ein korrektes und vollständiges Regelsystem. 

Beweis: 

Die beiden Regeln sind sicher korrekt, und nach dem vorigen Satz ist das Regelsystem auch 

vollständig, denn jede Formel α ∈ F ist nun aus αo herleitbar und umgekehrt. 

❚ 

Wie in Kapitel 2.2 werden nun für Merkmalimplikationen A → B äquivalente Bedingungen für die 

Kripke-Gültigkeit (bzw. Erfüllbarkeit) angegeben. Für die starke und schwache Gültigkeit ändert 

sich nichts, denn A → B ist im Kontext |K N = (|K, M+, M-, ⎯ ) mit negierten Merkmalen genau dann 

stark gültig (bzw. schwach gültig), wenn A → B in |K stark gültig (bzw. schwach gültig) ist, weil 

die Kontextzeilen die Negation bereits berücksichtigen. Im folgenden Lemma wird bewiesen, daß 

man die Kripke-Gültigkeit von A → B für einen Gegenstand g direkt an den Einträgen der 

83

Kontextzeile ablesen kann. Auch für den Folgerungsbegriff bezüglich der Kripke-Gültigkeit bzw. 

Erfüllbarkeit für unvollständige Kontexte mit negierten Merkmalen werden adäquate Regelsysteme 

aufgestellt: Eine Implikation ist genau dann aus einer Menge von Implikationen herleitbar, wenn sie 

semantisch aus dieser Menge folgt (vgl. Satz 2.91 und Satz 2.94). 

2.84. Lemma (Charakterisierung der Kripke-Gültigkeit von Implikationen): 


{×, ?, o}, I), A, B ⊆ M endlich. Für g ∈ G sind folgende Aussagen äquivalent: 

(1) |K N ]g A → B 

(2) Aus A ∩ A= ∅ und I(g, m) ≠ o für alle m ∈ A folgt I(g, m) = × für alle m ∈ B-A 

Beweis: 

(1) ⇒ (2): 

Seien A ∩ A= ∅ und I(g, m) ≠ o für alle m ∈ A. 

Annahme: I(g, b) ≠ × für ein b ∈ B-A. 

Fall 1: b ∉ M-: 

Sei |K' = (G, M, J) mit (x, m) ∈ J gdw. I(x, m) = × oder (I(x, m) = ? und m ∈ A ∪ (M-- A )) für 

x ∈ G, m ∈ M. Es wird nun gezeigt, daß |K' ein Kontext mit negierten Merkmalen ist, d.h. für alle 

m ∈ M+ ist die Spalte von m negiert zur Spalte von m . 

Seien x ∈ G und m ∈ M+ mit (x, m) ∈ J. 

Falls I(x, m) = × ist, dann ist I(x, m ) = o, also (x, m ) ∉ J. 

Falls I(x, m) = ? ist, dann ist m ∈ A wegen m ∉ M-. Wegen A ∩ A= ∅ gilt m ∉ A. Es gilt I(x, m ) 

= ?, m ∈ A, m ∉ M-- A und damit (x, m ) ∉ J. 

Sei nun m ∈ M+ mit (x, m) ∉ J. 

Falls I(x, m) = o ist, dann ist I(x, m) = ×, also (x, m) ∈ J. 

Falls I(x, m) = ? ist, dann ist m ∉ A wegen (x, m) ∉ J, also I(x, m ) = ?, m ∉ A, m ∈ M-- A und 

damit (x, m ) ∈ J. 

Damit ist |K' ein einwertiger Kontext mit negierten Merkmalen. Es gilt |K' ∈ V(|K N ). 

Es gilt |K' ]g A, also nach (1) auch |K' ]g B und somit (g, b) ∈ J. Wegen I(g, b) ≠ × gilt b ∈ A ∪ 

(M-- A ), was jedoch ein Widerspruch zu b ∈ B-A und b ∉ M- ist. 

Fall 2: b ∈ M-: 

Es gilt b ∉ M+, also kann dieser Fall analog Fall 1 behandelt werden (mit der Menge M+ anstatt M-). 

(2) ⇒ (1): 

Gelte (2) und sei |K' ∈ V(|K N ) mit |K' ]g A. Dann gilt A ∩ A= ∅, denn aus m ∈ A ∩ A folgt {m, 

m} ⊆ A, was ein Widerspruch zu |K' ]g A ist. Es gilt I(g, m) ≠ o für alle m ∈ A, also I(g, m) = × 

für alle m ∈ B-A nach (2). Wegen |K' ∈ V(|K N ) gilt deshalb |K' ]g B und damit |K' ]g A → B, also 

|K N ]g A → B. 

❚ 

Wenn eine Menge A ⊆ M zueienander negierte Merkmale enthält, dann ist A → B in jedem 

unvollständigen Kontext mit negierten Merkmalen Kripke-gültig. Ansonsten ist A → B genau dann 

Kripke-gültig für einen Gegenstand g ∈ G, wenn in der Kontextzeile von g bei einem Merkmal von 

A der Wert o steht, oder bei allen Merkmalen von B der Wert × steht. 

2.85. Korollar (Kripke-Gültigkeit von Implikationen mit konsistenten Prämissen): 


{×, ?, o}, I), A, B ⊆ M endlich mit A ∩ A= ∅. Für g ∈ G sind folgende Aussagen äquivalent: 

(1) |K N ]g A → B 

84

(2) |K N ]g A → B-A 

(3) |K N ]!g A → B-A 

(4) |K ]g A → B 

(5) |K ]g A → B-A 

(6) |K ]!g A → B-A 

(7) Aus I(g, m) ≠ o für alle m ∈ A folgt I(g, m) = × für alle m ∈ B-A 

Beweis: 

(1) ⇔ (2) ⇔ (7) folgt aus dem vorigen Lemma. 

(4) ⇔ (5) ⇔ (6) ⇔ (7) folgt aus Korollar 2.49. 

(6) ⇔ (3) folgt aus der Definition von |K N ]!g A → B-A. 

❚ 

Wenn die Prämisse A keine zueinander negierten Merkmale enthält, dann ist die Kripke-Gültigkeit 

von A → B in |K N somit äquivalent zur Kripke-Gültigkeit von A → B in |K, d.h. wenn A → B in 

allen Vervollständigungen mit negierten Merkmalen gültig ist, dann ist A → B auch in allen 

Vervollständigungen gültig, in denen die Spalte von m nicht unbedingt zur Spalte von m negiert 

ist, für m ∈ M+. 

Wenn A ∩ A ≠ ∅ ist, dann ist A → B nach Lemma 2.84 immer in |K N Kripke-gültig. 

Auch für die Erfüllbarkeit einer Implikation A → B in einem unvollständigen Kontext mit negierten 

Merkmalen werden nun äquivalente Bedingungen angegeben. 

2.86. Lemma (Charakterisierung der Erfüllbarkeit von Implikationen): 


{×, ?, o}, I), A, B ⊆ M endlich. Dann sind folgende Aussagen äquivalent: 

(1) A → B ∈ Erf(|K N ) 

(2) Für alle g ∈ G gibt es ein |Kg ∈ V(|K N ) mit |Kg ]g A → B 

(3) Für alle g ∈ G folgt aus I(g, m) = × für alle m ∈ A schon B ∩ B = ∅ und I(g, m) ≠ o für alle 

m ∈ B. 

Beweis: 

(1) ⇒ (3): 

Sei g ∈ G mit I(g, m) = × für alle m ∈ A. 

Wenn I(g, m) = o für ein m ∈ B ist, gilt |K' |≠g A → B für alle |K' ∈ V(|K N ) nach Satz 2.35 

(Äquivalenz (1) ⇔ (6)), was ein Widerspruch zu (1) ist. Dasselbe gilt für B ∩ B ≠ ∅, denn für |K' = 

(G, M, J) ∈ V(|K N ) und b ∈ B ∩ B gilt auch b ∈ B ∩ B und entweder (g, b) ∉ J oder (g, b ) ∉ J. 

(3) ⇒ (2): 

Sei g ∈ G. Wenn I(g, m) ≠ × für ein m ∈ A ist, dann gibt es eine Vervollständigung |Kg = (G, M, J) 

∈ V(|K N ) mit (g, m) ∉ J, also |Kg ]g A → B. Wenn I(g, m) = × für alle m ∈ A gilt, dann folgt 

I(g, m) ≠ o für alle m ∈ B und B ∩ B = ∅ aus (3). Jedes Fragezeichen aus B läßt sich deshalb durch 

ein × ersetzen, und man erhält eine Vervollständigung 

|Kg = (G, M, J) ∈ V(|K N ) mit (g, m) ∈ J für alle m ∈ B, also |Kg ]g A → B. 

(2) ⇒ (1): 

Für g ∈ G sei |Kg = (G, M, Jg) ∈ V(|K N ) mit |Kg ]g A → B. Sei |K' = (G, M, J) ∈ V(|K N ) mit 

(g, m) ∈ J gdw. (g, m) ∈ Jg für g ∈ G und m ∈ M. Dann gilt |K' ]g A → B für alle g ∈ G, also 

A → B ∈ Erf(|K N ). 

❚ 

85

Wie im Kapitel 2.3 bezeichne VKon( ⎯ ) = {A ⊆ M | für alle m ∈ M+ gilt genau dann m ∈ A, wenn 

m ∉ A gilt} die Menge aller vollständig konsistenten Mengen. 

2.87. Korollar (Erfüllbarkeit von Implikationen mit vollständig konsistenten Prämissen): 


{×, ?, o}, I) mit endlicher Merkmalsmenge M. Seien B ⊆ M und A ∈ VKon( ⎯ ). Dann sind folgende 


(1) A → B ∈ Erf(|K N ) 

(2) A → B ∈ Erf(|K) 

(3) für alle g ∈ G mit I(g, m) = × für alle m ∈ A gilt I(g, m) ≠ o für alle m ∈ B. 

Beweis: 

(1) ⇒ (2): Erf(|K N ) ⊆ Erf(|K) gilt wegen V(|K N ) ⊆ V(|K). 

(2) ⇒ (3): 

Vgl. Lemma 2.50. 

(3) ⇒ (1): 

Es wird Bedingung (3) des vorigen Lemmas bewiesen: 

Sei g ∈ G mit I(g, m) = × für alle m ∈ A. Dann gilt I(g, m) ≠ o für alle m ∈ B und I(g, m) = o für 

alle m ∈ A, also B ∩ A= ∅. Da A und damit auch A vollständig konsistent ist, gilt deshalb 

B ∩ B = ∅, denn für m ∈ B ∩ B gilt entweder m ∈ A oder m ∈ A . Damit ist die Bedingung (3) 

aus dem vorigen Lemma erfüllt, also A → B ∈ Erf(|K N ). 

❚ 

Wenn B ∩ B = ∅ ist, dann ist dieses Korollar auch für beliebige Mengen A ⊆ M richtig, denn die 

Bedingung A ∈ VKon( ⎯ ) wurde im Beweis nur benötigt, um B ∩ B = ∅ zu zeigen. 

2.88. Satz (Gültigkeit von Implikationen in einwertigen Kontexten mit negierten 

Merkmalen): 

Seien |K N = (|K, M+, M-, ⎯ ) ein einwertiger Kontext mit negierten Merkmalen und |K = (G, M, J) mit 

endlicher Merkmalsmenge M. Seien A, B ⊆ M. Dann sind folgende Aussagen äquivalent: 

(1) A → B ∈ Imp(|K N ) 

(2) A → B ∈ Imp(|K) 

(3) A → B ∈ Imp(VKon( ⎯ ) ∩ Int(|K)) 

(4) A → B ∈ Imp(Int(|K)) 

(5) Aus (g, m) ∈ J für alle m ∈ A folgt (g, m) ∈ J für alle m ∈ B 

(6) B ⊆ A'' 

Beweis: 

(1) ⇔ (2) gilt wegen V(|K N ) = {|K}. 

(2) ⇔ (4) ⇔ (5) ⇔ (6) folgt aus Lemma 2.35. 

(4) ⇒ (3): 

Es gilt VKon( ⎯ ) ∩ Int(|K) ⊆ Int(|K), also A → B ∈ Imp(Int(|K)) ⊆ Imp(VKon( ⎯ ) ∩ Int(|K)). 

(3) ⇒ (2): 

VKon( ⎯ ) ∩ Int(|K) enthält alle Gegenstandsinhalte, denn für g ∈ G und m ∈ M+ ∪ M- gilt genau 

dann m ∈ g', wenn m ∉ g' gilt. Damit gilt 

A → B ∈ Imp(VKon( ⎯ ) ∩ Int(|K)) ⊆ Imp({g' | g ∈ G}) = Imp(|K) nach Lemma 2.35 (Äquivalenz 

(1) ⇔ (2)). 

❚ 

86

Ein vollständiges und korrektes Regelsystem für die gültigen Implikationen von einwertigen 

Kontexten wurde bereits in Kapitel 2.3 für beliebige Rahmenkontexte H ⊆ ℘(M) angegeben. 

Wenn H der Rahmenkontext aller vollständig konsistenten Mengen bezüglich einer Negation 

⎯ : M+ → M- ist, dann läßt sich die Bedingung A → ∨C ∈ Th(H) bei Anwendung der Regel 

(H-EX) relativ einfach überprüfen, wie folgendes Lemma zeigt: 

2.89. Lemma (Charakterisierung der Klauseln in der Theorie der vollständig Konsistenten 

Mengen): 

Seien M eine endliche Menge, M+, M- zwei disjunkte Teilmengen von M und ⎯ : M+ → M- eine 

bijektive Abbildung. Für A, C ⊆ M gilt genau dann A → ∨C ∉ Th(VKon( ⎯ )), wenn ∅ = A ∩ A= 

C ∩ C = A ∩ C gilt. 

Beweis: 

'⇐': 

Wenn ∅ = A ∩ A= C ∩ C = A ∩ C ist, dann kann man solange Merkmale aus (M+ ∪ M-)-C zu A 

hinzufügen, bis man eine vollständig konsistente Menge E ∈ VKon( ⎯ ) erhält. Dann gilt A ⊆ E und 

E ∩ C = ∅, also gilt A → ∨C ∉ Th(VKon( ⎯ )). 

'⇒': 

Wenn A → ∨C ∉ Th(VKon( ⎯ )) ist, dann gibt es eine Menge E ∈ VKon( ⎯ ) mit A ⊆ E und C ∩ E 

= ∅, also gilt ∅ = A ∩ A= C ∩ C = A ∩ C. 

❚ 

Die (H-EX)-Regel läßt sich deshalb für H = VKon( ⎯ ) vereinfachen. Es werden nun zwei neue 

Regeln eingeführt, die zur (H-EX)-Regel bei negierten Merkmalen äquivalent sind. 

2.90. Definition (Regeln (IN) und (EX)): 103 


bijektive Abbildung. Seien die Regeln (IN), (EX) gegeben durch 

_________________(IN) 

{m, m} → A (Inkonsistenz) 

für A, B ⊆ M und m ∈ M+ ∪ M-. 

A ∪ {m} → B A ∪ { m } → B 

_______________________________________________(EX) 

A → B (Exhaustion) 

Es folgt nun der Vollständigkeitssatz für die Regeln (AX), (PS), (IN) und (EX). 

2.91. Satz (Adäquatheit der Regeln (AX), (PS), (IN) und (EX) für Gültigkeit in Kontexten 

mit negierten Merkmalen): 


bijektive Abbildung. Seien P ⊆ ImpM und A, B ⊆ M. Dann sind folgende Aussagen äquivalent: 

(1) A → B ist mit den Regeln (AX), (PS), (IN) und (EX) aus P herleitbar 

(2) A → B ∈ Cons VKon(⎯ ) (P) 

(3) Für jeden unvollständigen Kontext |K N mit negierten Merkmalen und mit P ⊆ Imp(|K N ) gilt 

A → B ∈ Imp(|K N ). 

(4) Für jeden einwertigen Kontext |K N mit negierten Merkmalen und mit P ⊆ Imp(|K N ) gilt A → B 

∈ Imp(|K N ). 

103 vgl. [Burmeister91a] (Kapitel 4) 

87

(5) Für jeden einwertigen Kontext |K N mit negierten Merkmalen und mit einelementiger 

Gegenstandsmenge und P ⊆ Imp(|K N ) gilt A → B ∈ Imp(|K N ). 

(6) A → B ∈ Th(Mod(P ∪ {m ∨ m| m ∈ M+} ∪ {¬(m ∧ m) | m ∈ M+})) 

(7) A → B ist in klassischer Logik aus P ∪ {m ∨ m| m ∈ M+} ∪ {¬(m ∧ m) | m ∈ M+} herleitbar 

Beweis: 

(1) ⇒ (2): 

Es wird gezeigt, daß die Regeln (IN) und (EX) Spezialfälle der Regel (VKon( ⎯ )-EX) sind. 

Regel (IN): 

Anwendung der Regel (VKon( ⎯ )-EX) mit der Klausel {m, m } → ∨∅ ∈ Th(VKon( ⎯ )): 

__________________ (VKon( ⎯ )-EX) 

{m, m } → A 

Regel (EX): 

Anwendung der Regel (VKon( ⎯ )-EX) mit der Klausel A → m ∨ m ∈ Th(VKon( ⎯ )): 

A ∪ {m} → B A ∪{ m } → B 

______________________________________________(VKon( ⎯ )-EX) 

A → B 

(2) ⇒ (1): 

Es wird gezeigt, daß die Regel (VKon( ⎯ )-EX) mit den Regeln (AX), (PS), (IN) und (EX) herleitbar 

ist. Sei A → ∨C ∈ Th(VKon( ⎯ )). Nach Lemma 2.89 müssen drei Fälle unterschieden werden: 

Falls A ∩ A ≠ ∅ ist, dann gilt 

_________________ (AX) __________________(IN) 

A → {m, m } {m, m } → B 

_____________________________________________(PS) 

A → B 

für m ∈ A ∩ A . Falls C ∩ C ≠ ∅ dann gilt 

A ∪ {m} → B A ∪{ m } → B 

______________________________________________(EX) 

A → B 

für m ∈ C ∩ C . 

Falls A ∩ C ≠ ∅ ist, dann steht bei der Regel (VKon( ⎯ )-EX) über dem Strich bereits die 

Implikation A → B, also wird gar keine Regel benötigt. 

(2) ⇔ (4) ⇔ (5): 

Diese Äquivalenzen folgen aus Satz 2.88 (Äquivalenz (1) ⇔ (2)) und Satz 2.71 (Äquivalenzen 

(1) ⇔ (5) ⇔ (6)). 

(3) ⇔ (4): 

Eine Implikation gilt genau dann in einem unvollständigen Kontext |K N mit negierten Merkmalen 

wenn sie in allen Vervollständigungen gilt. 

(2) ⇔ (6) ⇔ (7): 

Wegen VKon( ⎯ ) = Mod({m ∨ m | m ∈ M+} ∪ {¬(m ∧ m ) | m ∈ M+})) gilt 

Th(VKon( ⎯ )) = Th(Mod({m ∨ m | m ∈ M+} ∪ {¬(m ∧ m ) | m ∈ M+})), also folgen diese 

Äquivalenzen aus Satz 2.71 (Äquivalenzen (1) ⇔ (10) ⇔ (11)). 

❚ 

Für alle unvollständigen Kontexte mit negierten Merkmalen sind die gültigen Implikationen regelabgeschlossen, 

d.h. es gilt Cons VKon(⎯ ) (Imp(|K N )) = Imp(|K N ). 

Wie in Kapitel 2.2 wird auch hier ein adäquates Regelsystem für die Erfüllbarkeit von 

Implikationen in unvollständigen Kontexten mit negierten Merkmalen aufgestellt. Die Regeln (AD) 

88

und (EX) sind für die Erfüllbarkeit mit negierten Merkmalen nicht mehr korrekt, wie folgendes 

Beispiel zeigt: 

|K m m 

g ? ? 

Es gilt ∅ → m ∈ Erf(|K N ) und ∅ → m ∈ Erf(|K N ), aber ∅ → {m, m } ∉ Erf(|K N ). 104 

Es gilt m → {m, m } ∈ Erf(|K N ) und m → {m, m } ∈ Erf(|K N ), aber 

∅ → {m, m } ∉ Erf(|K N ). 

2.92. Definition (Regeln ( AD ), (RAA), (NEG) und (FA), Operator Cons N 

Erf): 

Sei ( AD ) die Additivitäts Regel (AD) mit der Einschränkung B ∩ C = ∅: 

A → B A → C 

________________________ ( AD ) 

A → B ∪ C (konsistente Additivität) 

für A, B, C ⊆ M mit B ∩ C = ∅. 

Für m, n ∈ M+ ∪ M- und A, B ⊆ M seien die Regeln (RAA), (NEG), (FA) gegeben durch 

A ∪ { n } → {m, m } 

__________________________ (RAA) 

A → n (Reductio ad absurdum) 

A ∪ {m} → m 

____________________ (NEG) 

A ∪ {m} → B (Negation) 

A → {m, m } 

_________________ (FA) 

A → B (Falsum) 

Für P ⊆ ImpM sei Cons N 

Erf(P) die kleinste Teilmenge von ImpM mit P ⊆ Cons N 

Erf(P), welche 

bezüglich der Regeln (AX), (PR), (AU), ( AD ), (RAA), (NEG) und (FA) abgeschlossen ist. 

2.93. Lemma (Wenn eine Implikation mit ( AD ), (RAA), (NEG) und (FA) herleitbar ist, 

dann auch mit (AX), (PS), (IN) und (EX)): 

Für P ⊆ ImpM ist Cons VKon(⎯ ) (P) bezüglich der Regeln ( AD ), (RAA), (NEG) und (FA) abgeschlossen. 

Es gilt Cons N 

Erf(P) ⊆ Cons VKon(⎯ ) (P). 

Beweis von ( AD ): 


Beweis von (RAA): 

________________ (IN) 

A ∪ { n } → {m, m } {m, m } → n 

_______________________________________________(PS) __________________ (AX) 

A ∪ { n} → n A ∪ {n} → n 

____________________________________________________________ (EX) 

A → n 

Beweis von (NEG): 

_______________________ (AX) 

A ∪ {m} → {m} A ∪ {m} → m 

_________________________________________________ (AD) __________________ (IN) 

A ∪ {m} → {m, m } {m, m } → B 

______________________________________________________________________ (PS) 

A ∪ {m} → B 


89

Beweis von (FA): 

________________ (IN) 

A → {m, m } {m, m } → B 

_________________________________ (PS) 

A → B 

Beweis von Cons N 

Erf(P) ⊆ Cons VKon(⎯ ) (P): 

Nach Lemma 2.39 ist Cons VKon(⎯ ) (P) bezüglich (AX), (PR) und (AU) abgeschlossen. 

❚ 

Der Operator Cons N 

Erf liefert zu einer Menge P die Menge der Implikationen, die mit den 

angegebenen Regeln aus P herleitbar sind. Dies sind genau die Implikationen, die semantisch für 

die Erfüllbarkeit in unvollständigen Kontexten mit negierten Merkmalen aus P folgen. Diese 

Behauptung wird im folgenden Satz bewiesen. 

2.94. Satz (Adäquatheit der Regeln für die Erfüllbarkeit in unvollständigen Kontexten mit 

negierten Merkmalen): 


bijektive Abbildung. Seien P ⊆ ImpM und A, B ⊆ M. Dann sind folgende Aussagen äquivalent: 

(1) A → B ∈ Cons N 

Erf(P) 

(2) Für alle unvollständigen Kontexte |K N mit negierten Merkmalen mit P ⊆ Erf(|K N ) gilt A → B ∈ 

Erf(|K N ). 

(3) Für alle unvollständigen Kontexte |K N mit negierten Merkmalen und mit einelementiger 

Gegenstandsmenge und P ⊆ Erf(|K N ) gilt A → B ∈ Erf(|K N ). 

Beweis: 

(1) ⇒ (2) durch Induktion über die Herleitung von A → B mit (AX), (PR), (AU), ( AD ), (RAA), 

(NEG) und (FA): 

Sei |K N ein unvollständiger Kontext mit negierten Merkmalen mit P ⊆ Erf(|K N ). Wenn A ∩ A ≠ ∅ 

ist, dann gilt A → B ∈ Erf(|K N ) nach Lemma 2.86, also sei nun A ∩ A = ∅. 

Fall 1: A → B ∈ P 

Dann gilt A → B ∈ Erf(|K N ). 

Fall 2: Bei der Herleitung von A → B wird (AX), (PR), (AU) als letztes angewendet. 

Analog dem Beweis von Satz 2.55 folgt A → B ∈ Erf(|K N ). 

Fall 3: Bei der Herleitung von A → B wird ( AD ) als letztes angewendet. 

Dann gibt es Mengen C, D ⊆ M mit B = C ∪ D, C ∩ D = ∅ und A → C ∈ Cons N 

Erf(P) und 

A → D ∈ Cons N 

Erf(P). Nach Induktionsannahme gilt A → C, A → D ∈ Erf(|K N ). Sei g ∈ G mit 

I(g, a) = × für alle a ∈ A. Dann gilt I(g, c) ≠ o für alle c ∈ C und I(g, d) ≠ o für alle d ∈ D und 

C ∩ C = ∅ sowie D ∩ D = ∅ nach Lemma 2.86. 

Damit gilt auch (C ∪ D) ∩ ( C ∪ D ) = ∅ und I(g, m) ≠ o für alle m ∈ C ∪ D. Somit gilt A → C 

∪ D ∈ Erf(|K N ) nach Lemma 2.86. 

Fall 4: Bei der Herleitung von A → B wird (RAA) als letztes angewendet. 

Dann gibt es m, n ∈ M+ ∪ M- mit B = {n} und A ∪ {n } → {m, m } ∈ Cons N 

Erf(P). Nach 

Induktionsannahme gilt A ∪ {n } → {m, m } ∈ Erf(|K N ). Sei g ∈ G mit I(g, a) = × für alle 

a ∈ A. Da A ∪ {n } → {m, m } ∈ Erf(|K N ) gilt, folgt daraus I(g, n ) ≠ × nach Lemma 2.86. 

Damit gilt I(g, n) ≠ o, und somit ist A → n nach Lemma 2.86 für den Gegenstand g erfüllbar. 

Damit gilt A → B ∈ Erf(|K N ). 

Fall 5: Bei der Herleitung von A → B wird (NEG) als letztes angewendet. 

90

Dann gibt es m ∈ M+ ∪ M- und C ⊆ M mit A = C ∪ {m} und A → {m } ∈ Cons N 

Erf(P). Nach 

Induktionsannahme gilt A → { m } ∈ Erf(|K N ). Wenn es ein g ∈ G mit I(g, a) = × für alle a ∈ A 

gibt, dann gilt I(g, m ) = o wegen m ∈ A, was nach Lemma 2.86 ein Widerspruch zu A → { m } 

∈ Erf(|K N ) ist. Damit gilt A → B ∈ Erf(|K N ) nach Lemma 2.86. 

Fall 6: Bei der Herleitung von A → B wird (FA) als letztes angewendet. 

Dann gibt es m ∈ M+ ∪ M- mit A → {m, m} ∈ Cons N 

Erf(P). Nach Induktionsannahme gilt 

A → {m, m } ∈ Erf(|K N ). Es kann deshalb kein g ∈ G mit I(g, a) = × für alle a ∈ A geben, also 

A → B ∈ Erf(|K N ) nach Lemma 2.86. 

(2) ⇒ (3): Trivial 

(3) ⇒ (1): 

Falls A ∩ A ≠ ∅ ist, gilt A → B ∈ Cons N 

Erf(P) wegen den Regeln (AX) und (FA), also sei nun 

A ∩ A = ∅. 

Fall 1: B ∩ B = ∅ 

Sei b ∈ B. Falls b ∈ A ist, gilt A → b ∈ Cons N 

Erf(P) nach Regel (AX), also sei nun b ∈ M-A. Sei 

|K N := (|K, M+, M-, ⎯ ) mit |K = ({g}, M, {×, ?, o}, I) und I(g, m) = × gdw. m ∈ A ∪ { b } , 105 I(g, m) 

= o gdw. m ∈ A ∪ {b} und I(g, m) = ? für sonstige Merkmale m. Dann ist |K N ein unvollständiger 

Kontext mit negierten Merkmalen und A → B ∉ Erf(|K N ) nach Lemma 2.86, also gibt es ein 

C → D ∈ P mit C → D ∉ Erf(|K N ) wegen (3). Nach Lemma 2.86 gilt C ∩ C = ∅ und I(g, c) = × für 

alle c ∈ C. Damit gilt C ⊆ A ∪ { b } und A ∪ { b } → D ∈ Cons N 

Erf(P) nach Regel (AU). 

Fall 1.1: b ∈ D 

Dann gilt auch A ∪ { b } → b ∈ Cons N 

Erf(P) wegen (PR). Falls b ∉ M+ ∪ M- ist, dann gilt 

{ b } = ∅ und A → b ∈ Cons N 

Erf(P), ansonsten gilt A ∪ { b } → {b, b } ∈ Cons N 

Erf(P) nach 

Regel (NEG), und wegen (RAA) gilt A → b ∈ Cons N 

Erf(P). 

Fall 1.2: Es gibt ein d ∈ D mit d ∈ A. 

Es gilt A ∪ { b } → d ∈ Cons N 

Erf(P) nach Regel (PR), und wegen d ∈ A und (NEG) gilt 

auch A ∪ { b } → {d, d } ∈ Cons N 

Erf(P), also A → b ∈ Cons N 

Erf(P) wegen (RAA) (falls 

b ∈ M+ ∪ M-) bzw. (FA) (falls b ∉ M+ ∪ M-). 

Fall 1.3: Für alle d ∈ D gilt d ∉ A ∪ {b} 

Es gilt I(g, d) ≠ o für alle d ∈ D. Da jedoch C → D ∉ Erf(|K N ) ist, muß D ∩ D ≠ ∅ nach 

Lemma 2.86 sein. Sei d ∈ D ∩ D . Dann gilt A ∪ { b } → {d, d } ∈ Cons N 

Erf(P) wegen (PR), 

und A → b ∈ Cons N 

Erf(P) wegen (RAA) bzw. (FA). 

Damit gilt A → b ∈ Cons N 

Erf(P) für alle b ∈ B. Wegen B ∩ B = ∅ gilt nach Regel ( AD ) auch 

A → B ∈ Cons N 

Erf(P). 

Fall 2: B ∩ B ≠ ∅ 

Sei |K = ({g}, M, {×, ?, o}, I) mit 

I(g, m) = × gdw. m ∈ A, 

I(g, m) = o gdw. m ∈ A, 

I(g, m) = ? gdw. m ∈ M-(A ∪ A). 

Dann ist |K N := (|K, M+, M-, ⎯ ) ein unvollständiger Kontext mit negierten Merkmalen und A → B ∉ 

Erf(|K N ) wegen B ∩ B ≠ ∅ und Lemma 2.86, also gibt es ein C → D ∈ P mit C → D ∉ Erf(|K N ). 

Analog Fall 1 gilt C ∩ C = ∅, I(g, c) = × für alle c ∈ C und C ⊆ A und A → D ∈ Cons N 

Erf(P). Wenn 

es ein d ∈ D mit d ∈ A gibt, folgt A → {d} ∈ Cons N 

Erf(P) aus Regel (PR) und A → B ∈ Cons N 

Erf(P) 

105 

falls b ∉ M+ ∪ M- ist, dann gilt { b } = ∅ 

91

aus (NEG). Ansonsten gilt D ∩ D ≠ ∅ wie im Fall 1.3, also auch A → B ∈ Cons N 

Erf(P) wegen (PR) 

und (FA). 

❚ 

Für alle (unvollständigen) Kontexte |K N mit negierten Merkmalen ist die Menge der erfüllbaren 

Implikationen regelabgeschlossen, d.h. es gilt Cons N 

Erf(Erf(|K N )) = Erf(|K N ). 

Im folgenden Lemma wird bewiesen, daß für vollständig konsistente Prämissen Regel (AD) auch 

für die Erfüllbarkeit korrekt ist, d.h. wenn A ∈ VKon( ⎯ ) ist, und A → B und A → C in einem 

unvollständigen Kontext mit negierten Merkmalen erfüllbar sind, dann ist auch A → B ∪ C in 

diesem Kontext erfüllbar. 

2.95. Lemma (Für vollständig konsistente Prämissen ist Regel (AD) für die Erfüllbarkeit 

korrekt): 

Für B, C ⊆ M und vollständig konsistente Mengen A ∈ VKon( ⎯ ) gilt 

A → B ∪ C ∈ Cons N 

Erf({A → B, A → C}). 

Beweis: 

Wenn B ∩ C = ∅ ist, dann folgt die Behauptung aus Regel ( AD ), also sei nun m ∈ B ∩ C . Da 

A ∈ VKon( ⎯ ) ist, gilt entweder m ∈ A oder m ∈ A. Wenn m ∈ A ist, dann gilt 

A → m ∈ Cons N 

Erf({A → B, A → C}) wegen m ∈ C nach Regel (PR), und 

A → B ∪ C ∈ Cons N 

Erf({A → B, A → C}) nach Regel (NEG). Analog für m ∈ A. 

❚ 

Auch beim Operator Cons VKon(⎯ ) ist es nützlich, wenn die Prämisse der Implikation, die man 

herleiten möchte, vollständig konsistent ist, weil man die Regel (EX) nicht mehr benötigt, und die 

Größe des Herleitungsbaums deshalb nicht mehr exponentiell zu |M| wachsen kann: 

2.96. Lemma (Für vollständig konsistente Prämissen ist Regel (EX) für die Kripke- 

Gültigkeit überflüssig): 

Seien P ⊆ ImpM, A ∈ VKon( ⎯ ) und B ∈ M. Genau dann gilt A → B ∈ Cons VKon(⎯ ) (P), wenn 

A → B mit den Regeln (AX), (PS) und (IN) aus P herleitbar ist. 

Beweis: 

'⇐': 

Trivial. 

'⇒': 

Seien A → B ∈ Cons VKon(⎯ ) (P) und C := P. Dann ist A → C nach Satz 2.40 (Äquivalenz 

(1) ⇔ (3)) mit den Regeln (AX) und (PS) aus P herleitbar. 

Fall 1: C ∈ VKon( ⎯ ) 

Dann gilt C ∈ Resp(P) ∩ VKon( ⎯ ) nach Lemma 2.31, also B ⊆ C, weil A → B ∈ Imp(Resp(P) ∩ 

VKon( ⎯ )) nach Satz 2.71 (Äquivalenz (1) ⇔ (2)) gilt. Damit ist A → B mit der Regel (PR) aus 

A → C herleitbar, also ist A → B nach Lemma 2.39 aus P mit den Regeln (AX) und (PS) aus P 

herleitbar. 

Fall 2: C ∉ VKon( ⎯ ) 

Wegen A ∈ VKon( ⎯ ) gibt es ein m ∈ C mit m ∈ C, also ist A → {m, m } aus A → C mit der Regel 

(PR) herleitbar, und nach Lemma 2.39 ist A → B mit den Regeln (AX), (PS) und (IN) aus P 

herleitbar. 

❚ 

92

2.5 Unvollständige mehrwertige Kontexte 

In der Praxis kommen mehrwertige Kontexte häufiger vor, als einwertige Kontexte. Oft interessiert 

man sich für Formeln, die in einem gegebenen mehrwertigen Kontext gültig sind. Während es bei 

einwertigen Kontexten nur eine sinnvolle Möglichkeit gibt, die Gültigkeit von Formeln zu 

definieren, hat man bei mehrwertigen Kontexten viele Möglichkeiten zur Auswahl. Wenn man z.B. 

die funktionale Abhängigkeit zwischen den Spalten eines mehrwertigen Kontextes |K = (G, M, W, 

I) durch Implikationen ausdrücken will, kann man die Gültigkeit von Formeln so definieren, daß die 

Gültigkeit einer Implikation A → B bedeutet, daß die Spalten von B funktional abhängig von den 

Spalten von A sind, d.h. wenn I(g1, a) = I(g2, a) für alle a ∈ A gilt, dann gilt auch I(g1, b) = I(g2, b) 

für alle b ∈ B, für alle g1, g2 ∈ G. Eine andere sinnvolle Interpretation der Implikationen ist die 

ordinale Abhängigkeit der Spalten, wenn auf den Wertemengen Wm eine Ordnung definiert ist. 

Hierbei wird durch die Gültigkeit von A → B ausgedrückt, daß die Spalten von B ordinal abhängig 

von den Spalten von A sind, d.h. aus I(g1, a) ≤ I(g2, a) für alle a ∈ A folgt auch I(g1, b) ≤ I(g2, b) für 

alle b ∈ B, für alle g1, g2 ∈ G. In beiden Fällen läßt sich die Interpretation von Implikationen durch 

eine Familie ρ = (ρm)m∈M von Relationen ρm ⊆ (Wm) 2 ausdrücken: Bei der funktionalen 

Abhängigkeit gilt ρm = idW m = {(w, w) | w ∈ Wm} und bei der ordinalen Abhängigkeit gilt ρm = ≤m 

= {(v, w) | v, w ∈ Wm mit v ≤m w} für m ∈ M. In den folgenden Definitionen wird dir Gültigkeit 

von beliebigen Formeln bezüglich einer Familie von Relationen einer geeigneten Stelligkeit τ ≥ 0 in 

unvollständigen mehrwertigen Kontexten definiert. 

2.97. Definition (unvollständige mehrwertige Kontexte): 

Ein unvollständiger mehrwertiger Kontext |K = (G, M, W, I) besteht aus einer Gegenstandsmenge 

G, einer Merkmalsmenge M, einer Familie von Wertemengen W = (Wm)m∈M mit ? ∈ Wm und 

|Wm| > 1 für m ∈ M und einer Funktion I : G × M → W. Die Informationsordnung wird wie bei 

normalen unvollständigen Kontexten definiert: ? < w gilt für alle w ∈ W-{?}, alle anderen 

Elemente sind unvergleichbar. 

Ein mehrwertiger Kontext mit ? ∉ Wm für m ∈ M heißt vollständiger mehrwertiger Kontext. Die 

bezüglich der Informationsordnung maximalen Kontexte entsprechen also gerade den vollständigen 

mehrwertigen Kontexten, wenn man das Element "?" aus den Wertemengen entfernt, d.h. ein 

unvollständiger mehrwertiger Kontext |K = (G, M, W, I), welcher kein Fragezeichen in der Tabelle 

enthält, wird mit dem zugehörigen vollständigen mehrwertigen Kontext mit der Wertemenge W-{?} 

:= (Wm-{?})m∈M identifiziert. Die Menge aller Vervollständigungen eines unvollständigen 

mehrwertigen Kontextes wird mit V(|K) bezeichnet. 

Wie bei den unvollständigen Kontexten aus Kapitel 2.1 wird auch hier durch den Wert "?" in der 

Zeile eines Gegenstandes g ∈ G in der Spalte eines Merkmals m ∈ M ausgedrückt, daß nicht 

bekannt ist, welcher Wert an dieser Stelle der Tabelle steht. 

2.98. Definition (Kripke-Gültigkeit und Erfüllbarkeit von Formeln): 

Seien |K = (G, M, W, I) ein vollständiger mehrwertiger Kontext und ρ = (ρm)m∈M eine Familie von 

Relationen mit ρm ⊆ (Wm) τ derselben Stelligkeit τ = τ(ρ) ≥ 0 für m ∈ M. 106 

Für g = (g1, g2, ..., gτ) ∈ G τ und m ∈ M sei I τ (g, m) := (I(g1, m), I(g2, m), ..., I(gτ, m)). 

Die Gültigkeit einer Formel α ∈ F für ein Tupel g ∈ G τ von Gegenständen wird induktiv definiert: 

Es gilt |K ]g ρ Y und |K bg ρ Z. 

Für m ∈ M gilt |K ]g ρ m genau dann, wenn I τ (g, m) ∈ ρ gilt. 

106 Für die Bedingung ρm ⊆ (Wm) τ für m ∈ M wird im folgenden auch kurz ρ ⊆ W τ geschrieben. 

93

|K ]g ρ ¬α gilt genau dann, wenn |K bg ρ α gilt. 

|K ]g ρ α ∧ β gilt genau dann, wenn |K ]g ρ α und |K ]g ρ β gilt. 

|K ]g ρ α ∨ β gilt genau dann, wenn |K ]g ρ α oder |K ]g ρ β gilt. 

|K ]g ρ α → β gilt genau dann, wenn |K bg ρ α oder |K ]g ρ β gilt. 

Eine Formel α heißt gültig in |K (bezüglich ρ), wenn |K ]g ρ α für alle g ∈ G τ gilt. Hierfür wird auch 

die Schreibweise |K ] ρ α verwendet. 

Für einen unvollständigen mehrwertigen Kontext |K = (G, M, W, I) mit ρ ⊆ (W-{?}) τ heißt α für 

g ∈ G τ in |K Kripke-gültig (Schreibweise: |K ]g ρ α), wenn |K' ]g ρ α für alle |K' ∈ V(|K) gilt, und α 

ist in |K Kripke-gültig (Schreibweise: |K ] ρ α), wenn |K' ] ρ α für alle |K' ∈ V(|K) gilt. Eine Formel 

α heißt erfüllbar für g ∈ G τ , wenn es eine Vervollständigung |K' ∈ V(|K) mit |K' ]g ρ α gibt, und α 

heißt erfüllbar in |K wenn es eine Vervollständigung |K' ∈ V(|K) mit |K' ] ρ α gibt. 

Bei den unvollständigen Kontexten aus Kapitel 2.1 ist die Erfüllbarkeit einer Formel α für alle 

Gegenstände äquivalent zur Erfüllbarkeit von α im ganzen Kontext. Dies lag daran, daß die 

Vervollständigung einer Kontextzeile unabhängig von der Vervollständigung einer anderen 

Kontextzeile gewählt werden konnte. Dies ist bei unvollständigen mehrwertigen Kontexten nicht 

mehr der Fall, weil hier Tupel von Gegenständen betrachtet werden. Zwar ist eine Formel, die in 

einem unvollständigen mehrwertigen Kontext |K erfüllbar ist, auch für jedes Gegenstandstupel 

g ∈ G τ erfüllbar, aber die Umkehrung ist im allgemeinen falsch. 

2.99. Beispiel: 

Sei |K der unvollständige mehrwertige Kontext 

|K a b 

g 1 4 

h ? 5 

mit Wa = {1, 2, 3, ?}, Wb = {4, 5, ?} und 

ρa = {(1,1), (2, 1), (1, 3)}, ρb = {(4, 4), (5, 5)}. 

Dann ist die Implikation a → b erfüllbar für alle 4 Gegenstandpaare g ∈ G 2 = {(g, g), (g, h), (h, g), 

(h, h)}, jedoch ist diese Implikation nicht in |K erfüllbar. Bei der Kripke-Gültigkeit von Formeln tritt 

dieses Problem nicht auf. Die Kripke-gültigen Formeln eines unvollständigen mehrwertigen 

Kontextes sind genau die Formeln, die für jedes Gegenstandstupel Kripke-gültig sind. 

So wie ein vollständiger mehrwertiger Kontext durch Skalierung in einen einwertigen Kontext 

transformiert werden kann, 107 kann auch ein unvollständiger mehrwertiger Kontext durch 

Skalierung in einen "normalen" unvollständigen Kontext transformiert werden: 

Seien |K = (G, M, W, I) ein unvollständiger mehrwertiger Kontext und $ = ($m)m∈M eine Familie 

einwertiger Skalen mit $m = (Gm, Mm, Im) und I(G, m)-{?} ⊆ Gm für m ∈ M. Sei $ ? = ($ ? m)m∈M die 

Famillie mehrwertiger Skalen $ ? m = (Gm ∪ {?}, Mm, {×, ?, o}, I ? m) mit I ? m(g, a) = Im(g, a) für g ∈ G 

und I ? m(?, a) = ? für a ∈ Mm und m ∈ M. Sei |K$ ? := (G, {m} × Mm, {×, ?, o}, J) der abgeleitete 

m∈M 

Kontext, 108 d.h. es gilt J(g, (m, v)) = I ? m(I(g, m), v) für g ∈ G, m ∈ M, v ∈ Mm. 

Bei dieser Skalierung wird jedes Fragezeichen in |K durch ein Tupel von Fragezeichen ersetzt. Alle 

anderen Werte werden ganz normal durch die einwertige Skalen $ skaliert. Auf diese Weise entsteht 

ein unvollständiger Kontext |K$ ?. Sei |K' = (G, M, W-{?}, I') ∈ V(|K). Dann läßt sich der Kontext |K' 

mit den einwertigen Skalen $ skalieren, und es entsteht eine Vervollständigung |K'$ von |K$ ?, d.h. es 

gilt |K'$ ∈ V(|K$ ?). Wenn die "wahre" Vervollständigung |K' nicht bekannt ist, dann bedeutet ein 

107 vgl. Kapitel 1.2 oder [GanterWille96] 

108 vgl. Kapitel 1.2 

94

Fragezeichen im Kontext |K$ ?, daß es nicht bekannt ist, ob im abgeleiteten Kontext |K'$ der 

Gegenstand das Merkmal hat. Es besteht auch die Möglichkeit, einige Fragezeichen von |K$ ? durch 

einen Wert aus {×, o} zu ersetzen, falls aus der Skala hervorgeht, daß dieser Wert für alle 

Vervollständigungen |K' = V(|K) in dem abgeleiteten Kontext |K'$ an den entsprechenden Stellen 

steht, d.h. wenn I(g, m) = ? und Im(w, v) = × für alle w ∈ W-{?} gilt, dann kann der Wert J(g, (m, 

v)) = ? durch den Wert × ersetzt werden, und wenn I(g, m) = ? und Im(w, v) = o für alle w ∈ W-{?} 

gilt, dann kann der Wert J(g, (m, v)) = ? durch den Wert o ersetzt werden. Obwohl im Kontext |K 

einige Einträge unbekannt sind, lassen sich auf diese Weise nach der Skalierung an den 

unbekannten Einträgen von |K$ ? konkrete Werte einsetzen, wenn die Skala diese Information liefert. 


Sei |K = ({g}, {m}, {a, b, ?}, I) der unvollständige mehrwertige Kontext, welcher nur aus einem 

Fragezeichen besteht: I(g, m) = ?. Sei $ = $m die Skala 

$m c d e 

a × o × 

b × o o 

Im abgeleiteten Kontext 

|K$ ? (m, c) (m, d) (m, e) 

g ? ? ? 

kann man nun das Fragezeichen in der Spalte von (m, c) durch den Wert × ersetzen, denn durch die 

Skalierung des unbekannten Kontextes |K' = ({g}, {m}, {a, b}, I') ∈ V(|K) entsteht in jedem Fall an 

dieser Stelle in |K'$ der Wert ×, egal, ob I'(g, m) = a oder I'(g, m) = b gilt. Analog kann man das 

Fragezeichen in der Spalte von (m, d) durch den Wert o ersetzen, weil in |K'$ hier in jedem Fall der 

Wert o entsteht. Über den Wert in der Spalte von (m, e) von |K'$ ist nichts bekannt, also muß hier 

das Fragezeichen stehen bleiben: 

(m, c) (m, d) (m, e) 

g × o ? 

In den Kapiteln 3.1.2 und 3.2 wird diese "Fragezeichenreduktion" auch für Hintergrundwissen in 

Form von Implikationen und Rahmenkontexten definiert. 

2.101. Definition (Operatoren Imp ρ , Erf ρ und Erf ρ S in unvollständigen mehrwertigen 

Kontexten): 

Seien |K = (G, M, W, I) ein unvollständiger mehrwertiger Kontext (mit endlicher Merkmalsmenge 

M) und S ⊆ G und ρ ⊆ (W-{?}) τ . 

Imp ρ (|K) = {A → B ∈ ImpM | A → B ist Kripke-gültig in |K bezüglich ρ} 

Erf ρ (|K) = {A → B ∈ ImpM | A → B ist erfüllbar in |K bezüglich ρ} 

Erf ρ S(|K) = {A → B ∈ ImpM | A → B ist erfüllbar bezüglich ρ für alle g ∈ S τ } 

Für S = G enthält Erf ρ S(|K) genau diejenigen Implikationen, welche für jedes Gegenstandstupel 

erfüllbar sind. Wenn der mehrwertige Kontext |K vollständig ist, dann gilt Imp ρ (|K) = Erf ρ (|K) = 

Erf ρ G(|K), denn hier ist die Erfüllbarkeit äquivalent zur Kripke-Gültigkeit. 

Ein unvollständiger mehrwertiger Kontext |K läßt sich mit Hilfe der Relation ρ ⊆ (W-{?}) τ in 

kanonischer Weise in einen unvollständigen Kontext |Kρ transformieren: 109 

109 diese Transformation ist eine Verallgemeinerung der Definition von |KΘ in [GanterWille99] (Kapitel 2.4) 

95

2.102. Definition (|Kρ): 

Für einen unvollständigen mehrwertigen Kontext |K = (G, M, W, I) und ρ ⊆ (W-{?}) τ sei |Kρ := (G τ , 

M, {×, ?, o}, Iρ) mit 

Iρ(g, m) = × gdw. J τ (g, m) ∈ ρ für jede Vervollständigung |K' = (G, M, W-{?}, J) ∈ V(|K), 

Iρ(g, m) = o gdw. J τ (g, m) ∉ ρ für jede Vervollständigung |K' = (G, M, W-{?}, J) ∈ V(|K), 

Iρ(g, m) = ? sonst. 

Diese Transformation ist ordnungserhaltend: Aus |K1 ≤ |K2 folgt (|K1)ρ ≤ (|K2)ρ, denn wenn J τ (g, m) 

∈ ρ für jede Vervollständigung |K' = (G, M, W-{?}, J) ∈ V(|K1) gilt, dann gilt auch J τ (g, m) ∈ ρ für 

jede Vervollständigung |K' = (G, M, W-{?}, J) ∈ V(|K2), und wenn J τ (g, m) ∉ ρ für jede Vervollständigung 

|K' = (G, M, W-{?}, J) ∈ V(|K1) gilt, dann gilt auch J τ (g, m) ∉ ρ für jede Vervollständigung 

|K' = (G, M, W-{?}, J) ∈ V(|K2). 

Im Gegensatz zur Skalierung eines unvollständigen mehrwertigen Kontextes bleibt bei dieser 

Transformation die Merkmalsmenge erhalten, während bei einer Skalierung die neue Merkmalsmenge 

die disjunkte Vereinigung von den Merkmalsmengen der Skalenkontexte ist. Die Gegenstandsmenge 

bleibt bei der Skalierung mit einer Familie von Skalenkontexten erhalten, bei |Kρ 

besteht die Gegenstandsmenge jedoch aus dem direkten Produkt von Gegenstandsmengen. Man 

kann die Transformation von |K nach |Kρ auch als eine neue Form von Skalierung verstehen. Hierbei 

wird nicht mehr nach einer Familie von Kontexten skaliert, sondern nach einer Relation ρ. 

Man kann die Ableitungsoperatoren ‡ : ℘(G τ ) → ℘(M) und z : ℘(M) → ℘(G τ ) für den Kontext 

|K definieren, indem man die Ableitungsoperatoren des Kontextes |Kρ verwendet. Die Ableitungsoperatoren 

können dabei mit Hilfe der Vervollständigungen von |K ausgedrückt werden. Für B ⊆ G τ 

und A ⊆ M gilt 

B ‡ = {m ∈ M | für alle g ∈ B und alle |K' = (G, M, W-{?}, J) ∈ V(|K) gilt J τ (g, m) ∈ ρ} 

B z = {m ∈ M | für alle g ∈ B gibt es ein |K' = (G, M, W-{?}, J) ∈ V(|K) mit J τ (g, m) ∈ ρ} 

A ‡ = {g ∈ G τ | für alle m ∈ A und alle |K' = (G, M, W-{?}, J) ∈ V(|K) gilt J τ (g, m) ∈ ρ} 

A z = {g ∈ G τ | für alle m ∈ A gibt es ein |K' = (G, M, W-{?}, J) ∈ V(|K) mit J τ (g, m) ∈ ρ} 

Im folgenden sei |K vollständig. Dann ist der Kontext |Kρ = (G τ , M, Iρ) einwertig, und es gilt 

(g, m) ∈ Iρ gdw. I τ (g, m) ∈ ρ. Weiterhin gilt 

A ‡ = A z =: A' = {g ∈ G τ | für alle m ∈ A gilt I τ (g, m) ∈ ρ} und 

B ‡ = B z =: B' = {m ∈ M | für alle g ∈ B gilt I τ (g, m) ∈ ρ}. 

Durch diese Ableitungsoperatoren ' : ℘(G τ ) → ℘(M) und ' : ℘(M) → ℘(G τ ) lassen sich Begriffe 

im vollständigen mehrwertigen Kontext |K definieren: 

Die Paare (A, B) ∈ ℘(G τ ) × ℘(M) mit A' = B und B' = A heißen Begriffe von |K (bezüglich ρ). Die 

Menge B heißt Inhalt von (A, B), und die Menge A heißt Umfang von (A, B). 

Für A = {g} mit g ∈ G τ heißt die Menge A' Gegenstandsinhalt von g. 

Da die Operatoren ' : ℘(G τ ) → ℘(M) und ' : ℘(M) → ℘(G τ ) die Ableitungsoperatoren des 

einwertigen Kontextes |Kρ = (G τ , M, Iρ) sind, bilden sie eine Galoisverbindung. Offensichtlich sind 

die Begriffe, Umfänge und (Gegenstands)inhalte von |K bezüglich ρ genau die Begriffe, Umfänge 

und (Gegenstands)inhalte (nach nach den Definitionen aus Kapitel 1.2) von |Kρ. Im folgenden Satz 

wird bewiesen, daß die für ein Gegenstandstupel g ∈ G τ in |K gültigen Formeln genau die für g in 

|Kρ gültigen Formeln sind. 

96

2.103. Satz (Zusammenhang zwischen Kripke-Gültigkeit für Gegenstandstupel von |K und 

für Gegenstände von |Kρ bei vollständigen mehrwertigen Kontexten): 

Seien |K = (G, M, W, I) ein vollständiger mehrwertiger Kontext, ρ ⊆ W τ , g ∈ G τ und α ∈ F. Genau 

dann gilt |Kρ ]g α, wenn |K ]g ρ α gilt. 

Beweis durch Induktion über α: 

Für α ≡ m ∈ M gilt 

|Kρ ]g α gdw. 

(g, m) ∈ Iρ gdw. 

I τ (g, m) ∈ ρ gdw. 

|K ]g ρ α. 

Der Rest folgt aus Definition 2.98, Lemma 2.7 und Lemma 2.3. 

❚ 

Dieser Satz wird nun verwendet, um ein entsprechendes Ergebnis für unvollständige mehrwertige 

Kontexte zu beweisen: 

2.104. Satz (Zusammenhang zwischen Kripke-Gültigkeit für Gegenstandstupel von |K und 

für Gegenstände von |Kρ bei unvollständigen mehrwertigen Kontexten): 

Seien |K = (G, M, W, I) ein unvollständiger mehrwertiger Kontext, ρ ⊆ (W-{?}) τ , g ∈ G τ und 

α ∈ F. Genau dann gilt |Kρ ]g α, wenn |K ]g ρ α gilt. 

Beweis: 

Gelte |Kρ ]g α und sei |K' = (G, M, W-{?}, J) ∈ V(|K). Dann gilt |K'ρ ∈ V(|Kρ), also |K'ρ ]g α, und 

nach dem vorigen Satz gilt |K' ]g ρ α. Damit gilt |K ]g ρ α. 

Gelte nun umgekehrt |K ]g ρ α. Sei |K' = (G τ , M, I') ∈ V(|Kρ). Nun wird eine Vervollständigung 

|K'' = (G, M, W-{?}, I'') ∈ V(|K) mit 

I'' τ (g, m) ∈ ρ gdw. (g, m) ∈ I' 

für alle m ∈ M konstruiert. Sei m ∈ M. 

Falls (g, m) ∈ I' ist, dann gilt Iρ(g, m) ∈ {×, ?}, also gibt es eine Vervollständigung (G, M, W-{?}, 

J) ∈ V(|K) mit J τ (g, m) ∈ ρ. In diesem Fall wird I''(⋅, m) := J(⋅, m) definiert. 

Falls (g, m) ∉ I' ist, dann gilt Iρ(g, m) ∈ {?, o}, also gibt es eine Vervollständigung (G, M, W-{?}, 

J) ∈ V(|K) mit J τ (g, m) ∉ ρ. Definiere I''(⋅, m) := J(⋅, m). 

Der Kontext |K'' := (G, M, W-{?}, I'') ist eine Vervollständigung von |K, weil jede Kontextspalte von 

|K'' eine Vervollständigung von der zugehörigen Kontextspalte in |K ist. Die Kontextzeile von g in 

|K''ρ stimmt mit der Kontextzeile von g in |K' überein: 

(g, m) ∈ I''ρ gdw. I'' τ (g, m) ∈ ρ gdw. (g, m) ∈ I'. 

Wegen |K ]g ρ α gilt |K'' ]g ρ α, 110 also |K''ρ ]g α nach Satz 2.103. Damit gilt |K' ]g α und |Kρ ]g α, 

weil |K' ∈ V(|Kρ) beliebig gewählt war. 

❚ 

Eine analoge Aussage gilt auch für die Erfüllbarkeit von Formeln: 


97

2.105. Satz (Für unvollständige mehrwertige Kontexte ist die Erfüllbarkeit für 

Gegenstandstupel von |K äquivalent zur Erfüllbarkeit für den entsprechenden Gegenstand 

von |Kρ): 

Seien |K = (G, M, W, I) ein unvollständiger mehrwertiger Kontext, ρ ⊆ (W-{?}) τ , g ∈ G τ und 

α ∈ F. Genau dann ist α erfüllbar für g in |Kρ, wenn α für g in |K erfüllbar ist. 

Beweis: 

α ist für g in |Kρ erfüllbar gdw. 111 

|Kρ bg ¬α gdw. 112 

|K bg ρ ¬α gdw. 

es gibt ein |K' ∈ V(|K) mit |K' bg ρ ¬α gdw. 113 

es gibt ein |K' ∈ V(|K) mit |K' ]g ρ α gdw. 

α ist für g in |K erfüllbar. 

❚ 

Aus diesen Sätzen folgt, daß die Kripke-Gültigkeit einer Formel in einem unvollständingen Kontext 

|K äquivalent zur Kripke-Gültigkeit in |Kρ ist, und die Erfüllbarkeit einer Formel in |K ist äquivalent 

zur Erfüllbarkeit in |Kρ. Damit lassen sich sehr viele Eigenschaften von |Kρ auf |K übertragen. Einige 

dieser Eigenschaften werden in den folgenden Korollaren bewiesen. 

2.106. Korollar (Eigenschaften für unvollständige Kontexte lassen sich auf unvollständige 

mehrwertigen Kontexte übertragen): 

Seien |K = (G, M, W, I) ein unvollständiger mehrwertiger Kontext und ρ ⊆ (W-{?}) τ . Dann gilt: 

(1) Imp(|Kρ) = Imp ρ (|K) 

(2) Erf(|Kρ) = Erf ρ G(|K) 

(3) Cons(Imp ρ (|K)) = Imp ρ (|K) 

(4) ConsErf(Erf ρ G(|K)) = Erf ρ G(|K) 

(5) Für A ⊆ M gilt A ‡z = {m ∈ M | A → m ∈ Erf ρ G(|K)}. 

Beweis: 

(1) folgt aus Satz 2.104. 

(2) gilt wegen Erf(|Kρ) = {A → B ∈ ImpM | A → B ist erfüllbar in |Kρ für alle g ∈ G τ } =2.105 

{A → B ∈ ImpM | A → B ist erfüllbar in |K für alle g ∈ G τ } = Erf ρ G(|K). 

(3) folgt mit Satz 2.40 aus (1). 

(4) folgt mit Satz 2.55 aus (2). 

(5) folgt mit Satz 2.58.(1) aus (2). 

❚ 

Die Gleichung Erf(|Kρ) = Erf ρ (|K) ist im allgemeinen nicht richtig, weil die für alle Gegenstandstupel 

in |K erfüllbaren Implikationen nicht unbedingt im ganzen Kontext |K erfüllbar sein müssen 

(vgl. Beispiel 2.99). 

Die folgende Eigenschaft gilt in einwertigen Kontexten, also nach Satz 2.104 und Korollar 2.5 auch 

in vollständigen mehrwertigen Kontexten: 


112 vgl. Satz 2.104 


98

2.107. Korollar (Implikationen sind genau dann gültig in einem vollständigen mehrwertigen 

Kontext, wenn alle Gegenstandsinhalte die Implikationen respektieren): 

Seien |K = (G, M, W, I) ein vollständiger mehrwertiger Kontext und ρ ⊆ W τ . Für P ⊆ ImpM gilt 

genau dann P ⊆ Imp ρ (|K), wenn g' ∈ Resp(P) für alle g ∈ G τ gilt. 

❚ 

Die folgenden beiden Sätze eignen sich gut zur Überprüfung, ob eine Implikation für ein 

Gegenstandstupel Kripke-gültig bzw. erfüllbar ist. 

2.108. Satz (Charakterisierung der Kripke-gültigen Implikationen eines Gegenstandstupels in 

unvollständigen mehrwertigen Kontexten): 

Seien |K = (G, M, W, I) ein unvollständiger mehrwertiger Kontext und ρ ⊆ (W-{?}) τ . 

Für A → B ∈ ImpM und g ∈ G τ sind folgende Aussagen äquivalent: 

(1) A → B ist Kripke-gültig für g 

(2) Mindestens eine der folgenden beiden Bedingungen ist erfüllt: 

(2a) Es gibt ein a ∈ A, so daß J τ (g, a) ∉ ρ für jede Vervollständigung J(⋅, a) : G → Wa-{?} der 

Kontextspalte von a gilt. 

(2b) Für alle b ∈ B-A und alle Vervollständigungen J(⋅, b) : G → Wb-{?} der Kontextspalte von 

b gilt J τ (g, b) ∈ ρ. 

(3) Aus A ⊆ g z folgt B-A ⊆ g ‡ . 

Beweis: 

(1) ⇔ (3) folgt aus Satz 2.104 und Satz 2.57. 

Bedingung (2a) sagt aus, daß A keine Teilmenge von g z ist, und Bedingung (2b) sagt aus, daß 

B-A ⊆ g ‡ gilt, also gilt (2) ⇔ (3). 

❚ 

2.109. Satz (Charakterisierung der erfüllbaren Implikationen eines Gegenstandstupels in 

unvollständigen mehrwertigen Kontexten): 

Seien |K = (G, M, W, I) ein unvollständiger mehrwertiger Kontext und ρ ⊆ (W-{?}) τ . 

Für A → B ∈ ImpM und g ∈ G τ sind folgende Aussagen äquivalent: 

(1) A → B ist erfüllbar für g 

(2) Mindestens eine der folgenden beiden Bedingungen ist erfüllt: 

(2a) Es gibt ein a ∈ A und eine Vervollständigung J(⋅, a) : G → Wa-{?} der Kontextspalte von a 

mit J τ (g, a) ∉ ρ. 

(2b) Für alle b ∈ B gibt es eine Vervollständigung J(⋅, b) : G → Wb-{?} der Kontextspalte von b 

mit J τ (g, b) ∈ ρ. 

(3) Aus A ⊆ g ‡ folgt B ⊆ g z . 

Beweis: 

Analog Satz 2.108. 

❚ 

Aus diesen Sätzen folgt Imp ρ (|K) = {A → B | aus A ⊆ gz folgt B-A ⊆ g ‡ für alle g ∈ G τ } und 

Erf ρ G(|K) = {A → B | aus A ⊆ g ‡ folgt B ⊆ gz für alle g ∈ G τ }. 

Die unvollständigen Kontexte aus Kapitel 2.1 können auch als unvollständige mehrwertige Kontexte 

mit der Wertemenge Wm = {×, ?, o} für m ∈ M aufgefaßt werden. Auch die Definition der 

Kripke-Gültigkeit und Erfüllbarkeit von Formeln in unvollständigen Kontexten stimmt mit der 

Definition für unvollständige mehrwertige Kontexte überein, wenn man die einstellige Relation 

99

ρm = {×} für m ∈ M verwendet. Die Definition der Operatoren ‡ und z stimmen dann mit den 

Definitionen aus Kapitel 2.2 überein. 

Auch bei unvollständigen mehrwertigen Kontexten läßt sich durch die Verwendung von 

Rahmenkontexten Hintergrundwissen über die zu betrachtenden Kontexte angeben. Ein Rahmenkontext 

H ⊆ ℘(M) drückt aus, daß in dem (unbekannten) vollständigen mehrwertigen Kontext alle 

Formeln aus Th(H) gültig sind. Diese Eigenschaft ist wegen Satz 2.104 und Korollar 2.5 äquivalent 

zu der Eigenschaft, daß g' ∈ H für alle g ∈ G τ gilt. Der Rahmenkontext legt also auch bei 

mehrwertigen Kontexten die möglichen Gegenstandsinhalte fest. 

Die Regeln (AX), (PS) und (H-EX) bilden zwar nicht für jede Relation ρ ein adäquates 

Regelsystem für die Implikationen bei mehrwertigen Kontexten, aber diese Regeln sind auch bei 

mehrwertigen Kontexten korrekt, d.h. wenn eine Impliktion herleitbar ist, folgt sie auch semantisch. 

Dies wird im folgenden Satz bewiesen. 

2.110. Satz (Korrektheit der Regeln (AX), (PS) und (H-EX) für Kripke-Gültigkeit): 

Seien |K = (G, M, W, I) ein vollständiger mehrwertiger Kontext, ρ ⊆ W τ , H ⊆ ℘(M), P ⊆ Imp ρ (|K) 

und g' ∈ H für alle g ∈ G τ . Dann gilt ConsH (P) ⊆ Imp ρ (|K). 

Beweis: 

Cons H (P) ⊆ Cons H (Imp ρ (|K)) =2.106.(1) Cons H (Imp(|Kρ)) =2.72.(1) Imp(|Kρ) =2.106.(1) Imp ρ (|K). 

❚ 

Für spezielle Relationen ρ ist das Regelsystem nicht vollständig. Wenn z.B. ρm = Wm τ für alle 

m ∈ M ist, dann sind in einem (vollständigen oder unvollständigen) mehrwertigen Kontext alle 

Implikationen gültig, d.h. aus der leeren Implikationenmenge P = ∅ folgen alle Implikationen. 

Später wird jedoch gezeigt, daß das Regelsystem für praktische Anwendungen in den meisten 

Fällen vollständig ist. In den Sätzen 2.113 und 2.114 werden diejenigen Relationen charakterisiert, 

für die das Regelsystem vollständig ist. Dazu wird ein Begriff "separierend" definiert, welcher 

gerade diese Relationen beschreibt, d.h. man kann bereits an der Relation ρ und dem 

Rahmenkontext H ablesen, ob der Kalkül vollständig ist. Auch wenn über die Relation 

allquantifiziert wird, ist der Kalkül vollständig (vgl. Satz 2.120): Eine Implikation ist genau dann 

mit den Regeln (AX), (PS) und (H-EX) aus einer Menge von Implikationen herleitbar, wenn sie für 

alle Relationen ρ semantisch aus dieser Menge folgt. 

Es folgt nun zunächst ein Satz über die Abgeschlossenheit der erfüllbaren Implikationen gegenüber 

einigen Regeln: 

2.111. Satz (Korrektheit der Regeln (AX), (PR) und (AU) für Erfüllbarkeit): 

Seien |K = (G, M, W, I) ein unvollständiger mehrwertiger Kontext und ρ ⊆ (W-{?}) τ . Dann ist 

Erf ρ (|K) bezüglich der Regeln (AX), (PR) und (AU) abgeschlossen. 

Beweis: 

Nach Korollar 2.106.(3) gilt A ∪ B → A ∈ Imp ρ (|K) ⊆ Erf ρ (|K), also ist Erf ρ (|K) bezüglich Regel 

(AX) abgeschlossen. Wenn A → B ∪ C ∈ Erf ρ (|K) gilt, dann gibt es eine Vervollständigung 

|K' ∈ V(|K) mit A → B ∪ C ∈ Imp ρ (|K'), also ist nach Korollar 2.106.(3) auch A → B in dieser 

Vervollständigung gültig, und es gilt A → B ∈ Erf ρ (|K). Damit ist Erf ρ (|K) bezüglich Regel (PR) 

100

abgeschlossen. Die Abgeschlossenheit bezüglich Regel (AU) folgt analog. 

❚ 

Die Menge Erf ρ G(|K) ist zwar nach Korollar 2.106.(4) bezüglich der Regel (AD) abgeschlossen, die 

Menge Erf ρ (|K) jedoch im allgemeinen nicht. Sei |K der unvollständige mehrwertige Kontext 

|K a b c 

g ? 3 5 

h ? 4 6 

mit Wa = {1, 2, ?}, Wb = {3, 4, ?}, Wc = {5, 6, ?} und 

ρa = {(1,1), (1, 2), (2, 2)}, ρb = {(3, 3), (3, 4), (4, 4)}, ρc = {(5, 5), (6, 5), (6, 6)}. 

Dann ist die Implikation a → b erfüllbar, indem I(g, a) durch 1 und I(h, a) durch 2 ersetzt wird. Die 

Implikation a → c ist auch erfüllbar, indem I(g, a) durch 2 und I(h, a) durch 1 ersetzt wird. Die 

Implikation a → {b, c} ist jedoch nicht erfüllbar. 

2.112. Definition (separierende Relationen): 

Seien H ⊆ ℘(M) und ρ ⊆ W τ . ρ heißt separierend (bezüglich H), wenn es für alle A ∈ H und alle 

τ 

b ∈ M-A ein f ∈ ∏ W m mit f(b) ∉ ρb gibt, so daß für alle Abbildungen ϕ : {1, 2, ..., τ} → {1, 2, ..., 

m∈M 

τ} gilt: 

(1) f(m) ° ϕ ∈ ρm gilt für alle m ∈ A, 114 und 

(2) wenn es ein Merkmal a ∈ M-A mit f(a) ° ϕ ∈ ρa gibt, dann gilt M ∈ H und f(m) ° ϕ ∈ ρm für 

alle m ∈ M. 

Für separierende Relationen sind die Regeln (AX), (PS) und (H-EX) vollständig: 

2.113. Satz (Adäquatheit der Regeln (AX), (PS) und (H-EX) für separierende Relationen): 

Seien H ⊆ ℘(M) und ρ ⊆ W τ separierend. Für P ⊆ ImpM und A → B ∈ ImpM sind folgende 


(1) A → B ∈ ConsH (P) 

(2) Für jeden vollständigen mehrwertigen Kontext |K = (G, M, W, I) mit P ⊆ Imp ρ (|K) und g' ∈ H 

für g ∈ G τ gilt A → B ∈ Imp ρ (|K) 

(3) Für jeden vollständigen mehrwertigen Kontext |K = (G, M, W, I) mit |G| = τ, P ⊆ Imp ρ (|K) und 

g' ∈ H für g ∈ G τ gilt A → B ∈ Imp ρ (|K) 

Beweis: 

(1) ⇒ (2): 

Nach Satz 2.110 folgt (2) aus (1). 

(2) ⇒ (3): 

Trivial. 

(3) ⇒ (1): 

Annahme: A → B ∉ Cons H (P) 

Nach Satz 2.71 (Äquivalenz (1) ⇔ (2)) gilt ConsH (P) = Imp(Resp(P) ∩ H). Es gibt eine Menge 

C ∈ Resp(P) ∩ H und ein Merkmal b ∈ B mit A ⊆ C und b ∉ C. 

114 hierbei werden Tupel als Funktionen betrachtet, d.h. f ist eine Funktion f : M → ∪{Wm τ | m ∈ M} und f(m) für 

m ∈ M ist ebenfalls eine Funktion f(m) : {1, 2, ..., τ} → Wm, wobei f(m)(j) für j ≤ τ die j-te Komponente des Tupels 

f(m) ist. 

101

τ 

Die Relation ρ ist separierend, also gibt es ein f ∈ ∏ W m mit f(b) ∉ ρb, so daß für alle Funktionen 

m∈M 

ϕ : {1, 2, ..., τ} → {1, 2, ..., τ} gilt: 

(1) f(m) ° ϕ ∈ ρm gilt für alle m ∈ C, und 

(2) wenn es ein Merkmal a ∈ M-C mit f(a) ° ϕ ∈ ρa gibt, dann gilt M ∈ H und f(m) ° ϕ ∈ ρm für 

alle m ∈ M. 

Sei |K = (G, M, W, I) mit G = {1, 2, ..., τ} und I(k, m) = f(m)(k) für 1 ≤ k ≤ τ und m ∈ M. Es wird 

zunächst gezeigt, daß g' ∈ H für alle g ∈ G τ gilt. Sei g ∈ G τ . Das Tupel g induziert eine Abbildung 

ϕ : {1, 2, ..., τ} → {1, 2, ..., τ} mit g = (ϕ(1), ϕ(2), ..., ϕ(n)). Für m ∈ M gilt I τ (g, m) = (f(m)(ϕ(1)), 

..., f(m)(ϕ(τ))) = f(m) ° ϕ, also g' = {m ∈ M | f(m) ° ϕ ∈ ρm}. Nach (1) gilt C ⊆ g'. Wenn g' = C ist 

gilt g' ∈ H, ansonsten gibt es ein a ∈ M-C mit f(a) ° ϕ ∈ ρa, also f(m) ° ϕ ∈ ρm für alle m ∈ M und 

g' = M ∈ H nach (2). Nun wird |K ]g ρ P bewiesen. Seien D → E ∈ P mit |K ]g ρ D. 

Fall 1: Es gibt ein Merkmal d ∈ D mit d ∈ M-C 

Es gilt f(d) ° ϕ ∈ ρd wegen |K ]g ρ D, also f(m) ° ϕ ∈ ρm für alle m ∈ M wegen (2), und somit gilt 

|K ]g ρ E. 

Fall 2: D ⊆ C 

Dann gilt E ⊆ C wegen C ∈ Resp(P), also gilt |K ]g ρ E wegen (1). 

In beiden Fällen gilt |K ]g ρ D → E, also P ⊆ Imp ρ (|K). Aus (3) folgt A → B ∈ Imp ρ (|K). Sei 

h = (1, 2, ..., τ) ∈ G τ . Wegen A ⊆ C und (1) gilt f(m) ∈ ρm für m ∈ A, also gilt A ⊆ {m ∈ M | 

(f(m)(1), f(m)(2), ..., f(m)(τ)) ∈ ρm} = {m ∈ M | (I(1, m), I(2, m), ..., I(τ, m)) ∈ ρm} = h' und somit 

|K ]h ρ A, also |K ]h ρ B und f(b) ∈ ρb. Dies ist ein Widerspruch. 

❚ 

Bei separierenden Relationen ist somit die syntaktische Herleitbarkeit äquivalent zur semantischen 

Folgerbarkeit. Umgekehrt folgt aus dieser Äquivalenz schon, daß ρ separierend ist, d.h. ρ ist genau 

dann separierend, wenn das Regelsystem vollständig ist. Dies wird in dem folgenden Satz 

bewiesen: 

2.114. Satz (Wenn der Kalkül vollständig ist, ist die Relation separierend): 

Seien H ⊆ ℘(M) und ρ ⊆ W τ . Wenn die Regeln (AX), (PS) und (H-EX) vollständig sind, dann ist 

ρ separierend. 

Beweis: 

Seien A ∈ H und b ∈ M-A. Sei P = Imp({A}) = {C → D ∈ ImpM | aus C ⊆ A folgt D ⊆ A}. Dann 

gilt A → b ∉ Imp(Resp(P) ∩ H) = ConsH (P) wegen A ∈ Resp(P) ∩ H und Satz 2.71 (Äquivalenz 

(1) ⇔ (2)). Somit gibt es einen vollständigen mehrwertigen Kontext |K = (G, M, W, I) mit P ⊆ 

Imp ρ (|K), g' ∈ H für g ∈ G τ und A → b ∉ Imp(|K). Sei g = (g1, g2, ..., gτ) ∈ G τ mit |K bg ρ A → b. 

τ 

Sei f ∈ ∏ Wm mit f(m) = I 

m∈M 

τ (g, m) für m ∈ M. Wegen |K bg ρ A → b gilt f(b) ∉ ρb. 

Sei ϕ : {1, 2, ..., τ} → {1, 2, ..., τ} eine Abbildung. Sei h = (gϕ(1), gϕ(2), ..., gϕ(τ)). Dann gilt h' = {m ∈ 

M | f(m) ° ϕ ∈ ρm} wegen I τ (h, m) = (f(m)(ϕ(1)), ..., f(m)(ϕ(τ))) = f(m) ° ϕ. Wegen ∅ → A ∈ P ⊆ 

Imp ρ (|K) gilt A ⊆ h', also f(m) ° ϕ ∈ ρm für m ∈ A. Wenn es ein Merkmal a ∈ M-A mit f(a) ° ϕ ∈ ρa 

gibt, dann gilt a ∈ h', also f(m) ° ϕ ∈ ρm für alle m ∈ M wegen a → M ∈ P ⊆ Imp ρ (|K), und es gilt 

M = h' ∈ H. Damit ist ρ separierend. 

❚ 

102

Der folgende Satz liefert eine für die Praxis nützliche hinreichende Bedingung dafür, daß ρ 

separierend ist. 

2.115. Satz (Wenn ein konstantes Tupel in Relation steht, und ein anderes konstantes Tupel 

nicht in Relation steht, ist die Relation separierend): 

Seien H ⊆ ℘(M) und ρ ⊆ W τ . Für m ∈ M seien vm, wm ∈ Wm mit (vm, vm, ..., vm) ∈ ρm und 

(wm, wm, ..., wm) ∉ ρm. Dann ist ρ separierend. 

Beweis: 

Seien A ∈ H und b ∈ M-A. Für m ∈ A sei f(m) = (vm, vm, ..., vm) und für m ∈ M-A sei f(m) = (wm, 

wm, ..., wm). Dann gilt f(b) ∉ ρb, und für alle ϕ : {1, 2, ..., τ} → {1, 2, ..., τ} gilt: 

(1) f(m) ° ϕ ∈ ρm gilt für alle m ∈ A, und 

(2) es gibt kein Merkmal a ∈ M-A mit f(a) ° ϕ ∈ ρa 

Damit ist ρ separierend. 

❚ 

Wenn also ein konstantes Tupel in Relation steht, und ein anderes konstantes Tupel nicht in 

Relation steht, ist die Relation separierend. Daraus folgt auch die Existenz von separierenden 

Relationen: 

2.116. Korollar (Auf jeder nichttrivialen Wertemenge existieren separierende Relationen): 

Seien H ⊆ ℘(M), |Wm| > 1 für alle m ∈ M und τ > 0. Dann existiert eine separierende Relation 

ρ ⊆ W τ . 

❚ 

Offensichtlich sind separierende Relationen gegenüber Erweiterung der Wertemenge 

abgeschlossen, d.h. wenn ρ ⊆ W τ separierend ist, und W ⊆ W' ist, dann ist auch ρ in der 

Wertemenge W' separierend. Jede Relation läßt sich in kanonischer Weise in eine separierende 

Relation transformieren: 

2.117. Satz (Durch geeignete Erweiterung der Wertemenge und der Relation erhält man eine 

separierende Relation): 

Seien H ⊆ ℘(M) und θ = (θm)m∈M ⊆ W τ mit τ > 0. Sei W ⎯ m := Wm ∪ {Y, Z} für m ∈ M. 115 Sei ρm 

:= θm ∪ {w ∈ (W ⎯ m) τ | w enthält mindestens ein Y, aber kein Z} für m ∈ M. Dann ist ρ separierend, 

und für jeden unvollständigen mehrwertigen Kontext |K = (G, M, W ⎯ , I) gilt Erf ρ (|K) = Erf ρ G(|K). 

Beweis: 

Es gilt (Y, Y, ..., Y) ∈ ρm und (Z, Z, ..., Z) ∉ ρm für m ∈ M, also ist ρ nach Satz 2.115 

separierend. Die Inklusion Erf ρ (|K) ⊆ Erf ρ G(|K) ist trivial. Sei nun A → B ∈ Erf ρ G(|K). 

Annahme: A → B ∉ Erf ρ (|K) 

Sei |K' = (G, M, W ⎯ , J) ∈ V(|K) diejenige Vervollständigung von |K, die man erhält, wenn man in den 

Spalten von A in |K alle Fragezeichen durch den Wert Z ersetzt, und in den Spalten von M-A in |K 

alle Fragezeichen durch den Wert Y ersetzt. Wegen A → B ∉ Erf ρ (|K) gilt A → B ∉ Imp ρ (|K'). Die 

Menge Imp ρ (|K') ist nach Korollar 2.106.(3) und Lemma 2.39 bezüglich der Regeln (AX) und (AD) 

abgeschlossen, also gibt es ein b ∈ B-A mit A → b ∉ Imp ρ (|K'). Sei g = (g1, g2, ..., gτ) ∈ G τ mit 

115 Hierbei wird vorausgesetzt, daß der Wert Z noch nicht in der Wertemenge Wm vorkommt, für m ∈ M. 

103

|K bg ρ A → b. Dann gilt J τ (g, a) ∈ ρa für alle a ∈ A und J τ (g, b) ∉ ρb. Somit gilt J(gi, a) ≠ Z für alle 

a ∈ A und i ≤ τ, also I(gi, a) ∉ {?, Z} nach Definition von |K'. Somit gilt I τ (g, a) ∈ ρa für alle a ∈ A. 

Wegen A → B ∈ Erf ρ G(|K) gilt I(gi, b) ≠ Z für i ≤ τ, also auch J(gi, b) ≠ Z wegen b ∈ M-A. Damit 

gilt J(gi, b) ≠ Y wegen J τ (g, b) ∉ ρb. Nach Definition von |K' gilt I(gi, b) ∉ {?, Y}, also gilt 

I τ (g, b) ∉ ρb und somit ist A → b für das Tupel g in |K nicht erfüllbar, was nach Regel (PR) wegen 

Korollar 2.106.(4) ein Widerspruch zu A → B ∈ Erf ρ G(|K) ist. 

❚ 

Die in der Praxis am häufigsten verwendeten Relationen sind ρ = idW für die funktionale 

Abhängigkeit und ρ = ≤ für die ordinale Abhängigkeit. Zwar läßt sich Satz 2.115 nicht auf diese 

Relationen anwenden, jedoch sind diese Relationen in den meisten Fällen auch separierend, was im 

folgenden Satz gezeigt wird. 

2.118. Lemma (Charakterisierung der separierenden Ordnungen): 

Seien H ⊆ ℘(M) und ≤m eine Ordnung auf Wm für alle m ∈ M. Die Relation ρ = (ρm)m∈M := 

(≤m)m∈M ist genau dann separierend, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind: 

(1) H ≠ ∅ impliziert M ∈ H, 

(2) für alle A ∈ H und c ∈ M-A gilt: ≤c = idW impliziert {m ∈ M | ≤m ist eine Kette} ⊆ A. 

c 

Beweis: 

'⇒': 

Sei ρ separierend. Für H = ∅ sind die beiden Bedingungen erfüllt, also sei nun H ≠ ∅. Dann gibt 

es ein A ∈ H. Wenn A = M ist, dann gilt (1), also sei nun A ≠ M. Dann gibt es ein b ∈ M-A. Sei 

ϕ : {1, 2} → {1, 2} die konstante Abbildung ϕ(1) = 1 = ϕ(2). Dann gilt f(b) ° ϕ ∈ ρb, also M ∈ H, 

denn ρ ist separierend. Damit ist (1) bewiesen. Seien nun A ∈ H und c ∈ M-A mit ≤c = idW . Sei c 

b ∈ M, so daß ≤b eine Kette ist. 

Annahme: b ∉ A 

τ 

Da ρ separierend ist, gibt es ein f ∈ ∏ W m mit f(b) ∉ ρb, so daß für alle Abbildungen ϕ : {1, 2} → 

m∈M 

{1, 2} gilt: 

• wenn es ein Merkmal a ∈ M-A mit f(a) ° ϕ ∈ ρa gibt, dann gilt M ∈ H und f(m) ° ϕ ∈ ρm für 

alle m ∈ M. 

Wegen f(b) ∉ ρb gilt f(b)(2) < f(b)(1), weil Wb eine Kette ist. Für ϕ = id{1,2} folgt aus c ∈ M-A, daß 

f(c)(1) ≠ f(c)(2) ist, denn sonst wäre f(m) ° ϕ ∈ ρm für alle m ∈ M, was ein Widerspruch zu (f(b)(1), 

f(b)(2)) ∉ ρb ist. Sei nun ϕ(n) = 3-n für n ∈ {1, 2}. Dann gilt f(b) ° ϕ ∈ ρb, also f(m) ° ϕ ∈ ρm für 

alle m ∈ M, was ein Widerspruch zu ≤c = idW ist. c 

'⇐': 

Seien (1) und (2) erfüllt. Seien A ∈ H und b ∈ M-A. Nach (1) gilt M ∈ H. 

Fall 1: Es gibt ein c ∈ M-A mit ≤c = idW c . 

Nach (2) gibt es für alle m ∈ M-A ein unvergleichbares Paar (vm, wm) in (Wm, ≤m). Für m ∈ A sei 

vm ∈ Wm beliebig. Sei f(a) = (va, va) für a ∈ A und f(m) = (wm, vm) für m ∈ M-A. Dann gilt 

f(b) ∉ ρb wegen b ∉ A. 

Für ϕ : {1, 2} → {1, 2} gilt: 

• f(m) ° ϕ ∈ ρm gilt für alle m ∈ A, und 

• wenn es ein Merkmal a ∈ M-A mit f(a) ° ϕ ∈ ρa gibt, dann gilt M ∈ H und f(m) ° ϕ ∈ ρm für 

alle m ∈ M. 

104

Fall 2: Für alle c ∈ M-A gilt ≤c ≠ idW . c 

Für alle m ∈ M-A gibt es vm, wm ∈ Wm mit vm < wm. Für m ∈ A sei vm ∈ Wm beliebig. 

Die Funktion f wird analog Fall 1 definiert, und f erfüllt auch hier die geforderten Eigenschaften. 

Damit ist ρ separierend. 

❚ 

2.119. Korollar (Hinreichende Bedingung für separierende Ordnungen): 

Wenn M ein Element des Rahmenkontextes ist, und |Wm| > 1 für m ∈ M ist, dann gilt: 

(1) Wenn alle Ordnungen ≤m für m ∈ M nicht trivial sind (d.h. ≤m ≠ idW m ), dann ist ρ = (≤m)m∈M 

separierend. 

(2) Wenn alle Ordnungen ≤m für m ∈ M unvergleichbare Elemente enthalten, dann ist ρ = (≤m)m∈M 

separierend. 

(3) ρ = (idW m )m∈M ist separierend. 

❚ 

Wenn man über die Relation ρ quantifiziert, bilden die Regeln (AX), (PS) und (H-EX) auch ein 

adäquates Regelsystem, d.h. es gilt folgender Satz: 

2.120. Satz (Adäquatheit der Regeln (AX), (PS) und (H-EX)): 

Seien H ⊆ ℘(M), |Wm| > 1 für m ∈ M, P ⊆ ImpM und A → B ∈ ImpM. Dann sind folgende 


(1) A → B ∈ ConsH (P) 

(2) Für alle τ ≥ 0, ρ ⊆ W τ und alle vollständigen mehrwertigen Kontexte |K = (G, M, W, I) mit 

P ⊆ Imp ρ (|K) und g' ∈ H für g ∈ G τ gilt A → B ∈ Imp ρ (|K). 

(3) Für alle τ ≥ 0 und alle separierenden Relationen ρ ⊆ W τ und alle vollständigen mehrwertigen 

Kontexte |K = (G, M, W, I) mit P ⊆ Imp ρ (|K) und g' ∈ H für g ∈ G τ gilt A → B ∈ Imp ρ (|K). 

Beweis: 

(1) ⇒ (2): 

Nach Satz 2.110 folgt (2) aus (1). 

(2) ⇒ (3): 

Trivial. 

(3) ⇒ (1): 

Nach Korollar 2.116 existiert eine separierende Relation, also folgt (1) aus (3) mit Satz 2.113. 

❚ 

Eine Implikation ist somit genau dann mit den Regeln (AX), (PS) und (H-EX) aus einer Menge P 

von Implikationen herleitbar, wenn sie für alle Relationen ρ semantisch aus P folgt, und dies ist 

auch äquivalent dazu, daß die Implikation für alle separierenden Relationen ρ semantisch aus P 

folgt. 

105

106

3. Merkmalexploration 

Sei |K 8 ein vollständiger (einwertiger oder mehrwertiger) Kontext (auch Universum genannt), wobei 

nicht alle Informationen von |K bekannt sind. Bei der Merkmalexploration werden dem Benutzer 

durch ein Computerprogramm Fragen nach der Gültigkeit von Implikationen im Universum |K 8 

gestellt. Ziel der Merkmalexploration ist es, möglichst viele Informationen über die in |K 8 gültigen 

Implikationen zu erhalten, und eine möglichst vollständige Liste von Gegenbeispielen zu allen im 

Universum nicht gültigen Implikationen zu erhalten, auch wenn der Benutzer nicht alle Fragen 

vollständig beantworten kann. 

Damit bei der Exploration nicht nach unnötig vielen Implikationen gefragt werden muß, wird nur 

eine Basis der gültigen Implikationen generiert, alle weiteren Implikationen lassen sich mit Hilfe 

der Regeln (AX), (PS) und (H-EX) ableiten. Dazu wird in Kapitel 3.1.1 die Duquenne-Gigue-Basis 

aus [Ganter98] (Kapitel 1.3) verallgemeinert. Die Basis ist eine irredundante Menge von 

Implikationen. Wenn der Rahmenkontext ein Hüllensystem ist, dann ist auch die Anzahl der 

Implikationen der Duquenne-Gigue-Basis minimal, d.h. es gibt keine Menge mit weniger 

Implikationen, welche die gleiche Menge von Implikationen erzeugt. 

Während der Exploration lassen sich einige Fragezeichen des aktuellen unvollständigen Kontextes 

durch bekanntes Wissen beseitigen. Dazu wird in Kapitel 3.1.2 die Fragezeichenreduktion definiert, 

und es werden einige Bedingungen angegeben, wie man den fragezeichenreduzierten Kontext 

effizient berechnen kann. 

In Kapitel 3.1.3 wird der Explorationsalgorithmus angegeben und es werden die wichtigsten 

Eigenschaften der Exploration erläutert. Hierbei wird sowohl unvollständiges Kontextwissen als 

auch unvollständiges Implikationenwissen berücksichtigt. Um nach der Exploration vollständiges 

Wissen über Teilkontexte zu erhalten, werden in Kapitel 3.1.4 die Einschränkung der 

Merkmalsmenge und der Gegenstandsmenge untersucht. Durch eine geeignete Wahl einer 

Teilmenge T ⊆ M (bzw. T ⊆ G) erhält der Experte nach der Exploration vollständiges Wissen über 

die im Teiluniversum |K 8 |T gültigen Implikationen. 

In Kapitel 3.2 wird die Exploration auch für mehrwertige Kontexte definiert. Die meisten Sätze 

über die einwertige Exploration lassen sich auch auf die mehrwertige Exploration übertragen. 

107

3.1 Merkmalexploration mit einwertigem Universum 

3.1.1 Pseudoabgeschlossene Mengen 

Um redundante Implikationen einer Implikationenmenge P zu beseitigen läßt sich mit Hilfe von 

pseudoabgeschlossenen Mengen eine Basis konstruieren, d.h. eine Menge von Implikationen, 

welche die gleichen Implikationen erzeugt wie P, aber jede echte Teilmenge kein Erzeugendensystem 

mehr ist. In diesem Kapitel wird die Basis, die von Duquenne und Gigue aufgestellt wurde, 

auf Implikationen bezüglich eines Rahmenkontextes so verallgemeinert, daß sie auch für die 

Merkmalexploration mit unvollständigen Kontexten verwendet werden kann. 

3.1. Definition (P-Inhalt, P-pseudoabgeschlossen, Basis): 

Seien H ⊆ ℘(M), P ⊆ ImpM und A ⊆ M. A heißt P-Inhalt bezüglich H, wenn A ein Begriffsinhalt 

von |K H P ist. 116 A heißt P-pseudoabgeschlossen bezüglich H (oder auch P-Pseudoinhalt bezüglich 

H), wenn A ein Element aus H ist, welches kein P-Inhalt bezüglich H ist, und {m ∈ M | B → m ∈ 

ConsErf(P)} ⊆ A gilt, für alle echten Teilmengen B ⊂ A, die P-pseudoabgeschlossenen bezüglich H 

sind. 117 

P heißt Basis von Q ⊆ ImpM bezüglich H, wenn ConsH (P) = ConsH (Q) gilt, und 

Cons H (P') ≠ Cons H (Q) für alle echten Teilmengen P' ⊂ P ist. 

Wenn aus dem Zusammenhang klar ist, welcher Rahmenkontext H gemeint ist, werden im 

folgenden die Bezeichnungen "P-Inhalt" und "P-pseudoabgeschlossen" anstatt "P-Inhalt bezüglich 

H" bzw. "P-pseudoabgeschlossen bezüglich H" verwendet. 

In der Literatur wird der Begriff Pseudoinhalt häufig nicht für Implikationenmengen sondern für 

einwertige Kontexte definiert: Eine Menge A ist ein Pseudoinhalt eines Kontextes |K, wenn A nach 

obiger Definition Imp(|K)-pseudoabgeschlossen bezüglich H = ℘(M) ist. Die Bedingung {m ∈ M | 

B → m ∈ ConsErf(P)} ⊆ A für P = Imp(|K) ist dabei äquivalent zu B'' ⊆ A, weil ConsErf(Imp(|K)) 

=2.40 Imp(|K) und B'' =2.35 {m ∈ M | B → m ∈ Imp(|K)} gilt. Die Imp(|K)-Inhalte sind genau die 

Begriffsinhalte von |K. 

Auch im allgemeinen Fall kann die Bedingung B → m ∈ ConsErf(P) leicht überprüft werden, ohne 

den Beweisbaum mit den Regeln (AX), (AU), (PR) und (AD) zu konstruieren, denn aus Satz 2.55 

folgt {m ∈ M | B → m ∈ ConsErf(P)} = B ∪ ∪{D ⊆ M | C → D ∈ P, C ⊆ B}, d.h. B → m ∈ 

ConsErf(P) gilt genau dann, wenn m ∈ B ist, oder m ∈ D für ein C → D ∈ P mit C ⊆ B ist. 

Der folgende Satz liefert mehrere Charakterisierungen von P-Inhalten, damit der Kontext |K P H nicht 

mehr gebraucht wird, um zu überprüfen, ob eine Menge A ⊆ M ein P-Inhalt ist. 

3.2. Satz (Charakterisierung von P-Inhalten): 

Für H ⊆ ℘(M), P ⊆ ImpM und A ⊆ M sind äquivalent: 

(1) A ist ein P-Inhalt bezüglich H 


117 vgl. auch Bemerkung 3.10 über den Zusammenhang zu der Definition von pseudoabgeschlossen in [Ganter98] 

108

(2) A ∈ Resp(ConsH (P)) 

(3) A = ConsH (P) 

Wenn A ∈ H ist, dann ist jede der folgenden Bedingungen ebenfalls äquivalent zu (1)-(3): 

(4) A ∈ Resp(P) 

(5) A = P 

(6) A = {m ∈ M | A → m ∈ ConsErf(P)} 

Beweis: 

Nach Lemma 2.75.(3) gilt (1) ⇔ (2). 

Nach Satz 2.31 gilt (2) ⇔ (3). 

Sei nun A ∈ H. 

Nach Lemma 2.73.(1) gilt (2) ⇔ (4). 

Nach Satz 2.31 gilt (4) ⇔ (5). 

Es gilt A ⊆ {m ∈ M | A → m ∈ ConsErf(P)} ⊆2.31 Cons H (P) , also gilt (3) ⇒ (6). 

Es wird nun (6) ⇒ (4) bewiesen. Gelte (6) und sei C → D ∈ P mit C ⊆ A. Dann gilt 

A → D ∈ ConsErf(P) nach Regel (AU), und A → m ∈ ConsErf(P) für m ∈ D nach Regel (PR). 

Damit gilt D ⊆ {m ∈ M | A → m ∈ ConsErf(P)} =(6) A, also respektiert A die Implikation C → D, 

und es gilt (4). 

❚ 

Die P-Inhalte sind also genau die Elemente des Hüllensystems Resp(ConsH (P)). Da bei der 

Merkmalexploration alle verwendeten P-Inhalte im Rahmenkontext H liegen, sind diese P-Inhalte 

gerade die Hüllen bezüglich P, d.h. diejenigen Mengen A ∈ H mit A = P. 

3.3. Lemma (Für jede P-pseudoabgeschlossene Menge A gibt es ein m ∈ M-A mit, so daß 

A → m aus P mit den Regeln (AX), (PR), (AU) und (AD) herleitbar ist): 

Seien H ⊆ ℘(M), P ⊆ ImpM und A ⊆ M, so daß A P-pseudoabgeschlossen bezüglich H ist. Dann 

ist A eine echte Teilmenge von {m ∈ M | A → m ∈ ConsErf(P)}. 

Beweis: 

A ist eine Teilmenge von {m ∈ M | A → m ∈ ConsErf(P)} nach Regel (AX). Die Menge A ist 

P-pseudoabgeschlossen, also kein P-Inhalt, somit gilt A ≠ {m ∈ M | A → m ∈ ConsErf(P)} nach 

Satz 3.2 (Äquivalenz (1) ⇔ (6)). 

❚ 

Wenn der Rahmenkontext ein Hüllensystem ist, dann bilden die P-pseudoabgeschlossenen Mengen 

zusammen mit den P-Inhalten ein Hüllensystem. Der folgende Satz ist eine Verallgemeinerung 

dieser Aussage, welcher auch negierte Merkmale berücksichtigt. Dieser Satz wird in Kapitel 3.1.5 

verwendet, um bei der Merkmalexploration mit speziellen Rahmenkontexten der Reihe nach alle 

P-pseudoabgeschlossenen Mengen aufzustellen. 

3.4. Satz (Hüllensystem von P-Inhalten und P-pseudoabgeschlossenen Mengen): 118 


bijektive Abbildung. Seien P, H ⊆ ImpM, T ⊆ M+ und H = VKon( ⎯ ) ∩ Resp(H). Sei 8T := {A ⊆ 

M | T ∪ (M-- T) ⊆ A und A ist entweder ein P-Inhalt bezüglich H oder P-pseudoabgeschlossen 

bezüglich H}. 

118 einen ähnlichen Satz ohne Rahmenkontexte findet man in [GanterWille], Kapitel 2.3 

109

Für A ⊆ M Seien A1 = A ∪ T ∪ (M-- T ) und Ai+1 := Imp(H) für i ≥ 1. 

Sei A • = A . Dann ist • : ℘(M) → ℘(M) ein Hüllenoperator und 8T das zugehörige 

110 

i≥1 

Hüllensystem. 

i 

Beweis: 

Sei A ⊆ M. Es wird nun bewiesen, daß A • die kleinste Obermenge von A ist, welche ein Element 

aus 8T ist. Sei B ∈ 8T mit A ⊆ B. 

Behauptung: Ai ⊆ B für alle i ≥ 1. 


A1 ⊆ B folgt direkt aus der Definition von 8T. 

Gelte nun Ai ⊆ B für ein i ≥ 1. 

Da B entweder ein P-Inhalt oder P-pseudoabgeschlossen bezüglich H ist, gilt in beiden 

Fällen Ai ∪ {m ∈ M | C → m ∈ ConsErf(P) für eine P-pseudoabgeschlossene echte 

Teilmenge C ⊂ Ai} ⊆ B nach Satz 3.2 (Äquivalenz (1) ⇔ (2)). Wenn B P-pseudoabgeschlossen 

ist, dann gilt B ∈ H ⊆ Resp(Imp(H)), und wenn B ein P-Inhalt ist, dann gilt 

B ∈ Resp(ConsH (P)) nach Satz 3.2 (Äquivalenz (1) ⇔ (2)), also B ∈ Resp(Imp(H)) wegen 

Imp(H) ⊆ Imp(Resp(P) ∩ H) =2.71 ConsH (P). In beiden Fällen gilt Ai+1 ⊆ B nach Lemma 

2.31. 

Damit gilt A • ⊆ B. Es wird nun gezeigt, daß A • ∈ 8T gilt. Da M endlich ist, gibt es ein j ≥ 1 mit Aj 

= Aj+1 = A • , und für alle C → D ∈ P mit einer P-pseudoabgeschlossenen echten Teilmenge C ⊂ A • 

= Aj gilt D ⊆ Aj+1 = A • nach Regel (PR). Wenn A • ∉ H ist, dann gilt A • = Aj = M ∈ 8T wegen 

Aj ∈ Resp(Imp(H)) und {m, m} → M ∈ Imp(H) für m ∈ M+, und wenn A • ∈ H ist, dann ist A • 

nach dem eben Gezeigten entweder ein P-Inhalt, oder P-pseudoabgeschlossen, also gilt hier 

ebenfalls A • ∈ 8T. Die Menge A • ist somit die kleinste Obermenge von A, welche ein Element aus 

8T ist, also ist • ein Hüllenoperator, und es gilt 8T = {A ⊆ M | A = A • }. Somit ist 8T das 

zugehörige Hüllensystem. 

❚ 

Bei diesem Satz enthält der Rahmenkontext H = VKon( ⎯ ) ∩ Resp(H) sowohl Informationen über 

negierte Merkmale, als auch über die Implikationenmenge H. Für jede vollständig konsistente 

Menge A ⊆ M gibt es (genau) eine Menge T ⊆ M+ mit T ∪ (M-- T) ⊆ A. Hierbei ist T ∪ (M-- T) 

die kleinste vollständig konsistente Teilmenge von A. Das Mengensystem 8T-{M} besteht genau 

aus den vollständig konsistenten Mengen, welche T ∪ (M-- T ) enthalten, und entweder P-Inhalte 

oder P-pseudoabgeschlossen sind, insbesondere gilt 8T ⊆ H ∪ {M} wegen {m, m } → M ∈ 

Imp(H) für m ∈ M+. Mit Hilfe der Definition des zugehörigen Hüllenoperators • kann man zu jeder 

Menge A ⊆ M relativ einfach die Hülle A • von A bezüglich des Hüllensystems 8T bestimmen, 

wenn man bereits alle P-pseudoabgeschlossenen echten Teilmengen von A konstruiert hat. Eine 

praktische Anwendung dieses Satzes befindet sich in Kapitel 3.1.5. 

Durch Hinzunahme der Menge M zu einem Rahmenkontext ändert sich weder die Menge der 

P-Inhalte noch die Menge der P-pseudoabgeschlossenen Mengen.

3.5. Lemma (Erweiterung des Rahmenkontextes um die gesamte Merkmalsmenge): 

Seien P ⊆ ImpM, H ⊆ ℘(M) und H' = H ∪ {M}. Dann sind die P-Inhalte bezüglich H genau die 

P-Inhalte bezüglich H', und die bezüglich H P-pseudoabgeschlossenen Mengen sind genau die 

bezüglich H' P-pseudoabgeschlossenen Mengen. 

Beweis: 

Die Mengensysteme Resp(P) ∩ H und Resp(P) ∩ H' erzeugen die gleichen Hüllensysteme. Damit 

gilt ConsH (P) =2.71 Imp(Resp(P) ∩ H) =2.30 Imp(Resp(Imp(Resp(P) ∩ H))) =2.34 

Imp(Resp(Imp(Resp(P))) ∩ H') =2.30 Imp(Resp(P) ∩ H') =2.71 ConsH' (P). 

Nach Satz 3.2 (Äquivalenz (1) ⇔ (2)) sind die P-Inhalte bezüglich H genau die P-Inhalte bezüglich 

H'. Die zweite Behauptung folgt direkt aus der Definition von P-pseudoabgeschlossen, weil M ein 

P-Inhalt ist. 

❚ 

Der folgende Satz ist eine Verallgemeinerung von Proposition 24 aus [GanterWille99] auf 

Rahmenkontexte: 

3.6. Satz (Durchschnitt unvergleichbarer P-pseudoabgeschlossener Mengen ist bei Hüllensystemen 

ein P-Inhalt): 

Sei H ⊆ ℘(M) ein Mengensystem (für eine endliche Menge M), welches gegenüber zweistelligen 

Durchschnitten abgeschlossen ist und P ⊆ ImpM. Seien A und B zwei unvergleichbare Mengen, die 

P-pseudoabgeschlossen bezüglich H sind. Dann ist A ∩ B ein P-Inhalt. 

Beweis: 

Sei H' = H ∪ {M}, dann ist H' ein Hüllensystem, weil M endlich ist. Nach Lemma 3.5 sind A und 

B P-pseudoabgeschlossen bezüglich H'. Nach Satz 3.4 (mit M+ = ∅ und H = Imp(H')) ist A ∩ B 

entweder ein P-Inhalt bezüglich H' oder P-pseudoabgeschlossen bezüglich H'. Es gilt A ∈ H' und 

B ∈ H', also auch A ∩ B ∈ H'. Wenn A ∩ B bezüglich H' P-pseudoabgeschlossen ist, dann gibt es 

nach Satz 3.2 (Äquivalenz (1) ⇔ (4)) eine Implikation C → D ∈ P mit C ⊆ A ∩ B und d ∉ A ∩ B 

für ein d ∈ D. Nach Regel (AU) und (PR) gilt A ∩ B → d ∈ ConsErf(P), und da A P-pseudoabgeschlossen 

bezüglich H' ist, gilt d ∈ A, denn A und B sind unvergleichbar. Analog gilt 

d ∈ B, was ein Widerspruch zu d ∉ A ∩ B ist. Damit ist A ∩ B ein P-Inhalt bezüglich H', und nach 

Lemma 3.5 auch bezüglich H. 

❚ 

Wenn der Rahmenkontext nicht bezüglich Durchschnitten abgeschlossen ist, dann ist der 

Durchschnitt von P-pseudoabgeschlossenen Mengen im allgemeinen kein P-Inhalt. Wenn zum 

Beispiel H = {A, B} für zwei unvergleichbare Mengen A, B ⊆ M gilt, und P = ImpM ist, dann sind 

A und B P-pseudoabgeschlossen bezüglich H, aber A ∩ B weder ein P-Inhalt noch P-pseudoabgeschlossen 

bezüglich H, weil P-pseudoabgeschlossene Mengen im Rahmenkontext liegen müssen. 

Um in der Praxis nicht unnötig viele Implikationen speichern zu müssen, ist es häufig sinnvoll, eine 

Basis der verwendeten Implikationenmengen zu konstruieren. Insbesondere enthält Erf(|K) für einen 

unvollständigen Kontext |K sehr viele Implikationen. Es gibt mehrere Algorithmen, eine Basis zu 

konstruieren. Eine mögliche Basis wird in der folgenden Definition angegeben. 

111

3.7. Definition (DGBH (P)): 

Für H ⊆ ℘(M) und P ⊆ ImpM sei DGBH (P) := 

{A → {m ∈ M | A → m ∈ ConsErf(P)} | A ist P-pseudoabgeschlossen bezüglich H}. 

3.8. Satz (Duquenne-Gigue-Basis): 

Seien H ⊆ ℘(M), P ⊆ ImpM. Dann ist DGB H (P) eine Basis von P bezüglich H. Diese Basis heißt 

Duquenne-Gigue-Basis. 

Beweis: 119 

Es wird zunächst Cons H (DGB H (P)) = Cons H (P) bewiesen: 

Jede Implikation A → {m ∈ M | A → m ∈ ConsErf(P)} ∈ DGB H (P) ist nach Regel (AD) ein 

Element von ConsH (P), also gilt ConsH (DGBH (P)) ⊆ ConsH (P). 

Um die umgekehrte Inklusion zu zeigen, wird zunächst RespH (DGBH (P)) ⊆ RespH (P) bewiesen. 

Sei A ∈ RespH (DGBH (P)), dann gilt A ∈ H. Für alle P-pseudoabgeschlossenen echten Teilmengen 

B von A gilt {m ∈ M | B → m ∈ ConsErf(P)} ⊆ A, weil A die Implikation B → {m ∈ M | B → m ∈ 

ConsErf(P)} ∈ DGBH (P) respektiert. Wenn A kein P-Inhalt ist, dann ist A P-pseudoabgeschlossen, 

was nach Lemma 3.3 ein Widerspruch ist, weil A dann die Implikation A → {m ∈ M | A → m ∈ 

ConsErf(P)} ∈ DGBH (P) respektiert. Damit muß A ein P-Inhalt sein, d.h. es gilt A ∈ RespH (P). 

Damit gilt RespH (DGBH (P)) ⊆ RespH (P), und nach Satz 2.71 (Äquivalenz (1) ⇔ (2)) gilt 

ConsH (P) = Imp(RespH (P)) ⊆ Imp(RespH (DGBH (P))) = ConsH (DGBH (P)), also gilt auch die 

Gleichheit: ConsH (DGBH (P)) = ConsH (P). 

Es bleibt noch zu zeigen, daß DGBH (P) irredundant ist. Seien A ⊆ M eine P-pseudoabgeschlossene 

Menge und Q := DGBH (P)-{A → {m ∈ M | A → m ∈ ConsErf(P)}}. Für alle P-pseudoabgeschlossenen 

echten Teilmengen B ⊂ A gilt {m ∈ M | B → m ∈ ConsErf(P)} ⊆ A, also A ∈ RespH (Q). 

Damit gilt A → {m ∈ M | A → m ∈ ConsErf(P)} ∉ Imp(RespH (Q)), weil diese Implikation nach 

Lemma 3.3 nicht von A respektiert wird, also ConsH (DGBH (P)) ≠ Imp(RespH (Q)) =2.71 ConsH (Q). 

Damit ist DGBH (P) eine Basis, denn für alle echten Teilmengen Q ⊂ DGBH (P) gilt 

ConsH (DGBH (P)) ≠ ConsH (Q). 

❚ 

Die Prämissen der Implikationen A → B ∈ DGBH (P) sind genau die P-pseudoabgeschlossenen 

Mengen, insbesondere ist die Prämisse A immer ein Element des Rahmenkontextes H. Die Menge 

{m ∈ M | A → m ∈ ConsErf(P)} ist häufig eine echte Teilmenge der Hülle P von A bezüglich 

P. Wenn P jedoch abgeschlossen ist bezüglich des Operators ConsH , dann ist {m ∈ M | A → m ∈ 

ConsErf(P)} gleich der Hülle P: 

3.9. Lemma (Wenn P bezüglich der Regeln (AX), (PS) und (H-EX) abgeschlossen ist, dann ist 

die Menge {m ∈ M | A → m ∈ ConsErf(P)} die Hülle von A): 

Seien A ⊆ M und P ⊆ ImpM mit ConsH (P) = P. Dann gilt 

{m ∈ M | A → m ∈ ConsErf(P)} = {m ∈ M | A → m ∈ ConsH (P)} = P. 

119 

Der Beweis dieses Satzes verläuft ähnlich dem Beweis in [GanterWille99] für einwertige Kontexte ohne 

Rahmenkontext. 

112

Beweis: 

Die erste Gleichung gilt, weil man unter den gegebenen Voraussetzungen ConsErf(P) = P = 

Cons H (P) hat. Aus A → m ∈ Cons H (P) folgt m ∈ Cons H (P) = P, und aus m ∈ P folgt 

nach Satz 2.71 (Äquivalenz (1) ⇔ (3)) auch A → m ∈ ConsH (P), also gilt 

{m ∈ M | A → m ∈ ConsH (P)} = P. 

❚ 


In der Literatur 120 wird bei den Definitionen von pseudoabgeschlossenen Mengen und der 

Duquenne-Gigue-Basis die Menge Cons H (P) = {m ∈ M | A → m ∈ Cons H (P)} anstatt der Menge 

{m ∈ M | A → m ∈ ConsErf(P)} verwendet. Wenn P = ConsH (P) ist, stimmen nach Lemma 3.9 

beide Definitionen überein. Bei der Merkmalexploration mit unvollständigen Kontexten ist jedoch 

die Menge Erf(|K) nicht bezüglich des Operators ConsH abgeschlossen. Für P = Erf(|K) macht es 

einen Unterschied, ob der Experte durch das Explorationsprogramm nach der Gültigkeit von 

A → ConsH (Erf(|K)) oder von A → {m ∈ M | A → m ∈ Erf(|K)} 121 gefragt wird, denn der Kontext 

kann bereits ein Gegenbeispiel für die erste Implikation enthalten, während die zweite Implikation 

in |K erfüllbar ist. 


Für den Rahmenkontext H = ℘(M) und den Kontext 

|K a b c 

g × ? o 

gilt ConsH (Erf(|K)) = {a, b, c}, weil a → b und b → c erfüllbar sind, aber es gilt {m ∈ M | a → m 

∈ ConsErf(Erf(|K))} =2.55 {m ∈ M | a → m ∈ Erf(|K)} = {a, b}. Es ist also nicht sinnvoll, wenn das 

Merkmalexplorationsprogramm nach der Gültigkeit der Implikation {a} → ConsH (Erf(|K)) fragt, 

wenn diese Implikation im Kontext nicht erfüllbar ist. Die meisten Sätze von Kapitel 3.1.3 sind 

nicht mehr korrekt, wenn die Menge ConsH (P) anstatt {m ∈ M | A → m ∈ ConsErf(P)} in der 

Definition von pseudoabgeschlossenen Mengen verwendet wird, selbst wenn das 

Explorationsprogramm bei der Frage nach einer Implikation die Konklusion entsprechend 

einschränkt. Später wird bewiesen, 122 daß am Ende der Merkmalexploration beide Mengen 

übereinstimmen, d.h. wenn |K * der Kontext ist, der aus der Merkmalexploration entsteht, dann gilt 

ConsH (Erf(|K * )) = Erf(|K * ) und ConsH (Erf(|K)) = {m ∈ M | A → m ∈ Erf(|K * )}. 

Da bei der Merkmalexploration als Implikationenmenge P die Menge der erfüllbaren Implikationen 

eines unvollständigen Kontextes verwendet wird, wird nun für diesen Fall eine kürzere Definition 

der P-pseudoabgeschlossenen Mengen und der Duquenne-Gigue-Basis mit Hilfe der Ableitungsoperatoren 

angegeben. 

3.12. Satz (Zusammenhang zwischen pseudoabgeschlossenen Mengen und dem Operator 

‡z ): 

Seien H ⊆ ℘(M) und |K ein unvollständiger Kontext. Eine Menge A ⊆ M ist genau dann 

Erf(|K)-pseudoabgeschlossen bezüglich H, wenn A ‡z ≠ A ∈ H gilt, und B ‡z ⊆ A für alle echten 

Erf(|K)-pseudoabgeschlossen Teilmengen B ⊂ A ist. 

120 z.B. in [Ganter98], Kapitel 1.3 

121 nach Satz 2.55 gilt ConsErf(Erf(|K)) = Erf(|K)) 


113

Es gilt DGB H (Erf(|K)) = {A → A ‡z | A ist Erf(|K)-pseudoabgeschlossen bezüglich H}. 

Beweis: 

Es gilt A ‡z =2.58.(1) {m ∈ M | A → m ∈ Erf(|K)} =2.55 {m ∈ M | A → m ∈ ConsErf(Erf(|K))}. 

Nach Satz 3.2 (Äquivalenz (1) ⇔ (6)) gilt genau dann A ≠ A ‡z , wenn A kein Erf(|K)-Inhalt ist, und 

B ‡z ⊆ A gilt genau dann, wenn {m ∈ M | B → m ∈ ConsErf(Erf(|K))} ⊆ A gilt. 

❚ 

Der folgende Satz liefert Bedingungen, wie man überprüfen kann, ob eine gegebene Menge 

P ⊆ ImpM die Duquenne-Gigue-Basis einer anderen gegebenen Menge Q ⊆ ImpM ist. 

3.13. Satz (Charakterisierung der Duquenne-Gigue-Basis): 

Seien P, Q ⊆ ImpM und H ⊆ ℘(M). Genau dann gilt P = DGBH (Q), wenn die folgenden drei 

Bedingungen erfüllt sind: 

(1) Q ⊆ ConsH (P) 

(2) Für alle A → B ∈ P gilt A ≠ B = {m ∈ M | A → m ∈ ConsErf(Q)} 

(3) Für alle A → B ∈ P gilt A ∈ RespH (P-{A → B}) 

Beweis: 

'⇒': 

Sei P = DGBH (Q). Dann gelten (1) und (2) nach Satz 3.8 und Definition 3.7. 

Seien A → B ∈ P und C → D ∈ P-{A → B} mit C ⊆ A. Dann sind A und C Q-pseudoabgeschlossen, 

also gilt D ⊆ A und A ∈ Resp(P-{A → B}). Nach Definition von Q-Pseudoabgeschlossenheit 

gilt A ∈ H, also gilt (3). 

'⇐': 

Seien (1), (2) und (3) erfüllt. 

Behauptung: Für alle A ⊆ M gilt: A ist genau dann Q-pseudoabgeschlossen, wenn A eine Prämisse 

von P ist. 

Beweis: 

Wenn die Behauptung falsch ist, dann sei A ⊆ M eine minimale Menge, welche die Behauptung 

nicht erfüllt. 

Fall 1: A ist Q-pseudoabgeschlossen, aber keine Prämisse von P. 

Sei C → D ∈ P mit C ⊆ A. Dann ist C eine echte Teilmenge von A, weil A keine Prämisse von P 

ist. Wegen der Minimalität von A ist C auch Q-pseudoabgeschlossen, also gilt 

D =(2) {m ∈ M | C → m ∈ ConsErf(Q)} ⊆ A. 

Damit gilt A ∈ Resp(P). Nach Satz 3.2 (Äquivalenz (4) ⇔ (2)) gilt 

A ∈ Resp(ConsH (P)) ⊆(1) Resp(Q), 

und nach Satz 3.2 (Äquivalenz (4) ⇔ (6)) gilt 

A = {m ∈ M | A → m ∈ ConsErf(Q)}. 

Dies ist ein Widerspruch zu Lemma 3.3. 

Fall 2: A eine Prämisse von P, aber nicht Q-pseudoabgeschlossen. 

Sei B = {m ∈ M | A → m ∈ ConsErf(Q)}. Dann gilt A → B ∈ P nach (2) und A ∈ H nach (3). 

Wegen (2) und Satz 3.2 (Äquivalenz (1) ⇔ (6)) ist A kein Q-Inhalt, und da A nicht Q-pseudoabgeschlossen 

ist, existiert eine Q-pseudoabgeschlossene echte Teilmenge C ⊂ A, so daß {m ∈ M | 

C → m ∈ ConsErf(Q)} keine Teilmenge von A ist. Wegen der Minimalität von A und (2) gilt C → 

{m ∈ M | C → m ∈ ConsErf(Q)} ∈ P. Dies ist ein Widerspruch zu (3). 

❚ 

114

Die Duquenne-Gigue-Basis einer Menge P ist zwar eine irredundante Menge von Implikationen, 

jedoch kann es sein, daß die Mächtigkeit von DGB H (P) größer ist, als nötig. Durch eine geeignete 

Wahl des Rahmenkontextes läßt sich dies vermeiden, d.h. bei speziellen Rahmenkontexten ist die 

Anzahl der Implikationen in DGB H (P) minimal: Es gibt kein Erzeugendensystem (bezüglich des 

Rahmenkontextes H) von Cons H (P) mit weniger Implikationen. Eine gute Wahl für solche 

Rahmenkontexte sind Hüllensysteme: 

3.14. Satz (Die Duquenne-Gigue-Basis hat minimale Mächtigkeit, wenn der Rahmenkontext 

ein Hüllensystem ist): 

Für 8 ⊆℘(M) sind folgende Aussagen äquivalent: 

(1) 8 ist gegenüber (zweistelligen) Durchschnitten abgeschlossen. 123 

(2) Für alle H ⊆℘(M) und P, Q ⊆ ImpM mit 8 ⊆ H und ConsH (Q) = Cons8 (P) = P gilt 

|DGB8 (P)| ≤ |Q|. 

Beweis: 

(1) ⇒ (2): 124 

Seien H ⊆ ℘(M) und P, Q ⊆ ImpM mit 8 ⊆ H und Cons H (Q) = Cons 8 (P) = P. Zum Beweis von 

|DGB8 (P)| ≤ |Q| wird eine injektive Funktion f : DGB8 (P) → Q konstruiert. Nach Lemma 3.9 gilt 

{m ∈ M | A → m ∈ ConsErf(P)} = Cons8 (P) = P für alle A ∈ M. Sei A → B ∈ DGB8 (P). 

Nach Satz 3.8 gilt A → B ∈ Cons8 (P) = ConsH (Q) =2.71 Imp(RespH (Q)). Dann gilt A ∈ 8 ⊆ H, 

und A ∉ RespH (Q), also gibt es eine Implikation C → D ∈ Q, die nicht von A respektiert wird. 

Damit läßt sich eine Funktion f : DGB8 (P) → Q mit f(A → B) := C → D definieren, welche jeder 

Implikation A → B ∈ DGB 8 (P) eine Implikation C → D ∈ Q zuordnet, die nicht von A respektiert 

wird. Es wird nun gezeigt, daß f injektiv ist. 

Seien A1 → B1, A2 → B2 ∈ DGB 8 (P) mit f(A1 → B1) = f(A2 → B2) =: C → D ∈ Q. 

Dann gilt C ⊆ A1 ∩ A2, D ⊆/ A1, D ⊆/ A2 und D ⊆/ A1 ∩ A2, also A1 ∩ A2 ∉ Resp(P) wegen C → D 

∈ Q ⊆ P. Die Menge A1 ∩ A2 ist nach Satz 3.2 (Äquivalenz (1) ⇔ (2)) kein P-Inhalt bezüglich 8, 

und nach Satz 3.6 gilt A1 ⊆ A2 oder A2 ⊆ A1. O.B.d.A gelte A1 ⊆ A2. Es gilt P = ConsH (Q) 

∈ Resp(Q), also D ⊆ P wegen C ⊆ A1 ⊆ P . Somit gilt P ⊆/ A2. Da A2 P-pseudoabgeschlossen 

bezüglich 8 ist, kann A1 keine echte Teilmenge von A2 sein, also A1 = A2. Damit 

gilt auch B1 = B2, und f ist injektiv. 

Somit gilt |DGB8 (P)| ≤ |Q|. 

(2) ⇒ (1): 

Annahme: 8 ist nicht gegenüber Durchschnitte abgeschlossen 

Dann gibt es A1, A2 ∈ 8 mit A1 ∩ A2 ∉ 8. Seien H := 8, Q := {A1 ∩ A2 → M} und 

P := Cons 8 (Q). Wegen (2) gilt |DGB 8 (P)| ≤ |Q| = 1. Die Mengen A1 und A2 sind unvergleichbar, 

weil A1 ∩ A2 ∉ 8 gilt, insbesondere sind A1 und A2 echte Teilmengen von M. Wegen A1 ∈ 8 gilt 

A1 ∩ A2 → M ∉ Imp(8) =2.72.(2) Cons8 (∅), also kann DGB8 (P) wegen A1 ∩ A2 → M ∈ Q ⊆ 

Cons8 (P) =3.8 Cons8 (DGB8 (P)) nicht leer sein. Sei C → D das (einzige) Element von DGB8 (P). 

123 

Da M endlich ist, ist dies äquivalent zu der Eigenschaft, daß 8 ∪ {M} ein Hüllensystem ist. 

124 

In [Krauße] (Kapitel 11) wird ein ähnlicher Satz bewiesen, allerdings ohne Rahmenkontexte. Der Beweis von 

(1) ⇒ (2) verläuft jedoch analog. 

115

Dann gilt A1 ∩ A2 → M ∈ Cons8 (DGB8 (P)) =2.71 Imp(Resp(C → D) ∩ 8), also A1 ∉ Resp(C → 

D) wegen A1 ∩ A2 ⊆ A1 und M ⊆/ A1 ∈ 8. Damit gilt C ⊆ A1, und analog auch C ⊆ A2. Wegen 

C ∈ 8 gilt C ≠ A1 ∩ A2, also ist C eine echte Teilmenge von A1 ∩ A2. Es gilt C ∈ Resp(A1 ∩ A2 

→ M) ∩ 8, was ein Widerspruch zu C → D ∈ DGB 8 (P) ⊆3.8 Cons 8 (P) = Cons 8 (Q) =2.71 

Imp(Resp(A1 ∩ A2 → M) ∩ 8) ist. 

❚ 

Wenn man als Rahmenkontext ein Hüllensystem 8 verwendet, und P bezüglich des Operators 

Cons8 abgeschlossen ist, dann ist DGB8 (P) immer eine Basis mit minimaler Anzahl von 

Implikationen. Diese Anzahl kann nur verringert werden, wenn man mehr Informationen in den 

Rahmenkontext steckt. Wenn der andere Rahmenkontext H weniger Informationen als 8 enthält 

(d.h. wenn 8 ⊆ H gilt), dann ist die Mächtigkeit |Q| eines Erzeugendensystems Q von P 

(bezüglich des Rahmenkontextes H) mindestens so groß, wie die Mächtigkeit |DGB8 (P)| der 

Duquenne-Gigue-Basis von P. 

Der Rahmenkontext 8 ist genau dann ein Hüllensystem, wenn 8 = Resp(H) für eine Menge 

H ⊆ ImpM von Implikationen ist, denn die respektierenden Mengen von H bilden nach Lemma 2.31 

immer ein Hüllensystem, und für jedes Hüllensystem 8 gilt 8 = Resp(Imp(8)) nach Lemma 

2.34. Es ist daher sinnvoll, die Merkmalexploration mit einer Menge von Hintergrundimplikationen 

H ⊆ ImpM durchzuführen, damit die Basis minimal wird. Auch die Anzahl der Fragen, die das 

Merkmalexplorationsprogramm an den Experten stellt, wird dadurch minimiert. Ein Beispiel dafür, 

daß die Basis für andere Rahmenkontexte nicht minimal ist, wird in Kapitel 4.1 angegeben. 

Wie bereits erwähnt ist die Bedingung P = Cons8 (P) aus Satz 3.14 für P = Erf(|K * ) am Ende der 

Merkmalexploration immer erfüllt. 

116

3.1.2 Fragezeichenreduktion 

Wenn man bei einem unvollständigen Kontext |K sich nur für solche Vervollständigungen 

interessiert, welche gewisse Eigenschaften erfüllen (z.B. für Vervollständigungen, in der eine 

vorgegebene Menge P von Implikationen gültig ist), dann kann man auch einige Fragezeichen von 

|K durch andere Werte ersetzen, sofern sich dadurch die Menge der "interessanten" 

Vervollständigungen nicht ändert. Diese Ersetzung nennt man Fragezeichenreduktion. Sie ist 

insbesondere bei der Merkmalexploration sinnvoll, wenn durch |K ein einwertiger Kontext |K 8 ∈ 

V(|K) beschrieben werden soll, in dem zwar nicht alle Einträge bekannt sind, aber für den man 

einige Zusammenhänge zwischen den Merkmalen kennt. 

3.15. Definition (fragezeichenreduzierte Kontexte): 

Seien H ⊆ ℘(M), |K = (G, M, {×, ?, o}, I) ein unvollständiger Kontext und P ⊆ ImpM. Der Kontext 

|K heißt P-fragezeichenreduziert (bezüglich H), wenn für alle g ∈ G und m ∈ M folgende 

Bedingungen erfüllt sind: 

(i) Wenn m ∈ T für alle T ∈ RespH (P) mit g ‡ ⊆ T ⊆ gz gilt, dann gilt I(g, m) = × 

(ii) Wenn m ∉ T für alle T ∈ RespH (P) mit g ‡ ⊆ T ⊆ gz gilt, dann gilt I(g, m) = o 

Die Mengen T ⊆ M mit g ‡ ⊆ T ⊆ gz sind genau die Gegenstandsinhalte des Gegenstands g in den 

Vervollständigungen der Kontextzeile von g: 

{T ⊆ M | g ‡ ⊆ T ⊆ gz } = {g J | (G, M, J) ∈ V(|K)} 

Wenn der Gegenstand g ∈ G in jeder Vervollständigung der Kontextzeile von g, für die P gültig ist 

und dessen Gegenstandsinhalt in H liegt (d.h. g J ∈ Resp(P) ∩ H = RespH (P)), das Merkmal m hat, 

dann sagt Bedingung (i) aus, daß g auch im Kontext |K das Merkmal m hat. Analog sagt Bedingung 

(ii) aus, daß g im Kontext |K das Merkmal m nicht hat, wenn g das Merkmal m in keiner 

Vervollständigung aus Resp(P) ∩ H hat. Man beachte, daß sich (i) und (ii) widersprechen, wenn es 

kein T ∈ RespH (P) mit g ‡ ⊆ T ⊆ gz gibt. 

Wenn für einen einwertigen Kontext |K' = (G, M, J) die Kontextrelation nicht vollständig bekannt 

ist, aber dafür ein Rahmenkontext H ⊆ ℘(M) und eine Menge P ⊆ ImpM mit P ⊆ Imp(|K') und 

g J ∈ H für alle g ∈ G bekannt sind, können im zugehörigen unvollständigen Kontext |K einige 

Fragezeichen durch den Wert × oder durch den Wert o ersetzt werden. 


Seien H = ℘(M), P = {a → b} und |K der Kontext 

|K a b 

g × ? 

h ? o 

Wenn bekannt ist, daß im unbekannten Kontext |K' = (G, M, J) ∈ V(|K) die Implikation a → b gültig 

ist, dann muß (g, b) ∈ J sein, weil (a, g) ∈ J ist. Das Fragezeichen I(g, b) kann also im Kontext |K 

durch ein × ersetzt werden. Analog kann das Fragezeichen I(h, a) durch den Wert o ersetzt werden, 

weil die Implikation a → b verletzt wäre, wenn der Gegenstand h das Merkmal a im Kontext |K' 

hätte. Der Kontext |K ist also noch nicht P-fragezeichenreduziert, weil Bedingung (i) durch den 

Gegenstand g verletzt ist, und Bedingung (ii) durch den Gegenstand h verletzt ist. Durch Ersetzung 

der Fragezeichen durch die Werte × bzw. o erhält man einen P-fragezeichenreduzierten Kontext. 

117

3.17. Satz (Charakterisierung der Existenz eines fragezeichenreduzierten Kontextes, 

welcher größer oder gleich dem gegebenen Kontext ist): 

Seien H ⊆ ℘(M), |K = (G, M, {×, ?, o}, I) ein unvollständiger Kontext (mit M ≠ ∅) und P ⊆ ImpM. 


(1) Es gibt einen kleinsten 125 bezüglich H P-fragezeichenreduzierten Kontext |K' ≥ |K. 

(2) Es gibt einen bezüglich H P-fragezeichenreduzierten Kontext |K' ≥ |K. 

(3) Für alle g ∈ G gibt es ein Tg ∈ Resp H (P) mit g ‡ ⊆ Tg ⊆ g z . 

(4) Es gibt eine Vervollständigung |K' = (G, M, J) ∈ V(|K) mit P ⊆ Imp(|K') und g J ∈ H für alle 

g ∈ G. 

(5) Für alle g ∈ G werden bei der endlichen Anwendung folgender Regeln auf |K die Werte × und o 

nicht durch andere Werte ersetzt: 

(i) Wenn m ∈ T für alle T ∈ RespH (P) mit g ‡ ⊆ T ⊆ gz gilt, dann wird der Wert I(g, m) 

durch den Wert × ersetzt. 

(ii) Wenn m ∉ T für alle T ∈ RespH (P) mit g ‡ ⊆ T ⊆ gz gilt, dann wird der Wert I(g, m) 

durch den Wert o ersetzt. 

Beweis: 

(1) ⇒ (2): Trivial. 

(2) ⇒ (3): 

Seien g ∈ G und m ∈ M. Der Kontext |K' = (G, M, {×, ?, o}, J) aus (2) ist bezüglich der Regeln (i) 

und (ii) abgeschlossen, also muß es ein Tg ∈ RespH (P) geben, so daß g ‡ ⊆ Tg ⊆ gz bezüglich |K' 

gilt, denn sonst müßte × = J(g, m) = o nach Regel (i) und (ii) gelten. Wegen |K ≤ |K' gilt g ‡ ⊆ Tg ⊆ 

gz auch bezüglich |K. 

(3) ⇒ (4): 

Für g ∈ G sei Tg ∈ RespH (P) mit g ‡ ⊆ Tg ⊆ gz . Durch g J := Tg für g ∈ G wird eine 

Vervollständigung |K' = (G, M, J) ∈ V(|K) definiert mit P ⊆ Imp(|K') und g J ∈ H für g ∈ G, denn es 

gilt Tg ∈ Resp(P) ∩ H und g ‡ ⊆ Tg ⊆ gz . 

(4) ⇒ (5): 

Für g ∈ G gilt g J ∈ RespH (P) und g ‡ ⊆ g J ⊆ gz im Kontext |K. Nach jeder Anwendung der Regeln 

(i) und (ii) auf den Kontext |K ist die Bedingung g ‡ ⊆ g J ⊆ gz immer noch erfüllt, denn I(g, m) wird 

nur für Merkmale m aus g J durch den Wert × ersetzt, und I(g, m) wird nur für Merkmale m aus 

M-g J durch den Wert o ersetzt. Damit können die Werte × und o nicht durch andere Werte ersetzt 

werden. 

(5) ⇒ (1): 

Man wendet die Regeln (i) und (ii) für jeden Gegenstand g ∈ G solange an, bis man keine 

Fragezeichen mehr ersetzen kann. 126 Dies führt zu einem P-fragezeichenreduzierten Kontext |K'. 

Durch jede Regelanwendung kann sich der Kontext höchstens vergrößern, also gilt |K' ≥ |K. Sei |K'' 

ein anderer P-fragezeichenreduzierter Kontext mit |K'' ≥ |K. Dann ist jeder Kontext, welcher durch 

endliche Anwendung von (i) und (ii) aus |K entsteht, nach jeder Regelanwendung durch |K'' 

beschränkt, somit gilt auch |K' ≤ |K''. 

❚ 

125 

mit der Informationsordnung × > ? < o aus Kapitel 2.1 

126 

Da M endlich ist, läßt sich jede Kontextzeile durch endlich viele Regelanwendungen in eine fragezeichenreduzierte 

Kontextzeile überführen. 

118

Der kleinste P-fragezeichenreduzierte Kontext |K' ≥ |K aus dem vorigen Satz wird mit Red H P (|K) 

bezeichnet, falls er existiert. Für einen Gegenstand g ∈ G von |K bezeichnet Red H P (g) die kleinste 

P-fragezeichenreduzierte Kontextzeile mit Red H P (g) ≥ I(g, ⋅), falls sie existiert. Offensichtlich 

existiert Red H P (|K) genau dann, wenn Red H P (g) für alle g ∈ G existiert, und der P-fragezeichenreduzierte 

Kontext Red H P (|K) besteht gerade aus den fragezeichenreduzierten Kontextzeilen Red H P (g). 

Satz 3.17 gilt auch für einzelne Kontextzeilen: Genau dann existiert Red H P (g), wenn es für die 

Kontextzeile von g eine Vervollständigung gibt, in der P gültig ist und dessen Inhalt in H liegt. Aus 

Satz 3.17 folgt auch die Erfüllbarkeit von ConsH (P), sofern Red H P (|K) existiert: 

3.18. Korollar (Wenn ein Kontext fragezeichenreduzierbar ist, dann sind alle Folgerungen 

der Implikationenmenge erfüllbar): 

Wenn Red H P (|K) existiert, dann gilt Cons H (P) ⊆ Erf(|K). 

Beweis: 

Die Implikationen der Vervollständigung |K' aus Bedingung (4) von Satz 3.17 sind nach Bemerkung 

2.72.(1) bezüglich des Operators Cons H abgeschlossen, also gilt Cons H (P) ⊆ Imp(|K') ⊆ Erf(|K). 

❚ 

Aus der Erfüllbarkeit von Cons H (P) im Kontext |K folgt im allgemeinen noch nicht die Existenz 

von Red H P (|K). Wenn |K der Kontext 

|K a b 

g × ? 

ist, dann gilt Erf(|K) = ImpM, aber für H = ℘(M)-{M} und P = {a → b} gibt es kein Tg ∈ RespH (P) 

= {∅, {b}} mit g ‡ ⊆ Tg ⊆ gz , also kann Red H P (|K) nach Bedingung (3) von Satz 3.17 nicht 

existieren. 

Für T ⊆ M sind bei der Anwendung der Regeln (i) und (ii) die Bedingungen T ∈ RespH (P) und 

g ‡ ⊆ T ⊆ gz vor der Anwendung einer Regel äquivalent zu diesen Bedingungen nach Anwendung 

der Regel, denn wenn vor der Regelanwendung g ‡ ⊆ T ⊆ gz gilt, dann wird bei Regel (i) die Menge 

g ‡ nur um ein Element aus T vergrößert, und bei Regel (ii) wird die Menge gz nur um ein Element 

aus M-T verkleinert. Man kann also die fragezeichenreduzierte Kontextzeile explizit angeben: 

3.19. Korollar (Explizite Berechung der fragezeichenreduzierten Kontextzeile): 

Wenn Red H P (g) für einen Gegenstand g ∈ G existiert, dann gilt: 

Red H P (g)(m) = × gdw. m ∈ ∩{T ∈ Resp H (P) | g ‡ ⊆ T ⊆ g z } 

Red H P (g)(m) = o gdw. m ∉ ∪{T ∈ RespH (P) | g ‡ ⊆ T ⊆ gz } 

Red H P (g)(m) = ? sonst. 

❚ 

3.20. Satz (Die Fragezeichenreduktion liefert den größten Kontext, welcher die gleichen 

Informationen enthält, wie der gegebene Kontext): 

Seien |K = (G, M, {×, ?, o}, I), |K' = (G, M, {×, ?, o}, I') unvollständige Kontexte mit |K ≤ |K' und 

H ⊆ ℘(M), P ⊆ ImpM, so daß Red H P (|K) existiert. Folgende Aussagen sind äquivalent: 

119

(1) |K' ≤ Red H P (|K) 

(2) {T ∈ RespH (P) | g ‡ ⊆ T ⊆ gz gilt in |K} = {T ∈ RespH (P) | g ‡ ⊆ T ⊆ gz gilt in |K'} für alle 

g ∈ G 

(3) {|K'' ∈ V(|K) | P ⊆ Imp(|K'') und g I'' ∈ H für alle g ∈ G} = {|K'' ∈ V(|K') | P ⊆ Imp(|K'') und 

g I'' ∈ H für alle g ∈ G}, wobei I'' die Kontextrelation von |K'' bezeichnet. 

Beweis: 

(1) ⇒ (2): 

Sei T ∈ RespH (P). Wenn g ‡ ⊆ T ⊆ gz bezüglich |K' gilt, dann gilt g ‡ ⊆ T ⊆ gz auch bezüglich |K 

wegen |K ≤ |K'. 

Wenn g ‡ ⊆ T ⊆ gz bezüglich |K gilt, dann gilt g ‡ ⊆ T ⊆ gz nach Korollar 3.19 auch bezüglich 

Red H P (|K), und nach (1) auch bezüglich |K'. 

(2) ⇒ (3): 

Sei |K'' ∈ V(|K) mit P ⊆ Imp(|K'') und g I'' ∈ H für alle g ∈ G. Für g ∈ G gilt dann g I'' ∈ RespH (P) 

und g ‡ ⊆ g I'' ⊆ gz bezüglich |K, also nach (2) auch bezüglich |K'. Damit gilt |K'' ∈ V(|K'), und {|K'' ∈ 

V(|K) | P ⊆ Imp(|K'') und g I'' ∈ H für alle g ∈ G} ⊆ {|K'' ∈ V(|K') | P ⊆ Imp(|K'') und g I'' ∈ H für alle 

g ∈ G}. Die Umkehrung gilt wegen V(|K') ⊆ V(|K). 

(3) ⇒ (1): 

Seien Red H P (|K) =: (G, M, {×, ?, o}, J) und g ∈ G. Es wird nun gezeigt, daß I'(g, m) ≤ J(g, m) für alle 

m ∈ M gilt. 

Sei m ∈ M mit I'(g, m) = ×. Sei T ∈ Resp H (P), so daß g ‡ ⊆ T ⊆ g z bezüglich |K gilt. Sei |K'' ∈ V(|K) 

mit P ⊆ Imp(|K''), T = g I'' und y I'' ∈ H für g ≠ y ∈ G. Solch eine Vervollständigung existiert nach 

Satz 3.17.(4), weil Red H P (|K) existiert. Nach (3) gilt |K'' ∈ V(|K'), also gilt m ∈ g ‡ ⊆ T bezüglich |K'. 

Damit gilt J(g, m) = × nach Regel (i) der Fragezeichenreduktion. 

Sei m ∈ M mit I'(g, m) = o. Sei T ∈ Resp H (P), so daß g ‡ ⊆ T ⊆ g z bezüglich |K gilt. Wie oben gilt 

g ‡ ⊆ T ⊆ g z auch bezüglich |K' wegen (3), also m ∉ T. Damit gilt J(g, m) = o nach Regel (ii) der 

Fragezeichenreduktion. 

Somit gilt I'(g, m) ≤ J(g, m) für alle m ∈ M und g ∈ G, also |K' ≤ Red H P (|K). 

❚ 

Von allen Kontexten |K', welche größer oder gleich |K sind, ist also Red H P (|K) der größte Kontext, 

welcher die gleichen Informationen (bezüglich des Hintergrundwissens H und P) enthält wie |K: 

Der unbekannte Kontext |K'' ∈ V(|K) ist eine Vervollständigung von |K' für alle |K' ≤ Red H P (|K). Für 

diejenigen Kontexte |K', welche nicht unter Red H P (|K) liegen, kann dies nicht mehr garantiert werden, 

d.h. es gibt eine Vervollständigung |K'' ∈ V(|K), welche das Hintergrundwissen H und P respektiert, 

aber keine Vervollständigung von |K' ist. 

Die Bedingungen (i) und (ii) aus Definition 3.15 sind die allgemeinsten Regeln, um Fragezeichen 

durch andere Werte zu ersetzen, wenn als Hintergrundwissen nur der Rahmenkontext H und die 

Implikationsmenge P bekannt ist, d.h. wenn aus dem Hintergrundwissen folgt, daß im unbekannten 

Kontext ein Gegenstand g das Merkmal m hat, dann liefert Bedingung (i) auch schon diese 

Information, weil hier gerade diejenigen Vervollständigungen T ⊆ M der Kontextzeile von g 

120

etrachtet werden, die mit dem Hintergrundwissen "konsistent" sind: T ∈ Resp H (P). Eine analoge 

Aussage gilt für Bedingung (ii). 

Bei der Anwendung der Regeln (i) und (ii) ist es meistens sehr aufwendig die Voraussetzung für 

diese Regeln zu überprüfen, weil alle Mengen aus RespH (P) untersucht werden müssen, die 

zwischen g ‡ und gz liegen. Für spezielle Rahmenkontexte H ⊆ ℘(M) läßt sich die Fragezeichenreduktion 

auch einfacher durchführen. Dazu werden im folgenden Satz zwei neue Regeln zur 

Fragezeichenreduktion aufgestellt. 

3.21. Satz (Weitere Fragezeichenreduktionsregeln): 

Seien H ⊆ ℘(M), |K = (G, M, {×, ?, o}, I) ein unvollständiger Kontext und P ⊆ ImpM. 

Wenn |K für g ∈ G bezüglich der Regeln (i) und (ii) abgeschlossen ist, dann ist |K auch bezüglich 

der folgenden Regeln abgeschlossen: 

(iii) Wenn A → B ∈ ConsH (P) und I(g, a) = × für alle a ∈ A ist, dann gilt I(g, b) = × für alle 

b ∈ B. 

(iv) Wenn A → B ∈ ConsH (P), m ∈ A, I(g, b) = o für ein b ∈ B und I(g, a) = × für alle 

a ∈ A-{m} ist, dann gilt I(g, m) = o. 

Wenn H ein Hüllensystem ist und |K bezüglich der Regeln (iii) und (iv) abgeschlossen ist, dann ist 

|K auch bezüglich der Regeln (i) und (ii) abgeschlossen. 

Beweis: 

Regel (iii): 

Seien A → B ∈ ConsH (P) und g ∈ G mit I(g, a) = × für alle a ∈ A. Sei b ∈ B. Sei T ∈ RespH (P), so 

daß g ‡ ⊆ T ⊆ gz gilt. Nach Satz 2.71 (Äquivalenz (1) ⇔ (2)) gilt A → B ∈ Imp(RespH (P)), also 

gilt b ∈ T wegen A ⊆ g ‡ ⊆ T. Aus Bedingung (i) der Fragezeichenreduktion folgt deshalb I(g, b) = 

×. Damit ist |K bezüglich Regel (iii) abgeschlossen. 

Regel (iv): 

Seien A → B ∈ Cons H (P), m ∈ A, I(g, b) = o für ein b ∈ B und I(g, a) = × für alle a ∈ A-{m}. Sei 

T ∈ Resp H (P), so daß g ‡ ⊆ T ⊆ g z gilt. Wenn m ∈ T ist, dann gilt A ⊆ g ‡ ∪ {m} ⊆ T, also B ⊆ T 

⊆ gz wegen A → B ∈ Imp(RespH (P)), was ein Widerspruch zu I(g, b) = o ist. Also gilt m ∉ T, und 

aus Regel (ii) der Fragezeichenreduktion folgt I(g, m) = o. Damit ist |K bezüglich Regel (iv) 

abgeschlossen. 

Seien nun H ein Hüllensystem und |K abgeschlossen bezüglich (iii) und (iv). Sei H := Imp(H). 

Dann gilt H =2.34 Resp(H). Es wird nun gezeigt, daß |K auch bezüglich der Regeln (i) und (ii) 

abgeschlossen ist. 

Sei g ∈ G. Für A → B ∈ ConsH (P) mit A ⊆ g ‡ gilt nach Regel (iii) auch B ⊆ g ‡ , also gilt 

g ‡ ∈ Resp(Cons H (P)) =2.71 Resp(Imp(Resp(P) ∩ Resp(H))) =2.30 Resp(Imp(Resp(P ∪ H))) =2.30 

Resp(P ∪ H) =2.30 Resp(P) ∩ Resp(H) = RespH (P). 

Regel (i): 

Sei m ∈ M, so daß m ∈ T für alle T ∈ RespH (P) mit g ‡ ⊆ T ⊆ gz gilt. Dann gilt insbesondere auch 

m ∈ g ‡ und I(g, m) = ×, also ist |K' bezüglich Regel (i) abgeschlossen. 

Regel (ii): 

Sei m ∈ M, so daß m ∉ T für alle T ∈ RespH (P) mit g ‡ ⊆ T ⊆ gz in |K' gilt. Nach Lemma 2.31 gilt 

P∪H ∈ Resp(P ∪ H) = Resp H (P) mit g ‡ ⊆ P∪H, also kann P∪H 

121

keine Teilmenge von gz sein, denn sonst wäre T := P∪H eine Menge mit T ∈ RespH (P) 

und g ‡ ⊆ T ⊆ gz , aber m ∈ T. Es gibt somit ein b ∈ P∪H mit b ∉ gz . Nach Satz 2.40 

(Äquivalenz (1) ⇔ (3)) gilt g ‡ ∪ {m} → b ∈ Cons(P ∪ H) = Cons H (P), also J(g, m) = o nach 

Regel (iv). Damit ist |K bezüglich Regel (ii) abgeschlossen. 

❚ 

Wenn der Rahmenkontext ein Hüllensystem ist, kann man bei der Fragezeichenreduktion auch die 

Regeln (iii) und (iv) anstatt (i) und (ii) verwenden. Die Regeln (iii) und (iv) sind einfacher 

anzuwenden, und führen auch zum fragezeichenreduzierten Kontext Red H P (|K): 

3.22. Korollar (Vereinfachung der Fragezeichenreduktionsregeln für Hüllensysteme): 

Seien H ⊆ ℘(M), |K = (G, M, {×, ?, o}, I) ein unvollständiger Kontext und P ⊆ ImpM. Wenn 

Red H P (|K) existiert, dann werden für g ∈ G bei der endlichen Anwendung folgender Regeln auf |K 

die Werte × und o nicht durch andere Werte ersetzt: 

(iii) Wenn A → B ∈ Cons H (P) und I(g, a) = × für alle a ∈ A ist, dann wird I(g, b) für alle b ∈ B 

durch den Wert × ersetzt. 

(iv) Wenn A → B ∈ ConsH (P), m ∈ A, I(g, b) = o für ein b ∈ B und I(g, a) = × für alle 

a ∈ A-{m} ist, dann wird I(g, m) durch den Wert o ersetzt. 

Der Kontext Red H P (|K) ist bezüglich der Regeln (iii) und (iv) abgeschlossen. 

Falls H ein Hüllensystem ist, sind die Regeln (iii) und (iv) sogar äquivalent zu den Regeln (i) und 

(ii), d.h. durch endliche Anwendung der Regeln (iii) und (iv) auf den Kontext |K erhält man den 

Kontext Red H P (|K). Hierbei folgt die Existenz von Red H P (|K) aus der Existenz eines bezüglich der 

Regeln (iii) und (iv) abgeschlossenen Kontextes |K' ≥ |K. 

Beweis: 

Nach Satz 3.21 ist Red H P (|K) bezüglich der Regeln (iii) und (iv) abgeschlossen. Analog Satz 3.17 

(Äquivalenz (2) ⇔ (5)) folgt damit, daß bei endlicher Anwendung der Regeln (iii) und (iv) auf |K 

die Werte × und o nicht durch andere Werte ersetzt werden, denn der Kontext ist nach jeder 

Regelanwendung durch den Kontext Red H P (|K) beschränkt. 

Sei nun H ein Hüllensystem, dann sind nach Satz 3.21 die bezüglich (i) und (ii) abgeschlossenen 

Kontexte genau die bezüglich (iii) und (iv) abgeschlossenen Kontexte, also folgen mit Satz 3.17 

(Äquivalenz (1) ⇔ (2)) die restlichen Behauptungen dieses Satzes. 

❚ 

Analog zum Korollar 3.19 läßt sich auch bei den Regeln (iii) und (iv) die fragezeichenreduzierten 

Kontextzeilen explizit angeben, wenn der Rahmenkontext ein Hüllensystem ist: 

3.23. Satz (Explizite Berechnung der fragezeichenreduzierten Kontextzeile bei Hüllensystemen): 

Seien P, H ⊆ ImpM und H = Resp(H). Seien |K = (G, M, {×, ?, o}, I) und g ∈ G, so daß Red H P (g) 

existiert. Für m ∈ M gilt 

(1) Red H P (g)(m) = × gdw. m ∈ P∪H 

(2) Red H P (g)(m) = o gdw. P∪H ist keine Teilmenge von g z 

122

Beweis: 

Die Bedingung A → B ∈ ConsH (P) aus Regel (iii) ist wegen ConsH (P) =2.72.(4) Cons(P ∪ H) 

äquivalent 127 zu B ⊆ P∪H. Aus Regel (iii) folgt deshalb Red H P (g)(m) = × für m ∈ P∪H wegen 

g ‡ → P∪H ∈ ConsH (P). 

Analog folgt Red H P (g)(m) = o aus Regel (iv), falls P∪H im Kontext |K keine Teilmenge 

von gz ist. Es wird nun gezeigt, daß in allen anderen Fällen Red H P (g)(m) = ? gilt, indem bewiesen 

wird, daß die Kontextzeile f : M → {×, ?, o} mit 

f(m) = × gdw. m ∈ P∪H 

f(m) = o gdw. P∪H ist keine Teilmenge von gz f(m) = ? sonst 

für m ∈ M bezüglich der Regeln (iii) und (iv) abgeschlossen ist. 

Wohldefiniertheit von f: 

Sei m ∈ P∪H, dann gilt P∪H = P∪H und g ‡ → P∪H ∈ ConsH (P). Wegen der 

Existenz von Red H P (g) darf bei der Anwendung der Regel (iii) der Wert o nicht durch den Wert × 

ersetzt werden, also gilt P∪H ⊆ gz . 

Regel (iii): 

Aus A → B ∈ ConsH (P) mit f(a) = × für alle a ∈ A folgt A ⊆ P∪H, und nach Satz 2.40 

(Äquivalenz (1) ⇔ (3)) gilt B ⊆ P∪H ⊆ P∪H, also f(b) = × für alle b ∈ B, und f ist 

abgeschlossen gegenüber Regel (iii). 

Regel (iv): 

Seien A → B ∈ Cons H (P), m ∈ A, f(b) = o für ein b ∈ B und f(a) = × für alle a ∈ A-{m}. Dann gilt 

A ⊆ P∪H ∪ {m}, und P∪H ist keine Teilmenge von gz . Wegen P∪H ⊆ 

P∪H ⊆ P∪H ⊆ P∪H = P∪H kann 

P∪H keine Teilmenge von gz sein, also gilt f(m) = o, und f ist abgeschlossen gegenüber 

Regel (iv). 

Damit ist f fragezeichenreduziert, und es gilt f = Red H P (g), also 

Red H P (g)(m) = × gdw. m ∈ P∪H 

Red H P (g)(m) = o gdw. P∪H ist keine Teilmenge von g z 

Red H P (g)(m) = ? sonst. 

❚ 

Für Mengensysteme der Form H = Resp(H) vereinfacht sich dadurch der Algorithmus der 

Fragezeichenreduktion: 

Für g ∈ G kann P∪H im Kontext |K mit der Komplexität O(|P ∪ H|⋅|M|) gebildet werden, denn 

P∪H ist die kleinste Menge T ⊆ M mit folgenden Eigenschaften: 

• g ‡ ⊆ T 

• Wenn C → D ∈ P ∪ H mit C ⊆ T ist, dann ist D ⊆ T 

Für m ∈ P∪H wird der Wert im Kontext durch den Wert × ersetzt, und für alle Merkmale 

m ∈ M für die P∪H keine Teilmenge von gz ist, wird der Wert im Kontext durch den 

Wert o ersetzt. Auf diese Weise entsteht die fragezeichenreduzierte Kontextzeile Red H P (g). 

Wenn H kein Hüllensystem ist, dann gibt es eine Menge P ⊆ ImpM und einen Kontext, welcher 

bezüglich der Regeln (iii) und (iv) abgeschlossen ist, aber nicht bezüglich (i) und (ii): 

127 vgl. Satz 2.40 (Äquivalenz (1) ⇔ (3)) 

123

Da H kein Hüllensystem ist gibt es ein Mengensystem H0 ⊆ H so daß ∩H0 ∉ H ist. Sei P := ∅ 

und |K = ({g}, M, I) der einwertige Kontext mit g I = ∩H0. Da ∩H0 im von H erzeugten 

Hüllensystem liegt, gilt 

124 

∩H0 ∈ Resp(Imp(H)) =2.34 Resp(Imp(Resp(P) ∩ H)) =2.71 Resp(Cons H (P)), 

also folgt aus A → B ∈ ConsH (P) mit (g, a) ∈ I für alle a ∈ A auch (g, b) ∈ I für alle b ∈ B, und 

aus A → B ∈ ConsH (P) und m ∈ A mit (g, b) ∉ I für ein b ∈ B und (g, a) ∈ I für alle a ∈ A-{m} 

folgt (g, m) ∉ I, also ist |K bezüglich der Regeln (iii) und (iv) abgeschlossen, aber Bedingung (3) 

von Satz 3.17 ist wegen ∩H0 ∉ H nicht erfüllt, also kann Red H P (|K) nicht existieren. 

Wenn der Rahmenkontext H = VKon( ⎯ ) die Menge der vollständig konsistenten Mengen 

(bezüglich einer Negation ⎯ ist), dann bewirkt die Fragezeichenreduktion (mit P := ∅) bezüglich 

H, daß die Spalten von m und m für alle m ∈ M+ ∪ M- negiert zueinander sind, d.h. es entsteht ein 

Kontext mit negierten Merkmalen: (Red H ∅ (|K), M+, M-, ⎯ ). Hierbei wird I(g, m) für g ∈ G und m ∈ 

M+ ∪ M- genau dann durch den Wert × ersetzt, wenn I(g, m ) = o gilt, und I(g, m) wird genau dann 

durch den Wert o ersetzt, wenn I(g, m ) = × gilt. (Red H ∅ (|K), M+, M-, ⎯ ) ist der kleinste Kontext mit 

negierten Merkmalen mit Red H ∅ (|K) ≥ |K.

3.1.3 Merkmalexplorationsalgorithmus 

3.24. Algorithmus zur Merkmalexploration: 

Sei |K 8 = (G, M, I) ein (unbekannter) einwertiger Kontext, dessen gültigen Implikationen Imp(|K 8 ) 

bei der Merkmalexploration untersucht werden sollen. Die Merkmalexploration beginnt mit einem 

unvollständigen Kontext |K0 = (G0, M, {×, ?, o}, I0) mit G0 ⊆ G, der durch den Experten eingegeben 

wird und einem Rahmenkontext H ⊆ ℘(M) mit g I ∈ H für alle g ∈ G. Der Rahmenkontext H wird 

ebenfalls durch den Experten eingegeben. Der Kontext |K0 kann (bis auf die Fragezeichen im 

Kontext) als Teilkontext des unbekannten Kontextes |K 8 aufgefaßt werden: Für jeden Gegenstand g 

von |K0 ist die Kontextzeile von g in |K 8 eine Vervollständigung der Kontextzeile von |K0. Während 

der Merkmalexploration werden nun neue Kontexte |Kn = (Gn, M, {×, ?, o}, In) für n > 0 erzeugt, 

welche Gegenbeispiele für die Implikationen enthalten, die in |K nicht gültig sind. Dabei wird 

gleichzeitig versucht, die Duquenne-Gigue-Basis der in |K gültigen Implikationen aufzubauen: Es 

wird eine Menge Pn ⊆ ImpM erzeugt, so daß die Implikationen aus Pn im unbekannten Kontext |K 

gültig sind, d.h. es gilt Pn ⊆ Imp(|K 8 ). Diese Implikationenmenge wird am Anfang der Merkmalexploration 

durch die leere Menge initialisiert: P0 := P1 := ∅. Eine Vervollständigung von |K0 ist ein 

Teilkontext von |K, also existiert Red H ∅ (|K0) =: |K1 nach Satz 3.17.(4). 

Für n = 1, 2, 3, ... wählt das Merkmalexplorationsprogramm im Schritt n eine minimale Menge 

A ∈ H aus, die Erf(|Kn)-pseudoabgeschlossen bezüglich H ist, so daß A keine Prämisse von einer 

Implikation aus Pn ist. Sei B = A ‡z = {b ∈ M | A → b ∈ Erf(|Kn)}. 128 Nach Regel (AD) gilt dann 

A → B ∈ Erf(|Kn). Der Experte wird nun gefragt, ob die Implikation A → B im unbekannten 

Kontext |K 8 gültig ist. 129 

Wenn der Experte die Frage nach der Gültigkeit der Implikation A → B in |K mit "nein" 

beantwortet, muß er ein Gegenbeispiel g ∈ G für die Implikation A → B eingeben. 

Sei |K' = (Gn ∪ {g}, M, {×, ?, o}, J) der Kontext, welcher aus |Kn und der Kontextzeile von g 

besteht, welche durch den Experten eingegeben wird. Dabei müssen für den neuen Gegenstand die 

bereits akzeptierten Implikationen Pn erfüllbar sein, und die Implikation A → B muß verletzt 

werden, d.h. es gilt J(g, a) = × für alle a ∈ A und J(g, b) = o für ein b ∈ B. Da die Kontextzeile von 

g in |K8 eine Vervollständigung der Kontextzeile von g in |K' ist, 130 existiert Red H Pn (g) in |K' nach 

Satz 3.17.(4) wegen Pn ⊆ Imp(|K8 ) und g I ∈ H. Seien Pn+1 := Pn und |Kn+1 der Kontext, welcher aus 

|K' entsteht, indem die Kontextzeile von g durch Red H P n (g) ersetzt wird. 

Wenn dem Experten nicht bekannt ist, ob die Implikation A → B im unbekannten Kontext |K 8 

gültig ist, dann wird zunächst gefragt, für welche Merkmale b ∈ B die Gültigkeit der Implikation 

A → b unbekannt ist. Sei Z = {b ∈ B | A → b ist unbekannt}. Für die anderen Merkmale b ∈ B-Z 

ist die Implikation A → b in |K 8 gültig, denn jedes Gegenbeispiel für A → b ist auch ein 

Gegenbeispiel für A → B. Für b ∈ Z überprüft das Merkmalexplorationsprogramm, ob A → b ∈ 

128 vgl. Satz 2.58.(1) 

129 Da A → A in jedem Kontext gültig ist, reicht es auch, nach der Gültigkeit von A → B-A zu fragen 

130 Bei dem Algorithmus wird vorausgesetzt, daß der Benutzer nur korrekte Eingaben macht, d.h. die Kontextzeile eines 

eingegebenen Gegenstandes g im Universum |K 8 ist eine Vervollständigung der eingegebenen Kontextzeile. Es wird 

auch vorausgesetzt, daß für jede mit "ja" beantwortete Frage nach der Gültigkeit einer Implikation A → B diese 

Implikation auch im Universum gültig ist. Für Merkmalexploration mit Fehlerbehandlung vgl. Bemerkung 3.71 

125

ConsH (Pn ∪ {A → B-Z}) gilt, denn in diesem Fall kann das Merkmal b aus Z entfernt werden, weil 

die Implikation A → b dann auch als gültig erkannt wird. Im folgenden sei deshalb A → b ∉ 

ConsH (Pn ∪ {A → B-Z}) für alle b ∈ Z. 

Dem aktuellen Kontext |Kn werden nun fiktive Gegenstände gA,b mit b ∈ Z angehängt, welche 

gerade diese Implikationen widerlegen: 131 

Sei |K' := (Gn ∪ {gA,b | b ∈ Z}, M, {×, ?, o}, J) mit 

J = In ∪ {(gA,b, m, ×) | m ∈ A, b ∈ Z} ∪ {(gA,b, b, o) | b ∈ Z} ∪ 

{(gA,b, m, ?) | m ∈ M-(A ∪ {b}), b ∈ Z} 

Diese fiktiven Gegenstände könnte man auch zu einem Gegenstand gA,Z zusammenfassen, bei dem 

in jeder Spalte eines Merkmals aus Z der Wert o steht: 

|K' A Z Rest 

126 

Gn |Kn 

gA,Z ××× ooo ??? 

Die Menge der erfüllbaren Implikationen in |K' ist in beiden Fällen gleich, weil in beiden Varianten 

genau diejenigen Implikationen C → D widerlegt werden, für die C ⊆ A und D ∩ Z ≠ ∅ gilt. 132 Da 

jedoch einige der unbekannten Implikationen im Universum |K 8 gültig sind, während andere falsch 

sind, ist es für die weitere Behandlung 133 sinnvoller, die unbekannten Implikationen zu trennen, d.h. 

für jedes Merkmal b ∈ Z wird ein fiktives Gegenbeispiel gA,b eingefügt. 

Sei Pn+1 := Pn ∪ {A → B-Z}, falls B-Z ≠ A, und Pn+1 := Pn, falls B-Z = A ist. Für die Gegenstände 

g ∈ Gn, welche keine fiktiven Gegenstände sind (d.h. g ∈ Gn ∩ G ist auch ein Gegenstand von |K 8 , 

und die Kontextzeile von g in |K 8 ist eine Vervollständigung der Kontextzeile von g in |K'), existiert 

Red H Pn+1 (g) in |K' nach Satz 3.17.(4) wegen Pn ∪ {A → B-Z} ⊆ Imp(|K8 ). Sei |Kn+1 der Kontext, 

welcher aus |K' entsteht, indem die Kontextzeilen von den Gegenständen g ∈ Gn ∩ G durch 

Red H Pn+1 (g) ersetzt werden. Die Kontextzeilen der fiktiven Gegenstände bleiben unverändert. 

Wenn der Experte die Frage nach der Gültigkeit der Implikation A → B in |K8 mit "ja" beantwortet, 

wird die aktuelle Menge von akzeptierten Implikationen Pn um diese Implikation erweitert: Pn+1 := 

Pn ∪ {A → B}. Für die Gegenstände g ∈ Gn ∩ G aus |K8 existiert Red H Pn+1 (g), also sei |Kn+1 der 

Kontext, welcher aus |Kn entsteht, indem die Kontextzeilen von den Gegenständen g ∈ Gn ∩ G 

durch Red H Pn+1 (g) ersetzt werden. Die Kontextzeilen der fiktiven Gegenstände bleiben unverändert. 

Die Merkmalexploration endet, sobald keine neue Implikation mehr gefunden wird, d.h. sobald jede 

Erf(|Kn)-pseudoabgeschlossene Menge A als Prämisse in Pn vorkommt. 


Dieser Algorithmus dient unter anderem dazu, eine Basis der gültigen Implikationen eines 

Kontextes |K8 bezüglich eines Rahmenkontextes H zu erstellen. Oft kommt es auch vor, daß man 

zwar einen Rahmenkontext als Hintergrundwissen hat, jedoch eine Basis ohne Hintergrundwissen 

sucht, d.h. man möchte eine Menge P ⊆ ImpM finden mit Cons(P) = Imp(|K8 ) und dabei den 

Rahmenkontext H benutzen, damit beim Explorationsalgorithmus nicht so viele Fragen gestellt 

werden. Man kann diese zwei Probleme auch kombinieren: Gegeben sind zwei Rahmenkontexte H1 

131 

Hierbei wird vorausgesetzt, daß gA,b ein neuer Gegenstand ist, d.h. es gilt gA,b ∉ Gn und gA,b ∉ G 

132 


133 

z.B. bei der Bildung von Teilkontexten in Satz 3.53 oder Satz 3.44

und H2, gesucht ist eine Basis der in |K8 gültigen Implikationen bezüglich H1, wobei das 

Hintergrundwissen H2 bei der Exploration benutzt wird, um den Aufwand zu verringern. Dieses 

Problem läßt sich dadurch lösen, daß man den oben angegebenen Merkmalexplorationsalgorithmus 

mit dem Rahmenkontext H = H1 durchführt, wobei in jedem Schritt n vor der Frage nach der 

Gültigkeit einer Implikation A → B durch das Programm automatisch überprüft wird, ob diese 

Implikation aus dem bekannten Wissen folgt, d.h. ob A → B ∈ Cons H1∩H2(Pn) gilt. Ist dies der 

Fall, wird die Implikation automatisch in die aktuelle Implikationenmenge aufgenommen: Pn+1 := 

Pn ∪ {A → B}, ansonsten wird der Benutzer nach der Gültigkeit der Implikation gefragt. Der oben 

angegebene Algorithmus läßt sich als Spezialfall dieser verallgemeinerten Merkmalexploration 

ansehen: Das zweite Hintergrundwissen ist nicht vorhanden, d.h. es gilt H2 = ℘(M). Die Korrekt- 

heit des Merkmalexplorationsalgorithmus' wird im folgenden nur für diesen Fall H2 = ℘(M) 

bewiesen, denn die allgemeine Merkmalexploration (mit zwei Rahmenkontexten) läßt sich als 

normale Merkmalexploration (mit einem Rahmenkontext H = H1) betrachten, bei der der Experte 

in manchen Fällen gezwungen ist, eine Frage mit "ja" zu beantworten. Daher lassen sich 

offensichtlich auch alle Sätze auf den Fall H2 ≠ ℘(M) übertragen. 

In den nachfolgenden Sätzen wird bewiesen, daß man nach der Merkmalexploration die Duquenne- 

Gigue-Basis der im letzten Kontext erfüllbaren Implikationen erhält, d.h. wenn die Exploration im 

Schritt n beendet ist, gilt Pn = DGB H (Erf(|Kn)) (vgl. Satz 3.34). Am Ende der Exploration können 

einige als unbekannt akzeptierte Implikationen automatisch als gültig oder als nicht gültig erkannt 

werden, wenn sie aus den akzeptierten Implikationen folgen, bzw. wenn sie durch einen normalen 

Gegenstand g ∈ Gn ∩ G widerlegt werden. 134 Die zugehörigen Gegenstände können aus |Kn entfernt 

werden, d.h. man bildet einen Teilkontext |K * von |Kn. Auch über das Universum |K8 erhält der 

Experte einige Informationen: Es gibt eine Teilmenge P u 

der als unbekannt akzeptierten 

8 

Implikationen, so daß die in |K8 gültigen Implikationen genau die aus Pn ∪ P u 

8 herleitbaren 

Implikationen sind, und durch die Einschränkung |K * |G* des Kontextes |K 8 * auf eine geeignete 

Teilmenge G * 

8 ⊆ Gn der letzten Gegenstandsmenge erhält man ein vollständiges System von 

Gegenbeispielen für die Implikationen, welche im Universum |K 8 nicht gültig sind, d.h. es gilt 

Imp(|K 8 ) = Erf(|K * |G* 8 ). 135 

Im folgenden Lemma wird bewiesen, daß durch die fiktiven Gegenstände nur diejenigen 

Implikationen widerlegt werden, aus denen die zugehörigen unbekannten Implikationen (mit den 

Regeln (AU) und (PR)) folgen würde: 

3.26. Lemma (Durch einen fiktiven Gegenstand wird eine Implikation nur dann widerlegt, 

wenn die zugehörige unbekannte Implikation aus dieser Implikation folgt): 

Seien n ≥ 0 und gA,b ∈ Gn ein fiktiver Gegenstand. Eine Implikation E → F ist genau dann für den 

Gegenstand gA,b nicht erfüllbar, wenn E ⊆ A und b ∈ F gilt. Insbesondere ist die unbekannte 

Implikation A → b mit den Regeln (AU) und (PR) aus E → F herleitbar, wenn E → F für gA,b nicht 

erfüllbar ist. 

Beweis: 

Nach Satz 2.50 gilt: 

E → F ist nicht erfüllbar für gA,b gdw. 

In(gA,b, m) = × für m ∈ E und In(gA,b, m) = o für ein m ∈ F gdw. 

134 

vgl. Satz 3.44, Beispiel 3.38 und Beispiel 3.42 

135 

vgl. Satz 3.53 

127

E ⊆ A und b ∈ F 

❚ 

3.27. Korollar (Änderung der erfüllbaren Implikationen nach Entfernung fiktiver 

Gegenstände): 

Seien n ≥ 0 und Gn ∩ G ⊆ S ⊆ T ⊆ Gn, d.h. S enthält alle Gegenstände von |Kn, die auch im Kontext 

|K 8 vorkommen. Dann gilt 

Erf(|Kn|T) = Erf(|Kn|S)-{E → F | es gibt ein gA,b ∈ T-S mit E ⊆ A, b ∈ F}. 

Beweis: 

'⊆': 

Sei C → D ∈ Erf(|Kn|T), dann gilt C → D ∈ Erf(|Kn|S) wegen S ⊆ T, und es gilt 

C → D ∉ {E → F | es gibt ein gA,b ∈ T-S mit E ⊆ A, b ∈ F} nach Lemma 3.26. 

'⊇': 

Sei C → D ∈ Erf(|Kn|S)-{E → F | es gibt ein gA,b ∈ Gn-S mit E ⊆ A, b ∈ F}. Nach Lemma 3.26 ist 

C → D für alle gA,b ∈ T-S erfüllbar, also C → D ∈ Erf(|Kn|T). 

❚ 

3.28. Satz (Alle (für das Univsersum) als gültig akzeptierten Implikationen sind im aktuellen 

Kontext bei der Merkmalexploration erfüllbar): 

Für alle n ≥ 0 gilt Pn ⊆ Erf(|Kn) bei der Merkmalexploration. 

Beweis: 

Für S = Gn ∩ G ist Pn in |Kn|S erfüllbar wegen Pn ⊆ Imp(|K8 ). Sei C → D ∈ Pn ⊆ Erf(|Kn|S). Falls 

C → D ∉ Erf(|Kn) ist, gibt es nach Korollar 3.27 ein gA,b ∈ Gn-S mit C ⊆ A und b ∈ D. Seien j < n 

mit C → D ∈ Pj+1-Pj und i < n mit gA,b ∈ Gi+1-Gi. Im Kontext |Kj gilt b ∈ C ‡z =2.58.(1) {m ∈ M | C → 

m ∈ Erf(|Kj)}, also gilt gA,b ∉ Gj weil C → b für gA,b nicht erfüllbar ist. Somit gilt j ≤ i. Die 

Gültigkeit der Implikation A → b ist im Schritt i unbekannt, also gilt A → b ∉ ConsH (Pi+1) und 

somit C → D ∉ Pi+1 nach den Regeln (AU) und (PR), also i < j. Dies ist ein Widerspruch. 

❚ 

3.29. Satz (Zusammenhang zwischen Erf(|Kj)-pseudoabgeschlossen und Erf(|Kn)-pseudoabgeschlossen 

für n > j): 

Seien n > j > 0 und A → B die Implikation, nach der im Schritt j bei der Merkmalexploration 

gefragt wird, so daß diese Implikation A → B nicht durch ein bekanntes Gegenbeispiel g aus |K 8 

widerlegt wird, d.h. der Experte akzeptiert die Implikation, oder es ist dem Experten nicht bekannt, 

ob die Implikation gültig ist. Sei Z = {b ∈ B | A → b ist unbekannt} bzw. Z = ∅, falls die 

Implikation A → B akzeptiert wurde. Dann gilt: 

(1) B-Z = A ‡z in |Kn, d.h. es gilt 136 B-Z = {m ∈ M | A → m ∈ Erf(|Kn)} 

(2) Jede Erf(|Kn)-pseudoabgeschlossene echte Teilmenge C ⊂ A ist auch Erf(|Kj)-pseudoabgeschlossen. 

(3) Wenn B-Z ≠ A ist, dann ist A Erf(|Kn)-pseudoabgeschlossen. 

(4) Jede Erf(|Kj)-pseudoabgeschlossene echte Teilmenge C ⊂ A ist auch Erf(|Kn)-pseudoabgeschlossen. 


Für B-Z ≠ A gilt A → B-Z ∈ Pn ⊆ Erf(|Kn) und für B-Z = A gilt auch A → B-Z ∈ Erf(|Kn). Wegen 

n ≥ j+1 gilt Erf(|Kn) ⊆ Erf(|Kj+1), denn jede Kontextzeile von |Kj+1 ist bis auf Fragezeichenreduktion 

136 vgl. Satz 2.58.(1) 

128

auch eine Kontextzeile von |Kn, und durch die Fragezeichenreduktion wird die Kontextzeile (in der 

Informationsordnung) höchstens vergrößert und damit die Erfüllbarkeit von Implikationen verringert, 

also 

B-Z ⊆ {m ∈ M | A → m ∈ Erf(|Kn)} ⊆ {m ∈ M | A → m ∈ Erf(|Kj+1)}. 

Es gilt {m ∈ M | A → m ∈ Erf(|Kj)} = B, weil im Schritt j nach der Implikation 

A → {m ∈ M | A → m ∈ Erf(|Kj)} gefragt wird. Für die Merkmale aus Z werden dem Kontext |Kj 

fiktive Gegenbeispiele {gA,b | b ∈ Z} angehängt, d.h. es gilt 

{m ∈ M | A → m ∈ Erf(|Kj+1)} ⊆ B-Z, also {m ∈ M | A → m ∈ Erf(|Kn)} = B-Z. 

Beweis von (2) und (3) durch Induktion über j: 

Seien (2) und (3) für alle i < j richtig. 


Sei C eine Erf(|Kn)-pseudoabgeschlosse echte Teilmenge von A. Dann ist C ∈ H, aber kein 

Erf(|Kn)-Inhalt, also nach Satz 3.2 (Äquivalenz (1) ⇔ (4)) auch kein Erf(|Kj)-Inhalt wegen Erf(|Kn) ⊆ 

Erf(|Kj). Sei D eine Erf(|Kj)-pseudoabgeschlossene echte Teilmenge von C. Es gilt D → E ∈ Pj für 

eine Menge E ⊆ M, weil sonst das Merkmalexplorationsprogramm im Schritt j nach D → E fragen 

müßte, denn D ist eine echte Teilmenge von A. Es gibt damit ein i < j mit D → E ∈ Pi+1-Pi. Nach 

Induktionsannahme gilt (3) für den Schritt i der Merkmalexploration, d.h. D ist Erf(|Kn)-pseudoabgeschlossen. 

Da C auch Erf(|Kn)-pseudoabgeschlossen ist, gilt {m ∈ M | D → m ∈ Erf(|Kj)} = E = 

{m ∈ M | D → m ∈ Erf(|Kn)} ⊆ C nach (1) (mit j durch i ersetzt und E = B-Z). Damit ist C auch 

Erf(|Kj)-pseudoabgeschlossen, also gilt (2). 


A ist nach Satz 3.2 (Äquivalenz (1) ⇔ (6)) wegen B-Z ≠ A und (1) kein Erf(|Kn)-Inhalt, und es gilt 

A ∈ H, weil A Erf(|Kj)-pseudoabgeschlossen ist. Sei C eine Erf(|Kn)-pseudoabgeschlossene echte 

Teilmenge von A. Nach (2) ist C auch Erf(|Kj)-pseudoabgeschlossen, also folgt wie beim Beweis 

von (2) auch C → E ∈ Pj für eine Menge E ⊆ M, und nach (1) gilt 

{m ∈ M | C → m ∈ Erf(|Kn)} = E = {m ∈ M | C → m ∈ Erf(|Kj)} ⊆ A (vgl. Beweis von (2)). Damit 

ist A auch Erf(|Kn)-pseudoabgeschlossenen. 


Sei C ⊂ A eine Erf(|Kj)-pseudoabgeschlossene echte Teilmenge von A. Dann ist C eine Prämisse 

von Pj, weil sonst im Schritt j nach der Implikation C → C ‡z gefragt werden müßte. Sei C → D ∈ 

Pj. Nach (1) gilt D = {m ∈ M | A → m ∈ Erf(|Kj)} ≠ C (vgl. Beweis von (2)), also ist C nach (3) 

Erf(|Kn)-pseudoabgeschlossen. 

❚ 

Für n = j und Z ≠ ∅ ist die Gleichung {m ∈ M | A → m ∈ Erf(|Kn)} = B-Z nicht richtig, weil 

A → Z ∈ Erf(|Kn) ist. 

3.30. Korollar (Prämissen von Pj sind Erf(|Kj)-pseudoabgeschlossen): 

Für j > 0 gilt: 

(1) Wenn A → B ∈ Pj ist, dann gilt B = A ‡z in |Kj, und A ist Erf(|Kj)-pseudoabgeschlossen. 

(2) Sei gA,b ∈ Gj ein fiktiver Gegenstand von |Kj. Genau dann gilt A = A ‡z in |Kj (d.h. A ist ein 

Erf(|Kj)-Inhalt 137 ), wenn A keine Prämisse von Pj ist. 


129


Für A → B ∈ Pj gibt es ein i < j, so daß A → B ∈ Pi+1-Pi ist, also wurde im Schritt i nach einer 

Implikation A → E gefragt. In |Kj gilt B = A ‡z nach Satz 3.29.(1), und A ist Erf(|Kj)-pseudoabgeschlossen 

nach Satz 3.29.(3). 


Es gibt ein i < j, so daß gA,b ∈ Gi+1-Gi ist, also wurde im Schritt i nach einer Implikation A → B 

gefragt. Die Implikationen A → b für b ∈ Z := {m ∈ B | A → m ist unbekannt} wurden durch 

fiktive Gegenbeispiele widerlegt, also ist A nach Satz 3.2 (Äquivalenz (1) ⇔ (6)) und Satz 3.29.(1) 

genau dann ein Erf(|Kj)-Inhalt, wenn B-Z = A ist, und dies ist äquivalent dazu, daß A keine 

Prämisse von Pj ist. 

❚ 

Um in einem Schritt j der Merkmalexploration bei der Wahl der Implikation, nach der gefragt 

werden soll, nicht mehr auf die rekursive Definition des Begriffs pseudoabgeschlossen 

zurückgreifen zu müssen, wird nun eine äquivalente Charakterisierung angegeben, welche die 

Menge Pj der bereits als gültig akzeptierten Implikationen verwendet. 

3.31. Satz (Charakterisierung der minimalen Erf(|Kj)-pseudoabgeschlossenen Mengen, 

welche keine Prämissen der aktuellen Implikationenmenge sind): 

Seien A ⊆ M und j > 0. Dann ist die Bedingung, daß A eine minimale Erf(|Kj)-pseudoabgeschlossene 

Menge ist, welche keine Prämisse von Pj ist, äquivalent zu der Eigenschaft, daß A eine 

minimale Menge mit A ‡z ≠ A ∈ Resp H (Pj) ist. 

Beweis: 

'⇒': 

Sei A eine minimale Erf(|Kj)-pseudoabgeschlossene Menge, welche keine Prämisse von Pj ist. Dann 

gilt A ‡z ≠ A, denn sonst wäre A nach Satz 3.2 (Äquivalenz (1) ⇔ (6)) und Satz 2.58.(1) ein 

Erf(|Kj)-Inhalt. Für B → C ∈ Pj mit B ⊆ A ist B eine echte Teilmenge von A, weil A keine Prämisse 

von Pj ist, und B ist nach Korollar 3.30.(1) Erf(|Kj)-pseudoabgeschlossen, also C = B ‡z ⊆ A nach 

Satz 3.29.(1), denn A ist Erf(|Kj)-pseudoabgeschlossen. Aus der Definition von Pseudoabgeschlossenheit 

folgt A ∈ H, also gilt A ∈ Resp(Pj) ∩ H = RespH (Pj). Bevor nun bewiesen wird, daß 

A minimal mit dieser Eigenschaft ist, wird die Umkehrung bewiesen. 

'⇐': 

Sei A minimal mit A ‡z ≠ A ∈ RespH (Pj), dann ist A nach Satz 3.2 (Äquivalenz (1) ⇔ (6)) und Satz 

2.58.(1) kein Erf(|Kj)-Inhalt, und es gilt A ∈ H. A kann keine Prämisse von Pj sein, weil A die 

Implikation A → A ‡z nicht respektiert. Sei B eine Erf(|Kj)-pseudoabgeschlossene echte Teilmenge 

von A. Es wird nun gezeigt, daß B ‡z in A enthalten ist. 

Annahme: B ist keine Prämisse von Pj. 

Für C → D ∈ Pj mit C ⊆ B gilt D =3.30.(1) C ‡z ⊆ B, denn C ist nach Korollar 3.30.(1) eine 

Erf(|Kj)-pseudoabgeschlossene echte Teilmenge von B, weil B keine Prämisse von Pj ist. 

Damit respektiert B die Menge Pj, und es gilt B ‡z ≠ B ∈ Resp H (Pj), was ein Widerspruch 

zur Minimalität von A ist. 

Damit gibt es eine Menge E ⊆ M mit B → E ∈ Pj, also B ‡z =3.30.(1) E ⊆ A wegen A ∈ Resp(Pj). 

Damit ist A Erf(|Kj)-pseudoabgeschlossen. Wenn A keine minimale Erf(|Kj)-pseudoabgeschlossene 

Menge, welche keine Prämisse von Pj ist, dann gibt es wegen der Endlichkeit von M auch eine 

minimale echte Teilmenge C von A, die eine Erf(|Kj)-pseudoabgeschlossene Menge ist, welche 

130

keine Prämisse von Pj ist, also gilt C ‡z ≠ C ∈ RespH (Pj) (vgl. den ersten Teil des Beweises dieses 

Satzes), was ein Widerspruch ist, denn A ist minimal mit der Eigenschaft A ‡z ≠ A ∈ RespH (Pj). 

Analog folgt auch die Minimalität von A im ersten Teil des Beweises: Wenn A nicht minimal mit 

A ‡z ≠ A ∈ RespH (Pj) ist, dann gibt es eine minimale echte Teilmenge C von A mit C ‡z ≠ C ∈ 

RespH (Pj), also ist C nach dem eben Bewiesenen eine Erf(|Kj)-pseudoabgeschlossene Menge, 

welche keine Prämisse von Pj ist, was ein Widerspruch ist, denn A ist minimal mit dieser 

Eigenschaft. 

❚ 

3.32. Korollar (Eine Implikation, nach der bei der Exploration zu einem späteren Zeitpunkt 

gefragt wird, kann als Prämisse keine Teilmenge der Prämisse der aktuellen Implikation 

haben): 

Wenn im Schritt n nach C → D gefragt wird, und im Schritt j < n nach A → B gefragt wird, dann 

kann C keine echte Teilmenge von A sein. 

Beweis: 

Es gilt C ‡z ≠ C ∈ Resp H (Pn) bezüglich |Kn nach Satz 3.31, also gilt auch C ‡z ≠ C ∈ Resp H (Pj) 

bezüglich |Kj wegen j < n, deshalb kann C nach Satz 3.31 wegen der Minimalität von A keine echte 

Teilmenge von A sein. 

❚ 

In Lemma 3.33 und Korollar 3.34 wird nun gezeigt, daß man am Ende der Merkmalexploration die 

Duquenne-Gigue-Basis der im aktuellen Kontext erfüllbaren Implikationen erhält. 

3.33. Lemma (Eine Implikation, deren Prämisse eine echte Teilmenge der Prämisse der 

aktuellen Implikation ist, ist genau dann in der Duquenne-Gigue-Basis, wenn sie in der als 

gültig akzeptierten Menge von Implikationen ist.): 

Seien j > 0 und A → B ∈ ImpM die Implikation, nach der im Schritt j gefragt wird, bzw. A = M, 

wenn die Merkmalexploration im Schritt j beendet ist. Für D ⊆ M und echte Teilmengen C ⊂ A gilt 

genau dann C → D ∈ Pj, wenn C → D ∈ DGB H (Erf(|Kj)) gilt. 

Beweis: 

'⇒': 

Sei C → D ∈ Pj. Dann ist C nach Korollar 3.30.(1) Erf(|Kj)-pseudoabgeschlossen, und es gilt 

D = {m ∈ M | C → m ∈ Erf(|Kj)}, also C → D ∈ DGB H (Erf(|Kj)). 

'⇐': 

Sei C → D ∈ DGB H (Erf(|Kj)). Dann ist C Erf(|Kj)-pseudoabgeschlossen, also ist C eine Prämisse 

von Pj, weil im Schritt j nach einer Implikation mit minimaler Erf(|Kj)-pseudoabgeschlossener 

Prämisse, welche keine Prämisse von Pj ist, gefragt wird. 

Wegen D = {m ∈ M | C → m ∈ Erf(|Kj)} gilt C → D ∈ Pj nach Korollar 3.30.(1). 

❚ 

3.34. Korollar (Die Exploration liefert die Duquenne-Gigue-Basis): 

Wenn die Merkmalexploration im Schritt n beendet ist, dann ist Pn = DGB H (Erf(|Kn)) und 

Cons H (Pn) = Cons H (Erf(|Kn)). 

Beweis: 

Vgl., Lemma 3.33, Definition 3.1 und Satz 3.8. 

❚ 

131

3.35. Korollar (Eine Exploration mit vollständigem Implikationenwissen liefert die 

Duquenne-Gigue-Basis des Universums): 

Wenn dem Experten bei der Merkmalexploration keine Implikation unbekannt war, dann gilt 

Imp(|K 8 ) = Erf(|Kn) und Pn = DGB H (Imp(|K 8 )). 

Beweis: 

Der Kontext |Kn am Ende der Merkmalexploration enthält keine fiktiven Gegenstände, also gilt 

Erf(|Kn) ⊆3.34 Cons H (Pn) ⊆ Imp(|K 8 ) ⊆ Erf(|Kn) und Pn =3.34 DGB H (Erf(|Kn)) = DGB H (Imp(|K 8 )). 

❚ 

3.36. Lemma (Wenn eine Implikation C → d nur durch fiktive Gegenstände widerlegt wird, 

dann läßt sich mit den erfüllbaren Implikationen folgern, daß d oder die Prämisse einer 

als unbekannt akzeptierten Implikation mit d als Konklusion aus C folgt): 

Sei die Merkmalexploration im Schritt n beendet. Seien C ⊆ M, d ∈ M und G ∩ Gn ⊆ S ⊆ Gn mit 

C → d ∈ Erf(|Kn|S)-Erf(|Kn). 

Sei α :≡ ∧C → d ∨ ∨{∧A | C ⊆ A ⊆ M und gA,d ∈ Gn-S}. 

Dann gilt α ∈ Th(Resp H (Erf(|Kn))). 

Beweis: 

Sei E ∈ RespH (Erf(|Kn)) mit C ⊆ E. Es wird nun gezeigt, daß E ein Modell von α ist. 

Es gilt E → d ∈ Erf(|Kn|S) nach Regel (AU). Falls d ∈ E ist, dann ist E ein Modell von α, also sei 

nun d ∉ E. Wegen E ∈ RespH (Erf(|Kn)) gilt E → d ∉ Erf(|Kn). Es gibt ein j > 0 mit E → d ∈ 

Erf(|Kj)-Erf(|Kj+1). Die Implikation E → d wird im Schritt j von einem fiktiven Gegenstand gA,b ∈ 

Gj+1-Gj widerlegt, d.h. es gilt E ⊆ A und d = b. Im Kontext |Kj gilt E ‡z ≠ E ∈ Resp H (Erf(|Kn)) ⊆3.28 

Resp H (Pj). Die Menge A ist jedoch nach Satz 3.31 minimal mit A ‡z ≠ A ∈ Resp H (Pj), also gilt 

E = A und somit gA,b = gE,d ∈ Gn-S. Damit ist E ein Modell von α. 

❚ 

Dieses Lemma wird nun im folgenden Korollar verwendet, um zu zeigen, daß man durch 

Entfernung einiger fiktiver Gegenstände aus dem Kontext |Kn alle im Teilkontext erfüllbaren 

Implikationen aus den im Kontext |Kn erfüllbaren Implikationen und den zugehörigen unbekannten 

Implikationen der fiktiven Gegenstände, die man beseitigt hat, herleiten kann. 

3.37. Korollar (Die erfüllbaren Implikationen von |Kn nach Entfernung einiger fiktiver 

Gegenstände sind aus den zugehörigen als unbekannt akzeptierten Implikationen und den 

als gültig akzeptierten Implikationen herleitbar): 

Seien die Merkmalexploration im Schritt n beendet, G ∩ Gn ⊆ S ⊆ Gn und 

Q = {A → d | A ⊆ M, d ∈ M mit gA,d ∈ Gn-S}. 

Dann gilt Erf(|Kn|S) ⊆ Cons H (Erf(|Kn) ∪ Q) = Cons H (Pn ∪ Q). 

Beweis: 

Seien C → D ∈ Erf(|Kn|S) und d ∈ D. Falls C → d ∈ Erf(|Kn) gilt, dann gilt auch C → d ∈ 

ConsH (Erf(|Kn) ∪ Q), also gelte C → d ∉ Erf(|Kn). 

Es wird nun C → d ∈ Imp(RespH (Erf(|Kn) ∪ Q)) bewiesen. 

132

Sei E ∈ RespH (Erf(|Kn) ∪ Q) ⊆ RespH (Erf(|Kn)) mit C ⊆ E. Nach dem vorigen Lemma gilt d ∈ E 

oder A ⊆ E für eine Menge A ⊆ M mit C ⊆ A und gA,d ∈ Gn-S. Wegen E ∈ Resp(Q) gilt in beiden 

Fällen d ∈ E. 

Damit gilt C → d ∈ Imp(RespH (Erf(|Kn) ∪ Q)) = ConsH (Erf(|Kn) ∪ Q) nach Satz 2.71 (Äquivalenz 

(1) ⇔ (2)) und C → D ∈ ConsH (Erf(|Kn) ∪ Q) nach Regel (AD), also Erf(|Kn|S) ⊆ ConsH (Erf(|Kn) 

∪ Q) =3.34 Cons H (Pn ∪ Q). 

❚ 

Für A ⊆ M und b ∈ M mit A → b ∈ ConsH (Pn) gilt nach Satz 2.71 (Äquivalenz (1) ⇔ (5)) auch 

A → b ∈ Imp(|K8 ) wegen Pn ⊆ Imp(|K8 ). Eine Implikation A → b, welche vorher noch unbekannt 

war, wird also in diesem Fall als gültig erkannt. Die fiktiven Gegenstände gA,b ∈ Gn mit A → b ∈ 

ConsH (Pn) können aus dem Kontext |Kn entfernt werden, weil sie eine korrekte Implikation 

widerlegen. 


Seien H = ℘(M) und |K0 = |K1 der Kontext 

|K0 a b c 

g1 o o o 

g2 o × o 

g3 o × × 

g4 o ? × 

Dann sind die Mengen ∅, {b}, {b, c} und M genau die Erf(|K1)-Inhalte, und die Mengen {a} und 

{c} sind genau die Erf(|K1)-pseudoabgeschlossenen Mengen. 

Wenn im Schritt 1 der Merkmalexploration nach der Implikation a → {a, b, c} gefragt wird, die 

Implikation a → {a, c} als gültig akzeptiert wird, und die Implikation a → b als unbekannt 

angegeben wird, dann wird ein fiktives Gegenbeispiel erzeugt: 

g{a},b × o ? 

Im Schritt 2 wird nach der Implikation c → {c, b} gefragt. Wenn der Experte die Frage nach der 

Gültigkeit dieser Implikation mit "ja" beantwortet, dann ist die unbekannte Implikation a → b aus 

P3 = {a → {a, c}, c → {c, b}} herleitbar, d.h. es gilt a → b ∈ Cons H (P3). Die Implikation a → b 

wird somit als gültig erkannt, und das fiktive Gegenbeispiel g{a},b wird nicht mehr benötigt. 

3.39. Lemma (Eine unbekannte Implikation kann nicht nachträglich als gültig erkannt 

werden, falls die Prämisse ein Inhalt ist): 

Seien j ≥ i > 0, gA,b ∈ Gi und A ein Erf(|Ki)-Inhalt, dann gilt A → b ∉ Cons H (Pj). 

Beweis: 

Nach Satz 3.2 (Äquivalenz (1) ⇔ (4)) gilt A ∈ RespH (Erf(|Ki)) ⊆ RespH (Erf(|Kj)) ⊆3.28 RespH (Pj), 

also A → b ∉ Imp(RespH (Pj)) =2.71 ConsH (Pj) wegen b ∉ A. 

❚ 

Aus diesem Lemma folgt, daß eine unbekannte Implikation A → b nur dann automatisch als gültig 

erkannt werden kann (d.h. A → b ∈ Cons H (Pj) für ein j > 0), wenn A ≠ A ‡z in |Kj gilt. Nach 

Korollar 3.30.(2) ist dies äquivalent dazu, daß A eine Prämisse von Pj ist. 

133

3.40. Lemma (Eine als unbekannt akzeptierte Implikation ist genau dann aus den 

akzeptierten Implikationen herleitbar, wenn die Kontextzeile nicht fragezeichenreduzierbar 

ist): 

Seien j ≥ 0 und gA,b ∈ Gj ein fiktiver Gegenstand von |Kj. 


(1) Red H P j (gA,b) existiert nicht 

(2) A → b ∈ ConsH (Pj) 

(3) ConsH (Pj) ist nicht erfüllbar für den Gegenstand gA,b. 

Beweis: 

(1) ⇒ (2): 

Nach (1) und Satz 3.17.(3) gibt es kein T ∈ Resp H (Pj) mit A ⊆ T und b ∉ T, also gilt 

A → b ∈ Imp(Resp H (Pj)) =2.71 Cons H (Pj). 

(2) ⇒ (3): 

A → b ist für gA,b nicht erfüllbar. 

(3) ⇒ (1): 

Diese Implikation folgt aus Korollar 3.18. 

❚ 

Wenn man also nach der Merkmalexploration für alle fikiven Gegenstände gA,b ∈ Gn überprüft hat, 

ob A → b ∉ Cons H (Pn) gilt, dann braucht man nicht mehr zu untersuchen, ob Red H P n (gA,b) existiert, 

denn dies liefert keine neuen Informationen über die unbekannten Implikationen. 

3.41. Lemma (Die erfüllbaren Implikationen sind nach der Exploration genau dann 

bezüglich der Regeln (AX), (PS) und (H-EX) abgeschlossen, wenn keine als unbekannt 

akzeptierte Implikation aus den gültigen Implikationen folgt): 

Wenn die Merkmalexploration im Schritt n beendet ist, dann sind folgende Aussagen äquivalent: 

(1) Red H P n (|Kn) existiert 

(2) A → b ∉ ConsH (Pn) gilt für alle fiktiven Gegenstände gA,b ∈ Gn. 

(3) ConsH (Erf(|Kn)) = Erf(|Kn) 

Beweis: 

(1) ⇒ (3): 

Wenn Red H Pn (|Kn) existiert, gilt ConsH (Erf(|Kn)) =3.34 ConsH (Pn) ⊆3.18 Erf(|Kn). 

(3) ⇒ (2): 

Für gA,b ∈ Gn gilt A → b ∉ Erf(|Kn) = ConsH (Erf(|Kn)) =3.34 ConsH (Pn). 

(2) ⇒ (1): 

Wegen A → b ∉ Cons H (Pn) für gA,b ∈ Gn existiert Red H P n (gA,b) nach Lemma 3.40, und die 

Kontextzeilen von Gegenständen aus Gn ∩ G sind bereits Pn-fragezeichenreduziert. 

❚ 

Die Menge der erfüllbaren Implikationen des Kontextes |Kn am Ende der Merkmalexploration ist 

somit abgeschlossen bezüglich des Operators Cons H , sofern keine unbekannte Implikation 

nachträglich als gültig erkannt wurde. 

134

Durch die Fragezeichenreduktion der normalen Gegenstände g ∈ Gn ∩ G kann eine Implikation 

A → b widerlegt werden, die vorher unbekannt war: Wenn der Experte im Schritt j ≥ 0 einen 

Gegenstand g ∈ G mit Ij+1(g, a) ≠ o für alle a ∈ A und Ij(g, b) ≠ × eingibt, dann ist es möglich, daß 

durch die Fragezeichenreduktion nach Abschluß der Merkmalexploration dieser Gegenstand die 

Implikation A → b widerlegt: In(g, a) = × für alle a ∈ A und In(g, b) = o. Auch in diesem Fall erhält 

der Experte Informationen über die unbekannten Implikationen: A → b ∉ Imp(|K 8 ) für alle 

gA,b ∈ Gn, für die es einen Gegenstand g ∈ Gn ∩ G gibt, für den die Implikation A → b in |Kn nicht 

erfüllbar ist. Diese Eigenschaft ist äquivalent zu In(gA,b, ⋅) ≤ In(g, ⋅), denn die Kontextzeile von gA,b 

ist die kleinste 138 Kontextzeile, welche die Implikation A → b widerlegt. 



|K0 a b c 

g1 o o o 

g2 o × × 

g3 o o × 

g4 × ? o 

Dann sind {a} und {b} minimale Erf(|K1)-pseudoabgeschlossene Mengen. Wenn im Schritt 1 der 

Merkmalexploration die Frage nach der Implikation b → {b, c} mit "unbekannt" beantwortet wird, 

dann wird ein fiktives Gegenbeispiel erzeugt: 

g{b},c ? × o 

Im Schritt 2 wird nach der Implikation a → {a, b} gefragt. Wenn der Experte die Frage nach der 

Gültigkeit dieser Implikation mit "ja" beantwortet, dann wird die Kontextzeile von g4 P2-fragezeichenreduziert: 

g4 × × o 

Die unbekannte Implikation b → c wird somit durch den Gegenstand g4 widerlegt, und das 

Merkmalexplorationsprogramm kann automatisch erkennen, daß b → c im Universum |K 8 nicht 

gültig ist. Die Kontextzeile von g4 ist nun eine Vervollständigung der Kontextzeile von g{b},c, und 

der Gegenstand g{b},c wird nicht mehr benötigt. 

3.43. Definition (G ~ , G * , |K * , P * , P u ): 

Sei die Merkmalexploration im Schritt n beendet. 

G ~ := Gn-{gA,b ∈ Gn | A → b ∈ Cons H (Pn)} 

G * := G ~ -{gA,b ∈ Gn | In(gA,b, ⋅) ≤ In(g, ⋅) für ein g ∈ Gn ∩ G}. 

|K * := |Kn|G * = (G* , M, {×, ?, o}, I * ) 

P * := {A → D | A → B ∈ Pn für eine Menge B ⊆ M mit D = B ∪ {b ∈ M | gA,b ∈ Gn-G ~ }}. 

P u := {A → b ∈ ImpM | gA,b ∈ G * } 

Die Menge P u ist die Menge der Implikationen, die bei der Exploration als unbekannt akzeptiert 

wurden, und auch nachträglich weder als gültig noch als falsch erkannt wurden, d.h. die Gültigkeit 

der Implikationen aus P u ist auch nach der Exploration noch unbekannt. 

3.44. Satz (Entfernung überflüssiger fiktiver Gegenstände): 

Sei die Merkmalexploration im Schritt n beendet. Dann gilt: 

Cons H (P * ) = Cons H (Pn) = Cons H (Erf(|Kn)) = Erf(|Kn|G ~) = Erf(|K * ). 

138 mit der Informationsordnung × > ? < o 

135

Beweis von Cons H (P * ) = Cons H (Pn): 

Für A → B ∈ Pn gilt A → B ∈ Cons H (P * ) nach Regel (PR), also Cons H (Pn) ⊆ Cons H (P * ). 

Für A → D ∈ P * gibt es eine Menge B ⊆ M mit A → B ∈ Pn und 

D = B ∪ {b ∈ M | gA,b ∈ Gn-G ~ } = B ∪ {b ∈ M | gA,b ∈ Gn und A → b ∈ Cons H (Pn)}, also 

A → D ∈ Cons H (Pn) nach Regel (AD). Damit gilt Cons H (Pn) = Cons H (P * ) 

Beweis von Cons H (Pn) = Cons H (Erf(|Kn)): 

Vgl. Korollar 3.34. 

Beweis von Cons H (Pn) ⊆ Erf(|K * ): 

Es gilt ConsH (Pn) ⊆ Imp(|K8 ) ⊆ Erf(|K * |G*∩G), denn ein Teilkontext von |K8 ist eine 

Vervollständigung von |K * |G*∩G. Sei gA,b ∈ G * ein fiktiver Gegenstand. Für E → F ∈ ImpM mit 

E ⊆ A und b ∈ F gilt E → F ∉ ConsH (Pn), denn sonst wäre nach Regel (AU) und Regel (PR) auch 

A → b ∈ Cons H (Pn), was ein Widerspruch zur Definition von G * ist. Somit gilt Cons H (Pn) ⊆ 

Erf(|K * |G*∩G)-{E → F | es gibt ein gA,b ∈ G * mit E ⊆ A und b ∈ F} =3.27 Erf(|K * ). 

Beweis von Erf(|K * ) ⊆ Erf(|Kn|G ~): 

Jede Implikation C → D, welche durch einen Gegenstand aus 

{gA,b ∈ Gn | In(gA,b, ⋅) ≤ In(g, ⋅) für ein g ∈ Gn ∩ G} widerlegt wird, wird auch durch den 

zugehörigen Gegenstand g ∈ Gn ∩ G ⊆ G * mit In(gA,b, ⋅) ≤ In(g, ⋅) widerlegt. 

Beweis von Erf(|Kn|G ~) ⊆ ConsH (Pn): 

Für Q = {A → b ∈ ImpM | gA,b ∈ Gn-G ~ } ⊆ Cons H (Pn) gilt 

Erf(|Kn|G ~) ⊆3.37 Cons H (Pn ∪ Q) = Cons H (Pn). 

❚ 


Durch Satz 3.44 werden zwei verschiedene Arten von überflüssigen fiktiven Gegenständen aus |Kn 

beseitigt: 

1. Die fiktiven Gegenstände gA,b ∈ Gn mit A → b ∈ Cons H (Pn) widerlegen eine korrekte 

Implikation. Die Menge der erfüllbaren Implikationen vergrößert sich zwar, wenn man diese 

Gegenstände aus |Kn entfernt, aber es kommen nur solche Implikationen hinzu, welche vorher 

herleitbar waren: Erf(|Kn|G ~) = ConsH (Erf(|Kn)). Jede Implikation C → D ∈ Cons H (Erf(|Kn)), 

welche in |Kn nicht erfüllbar ist, wird nur durch solche Gegenstände widerlegt, die in Gn-G ~ 

liegen, für alle anderen Gegenstände ist C → D erfüllbar. 

2. Die fiktiven Gegenstände gA,b ∈ Gn, die auch durch einen normalen Gegenstand g ∈ Gn ∩ G 

widerlegt werden, werden nach der Merkmalexploration nicht mehr benötigt, weil jede 

Implikation C → D, die durch den Gegenstand gA,b widerlegt wird, auch für den zugehörigen 

Gegenstand g nicht erfüllbar ist. 

3.46. Korollar (Der Kontext |K * läßt sich fragezeichenreduzieren, und die Menge der 

erfüllbaren Implikationen ändert sich dabei nicht): 

Sei die Exploration im Schritt n beendet. 

Dann existiert Red H P n (|K * ), und es gilt Erf(|K * ) = Erf(Red H P n (|K * )). 

136

Beweis: 

Für gA,b ∈ G * gilt A → b ∉ ConsH (Pn), also existiert Red H Pn (|K * ) nach Lemma 3.40. 

Es gilt Erf(|K * ) =3.44 ConsH (Pn) ⊆3.18 Erf(Red H Pn (|K * )). 

Erf(Red H Pn (|K * )) ⊆ Erf(|K * ) gilt wegen Red H Pn (|K * ) ≥ |K * , also gilt Erf(|K * ) = Erf(Red H Pn (|K * )). 

❚ 

Man kann beide Arten von überflüssigen fiktiven Gegenständen gA,b auch schon während der 

Merkmalexploration aus dem Kontext entfernen, wenn im Schritt j < n bereits erkannt wird, daß 

A → b ∈ Cons H (Pj) gilt, oder daß es einen normalen Gegenstand g ∈ Gj ∩ G mit Ij(gA,b, ⋅) ≤ Ij(g, ⋅) 

gibt. Der folgende Satz zeigt, daß sich dadurch nichts am weiteren Verlauf der Merkmalexploration 

ändert. 

3.47. Satz (Die überflüssigen fiktiven Gegenstände können bereits während der Exploration 

beseitigt werden): 

Wenn die überflüssigen fiktiven Gegenstände aus Definition 3.43 nach jedem Schritt der 

Merkmalexploration, bei dem sie als überflüssig erkannt werden, aus dem aktuellen Kontext 

entfernt werden, ändert sich nichts an den Fragen, die durch das Explorationsprogramm gestellt 

werden. 

Beweis: 

Wenn eine als unbekannt akzeptierte Implikation A → b durch einen normalen Gegenstand 

widerlegt wird, ändern sich nicht die im aktuellen Kontext erfüllbaren Implikationen bei der 

Entfernung des fiktiven Gegenstandes, d.h. es werden genau die gleichen Fragen durch das 

Merkmalexplorationsprogramm gestellt. 139 

Es wird nun gezeigt, daß auch für die fiktiven Gegenstände gA,b mit A → b ∈ ConsH (Pj) die Fragen 

des Explorationsprogramm gleich bleiben. 

Annahme: Die Behauptung ist falsch 

Dann gibt es ein minimales k > 0, so daß im Schritt k beim modifizierten Algorithmus (mit der 

Gegenstandsmenge Gk ~ := Gk-{gA,b ∈ Gk | A → b ∈ ConsH (Pk)}) nach einer anderen Implikation 

gefragt wird, als beim normalen Algorithmus (mit der Gegenstandsmenge Gk). Wegen der 

Minimalität von k enthält die Menge Pk in beiden Algorithmen die gleichen Implikationen. Nach 

Satz 3.31 reicht es zu zeigen, daß die minimalen Mengen C ⊆ M, für die C ‡z ≠ C ∈ RespH (Pk) 

bezüglich |Kk gilt, genau die minimalen Mengen C ⊆ M sind, für die C ‡z ≠ C ∈ RespH (Pk) 

bezüglich |Kk|G ~ gilt, denn dann haben beide Algorithmen im Schritt k dieselben Implikationen zur 

k 

Auswahl. 

Für jede Menge C ⊆ M, für die 

C ‡z ≠ C ∈ RespH (Pk) bezüglich |Kk 

gilt, gilt auch 

C ‡z ≠ C ∈ RespH (Pk) bezüglich |Kk|G ~ 

k 

wegen Erf(|Kk) ⊆ Erf(|Kk|G k ~). 

Sei nun C ⊆ M, so daß C ‡z ≠ C ∈ Resp H (Pk) bezüglich |Kk|G k ~ gilt, und sei m ∈ C ‡z -C (bezüglich 

|Kk|G k ~). Dann gilt C → m ∈ Erf(|Kk|G k ~) ⊆ Erf(|K1), wobei |K1 = Red H ∅ (|K0) der fragezeichenreduzierte 

Anfangskontext der Exploration ist. 

Annahme: Im Kontext |Kk gilt C ‡z = C. 

139 vgl. Bemerkung 3.45.2 

137

Dann gibt es ein j < k mit C → m ∈ Erf(|Kj)-Erf(|Kj+1). Sei g ∈ Gj+1 ein Gegenstand, welcher C → m 

widerlegt. Wegen C → m ∈ Erf(|Kk|G ~) ist g ein fiktiver Gegenstand. Seien A ⊆ M und b ∈ M mit 

k 

g = gA,b, dann gilt C ⊆ A und m = b nach Lemma 3.26. Dann gilt A → b ∈ ConsH (Pk) wegen 

gA,b ∉ Gk ~ . Es gilt C ‡z ≠ C ∈ Resp H (Pj) bezüglich |Kj und auch A ‡z ≠ A ∈ Resp H (Pj) also A = C, 

weil im Schritt j die Prämisse der Implikation minimal mit dieser Eigenschaft gewählt wurde. 140 

Wegen der Annahme C ‡z = C (bezüglich |Kk) ist A ein Erf(|Kk)-Inhalt, 141 was ein Widerspruch zu 

Lemma 3.39 und A → b ∈ Cons H (Pk) ist. 

Damit ist die Annahme falsch, und die Mengen C ⊆ M, für die C ‡z ≠ C ∈ Resp H (Pk) bezüglich |Kk 

gilt, sind genau die Mengen C ⊆ M, für die C ‡z ≠ C ∈ Resp H (Pk) bezüglich |Kk|G k ~ gilt. Daraus 

folgt die Behauptung. 

❚ 

Die Menge P * aus Definition 3.43 ist zwar im allgemeinen keine Basis von Erf(|K * ) (d.h. die Menge 

P * könnte redundant sein), aber wenn es keine als unbekannt akzeptierte Implikation A → b mit 

A → b ∈ ConsH (Pn) gibt, dann ist P * =3.43 Pn nach Korollar 3.34 die Duquenne-Gigue-Basis von 

Erf(|K * ) =3.45.2 Erf(|Kn). Der Fall, daß A → b ∈ ConsH (Pn) für eine Implikation gilt, die dem 

Experten vorher unbekannt war, kann nur eintreten, wenn er bei der Frage nach der Gültigkeit der 

Implikation A → b nicht lange genug nachgedacht hat, denn der Rahmenkontext H und jede 

Implikation aus Pn ist dem Experten bekannt. In der Praxis wird also in den meisten Fällen P * = Pn 

gelten, wenn der Experte sich die Mühe macht, bei einer Implikation, nach der bei der Exploration 

gefragt wird, etwas länger nachzudenken. 

3.48. Satz (Im Kontext |K * liefert der Operator ‡z die Hülle bezüglich der 

Implikationenmenge ConsH (P * )): 

Für alle C → D ∈ P * gilt D = C ‡z bezüglich |K * . 

Für alle C ⊆ M gilt ConsH(P * ) = Erf(|K * ) = C ‡z in |K * . 

Beweis von D = C ‡z : 

Für C → D ∈ P * gibt es C → B ∈ Pn mit D = B ∪ {b ∈ M | gA,b ∈ Gn-G ~ }. 142 

Nach Satz 3.44 gilt C → D ∈ Erf(|K * ), also D ⊆ {m ∈ M | C → m ∈ Erf(|K * )} =2.58.(1) C ‡z nach 

Regel (PR). Sei nun d ∈ C ‡z . Dann gilt C → d ∈ Erf(|K * ) =3.44 Erf(|Kn|G ~). Falls auch C → d ∈ 

Erf(|Kn) ist, dann gilt d ∈ {m ∈ M | C → m ∈ Erf(|Kn)} =3.30.(1) B ⊆ D, ansonsten gibt es ein j < n, so 

daß im Schritt j der Kontext |Kj um einen fiktiven Gegenstand gA,b ∈ Gn-G ~ erweitert wird, für den 

C → d nicht erfüllbar ist, also gilt C ⊆ A und b = d. Wenn C eine echte Teilmenge von A ist, dann 

gilt C → B ∈ Pj und d ∈ {m ∈ M | C → m ∈ Erf(|Kj)} = B ⊆ D, also sei nun C = A. Dann gilt 

gC,d = gA,b ∈ Gj+1. Wegen C → d ∈ Erf(|Kn|G ~) gilt gC,d ∈ Gn-G ~ , also d ∈ D. Damit gilt C ‡z = D. 

Beweis von ConsH(P * ) = Erf(|K * ) = C ‡z : 

C ‡z =2.58.(1) {m ∈ M | C → m ∈ Erf(|K * )} =3.44 {m ∈ M | C → m ∈ Cons(ConsH (P * )))} =2.40 

ConsH(P * ) , und wegen Cons(Erf(|K * )) =3.44 Erf(|K * ) gilt 

140 vgl. Satz 3.31 



138

C ‡z =2.58.(1) {m ∈ M | C → m ∈ Cons(Erf(|K * ))} =2.40 Erf(|K * ) 

❚ 

Im Kontext |K * ist der Operator ‡z : ℘(M) → ℘(M) nach Satz 2.31 ein Hüllenoperator, denn es gilt 

‡z = < ⋅ >Erf(|K * ). 

Korollar 3.37 läßt sich auch auf den Kontext |K * übertragen: 

3.49. Lemma (Die erfüllbaren Implikationen von |K * nach Entfernung einiger fiktiver 

Gegenstände sind aus den erfüllbaren Implikationen und den zugehörigen unbekannten 

Implikationen herleitbar): 

Seien G ∩ G * ⊆ S ⊆ G * und Q = {A → d | gA,d ∈ G * -S}. 

Dann gilt Erf(|K * |S) ⊆ Cons H (Erf(|K * ) ∪ Q) = Cons H (P * ∪ Q). 

Beweis: 

Seien n > 0, so daß die Exploration im Schritt n beendet ist, und T := S ∪ {gA,b ∈ Gn | In(gA,b, ⋅) ≤ 

In(g, ⋅) für ein g ∈ Gn ∩ G}. 

Es gilt Erf(|K * |S) =3.45.2 Erf(|Kn|T) ⊆3.37 ConsH (Erf(|Kn) ∪ {A → b | gA,b ∈ Gn-T}). 

Für gA,b ∈ Gn-T gilt A → b ∈ ConsH (Pn) ∪ Q, denn entweder wurde gA,b bei der Einschränkung der 

Menge Gn auf die Menge G ~ entfernt 143 (in diesem Fall gilt A → b ∈ ConsH (Pn)) oder gA,b ist auch 

ein Element von G * (in diesem Fall gilt A → b ∈ Q). Somit gilt ConsH (Erf(|Kn) ∪ {A → b | gA,b ∈ 

Gn-T}) ⊆ ConsH (Erf(|Kn) ∪ ConsH (Pn) ∪ Q). 

Nach Satz 3.44 gilt ConsH (Erf(|Kn)) = ConsH (Pn) = Erf(|K * ) = ConsH (P * ), also gilt 

ConsH (Erf(|Kn) ∪ ConsH (Pn) ∪ Q) = ConsH (Erf(|K * ) ∪ Q) = ConsH (P * ∪ Q), denn ConsH ist ein 

Hüllenoperator. Damit ist Erf(|K * |S) ⊆ ConsH (Erf(|K * ) ∪ Q) = ConsH (P * ∪ Q) bewiesen. 

❚ 

Der Experte möchte am Ende der Merkmalexploration nicht nur Informationen über den Kontext 

|K * haben, sondern auch über den unbekannten Kontext |K 8 . Er weiß zwar nicht, welche der 

unbekannten Implikationen im Kontext |K 8 richtig sind, aber mit Hilfe von Lemma 3.49 wird in 

Satz 3.53 gezeigt, daß die gültigen Implikationen von |K 8 aus den erfüllbaren Implikationen von |K * 

und einer geeigneten Teilmenge der unbekannten Implikationen herleitbar sind. Zunächst wird noch 

eine Definition benötigt: 

3.50. Definition (G * 

, Pu 

8 

G * 

8 := G* -{gA,b ∈ G * | A → b ∈ Imp(|K8 )} 

P u 

8 := {A → b ∈ ImpM | gA,b ∈ G * -G * 

8 } 

8 ): 

Die Menge P u 

ist die Menge der als unbekannt akzeptierten Implikationen, welche durch fiktive 

8 

Gegenbeispiele widerlegt wurden, obwohl sie korrekt waren: 

3.51. Lemma (P u 

8 

Universum gültig sind): 

Es gilt P u 

8 = Pu ∩ Imp(|K8 ). 


besteht aus den als unbekannt akzeptierten Implikationen, die im 

139

Beweis: 

A → b ∈ P u 

8 gdw. 

gA,b ∈ G * und gA,b ∉ G * 

8 gdw. 

A → b ∈ P u und A → b ∈ Imp(|K 8 ) 

❚ 

3.52. Lemma (G * 

besteht aus den Gegenständen, deren Kontextzeilen eine Vervoll- 

8 

ständigung im Universum haben): 

G * 

8 = {g ∈ G* | die Kontextzeile von g in |K * läßt sich zu einer Kontextzeile von |K 8 vervollständigen} 

Beweis: 

'⊆': 

Jede Kontextzeile eines Gegenstandes aus G * 

jedem fiktiven Gegenstand gA,b ∈ G * 

140 

8 ∩ G von |K * hat in |K8 eine Vervollständigung. Zu 

8 gibt es wegen A → b ∉ Imp(|K8 ) einen Gegenstand g ∈ G in 

|K, der diese Implikation widerlegt. Die Kontextzeile von g in |K 8 ist eine Vervollständigung der 

Kontextzeile von gA,b in |K * , weil die Kontextzeile von gA,b nach Lemma 3.26 die kleinste Kontextzeile 

ist, welche die Implikation A → b widerlegt. Damit gibt es zu jeder Kontextzeile von |K * |G* 8 

eine Vervollständigung in |K 8 . 

'⊇': 

Sei g ∈ G * , so daß die Kontextzeile von g in |K * sich zu einer Kontextzeile von |K 8 vervollständigen 

läßt. Für gA,b ∈ G * mit A → b ∈ Imp(|K 8 ) gilt g ≠ gA,b, weil A → b in keiner Vervollständigung von 

gA,b gültig ist. Damit gilt g ∈ G * 

8 . 

❚ 

3.53. Satz (Exploration liefert relativ zum Wissen des Experten Informationen über das 

Universum): 

Sei die Exploration im Schritt n beendet. Dann gilt 

ConsH (Pn ∪ P u 

8 ) = ConsH (P * ∪ P u 

8 ) = ConsH (Erf(|K * ) ∪ P u 

8 ) = Erf(|K * |G* ) = Imp(|K 8 8 ) = Erf(|K8 ). 

Beweis: 

Die ersten beiden Gleichungen folgen aus Satz 3.44. 

Die letzte Gleichung gilt, weil |Kn ein einwertiger Kontext ist. 

Beweis von Cons H (Pn ∪ P u 

8 ) ⊆ Imp(|K 8 ): 

P u 

8 ⊆ Imp(|K 8 ) gilt nach Lemma 3.51, und Pn ⊆ Imp(|K 8 ) gilt, weil jede Implikation aus Pn als gültig 

akzeptiert wurde. Imp(|K 8 ) ist nach Satz 2.71 (Äquivalenz (1) ⇔ (5)) abgeschlossen bezüglich 

Cons H , also Cons H (Pn ∪ P u 

8 ) ⊆ Imp(|K 8 ). 

Beweis von Imp(|K 8 ) ⊆ Erf(|K * |G* 8 ): 

Aus A → B ∈ Imp(|K 8 ) folgt A → B ∈ Erf(|K * |G* 8 ) nach Lemma 3.52. 

Beweis von Erf(|K * |G* 8 ) ⊆ Cons H (Erf(|K * ) ∪ P u 

8 ): 


❚

Im unbekannten Kontext |K 8 sind genau die Implikationen gültig, die aus den als gültig akzeptierten 

Implikationen und den als unbekannt akzeptierten Implikationen, die durch ein fiktives Gegenbeispiel 

widerlegt wurden, obwohl sie in |K 8 gültig sind, herleitbar sind: 

ConsH (Pn ∪ P u 

8 ) = Imp(|K8 ). 

Durch Entfernung der irrtümlich eingeführten fiktiven Gegenstände aus G * erhält man einen 

unvollständigen Kontext, in dem genau die in |K8 gültigen Implikationen erfüllbar sind: 

Erf(|K * |G* ) = Imp(|K 8 8 ). 

Da dem Experten die Menge G * 

8 nicht bekannt ist, kennt er also nur Approximationen der in |K 8 

gültigen Implikationen: Jede Implikation, die in |K * erfüllbar ist, ist auch in |K 8 gültig, und jede 

Implikation, die in |K 8 gültig ist, ist für alle Gegenstände aus G * ∩ G in |K * erfüllbar: 

Erf(|K * ) ⊆ Imp(|K 8 ) ⊆ Erf(|K * |G *∩G) 

Der Experte weiß nun, daß es eine geeignete Teilmenge P u 

die in |K * erfüllbaren Implikationen mit P u 

bilden: 

ConsH (Erf(|K * ) ∪ P u 

8 ) = Imp(|K8 ) 

8 ⊆ Pu = {A → b | gA,b ∈ G * } gibt, so daß 

8 ein Erzeugendensystem der in |K 8 gültigen Implikationen 

Wenn man bei der Merkmalexploration nach jedem Schritt die Fragezeichenreduktion auch für die 

fiktiven Gegenstände durchführt, dann müssen dem Experten weniger Fragen gestellt werden, weil 

Gegenbeispiele für Implikationen früher erkannt werden. Die Gleichungen ConsH (P * ∪ P u 

) = 8 

Erf(|K * |G* ) = Imp(|K 8 8 ) aus dem vorigen Satz sind dann jedoch nicht mehr gültig. 



|K0 a b c 

g1 o o o 

g2 o × o 

g3 o × × 

g4 o ? × 

aus Beispiel 3.38. 

Im Schritt 1 der Merkmalexploration wird nach der Implikation a → {a, b, c} gefragt, die 

Implikation a → {a, c} wird als gültig akzeptiert, und die Implikation a → b als unbekannt 

angegeben. Dadurch wird ein fiktives Gegenbeispiel erzeugt: 

g{a},b × o ? 

Wenn bei dieser Zeile keine Fragezeichenreduktion bezüglich P2 = {a → {a, c}} durchgeführt wird, 

dann wird im Schritt 2 nach der Implikation c → {b, c} gefragt. Wenn dem Experten die Gültigkeit 

dieser Implikation auch unbekannt ist, dann wird noch ein fiktives Gegenbeispiel erzeugt: 

g{c},b ? o × 

Im Schritt 3 wird nach der Implikation {a, c} → {a, b, c} gefragt. Dem Experten ist auch die 

Gültigkeit dieser Implikation unbekannt, denn ein Gegenbeispiel für diese Implikation wäre auch 

ein Gegenbeispiel für die unbekannte Implikation a → b, und aus der Gültigkeit von {a, c} → {a, b, 

c} würde wegen a → {a, c} ∈ P3 auch die Gültigkeit von a → b folgen. Es wird ein fiktives 

Gegenbeispiel erzeugt: 

g{a,c},b × o × 

Danach ist der Algorithmus beendet. Es gilt P4 = {a → {a, c}}. 

Wäre nach dem Schritt 1 die Fragezeichenreduktion bezüglich P2 = {a → {a, c}} durchgeführt 

worden, dann wäre der Algorithmus bereits im Schritt 2 beendet gewesen, weil dann die 

Kontextzeile von g{a},b wie folgt aussieht: 

g{a},b × o × 

141

Die Implikationen c → {b, c} und {a, c} → {a, b, c} sind dann im Kontext |K2 nicht mehr erfüllbar. 

Wenn |K 8 der Kontext 

|K 8 a b c 

142 

g1 o o o 

g2 o × o 

g3 o × × 

g4 o × × 

ist, dann gilt |K * = |K2, P u 

8 

c}}, also ConsH (P * ∪ P u 

= {a → b}, G* 

8 = G = {g1, g2, g3, g4}, |K * |G* 8 = |K0 und P * = P2 = {a → {a, 

8 ) ≠ Erf(|K * |G* 8 ) = Imp(|K 8 ) wegen c → b ∈ Erf(|K * |G* 8 ), aber c → b ∉ 

Cons H ({a → {a, c}, a → b}) = Cons H (P * ∪ P u 

8 ). 

Wenn |K 8 der Kontext 

|K 8 a b c 

g1 o o o 

g2 o × o 

g3 o × × 

g4 o o × 

ist, dann gilt ebenfalls |K * = |K2, P u 

Erf(|K * |G* 8 ) ≠ Imp(|K 8 ) = Cons H (P2 ∪ P u 

8 

= {a → b}, G* 

8 = G, |K * |G* 8 = |K0 und P * = P2 = {a → {a, c}}, also 

8 ) wegen c → b ∈ Erf(|K * |G* 8 ), aber c → b ∉ Imp(|K 8 ). 

Im folgenden wird deshalb davon ausgegangen, daß für die fiktiven Gegenbeispiele während der 

Merkmalexploration keine Fragezeichenreduktion durchgeführt wird. Erst am Ende der 

Merkmalexploration können auch die Kontextzeilen der fiktiven Gegenstände des Kontextes |K * 

fragezeichenreduziert werden, ohne daß Informationen über den unbekannten Kontext |K 8 verloren 

gehen. Die Menge der erfüllbaren Implikationen ändert sich dadurch nicht, denn nach Korollar 3.46 

gilt Erf(|K * ) = Erf(Red H P n (|K * )). 

Für die normalen Gegenstände, welche auch in |K 8 vorkommen, ist es sinnvoller die Fragezeichenreduktion 

durchzuführen, damit Gegenbeispiele für Implikationen früher erkannt werden, und somit 

dem Experten weniger Fragen gestellt werden müssen. Für die Gültigkeit der Gleichungen 

Cons H (P * ∪ P u 

8 ) = Erf(|K * |G* 8 ) = Imp(|K 8 ) hat die Fragezeichenreduktion dieser Gegenstände 

g ∈ Gn ∩ G keine Auswirkung. 

Wenn nach einer Merkmalexploration im Kontext |K * keine fiktiven Gegenstände vorkommen, hat 

der Experte vollständiges Wissen über die im unbekannten Kontext |K 8 gültigen Implikationen. Er 

kann somit (bis auf Isomorphie) den Begriffsverband von |K 8 aufstellen. Der Kontext |K * kann 

jedoch noch Fragezeichen enthalten, daher kann der Begriffsverband X(|K * ) nicht gebildet werden. 

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, um den unvollständigen Kontext |K * in einen einwertigen 

Kontext umzuwandeln. Der folgende Satz zeigt, daß es sinnvoll ist, zunächst eine Fragezeichenreduktion 

durchzuführen, und anschließend alle Kontextzeilen, die noch Fragezeichen enthalten, 

aus dem Kontext zu entfernen. Die Menge der erfüllbaren Implikationen ändert sich dabei nicht. 

3.55. Satz (Durch Entfernung normaler Gegenstände, welche Fragezeichen enthalten, 

ändert sich die Menge der erfüllbaren Implikationen nicht): 

Für g ∈ G sei I * (g, M) := {I * (g, m) | m ∈ M} die Menge der Werte, welche in der Kontextzeile von 

g stehen. Sei Red H P n (|K * ) = (G * , M, {×, ?, o}, J). 144 

144 dieser Kontext existiert nach Korollar 3.46

Seien S = G * -{g ∈ G * ∩ G | ? ∈ I * (g, M)} und 

T = G * -{g ∈ G * | ? ∈ J(g, M)} = {g ∈ G * | ? ∉ J(g, M)} 

Dann gilt: 

(1) Erf(|K * ) = Erf(|K * |S) = Erf(Red H Pn (|K * )|T) 

(2) S ∩ G = T ∩ G 

(3) Imp(Red H Pn (|K * )|T) ⊆ Imp(|K8 ) ⊆ Imp(|K * |T∩G) 

(4) Int(|K * |T∩G) ⊆ Int(|K8 ) ⊆ Int(Red H Pn (|K * )|T) 

(5) Die induzierten Abbildungen 145 h1 : X(|K * |T∩G) → X(|K8 ) und h2 : X(|K8 ) → X(Red H Pn (|K * )|T) 

sind injektive ∨-Halbverbandshomomorphismen. 

Beweis von Erf(|K * ) = Erf(|K * |S): 

Erf(|K * ) ⊆ Erf(|K * |S) gilt, weil |K * |S ein Teilkontext von |K * ist. 

Annahme: Es gibt eine Implikation A → B ∈ Erf(|K * |S) mit A → B ∉ Erf(|K * ). 

Sei A maximal mit diesen beiden Eigenschaften. 

Dann gibt es einen Gegenstand g ∈ G * ∩ G, für den A → B in |K * nicht erfüllbar ist, und dessen 

Kontextzeile in |K * ein Fragezeichen enthält. Im folgenden sei m ∈ M mit I * (g, m) = ?. Es gilt 

I * (g, a) = × für alle a ∈ A und I * (g, b) = o für ein b ∈ B. Nach Regel (AU) gilt A ∪ {m} → B ∈ 

Erf(|K * |S). Die Menge A ∪ {m} ist eine echte Obermenge von A, also gilt A ∪ {m} → B ∈ Erf(|K * ) 

=3.44 Cons H (Pn) wegen der Maximalität von A. Nach Regel (iv) der Fragezeichenreduktion muß 

dann jedoch I * (g, m) = o gelten, denn die Kontextzeile von g ist Pn-fragezeichenreduziert. Damit ist 

die Annahme falsch, und es gilt Erf(|K * |S) ⊆ Erf(|K * ). 

Beweis von Erf(|K * ) = Erf(Red H P n (|K * )|T): 

Nach Korollar 3.46 gilt Erf(|K * ) = Erf(Red H Pn (|K * )). 

Der Beweis von Erf(Red H Pn (|K * )) = Erf(Red H Pn (|K * )|T) verläuft analog dem Beweis von Erf(|K * ) = 

Erf(|K * |S). 


Für g ∈ G * gilt: 

g ∈ S ∩ G gdw. g ∈ G und ? ∉ I * (g, M) gdw. g ∈ T ∩ G. 


Die Kontexte Red H Pn (|K * )|T und |K * |T∩G sind einwertig, also gilt Imp(Red H Pn (|K * )|T) = Erf(Red H Pn (|K * )|T) 

=(1) Erf(|K * ) ⊆3.53 Imp(|K8 ) ⊆ Erf(|K * |T∩G) = Imp(|K * |T∩G). 

Beweis von (4) und (5): 

Vgl. Satz 2.63. 

❚ 

Wenn also die Kontextzeile eines normalen Gegenstandes g ∈ G * ∩ G nach der Merkmalexploration 

noch Fragezeichen enthält, wird diese Kontextzeile nicht mehr benötigt. Die Menge der 

erfüllbaren Implikationen ändert sich nicht, wenn dieser Gegenstand aus |K * entfernt wird. Da 

jedoch der nach der Merkmalexploration entstandene Kontext möglichst viele Informationen über 

den unbekannten Kontext |K 8 enthalten sollte, ist es nicht immer sinnvoll, diese Gegenstände aus |K * 

145 vgl. Satz 2.63 

143

zu entfernen, weil es sein könnte, daß solch ein Gegenstand eine Implikation C → D widerlegt, 

welche sonst nur durch einen fiktiven Gegenstand widerlegt wird. 


Sei |K * der Kontext 

|K * 

a b 

x o ? 

y × o 

g{b},a o × 

Wenn man bei diesem Kontext |K * den Gegenstand x entfernt, ändert sich zwar nicht die Menge der 

erfüllbaren Implikationen, der Kontext |K * enthält jedoch noch die Information, daß die Implikation 

∅ → a im unbekannten Kontext |K8 nicht gültig ist, denn x ist ein Gegenbeispiel für diese 

Implikation. Bei dem Kontext 

|K * |S a b 

y × o 

g{b},a o × 

ist diese Information nicht mehr vorhanden, weil die Implikation ∅ → a nur noch durch ein fiktives 

Gegenbeispiel widerlegt wird. 

Nach der Fragezeichenreduktion der Kontextzeilen aller fiktiven Gegenständen von |K * lassen sich 

nach Satz 3.55 sogar fiktive Gegenstände aus Red H P n (|K * ) entfernen ohne daß sich die erfüllbaren 

Implikationen verändern, sofern Fragezeichen in diesen Kontextzeilen vorkommen. In Satz 3.53 

wurde jedoch bewiesen, daß der Kontext |K * (und damit auch Red H P n (|K * )) sehr viele Informationen 

über das unbekannte Universum |K 8 enthält, daher ist es auch hier sinnvoll, diese Gegenstände im 

Kontext zu belassen. 

Wenn nach einer Merkmalexploration der Kontext |K * keine fiktiven Gegenbeispiele mehr enthält, 

dann werden die Gegenstände g ∈ G * mit ? ∈ I * (g, M) nicht mehr benötigt, und können deshalb aus 

dem Kontext |K * entfernt werden. Auf diese Weise entsteht ein einwertiger Kontext 146 |K * |S = |K * |T, 

und es gilt X(|K * |T) ≅ X(|K 8 ). Dies ist insbesondere dann der Fall, wenn dem Experten bei der 

Merkmalexploration keine Implikation unbekannt ist, d.h. wenn er alle Fragen nach der Gültigkeit 

von Implikationen mit "ja" oder "nein" beantwortet, weil dann bereits im Kontext |Kn keine fiktiven 

Gegenstände vorkommen, also auch nicht in |K * . 

Eine andere Möglichkeit, den unvollständigen Kontext |K * in einen einwertigen Kontext zu 

transformieren, besteht darin, nach der Fragezeichenreduktion eine spezielle Vervollständigung zu 

wählen. Eine nützliche Vervollständigung ist die Verwendung des Wertes o für die Ersetzung der 

Fragezeichen: 

3.57. Satz (Durch Ersetzung von Fragezeichen durch den Wert o im fragezeichenreduzierten 

Kontext ändert sich nicht die Menge der erfüllbaren Implikationen): 

Sei |K o ein unvollständiger Kontext, welcher entsteht, wenn man im Kontext Red H P n (|K * ) einige 

Fragezeichen durch den Wert o ersetzt. Dann gilt Erf(|K o ) = Erf(|K * ). Eine analoge Aussage erhält 

man, wenn man im Kontext |K * einige Fragezeichen in den Kontextzeilen normaler Gegenstände 

g ∈ G * ∩ G durch den Wert o ersetzt. 

146 vgl. Satz 3.55 

144

Beweis: 

Seien Red H Pn (|K * ) = (G * , M, {×, ?, o}, J) und |K o = (G * , M, {×, ?, o}, J o ). Wegen |K o ≥ Red H Pn (|K * ) gilt 

Erf(|K o ) ⊆ Erf(Red H Pn (|K * )) =3.46 Erf(|K * ). 

Sei nun A → B ∈ Erf(|K * ) =3.44 ConsH (Pn), und g ∈ G * mit J o (g, a) = × für alle a ∈ A. Dann gilt 

auch J(g, a) = × für alle a ∈ A nach Definition von |K o . Nach Regel (iii) der Fragezeichenreduktion 

gilt J(g, b) = × für alle b ∈ B, also gilt auch J o (g, b) = × für b ∈ B. Damit gilt A → B ∈ Erf(|K o ), 

also Erf(|K o ) = Erf(|K * ). Die letzte Behauptung folgt analog. 

❚ 

Auch bei diesem Satz erhält man einen injektiven Halbverbandshomomorphismus h : X(|K 8 ) → 

X(|K o ), wenn man alle Fragezeichen von Red H P n (|K * ) durch den Wert o ersetzt. Der Begriffsverband 

X(|K o ) ist isomorph zum Begriffsverband X(Red H P n (|K * )|T) aus Satz 3.55, denn es gilt Imp(|K o ) =3.57 

Erf(|K * ) =3.55 Imp(Red H P n (|K * )|T). Für die Praxis ist es sinnvoller, den Begriffsverband X(Red H P n (|K * )|T) 

zu verwenden, weil der Kontext |K o falsche Informationen in den Kontextzeilen der normalen 

Gegenstände g ∈ G * ∩ G enthalten könnte, während die Kontextzeilen der Gegenstände g ∈ T ∩ G 

des Kontextes Red H P n (|K * )|T in jedem Fall mit den Kontextzeilen in |K 8 übereinstimmen. Somit kann 

man anhand des Begriffsverbandes X(Red H Pn (|K * )|T) bestimmen, welche Merkmale die normalen 

Gegenstände haben. Der Kontext |K o enthält nur eine untere Schranke für die Gegenstandsinhalte, 

d.h. für g ∈ G * ∩ G gilt g Jo 

⊆ g I . 

Oft kommt es vor, daß nach der Merkmalexploration durch die Überprüfung, ob A → b ∈ 

Cons H (Pn) ist, alle "falschen" fiktiven Gegenstände (d.h. die Gegenstände gA,b ∈ Gn mit A → b ∈ 

Imp(|K 8 )) erkannt werden, dann ist P u 

8 = ∅, und die im unbekannten Kontext |K 8 gültigen 

Implikationen sind bereits durch P * eindeutig bestimmt, denn es gilt Cons H (P * ) =3.53 Imp(|K 8 ). Der 

folgende Satz gilt auch für P u 

≠ ∅: 

8 

3.58. Satz (Eine Vervollständigung von |K * |G* 8 liefert einen Teilkontext des Universums mit 

den gleichen Implikationen): 

Es gibt eine Vervollständigung |K' ∈ V(|K * |G* 8 ), so daß |K' bis auf Gegenstandsbereinigung und 

Umbenennung einiger fiktiver Gegenstände von |K' ein Teilkontext von |K 8 mit 

Imp(|K') = Imp(|K 8 ) und X(|K') ≅ X(|K 8 ) ist. 

Beweis: 

Nach Lemma 3.52 hat die Kontextzeile jedes Gegenstandes von |K * |G* 8 eine Vervollständigung in 

|K 8 . Wenn man nun diejenigen Gegenstände von |K * |G* 8 miteinander identifiziert, die dem gleichen 

Gegenstand in |K 8 entsprechen, erhält man so eine Vervollständigung |K' von |K * |G* 8 , welche ein 

Teilkontext von |K 8 ist. Es gilt Imp(|K 8 ) ⊆ Imp(|K') ⊆ Erf(|K * |G* 8 ) =3.53 Imp(|K 8 ), also gilt Imp(|K') = 

Imp(|K 8 ). Daraus folgt auch X(|K') ≅ X(|K 8 ), denn die Begriffsverbände sind nach Korollar 2.36 bis 

auf Isomorphie durch die gültigen Implikationen eindeutig bestimmt. 

❚ 

3.59. Korollar (Falls nach der Exploration keine Implikation unbekannt ist, und jede 

Kontextzeile höchstens ein Fragezeichen enthält, sind die gültigen Implikationen jeder 

Vervollständigung genau die gültigen Implikationen des Universums): 

Wenn |K * keine fiktiven Gegenstände enthält, dann gilt: 

145

Es gibt einen Teilkontext |K' von |K 8 mit |K' ∈ V(|K * ) und Imp(|K') = Imp(|K 8 ) sowie X(|K') ≅ X(|K 8 ). 

Wenn jede Kontextzeile von |K * höchstens ein Fragezeichen enthält, gelten die Eigenschaften 

Imp(|K') = Imp(|K 8 ) und X(|K') ≅ X(|K 8 ) sogar für alle Vervollständigungen |K' ∈ V(|K * ), und es gilt 

Imp(|K * ) = Erf(|K * ). 

Beweis: 

Die erste Behauptung folgt wegen |K * |G* 8 = |K * aus dem vorigen Satz. 

Seien nun in jeder Kontextzeile von |K * höchstens ein Fragezeichen und |K' ∈ V(|K * ). Dann gilt 

Imp(|K') ⊆ Erf(|K * ) = Erf(|K * |G* 8 ) =3.53 Imp(|K 8 ). 

Seien A, B ⊆ M mit A → B ∉ Imp(|K'). Sei g ein Gegenstand von |K', der diese Implikation 

widerlegt. Dann gibt es ein Merkmal b ∈ B-A, so daß A → b für g in |K' nicht gültig ist. In der 

Kontextzeile von g in |K * gibt es höchstens ein Fragezeichen, und |K * ist Pn-fragezeichenreduziert, 

weil es keine fiktiven Gegenstände gibt. 

Annahme: A → b ∈ Erf(|K * ) 

Nach Satz 3.44 gilt A → b ∈ Cons H (Pn). Da A → b für g in |K' nicht gültig ist, gilt I * (g, a) ≠ o für 

alle a ∈ A und I * (g, b) ≠ × im Kontext |K * . Die Kontextzeile von g enthält höchstens ein 

Fragezeichen, und wegen A → b ∈ Erf(|K * ) gilt entweder I * (g, a) = ? für ein a ∈ A, oder I * (g, b) = ?. 

Im ersten Fall gilt I * (g, m) = × für m ∈ A-{a} und I * (g, b) = o, was ein Widerspruch ist, denn |K * ist 

abgeschlossen bezüglich Regel (iv) der Fragezeichenreduktion. 147 Im zweiten Fall gilt I * (g, a) = × 

für alle a ∈ A, was ebenfalls ein Widerspruch ist, denn |K * ist abgeschlossen bezüglich Regel (iii) 

der Fragezeichenreduktion. 

Damit gilt A → b ∉ Erf(|K * ), also auch A → B ∉ Erf(|K * ). Somit gilt Imp(|K 8 ) = Erf(|K * ) ⊆ 

Imp(|K'), also gilt auch die Gleichheit: Imp(|K * ) = Imp(|K 8 ) = Erf(|K * ). 

❚ 

147 vgl. Satz 3.21 

146

3.1.4 Vollständiges Wissen über Teilkontexte 

Durch Verkleinerung der Merkmalsmenge M läßt sich auch die Anzahl der unbekannten 

Implikationen verringern. Man könnte vermuten, daß nach der Entfernung eines Merkmals m ∈ M, 

welches in allen Prämissen von P u vorkommt, 148 alle Implikationen des Kontextes |K 8 (ohne die 

Kontextspalte von m) bekannt sind. Dies trifft jedoch nicht zu: Wenn bei der Merkmalexploration 

nach den Implikationen a → m und {a, b, m} → c gefragt wurde, die erste Implikation als gültig 

akzeptiert wurde und die zweite Implikation unbekannt ist, dann ist die Implikation {a, b} → c auch 

im Kontext |K 8 |{a,b,c} unbekannt. In diesem Kapitel werden einige hinreichende Bedingungen für 

vollständiges Wissen über Teilkontexte von |K 8 angegeben. 

3.60. Definition (Einschränkung von Mengensystemen und Operatoren auf eine Teilmenge 

der Merkmalsmenge): 

Für H ⊆ ℘(M), T ⊆ M, Q ⊆ ImpT, P ⊆ F(M) definiere: 

H|T := {A ∩ T | A ∈ H} 

ConsH |T(Q) sei die kleinste Obermenge von Q, die bezüglich der Regeln (AX), (PS), (H|T-EX) 

abgeschlossen ist, wobei bei der Anwendung dieser Regeln nur Merkmale aus T vorkommen. 

P|T := P ∩ F(T) = {α ∈ P | var(α) ⊆ T} 

Durch die Einschränkung der Merkmalsmenge bei (unvollständigen) Kontexten werden auch die 

gültigen und erfüllbaren Formeln auf F(T) eingeschränkt, insbesondere gilt Erf(|K)|T = Erf(|K) ∩ 

ImpT = Erf(|K|T) und Imp(|K)|T = Imp(|K) ∩ ImpT = Imp(|K|T), denn die Gültigkeit (bzw. 

Erfüllbarkeit) von Formeln über der Merkmalsmenge T in einem Kontext hängt nur von den 

Kontextspalten der Merkmale aus T ab. Im folgenden Lemma wird bewiesen, daß sich die 

Gültigkeit von Formeln aus F(T) auch bei der Einschränkung von Mengensystemen H ⊆ ℘(M) auf 

eine Teilmenge T ⊆ M nicht verändert. Man beachte hierbei, daß H|T nicht als H ∩ ℘(T) sondern 

als {A ∩ T | A ∈ H} definiert ist, während die Einschränkung P|T einer Implikationenmenge 

P ⊆ ImpM als P ∩ F(T) = P ∩ ImpT definiert ist, und nicht als {A ∩ T → B ∩ T | A → B ∈ P}. Die 

nachfolgenden Sätze zeigen, daß diese Definitionen sinnvoll sind. 

3.61. Lemma (Für eine Teilmenge T von M ist die Menge der Formeln über T der Theorie 

eines Mengensystems gleich der Menge der Formeln des eingeschränkten Mengensystems): 

Für H ⊆ ℘(M) und T ⊆ M gilt Th(H)|T = Th(H|T)|T. 

Beweis: 

Da jede Formel α ∈ F(T) nach Lemma 1.11 äquivalent zu einer Menge von Klauseln aus F(T) ist, 

reicht es zu zeigen, daß für jede Klausel α ∈ F(T) genau dann α ∈ Th(H) gilt, wenn α ∈ Th(H|T) 

gilt. 

'⇒': 

Seien α ≡ C → ∨D ∈ Th(H) mit C, D ⊆ T und B ∈ H|T mit C ⊆ B. Dann gibt es eine Menge 

A ∈ H mit A ∩ T = B, also gilt C ⊆ A und somit D ∩ A ≠ ∅ wegen α ∈ Th(H). Wegen D ⊆ T gilt 

D ∩ B = D ∩ A ∩ T = D ∩ A ≠ ∅, also ist B ein Modell von α. Somit gilt α ∈ Th(H|T). 

'⇐': 


147

Seien α ≡ C → ∨D ∈ Th(H|T) mit C, D ⊆ T und B ∈ H mit C ⊆ B. Dann gilt auch C ⊆ B ∩ T ∈ 

H|T, also D ∩ B = D ∩ B ∩ T ≠ ∅ wegen α ∈ Th(H|T). Damit ist B ein Modell von α, und es gilt 

α ∈ Th(H). 

❚ 

Der Vollständigkeitssatz 2.71 gilt auch für den Herleitungsoperator ConsH |T, denn bezüglich der 

Merkmalsmenge T entspricht dieser Operator genau dem Operator ConsH , allerdings mit dem 

Rahmenkontext H|T anstatt H. Im folgenden Satz wird jedoch bewiesen, daß dies keinen 

Unterschied macht. 

3.62. Satz (Für eine Menge von Implikationen über einer Teilmenge T von M sind über der 

Merkmalsmenge M genau diejenigen Implikationen aus ImpT herleitbar, die auch über 

der Merkmalsmenge T herleitbar sind): 

Für H ⊆ ℘(M), T ⊆ M und P ⊆ ImpT gilt 

ConsH |T(P) = Imp(Resp(P) ∩ H|T)|T = Imp(Resp(P) ∩ H)|T = ConsH (P)|T. 

Beweis: 

Die erste Gleichung folgt wegen Resp(P) ∩ H|T ⊆ ℘(T) aus Satz 2.71 (Äquivalenz (1) ⇔ (2)) mit 

der Merkmalsmenge T. Die letzte Gleichung folgt ebenfalls aus Satz 2.71 (Äquivalenz (1) ⇔ (2)). 

Beweis von Cons H |T(P) ⊆ Cons H (P)|T: 

Bei jeder Verwendung der Regel (H|T-EX) im Beweisbaum einer Implikation A → B ∈ ConsH |T(P) 

liegt die benutzte Klausel von Th(H|T) nach Lemma 3.61 auch in Th(H), deshalb ist jede 

Herleitung mit dem Operator ConsH |T auch eine Herleitung mir dem Operator ConsH . Damit gilt 

ConsH |T(P) ⊆ ConsH (P) ∩ ImpT = ConsH (P)|T. 

Beweis von Imp(Resp(P) ∩ H)|T ⊆ Imp(Resp(P) ∩ H|T)|T: 

Seien A → B ∈ Imp(Resp(P) ∩ H)|T und C ∈ Resp(P) ∩ H|T mit A ⊆ C. Es wird nun gezeigt, daß 

auch B ⊆ C gilt. Es gibt eine Menge D ∈ H mit D ∩ T = C. Für E1 → E2 ∈ P mit E1 ⊆ D gilt E1 ⊆ 

D ∩ T = C wegen P ⊆ ImpT, also E2 ⊆ C ⊆ D wegen C ∈ Resp(P). Damit gilt D ∈ Resp(P) ∩ H. 

Es gilt A ⊆ C ⊆ D, also B ⊆ D, weil A → B von D respektiert wird. Damit gilt B ⊆ D ∩ T = C, also 

respektiert C die Implikation A → B, und es gilt A → B ∈ Imp(Resp(P) ∩ H|T) ∩ ImpT, also 

Imp(Resp(P) ∩ H)|T ⊆ Imp(Resp(P) ∩ H|T)|T. 

❚ 

Für Implikationen aus ImpT macht es also keinen Unterschied, ob die Regeln bezüglich der 

Merkmalsmenge M oder bezüglich der Merkmalsmenge T angewendet werden. Die herleitbaren 

Implikationen aus ImpT sind in beiden Fällen gleich. 

Mit Hilfe der folgenden beiden Sätze kann man nach der Merkmalexploration vollständiges Wissen 

über Teilkontexte des Universums |K 8 erhalten. 

3.63. Satz (Vollständiges Wissen durch Einschränkung der Merkmalsmenge): 

Sei T ⊆ M, so daß für alle A → b ∈ P u mindestens eine der beiden folgenden Bedingungen erfüllt 

ist: 

148

(1) b ∉ T 

(2) A ∩ T → b ∉ ConsH (P * ∪ P u ). 

Dann gilt ConsH (P * )|T = Erf(|K * |T) = Erf(|K * |(G *∩G)×T) = Imp(|K8 |T). 

Beweis von Erf(|K * |T) = Cons H (P * )|T: 

Es gilt Erf(|K * |T) =3.60 Erf(|K * )|T =3.44 Cons H (P * )|T. 

Beweis von Cons H (P * )|T ⊆ Imp(|K 8 |T): 

Nach Satz 3.53 gilt Cons H (P * ) ⊆ Imp(|K 8 ), also Cons H (P * )|T ⊆ Imp(|K 8 )|T =3.60 Imp(|K 8 |T). 

Beweis von Imp(|K 8 |T) ⊆ Erf(|K * |(G *∩G)×T): 

|K 8 |T hat als Teilkontext eine Vervollständigung von |K * |(G *∩G)×T, also gilt 

Imp(|K 8 |T) ⊆ Erf(|K * |(G *∩G)×T). 

Beweis von Erf(|K * |(G *∩G)×T) ⊆ Erf(|K * |T): 

Sei C → D ∈ Erf(|K * |(G *∩G)×T), dann gilt C → D ∈ Cons H (P * ∪ P u ) nach Lemma 3.49. Sei gA,b ∈ G * 

mit C ⊆ A, dann gilt C ⊆ A ∩ T. Nach Regel (AU) gilt A ∩ T → D ∈ ConsH (P * ∪ P u ). Wenn 

Bedingung (1) für den Gegenstand gA,b gilt, dann gilt b ∉ D wegen D ⊆ T, also ist C → D für 

diesen Gegenstand erfüllbar. Wenn Bedingung (2) für den Gegenstand gA,b gilt, dann gilt b ∉ D 

nach Regel (PR), also ist C → D ebenfalls erfüllbar für gA,b. Damit gilt Erf(|K * |(G *∩G)×T) ⊆ Erf(|K * |T). 

❚ 

Durch eine geeignete Einschränkung der Merkmalsmenge erhält man somit vollständiges Wissen 

über die gültigen Implikationen: Wenn für jeden fiktiven Gegenstand gA,b Bedingung (1) oder (2) 

von Satz 3.63 erfüllt ist, dann sind die im Teilkontext |K 8 |T gültigen Implikationen genau diejenigen 

Implikationen, die mit den Regeln (AX), (PS) und (H-EX) aus der Menge P * herleitbar sind, und 

dies sind genau diejenigen Implikationen, die im Kontext Erf(|K * |T) erfüllbar sind. Die fiktiven 

Gegenstände von |K * |T werden dann nicht mehr benötigt, denn es gilt Erf(|K * |T) = Erf(|K * |(G *∩G)×T). 

Der folgende Satz liefert eine Bedingung, um vollständiges Wissen über die gültigen Implikationen 

durch Einschränkung der Gegenstandsmenge auf einen Begriffsumfang zu erhalten. 

3.64. Satz (Vollständiges Wissen durch Einschränkung der Gegenstandsmenge): 

Sei E ⊆ M, so daß E keine Teilmenge einer Prämisse von P u ist. 149 Sei |K8 |E' der Teilkontext von |K8 mit der Gegenstandsmenge E' = {g ∈ G | (g, m) ∈ I für m ∈ E} und der Merkmalsmenge M. 

Analog sei |K * |E ‡ der Teilkontext von |K * mit der Gegenstandsmenge E ‡ = {g ∈ G * | I * (g, m) = × für 

alle m ∈ E} und der Merkmalsmenge M. Sei T ⊆ M. 

Dann enthält der Kontext |K * |E ‡ keine fiktiven Gegenstände mehr, und es gilt: 

ConsH (P * ∪ P u ∪ {∅ → E}) = ConsH (Erf(|K * |E ‡)) = Erf(|K * |E ‡) = Imp(|K8 |E') und 

ConsH (P * ∪ P u ∪ {∅ → E})|T = ConsH |T(Erf(|K * |E ‡ ×T)) = Erf(|K * |E ‡ ×T) = Imp(|K8 |E'×T). 

Wenn die beiden Bedingungen 

(1) M-E ‡z ⊆ T ⊆ M-E und 

149 ‡z Es läßt sich zeigen, daß diese Bedingung äquivalent ist zu der Eigenschaft, daß E in |K * keine Teilmenge einer 

Prämisse von P u ist. 

149

(2) für jede Klausel A → ∨B ∈ Th(H) mit A ⊆ M und B ⊆ T gilt auch A ∩ T → ∨B ∈ Th(H) 

erfüllt sind, dann gilt ConsH |T({A ∩ T → B ∩ T | A → B ∈ P * ∪ P u }) = Imp(|K8 |E'×T). 

Beweis: 

Für gA,b ∈ G * gibt es ein Merkmal m ∈ E-A, also I * (gA,b, m) ≠ ×. Somit ist gA,b kein Gegenstand von 

|K * |E ‡. 

Beweis von Cons H (P * ∪ P u ∪ {∅ → E}) ⊆ Cons H (Erf(|K * |E ‡)): 

Es gilt P * ⊆3.44 Erf(|K * ) ⊆ Erf(|K * |E ‡) und nach Definition von |K * |E ‡ gilt ∅ → E ∈ Erf(|K * |E ‡). Sei 

nun A → b ∈ P u . Durch die Einschränkung (in Definition 3.43) der Menge G ~ auf G * wurden 

diejenigen fiktiven Gegenstände gA,b ∈ Gn entfernt, für die es einen normalen Gegenstand g ∈ Gn ∩ 

G gibt, welcher A → b widerlegt, also ist A → b für alle normalen Gegenstände g ∈ G * ∩ G 

erfüllbar in |K * . Der Kontext |K * |E ‡ enthält keine fiktiven Gegenstände, also gilt P u ⊆ Erf(|K * |E ‡). 

Somit gilt Cons H (P * ∪ P u ∪ {∅ → E}) ⊆ Cons H (Erf(|K * |E ‡)). 

Beweis von Cons H (Erf(|K * |E ‡)) ⊆ Imp(|K 8 |E'): 

Für A → B ∈ Erf(|K * |E ‡) gilt A ∪ E → B ∈ Erf(|K * |E ‡) nach Regel (AU), also auch A ∪ E → B ∈ 

Erf(|K * ), denn für die Gegenstände g ∈ G * von |K * , welche nicht in E ‡ sind, gibt es ein Merkmal 

m ∈ E mit I * (g, m) ≠ ×. Es gilt Erf(|K * ) =3.44 Cons H (P * ) ⊆3.53 Imp(|K 8 ) ⊆ Imp(|K 8 |E'), also A ∪ E → 

B ∈ Imp(|K 8 |E') und A → B ∈ Imp(|K 8 |E'), denn bei den Merkmalen aus E befindet sich im Kontext 

|K 8 |E' in allen Kontextzeilen der Wert ×. Damit gilt Erf(|K * |E ‡) ⊆ Imp(|K 8 |E'), also auch 

Cons H (Erf(|K * |E ‡)) ⊆ Imp(|K 8 |E') nach Satz 2.71 (Äquivalenz (1) ⇔ (5)). 

Beweis von Imp(|K 8 |E') ⊆ Cons H (P * ∪ P u ∪ {∅ → E}): 

Für A → B ∈ Imp(|K 8 |E') gilt A ∪ E → B ∈ Imp(|K 8 |E') nach Regel (AU), also auch A ∪ E → B ∈ 

Imp(|K 8 ) =3.53 Cons H (P * ∪ P u 

8 ⊆ Pu . Nach Regel (PS) 

gilt auch A → B ∈ ConsH (P * ∪ P u ∪ {∅ → E}), also gilt Imp(|K8 |E') ⊆ ConsH (P * ∪ P u ∪ {∅ → 

E}). 

Beweis von Cons H (Erf(|K * |E ‡)) = Erf(|K * |E ‡): 

150 

8 ) ⊆ ConsH (P * ∪ P u ∪ {∅ → E}) wegen P u 

Es gilt ConsH (Erf(|K * |E ‡)) ⊆ Imp(|K8 |E') ⊆ Erf(|K * |E ‡), denn ein geeigneter Teilkontext von |K8 |E' ist 

eine Vervollständigung von |K * |E ‡. Die Inklusion Erf(|K * |E ‡) ⊆ ConsH (Erf(|K * |E ‡)) ist trivial, also 

gilt ConsH (Erf(|K * |E ‡)) = Erf(|K * |E ‡). 

Beweis von Cons H (P * ∪ P u ∪ {∅ → E})|T = Erf(|K * |E ‡ ×T) = Imp(|K 8 |E'×T): 

Wegen Cons H (P * ∪ P u ∪ {∅ → E})|T = Cons H (P * ∪ P u ∪ {∅ → E}) ∩ ImpT und Erf(|K * |E ‡ ×T) = 

Erf(|K * |E ‡) ∩ ImpT und Imp(|K8 |E'×T) = Imp(|K8 |E') ∩ ImpT folgen die Gleichungen ConsH (P * ∪ P u ∪ 

{∅ → E})|T = Erf(|K * |E ‡ ×T) = Imp(|K8 |E'×T) aus den Gleichungen ConsH (P * ∪ P u ∪ {∅ → E}) = 

Erf(|K * |E ‡) = Imp(|K 8 |E').

Beweis von Cons H |T(Erf(|K * |E ‡ ×T)) = Imp(|K 8 |E'×T): 

Imp(|K 8 |E'×T) ist nach Satz 2.71 (Äquivalenz (1) ⇔ (5)) und Satz 3.62 abgeschlossen bezüglich 

Cons H |T. 

Beweis von Cons H |T({A ∩ T → B ∩ T | A → B ∈ P * ∪ P u }) ⊆ Imp(|K 8 |E'×T): 

Seien nun (1) und (2) erfüllt. 

Für A → B ∈ P * ∪ P u gilt A = (A ∩ E ‡z ) ∪ (A ∩ T) wegen M-E ‡z ⊆ T. Die folgende Herleitung 

zeigt, daß A ∩ T → B ∩ T ∈ Cons H (P * ∪ P u ∪ {∅ → E}) gilt: 

P * 

___________ (Satz 3.44 und Satz 2.58.(1)) 

∅ → E E → E ‡z 

_____________________________ (PS) 

∅ → E ‡z P * ∪ P u 

_____________________ (PR) _________________ (PR) 

∅ → A ∩ E ‡z A → B ∩ T 

____________________________________________________ (PS 150 ) 

A ∩ T → B ∩ T 

Damit gilt Cons H |T({A ∩ T → B ∩ T | A → B ∈ P * ∪ P u ) =3.62 Cons H ({A ∩ T → B ∩ T | A → B 

∈ P * ∪ P u )|T ⊆ Cons H (P * ∪ P u ∪ {∅ → E})|T = Imp(|K 8 |E'×T). 

Beweis von Imp(|K 8 |E'×T) ⊆ Cons H |T({A ∩ T → B ∩ T | A → B ∈ P * ∪ P u }): 

Es gilt Imp(|K 8 |E'×T) = Cons H (P * ∪ P u ∪ {∅ → E})|T. Sei E1 → E2 ∈ Cons H (P * ∪ P u ∪ {∅ → E}). 

Der Beweisbaum von E1 → E2 wird nun in einen Beweisbaum von E1 ∩ T → E2 ∩ T transformiert, 

indem alle vorkommenden Mengen mit T geschnitten werden. 

Behauptung: E1 ∩ T → E2 ∩ T ∈ Cons H |T({A ∩ T → B ∩ T | A → B ∈ P * ∪ P u }). 

Beweis durch Induktion über die Herleitung von E1 → E2 mit den Regeln (AX), (PS) und (H-EX): 

Fall 1: E1 → E2 ∈ P * ∪ P u 

Es gilt E1 ∩ T → E2 ∩ T ∈ ConsH |T({A ∩ T → B ∩ T | A → B ∈ P * ∪ P u }). 

Fall 2: E1 → E2 ≡ ∅ → E 

Es gilt T ⊆ M-E, also gilt 

E1 ∩ T → E2 ∩ T ≡ ∅ → ∅ ∈ ConsH |T({A ∩ T → B ∩ T | A → B ∈ P * ∪ P u }). 

Fall 3: Bei der Herleitung von E1 → E2 wird Regel (AX) als letztes angewendet. Dann gilt E2 ⊆ E1, 

also E1 ∩ T → E2 ∩ T ∈ ConsH |T({A ∩ T → B ∩ T | A → B ∈ P * ∪ P u }) nach Regel (AX). 

Fall 4: Bei der Herleitung von E1 → E2 wird Regel (PS) als letztes angewendet. 

Dann gibt es Mengen C1, C2, C3 ⊆ M mit E1 = C1 ∪ C2, C1 → C3 ∈ ConsH (P * ∪ P u ∪ {∅ → E}) 

und C2 ∪ C3 → E2 ∈ ConsH (P * ∪ P u ∪ {∅ → E}). Nach Induktionsannahme gilt C1 ∩ T → C3 ∩ T 

∈ Cons H |T({A ∩ T → B ∩ T | A → B ∈ P * ∪ P u }) und (C2 ∪ C3) ∩ T → E2 ∩ T ∈ Cons H |T({A ∩ 

T → B ∩ T | A → B ∈ P * ∪ P u }). Wegen E1 ∩ T = (C1 ∩ T) ∪ (C2 ∩ T) und (C2 ∪ C3) ∩ T = (C2 

∩ T) ∪ (C3 ∩ T) gilt nach Regel (PS) auch E1 ∩ T → E2 ∩ T ∈ ConsH |T({A ∩ T → B ∩ T | A → 

B ∈ P * ∪ P u }). 

Fall 5: Bei der Herleitung von E1 → E2 wird Regel (H-EX) als letztes angewendet. 

150 mit der Zerlegung A = (A ∩ E ‡z ) ∪ (A ∩ T) 

151

Dann gibt es C ⊆ M mit E1 ∪ {c} → E2 ∈ ConsH (P * ∪ P u ∪ {∅ → E}) für c ∈ C und E1 → ∨C ∈ 

Th(H). Nach Induktionsannahme gilt (E1 ∪ {c}) ∩ T → E2 ∩ T ∈ ConsH |T({A ∩ T → B ∩ T | A 

→ B ∈ P * ∪ P u }) für alle c ∈ C. Wenn es ein c ∈ C mit c ∉ T gibt, gilt auch E1 ∩ T → E2 ∩ T ∈ 

Cons H |T({A ∩ T → B ∩ T | A → B ∈ P * ∪ P u }). Also sei nun C ⊆ T. Wegen E1 → ∨C ∈ Th(H) 

gilt nach (2) auch E1 ∩ T → ∨C ∈ Th(H) ∩ F(T) =3.61 Th(H|T) ∩ F(T), also gilt E1 ∩ T → E2 ∩ T 

∈ ConsH |T({A ∩ T → B ∩ T | A → B ∈ P * ∪ P u }) nach Regel (H|T-EX). 

Damit ist die Behauptung bewiesen: Für jede Implikation E1 → E2 ∈ ConsH (P * ∪ P u ∪ {∅ → E}) 

gilt E1 ∩ T → E2 ∩ T ∈ ConsH |T({A ∩ T → B ∩ T | A → B ∈ P * ∪ P u }). Für E1, E2 ⊆ T gilt 

E1 ∩ T → E2 ∩ T ≡ E1 → E2, also gilt Imp(|K8 |E'×T) = ConsH (P * ∪ P u ∪ {∅ → E}) ∩ ImpT ⊆ 

ConsH |T({A ∩ T → B ∩ T | A → B ∈ P * ∪ P u }). 

❚ 

Während dem Experten einige Implikationen von Imp(|K 8 ) noch unbekannt waren, sind die 

Implikationen, die in dem Teilkontext |K 8 |E' gültig sind, alle bekannt: In |K 8 |E' sind genau die 

Implikationen gültig, die aus P * ∪ P u ∪ {∅ → E} herleitbar sind. Im Kontext |K 8 |E' hat jeder 

Gegenstand alle Merkmale aus E, und nach Lemma 2.35 auch alle Merkmale aus E''. Die Menge E'' 

ist im allgemeinen zwar nicht bekannt, jedoch ist E ‡z (bezüglich |K * ) eine Teilmenge von E'', denn 

es gilt 

E ‡z =2.58.(1) {m ∈ M | E → m ∈ Erf(|K * )} ⊆3.53{m ∈ M | E → m ∈ Imp(|K 8 )} =2.35 E'' 

Der Kontext |K * |E ‡ enthält keine fiktiven Gegenstände, deshalb gilt I * (g, m) = × für g ∈ E ‡ und 

m ∈ E ‡z nach Regel (iii) der Fragezeichenreduktion (mit E → E ‡z ∈ Erf(|K * ) =3.44 ConsH (Pn)). Die 

Merkmale m ∈ E ‡z sind deshalb sowohl im Kontext |K * |E ‡, als auch im Kontext |K8 |E' uninteressant, 

und können entfernt werden. Dies führt zu den Kontexten |K * |E ‡ ×T und |K 8 |E'×T mit T := M-E ‡z . Die 

Menge (P * ∪ P u ∪ {∅ → E})|T ist im allgemeinen kein Erzeugendensystem von Imp(|K 8 |E'×T), d.h. 

Cons H |T((P * ∪ P u ∪ {∅ → E})|T) kann auch eine echte Teilmenge von Imp(|K 8 |E'×T) sein. 151 Wenn 

der Rahmenkontext die Menge aller vollständig konsistenten Mengen bezüglich einer Negation ist 

und M+ ∪ M- ⊆ M-E gilt, dann kann T so gewählt werden, daß die Bedingungen (1) und (2) des 

vorigen Satzes erfüllt sind: 

3.65. Lemma (Klauseln beim Rahmenkontext aller vollständig konsistenter Mengen): 

Wenn H = VKon( ⎯ ) bezüglich einer geeigneten Negation ⎯ : M+ → M- ist, und M+ ∪ M- ⊆ T gilt, 

dann folgt aus A → ∨B ∈ Th(H) mit A ⊆ M und B ⊆ T auch A ∩ T → ∨B ∈ Th(H). 

Beweis: 

Für A → ∨B ∈ Th(H) gilt nach Lemma 2.89 A ∩ A ≠ ∅ oder B ∩ B ≠ ∅ oder A ∩ B ≠ ∅. 

Wegen M+ ∪ M- ⊆ T und B ⊆ T gilt deshalb A ∩ T ∩ A ≠ ∅ oder B ∩ B ≠ ∅ oder A ∩ T ∩ B ≠ 

∅, also A ∩ T → ∨B ∈ Th(H) nach Lemma 2.89. 

❚ 

151 wenn z.B. P * = {a → {a, b, c}}, P u = ∅, E = {c} und T = {a, b} ist, dann gilt (P * ∪ P u ∪ {∅ → E})|T = ∅, obwohl 

a → b aus P * herleitbar (und damit in |K 8 |E'×T gültig) ist. 

152

In diesem Spezialfall ist die Menge {A ∩ T → B ∩ T | A → B ∈ P * ∪ P u } nach Satz 3.64 ein 

Erzeugendensystem von Imp(|K 8 |E'×T), wenn man die Menge T so wählt, daß M-E ‡z ⊆ T ⊆ M-E 

und M+ ∪ M- ⊆ T gilt. Die Bedingung M+ ∪ M- ⊆ T ist für H = ℘(M) immer erfüllt. Für andere 

Rahmenkontexte H ⊆ ℘(M) ist {A ∩ T → B ∩ T | A → B ∈ P * ∪ P u } zwar im allgemeinen kein 

Erzeugendensystem von Imp(|K8 |E'×T), aber die Duquenne-Gigue-Basis von Imp(|K8 |E'×T) läßt sich 

aufstellen, ohne daß dem Experten noch weitere Fragen nach der Gültigkeit von Implikationen 

gestellt werden müssen: Die im Kontext |K8 |E'×T gültigen Implikationen sind genau die 

Implikationen aus ConsH (P * ∪ P u ∪ {∅ → E})|T. Eine praktische Anwendung der Sätze 3.63 und 

3.64 befindet sich in Kapitel 4.1. 

153

154

3.1.5 Bemerkungen zum Merkmalexplorationsalgorithmus und 

Erweiterungen 


Wenn das Explorationsprogramm in einem Schritt j > 0 nach einer Implikation A → B fragt, dann 

kann es vorher für jedes Element b ∈ B überprüfen, ob ConsH (Pj ∪ {A → b}) = ConsH (Pj ∪ {C → 

d}) für eine bereits als unbekannt angegebene Implikation C → d gilt. Wenn dies der Fall sein 

sollte, erkennt das Programm automatisch, daß A → b unbekannt ist, also braucht nicht mehr nach 

diesen Merkmalen b gefragt zu werden, denn aus der Gültigkeit von A → b würde wegen ConsH (Pj 

∪ {A → b}) = ConsH (Pj ∪ {C → d}) auch die Gültigkeit von C → d folgen, und wenn ein 

normaler Gegenstand g ∈ Gj+1-Gj, der die Implikation A → b widerlegt, ist er (nach der 

Fragezeichenreduktion) auch ein Gegenbeispiel für C → d: Für alle T ∈ RespH (Pj+1) mit g ‡ ⊆ T ⊆ 

gz (in |Kj+1) gilt dann A ⊆ g ‡ ⊆ T und b ∉ gz , denn die Kontextzeile von g widerlegt A → b, also 

wird A → b nicht von T respektiert. Dann gilt T ∉ Resp H (Pj ∪ {C → d}) wegen A → b ∈ 

ConsH (Pj ∪ {A → b}) = ConsH (Pj ∪ {C → d}) =2.71 Imp(RespH (Pj ∪ {C → d})), also kann T 

wegen T ∈ RespH (Pj+1) ⊆ RespH (Pj) die Implikation C → d nicht respektieren, d.h. es gilt C ⊆ T 

und d ∉ T. Daher gilt in der fragezeichenreduzierten Kontextzeile von g in |Kj+1 schon Ij+1(g, c) = × 

für alle c ∈ C nach Regel (i) der Fragezeichenreduktion, und Ij+1(g, d) = o nach Regel (ii) der 

Fragezeichenreduktion. 


Auch wenn die Konklusion einer Implikation A → B, nach der das Programm fragt, mehrere 

Merkmale enthält, kann die Frage übersprungen werden, wenn jede Implikation A → b für b ∈ B-A 

äquivalent zu einer unbekannten Implikation C → d ist. Auf diese Weise kann die Exploration 

schneller beendet werden, weil dem Experten weniger Fragen gestellt werden. Oft ist es jedoch 

sinnvoller, dem Experten möglichst viele Hilfestellungen bei der Untersuchung der unbekannten 

Implikationen zu geben. Der Experte sollte also bereits vor der Merkmalexploration entscheiden, ob 

er möglichst wenige Fragen beantworten möchte, oder ob das Programm bei der Entscheidung, ob 

eine Implikation gültig ist, dem Experten möglichst viele Informationen liefern soll, um die 

Untersuchung einer Implikation zu erleichtern. 


Um die Anzahl der Fragen bei der Merkmalexploration zu verringern, ist es sinnvoll, nur 

irredundante Gegenbeispiele einzugeben. Wenn man bei einer Exploration einen Gegenstand 

eingibt, der nur solche Implikationen widerlegt, die am Ende der Exploration auch durch andere 

Gegenstände widerlegt werden, ist dieser Gegenstand überflüssig, d.h. jeder redundante Gegenstand 

führt dazu, daß die Exploration einen Schritt länger dauert. Der folgende Satz liefert eine 

Charakterisierung für irredundante Gegenstände bei der Merkmalexploration. 

3.69. Satz (Charakterisierung irredundanter Gegenstände nach der Exploration): 

Seien g ∈ G * ∩ G und S = G * -{g}. 

Dann sind folgende Aussagen äquivalent: 

(1) g ist irredundant in |K * , d.h. es gilt Erf(|K * ) ≠ Erf(|K * |S) 

(2) ? ∉ I * (g, M) und g ‡ ≠ ∩{y z | g ‡ ⊆ y ‡ , y ∈ S} 

155

Beweis: 

(1) ⇒ (2): 

? ∉ I * (g, M) folgt mit (1) aus Satz 3.55. 

Nach (1) gibt es ein A → B ∈ Erf(|K * |S)-Erf(|K * ), d.h. es gilt A ⊆ g ‡ und b ∉ gz = g ‡ für ein b ∈ B. 

Für alle y ∈ S mit g ‡ ⊆ y ‡ gilt b ∈ yz wegen A → B ∈ Erf(|K * |S). 

Damit gilt b ∈ ∩{y z | g ‡ ⊆ y ‡ , y ∈ S}, also g ‡ ≠ ∩{y z | g ‡ ⊆ y ‡ , y ∈ S}. 

(2) ⇒ (1): 

Wegen g ‡ ⊆ ∩{yz | g ‡ ⊆ y ‡ , y ∈ S} und (2) gibt es ein b ∈ ∩{yz | g ‡ ⊆ y ‡ , y ∈ S} mit b ∉ g ‡ = 

gz . Für alle y ∈ S mit g ‡ ⊆ y ‡ gilt b ∈ yz , also g ‡ → b ∈ Erf(|K * |S)-Erf(|K * ). 

❚ 

3.70. Korollar (Irredundanz von Gegenbeipielen durch maximalen Inhalt): 

Wenn bei der Merkmalexploration kein unbekanntes Wissen vorkommt (d.h. jede Frage wird mit 

"ja" oder "nein" beantwortet, und alle eingegebenen Kontextzeilen sind vollständig), und für jedes 

eingegebene Gegenbeispiel g der Gegenstandsinhalt g' in |K 8 maximal ist, so daß die gefragte 

Implikation A → B durch diese Kontextzeile widerlegt wird (d.h. aus g' ⊆ y' für y ∈ G mit B ⊆/ y' 

folgt g' = y'), dann sind alle Gegenstände g ∈ G * -G0 irredundant in |K * . 

Beweis: 

Seien g ∈ G * -G0 und A → B ∈ ImpM die Implikation, nach der gefragt wurde, als das Gegenbeispiel 

g eingegeben wurde. Der Kontext |K * enthält kein Fragezeichen, also gilt g ‡ = g' = gz . Da 

A → B widerlegt wurde, existiert ein Merkmal b ∈ B-g'. Es wird nun Bedingung (2) von Satz 3.69 

gezeigt. Sei y ∈ G * -{g} mit g' ⊆ y ‡ , dann gilt A ⊆ g' ⊆ y ‡ . Sei k ≥ 0 minimal mit y ∈ Gk. Wenn 

b ∉ yz ist, dann gilt g ∈ Gk-1, denn bei der Frage nach A → B war A → b noch erfüllbar. Da der 

Gegenstand y eine Implikation widerlegt, die in |Kk-1 erfüllbar ist, muß y ‡ eine echte Obermenge 

von g' sein, weil y sonst nur solche Implikationen widerlegt, die auch durch g widerlegt werden. 

Dies ist ein Widerspruch zur Maximalität von g' in |K8 . Damit gilt b ∈ ∩{yz | g ‡ ⊆ y ‡ , y ∈ G * - 

{g}}, aber b ∉ g ‡ , also ist g nach Satz 3.69 irredundant in |K * . 

❚ 

Wenn also bei der Merkmalexploration nach einer Implikation A → B gefragt wird, die man durch 

ein Gegenbeispiel widerlegen möchte, sollte man nach einem Gegenstand g suchen, so daß alle 

Einträge der Kontextzeile bekannt sind, und der Gegenstandsinhalt g' in |K 8 maximal ist, so daß 

A → B durch diese Kontextzeile widerlegt wird. Auch wenn auf diese Weise durch g nur für 

wenige Merkmale b ∈ B die Implikation A → b widerlegt wird, ist diese Methode effektiver, als 

nach einem Gegenstand y ∈ G zu suchen, so daß für möglichst viele Merkmale b ∈ B der 

Konklusion die Implikation A → b widerlegt wird. 


In der Praxis kommt es bei der Merkmalexploration manchmal vor, daß man eine Frage des 

Programms falsch beantwortet, oder eine Kontextzeile falsch eingegeben hat. Sei n > j ≥ 0, so daß 

im Schritt j eine falsche Eingabe gemacht wurde, und im Schritt n die falsche Eingabe durch den 

Benutzer bemerkt wird. Da sich durch die Korrektur der falschen Eingabe die Erf(|Kn)-pseudoabgeschlossenen 

Mengen ändern könnten, reicht es nicht aus, wenn nur die falsche Eingabe 

korrigiert wird, und dann das Explorationsprogramm im Schritt n fortfährt. Sei Pn' die Menge Pn 

nach eventueller Korrektur falscher Implikationen, und sei |Kn' der Kontext |Kn nach eventueller 

Korrektur falscher Kontextzeilen. Wenn die Exploration nun fortgesetzt wird, werden die Implikationen 

A → B ∈ Pn'-Pj im allgemeinen nicht in der Duquenne-Gigue-Basis der erfüllbaren Implika- 

156

tionen des Kontextes am Ende der Exploration sein, weil A nicht notwendigerweise pseudoabgeschlossen 

ist. Das Merkmalexploration muß deshalb mit der aktuellen Implikationenmenge Pj 

fortsetzen. Auch die fiktiven Gegenbeispiele gA,b ∈ Gn-Gj müssen aus dem aktuellen Kontext |Kn' 

entfernt werden, weil sonst die Sätze aus Kapitel 3.1.3 am Ende der Merkmalexploration nicht mehr 

anwendbar wären, insbesondere hätte man nicht mehr die Informationen über die gültigen 

Implikationen des Universums aus Satz 3.53. Das Explorationsprogramm benutzt daher den 

Kontext |Kn'|Gn-{gA,b | gA,b ∈ Gn-Gj } als aktuellen Kontext für die weitere Exploration. Die Implikationen 

aus Pn'-Pj können verwendet werden, um einige Fragen nach der Gültigkeit automatisch mit "ja" zu 

beantworten (vgl. Bemerkung 3.25 über die Verwendung eines zweiten Rahmenkontextes H2). 

Auch die entfernten Gegenstände gA,b ∈ Gn-Gj kann das Programm verwenden, um einige Fragen 

mit "unbekannt" zu beantworten: Wenn A → B eine Implikation ist, nach deren Gültigkeit der 

Experte gefragt werden soll, und {gA,b | b ∈ B} ⊆ Gn-Gj gilt, dann kann die Frage nach A → B 

automatisch mit "unbekannt" beantwortet werden. 

Durch diese Exploration mit Fehlerbehandlung bleiben die Sätze aus Kapitel 3.1.3 und Kapitel 3.1.4 

korrekt (bis auf die Eigenschaften über die Schritte j bis n, in denen die falschen Daten noch nicht 

korrigiert wurden). Diese Fehlerbehandlung läßt sich auch bei der mehrwertigen Exploration 

anwenden (vgl. Kapitel 3.2). 


Um bei jedem Schritt der Merkmalexploration eine minimale Erf(|Kn)-pseudoabgeschlossene 

Prämisse auszuwählen, gibt es bereits einen Algorithmus für Kontexte ohne Rahmenkontexte (vgl. 

[GanterWille97]) und für Kontexte mit Hintergrundimplikationen, d.h. Rahmenkontexte der Form 

H = Resp(H) für eine Menge H von Implikationen (vgl. [Stumme97a]). Diese Algorithmen werden 

nun auch auf Kontexte mit negierten Merkmalen erweitert, d.h. für Rahmenkontexte der Form 

H = VKon( ⎯ ) ∩ Resp(H) für eine bijektive Abbildung ⎯ : M+ → M- zwischen zwei disjunken 

Teilmengen M+, M- ⊆ M und H ⊆ ImpM. 

Bei diesem Algorithmus wird verwendet, daß die Elemente des Hüllensystems Resp(H), die in 

einem Intervall [A, B] des Potenzmengenverbandes ℘(M) für vollständig konsistente Mengen 

A ⊆ B ⊆ M wieder vollständig konsistent sind. Dies hat zur Folge, daß [A, B] ∩ H selbst ein 

Hüllensystem (auf B) ist, für alle A, B ∈ H mit A ⊆ B. Der folgende Algorithmus läßt sich deshalb 

nicht auf beliebige Rahmenkontexte H ⊆ M übertragen, denn [A, B] ∩ H ist im allgemeinen kein 

Hüllensystem für A, B ∈ H mit A ⊆ B. Auf dem Mengensystem ℘(M) wird zunächst eine 

lexikalische Ordnung definiert. 

3.73. Definition (lexikalische Ordnung, Operation ⊕): 152 

Seien M = {m1, m2, ..., mk} mit |M| = k und Mi := {m1, m2, ..., mi} ⊆ M für i ≤ k. Sei h: ℘(M) → 

℘(M) ein Hüllenoperator auf M. Für A, B ⊆ M und 1 ≤ i ≤ k definiere: 

• A

3.74. Satz (Operation ⊕ liefert die nächste Hülle): 153 

Die Relation ≤ aus Definition 3.73 ist eine lineare Ordnung auf ℘(M), welche die Inklusionsordnung 

⊆ enthält, d.h. für A ⊆ B ⊆ M gilt A ≤ B. Für A ≠ M und i = max{j ≤ k | A

Dann ist C eine Prämisse von Pn. 

Beweis: 

Annahme: Die Behauptung ist falsch. 

Wir wählen hierbei n minimal, so daß die Behauptung falsch ist. Wenn in einem Schritt i < n nach 

einer Implikation D1 → D2 gefragt wird, und D3 eine Erf(|Ki)-pseudoabgeschlossenene echte 

Teilmenge von D1 ist, dann gilt D1 ∩ M+ = D3 ∩ M+ und D3 < D1, also ist D3 eine Prämisse von Pi 

wegen der Minimalität von n. Daher wird für i < n im Schritt i nach einer Implikation mit minimaler 

Erf(|Ki)-pseudoabgeschlossenen Prämisse gefragt, welche noch nicht in Pi vorkommt. Da C kein 

Erf(|Kn)-Inhalt und keine Prämisse von Pn ist, wurde bis zum Schritt n noch nicht nach einer 

Implikation mit C als Prämisse gefragt. Damit muß es eine maximale Zahl j < n geben, so daß C 

nicht Erf(|Kj)-pseudoabgeschlossen ist, denn sonst wäre (wegen (1) bzw. (2)) vor dem Schritt n nach 

einer Implikation mit C als Prämisse gefragt worden. C ist Erf(|Kn)-pseudoabgeschlossen aber kein 

Erf(|Kj)-Inhalt wegen Erf(|Kn) ⊆ Erf(|Kj), und es gilt C ∈ H. Es gibt deshalb eine Erf(|Kj)- 

pseudoabgeschlossene echte Teilmenge D ⊂ C, so daß D ‡z (bezüglich |Kj) keine Teilmenge von C 

ist. Seien E1 → E2 die Implikation, nach der im Schritt j gefragt wird, und T3 := E1 ∩ M+. Wegen 

der Maximalität von j ist C Erf(|Ki)-pseudoabgeschlossen für j 

Implikation mit C als Prämisse gefragt wird, muß entweder T1 = T3 und D < C < E1 gelten, oder T1 

wurde beim Durchlaufen aller Teilmengen T ⊆ M+ vor der Menge T3 ausgewählt. Da n minimal 

gewählt wurde, so daß die Behauptung falsch ist, ist D eine Prämisse von Pj. Sei D → D4 ∈ Pj, dann 

gilt D ‡z = D4 sowohl in |Kj, als auch in |Kn, und D ist Erf(|Kn)-pseudoabgeschlossen (vgl. Korollar 

3.30.(1)). Dies ist ein Widerspruch, denn D ‡z = D4 ist keine Teilmenge von C, obwohl C Erf(|Kn)pseudoabgeschlossen 

ist. 

❚ 

3.76. Korollar (Alle Prämissen der gefragten Implikationen sind minimale pseudoabgeschlossene 

Mengen): 

Bei jedem Schritt n wird nach einer Implikation mit minimaler Erf(|Kn)-pseudoabgeschlossenen 

Prämisse gefragt, welche noch nicht in Pn vorkommt. 

Beweis: 

Wenn im Schritt n nach einer Implikation D1 → D2 gefragt wird, und D3 eine Erf(|Kn)-pseudoabgeschlossenene 

echte Teilmenge von D1 ist, dann gilt D1 ∩ M+ = D3 ∩ M+ und D3 < D1, also ist 

D3 eine Prämisse von Pn nach Lemma 3.75. 

❚ 

3.77. Korollar (Wenn der Algorithmus beendet ist, dann ist die Menge der akzeptierten 

Implikationen vollständig): 

Wenn der Algorithmus im Schritt n beendet ist, dann ist jede Erf(|Kn)-pseudoabgeschlossene Menge 

eine Prämisse von Pn. 

Beweis: 

Sei T2 die Teilmenge von M+, die als leztes ausgewählt wurde, und A := M. Dann ist für jede 

Erf(|Kn)-pseudoabgeschlossenene Menge C Bedingung (1) oder (2) von Lemma 3.75 erfüllt, also ist 

C eine Prämisse von Pn. 

❚ 

Damit ist gewährleistet, daß dieser Algorithmus ein Spezialfall des Algorithmus' für beliebige 

Rahmenkontexte ist, und alle Sätze von Kapitel 3.1 sind somit auch für diesen Algorithmus 

anwendbar. Insbesondere enthält die Menge Pn am Ende des Algorithmus' die Duquenne-Gigue- 

Basis der erfüllbaren Implikationen des letzten Kontextes |Kn. 

159


Wenn bei der Merkmalexploration in einem Schritt j nach einer Implikation A → B gefragt wird, 

könnte es sein, daß der Experte bereits vorher ein Gegenbeispiel g für diese Implikation eingegeben 

hat, aber die Kontextzeile von g zuviele Fragezeichen enthält, um als Gegenbeispiel erkannt zu 

werden. In diesem Fall kann der Experte in der bereits eingegebenen Kontextzeile einige 

Fragezeichen durch × oder o ersetzen, anstatt nach einem neuen Gegenbeispiel für die Implikation 

A → B zu suchen. Für den weiteren Verlauf der Merkmalexploration hat diese Veränderung des 

Kontextes |Kj keinen Einfluß, denn für die erfüllbaren Implikationen in |Kj+1 ist es unerheblich, ob in 

der Zeile von g einige Fragezeichen verändert werden, oder ob die neue Kontextzeile einfach an den 

Kontext |Kj angehängt wird. In beiden Fällen entsteht dieselbe Menge Erf(|Kj+1). Bei der Frage nach 

der Implikation A → B ist es daher sinnvoll, wenn der Merkmalexplorationsalgorithmus auch 

diejenigen Gegenstände von |Kj ausgibt, welche als Gegenbeispiel für A → B in Frage kommen. Bei 

sehr großen Kontexten kann dies jedoch für den Experten unübersichtlich werden, weil er für jeden 

dieser Gegenstände überlegen muß, ob es ein Gegenbeispiel für A → B ist. In solchen Fällen kann 

man auch vierwertige Kontexte verwenden: 157 

|Kj = (Gj, M, {×, ?, o, !}, Ij), wobei Ij(g, m) = ? bedeutet, daß zur Zeit noch nicht bekannt ist, ob der 

Gegenstand g das Merkmal m hat, jedoch mit etwas Aufwand diese Frage möglicherweise noch 

entschieden werden könnte. Wenn Ij(g, m) = ! ist, dann ist es wahrscheinlich auch im weiteren 

Verlauf der Merkmalexploration unbekannt, ob der Gegenstand g das Merkmal m hat. Bei der 

Merkmalexploration werden bei der Frage nach A → B dann nur diejenigen Gegenstände von |Kj 

ausgegeben, welche durch Verändern einiger Fragezeichen der Kontextzeile von g zu einem 

Gegenbeispiel von A → B werden, denn unter den anderen Gegenständen wird der Experte kein 

Gegenbeispiel finden. Jeder Kontext |K0, |K1, |K2, ... bei der Merkmalexploration ist dann vierwertig. 

Bei der Erzeugung eines fiktiven Gegenbeispiels gA,b für eine Implikation A → b wird das 

Ausrufezeichen statt des Fragezeichens verwendet, denn selbst wenn es im unbekannten Kontext 

|K 8 ein Gegenbeispiel dieser Implikation gibt, weiß der Experte nicht, welcher Gegenstand dies ist, 

also kennt er auch die Merkmale dieses Gegenstandes nicht. 


160

3.2 Merkmalexploration mit mehrwertigem Universum 

Die Merkmalexploration läßt sich auch für mehrwertige Kontexte durchführen. Hierbei muß man 

zunächst entscheiden, ob man sich für die gültigen Implikationen des vollständigen mehrwertigen 

Kontextes |K 8 = (G, M, W, I) interessiert, oder ob man den Kontext zunächst mit Hilfe von 

einwertigen Skalen skalieren möchte, um die Implikationen des abgeleiteten Kontextes zu 

untersuchen. Im letzteren Fall kann man die Merkmalexploration aus Kapitel 3.1.3 verwenden, weil 

nach der Skalierung ein einwertiger Kontext entsteht. Hierbei ist jedoch zu berücksichtigen, daß 

sich dabei die Merkmalsmenge ändert, d.h. man erhält durch die Exploration nicht Implikationen 

über der Merkmalsmenge M, sondern über der Merkmalsmenge {m} × Mm, wobei (Mm)m∈M die 

m∈M 

Merkmalsmengen der Skalen sind. Die gültigen Implikationen des abgeleiteten Kontextes haben 

nichts mit den gültigen Implikationen von |K8 zu tun. Wenn man sich für die gültigen Implikationen 

von |K8 interessiert, muß die Merkmalexploration mit dem mehrwertigen Kontext durchgeführt 

werden. Dafür wird in diesem Kapitel der Algorithmus angegeben. Die meisten Sätze von Kapitel 

3.1.3 gelten auch für die mehrwertige Exploration. 

Die Fragezeichenreduktion aus Kapitel 3.1.2 läßt sich auch auf unvollständige mehrwertige 

Kontexte übertragen: 

3.79. Definition (Fragezeichenreduktion bei unvollständigen mehrwertigen Kontexten): 

Seien H ⊆ ℘(M), |K = (G, M, W, I) ein unvollständiger mehrwertiger Kontext, ρ ⊆ (W-{?}) τ und 

P ⊆ ImpM. |K heißt P-fragezeichenreduziert (bezüglich H), wenn für alle g ∈ G, m ∈ M und 

w ∈ Wm-{?} folgende Bedingung erfüllt ist: 

(i) Wenn J(g, m) = w für alle |K' = (G, M, W, J) ∈ V(|K) mit P ⊆ Imp ρ (|K') und h J ∈ H für 

h ∈ G τ gilt, dann gilt I(g, m) = w. 

Mit einigen Einschränkungen läßt sich Satz 3.17 auch auf unvollständige mehrwertige Kontexte 

anwenden: 

3.80. Satz (Charakterisierung der Existenz eines fragezeichenreduzierten Kontextes, 

welcher größer oder gleich dem gegebenen Kontext ist): 

Seien H ⊆ ℘(M), |K = (G, M, W, I) ein unvollständiger Kontext mit M ≠ ∅, |Wm-{?}| > 1 für 

mindestens ein m ∈ M, 158 ρ ⊆ (W-{?}) τ und P ⊆ ImpM. Folgende Aussagen sind äquivalent: 

(1) Es gibt einen kleinsten P-fragezeichenreduzierten Kontext |K' ≥ |K. 

(2) Es gibt einen P-fragezeichenreduzierten Kontext |K' ≥ |K. 

(3) Es gibt eine Vervollständigung |K' = (G, M, W-{?}, J) ∈ V(|K) mit P ⊆ Imp ρ (|K') und g J ∈ H für 

alle g ∈ G τ . 

(4) Für alle g ∈ G τ werden bei der endlichen Anwendung der folgenden Regel auf |K die Werte 

w ∈ W-{?} nicht durch andere Werte ersetzt: 

(i) Wenn J(g, m) = w für alle |K' = (G, M, W, J) ∈ V(|K) mit P ⊆ Imp ρ (|K') und h J ∈ H für 

h ∈ G τ gilt, dann wird I(g, m) durch den Wert w ersetzt. 

Beweis: 

(1) ⇒ (2): Trivial. 

(2) ⇒ (3): 

158 Wenn |Wm-{?}| = 1 für alle m ∈ M gilt, dann sind (1), (2) und (4) trivialerweise erfüllt, (3) kann jedoch falsch sein. 

161

Seien g ∈ G und m ∈ M. Der Kontext |K' = (G, M, W, J) aus (2) ist bezüglich Regel (i) 

abgeschlossen, also muß es ein |K'' = (G, M, W, J'') ∈ V(|K') ⊆ V(|K) geben mit P ⊆ Imp ρ (|K'') und 

g J'' ∈ H für alle g ∈ G τ , denn sonst müßte J(g, m) = w für alle w ∈ Wm-{?} und m ∈ M nach Regel 

(i) gelten, was ein Widerspruch zu |Wm-{?}| > 1 für ein m ∈ M ist. 

(3) ⇒ (4): 

Die Vervollständigung |K' = (G, M, W, J) ∈ V(|K) aus (3) ist auch nach jeder Anwendung der Regel 

(i) eine Vervollständigung des aktuellen Kontextes, denn ein Wert v ∈ Wm in einer Zeile g ∈ G in 

einer Spalte m ∈ M kann nur dann durch einen Wert w ∈ Wm ersetzt werden, wenn J(g, m) = w gilt. 

Da |K' aber eine Vervollständigung von dem aktuellen Kontext ist, kann dies nur für v = ? oder 

v = w passieren. 

(4) ⇒ (1): 

Wegen (4) existiert eine Vervollständigung |K'' = (G, M, W-{?}, I'') ∈ V(|K) mit P ⊆ Imp ρ (|K'') und 

g I'' ∈ H für alle g ∈ G τ , denn sonst könnte man mit Regel (i) jeden Wert I(g, m) durch jeden 

anderen Wert ersetzen. Sei |K' := (G, M, W, J), so daß für alle g ∈ G, m ∈ M und w ∈ W-{?} gilt: 

J(g, m) = w gdw. I''(g, m) = w für alle |K'' = (G, M, W, I'') ∈ V(|K) mit P ⊆ Imp ρ (|K'') und 

h I'' ∈ H für h ∈ G τ . 

Wegen der Existenz solcher Kontexte |K'' ist J wohldefiniert. |K' ist offensichtlich der kleinste 

fragezeichenreduzierte Kontext größer gleich |K. 

❚ 

Wie in Kapitel 3.1.2 wird auch hier der kleinste P-fragezeichenreduzierte Kontext |K' ≥ |K mit 

Red H P (|K) bezeichnet, wenn er existiert. Für g ∈ G bezeichnet Red H P (g) die kleinste P-fragezeichenreduzierte 

Kontextzeile größer gleich der Kontextzeile von g, d.h. Regel (i) wird hierbei nur 

auf das konstante Gegenstandstupel (g, g, ..., g) angewendet. Korollar 3.18 gilt auch für 

unvollständige mehrwertige Kontexte: 

3.81. Korollar (Wenn man einen Kontext fragezeichenreduzieren kann, dann sind alle 

Folgerungen der Implikationenmenge erfüllbar): 

Wenn Red H P (|K) existiert, dann gilt Cons H (P) ⊆ Erf ρ (|K). 

Beweis: 

Die Implikationen der Vervollständigung |K' aus Bedingung (3) von Satz 3.80 sind nach Satz 2.110 

bezüglich des Operators Cons H abgeschlossen. 

❚ 

Seien θ = (θm)m∈M ⊆ W τ eine beliebige Relation mit τ > 0, und sei |K 8 = (G, M, W, I) ein 

(unbekannter) vollständiger mehrwertiger Kontext (im folgenden auch mehrwertiges Universum 

genannt), dessen gültige Implikationen Imp θ (|K 8 ) bei der Merkmalexploration untersucht werden 

sollen. Da bei der Exploration auch fiktive Gegenstände benutzt werden, werden die Wertemengen 

zunächst um fiktive Werte erweitert: W ⎯ m := Wm ∪ {Y, Z} für m ∈ M. Hierbei wird vorausgesetzt, 

daß diese fiktiven Werte Y und Z noch nicht in der Wertemenge Wm vorkommen. Auch die 

Relation wird erweitert: 

ρm := θm ∪ {w ∈ W ⎯ m τ | w enthält mindestens ein Y, aber kein Z} für m ∈ M. 

Die Relation ρ ist nach Satz 2.117 separierend wegen τ > 0. 

162

Algorithmus zur mehrwertigen Merkmalexploration: 

Am Anfang der Exploration gibt der Experte die Relation θ, den Rahmenkontext H und einen 

unvollständigen mehrwertigen Kontext |K0 ein. Die aktuelle Implikationenmenge Pn wird am 

Anfang der Merkmalexploration durch die leere Menge initialisiert: P0 := P1 := ∅. Eine Vervollständigung 

von |K0 ist ein Teilkontext von |K8 , also existiert Red H ∅ (|K0) =: |K1 nach Satz 3.80.(3). 

Für n = 1, 2, 3, ... wählt das Merkmalexplorationsprogramm im Schritt n eine minimale Menge 

A ∈ H aus, die Erf ρ (|Kn)-pseudoabgeschlossen bezüglich H ist, so daß A keine Prämisse von einer 

Implikation aus Pn ist. Sei B = A ‡z . Nach Satz 2.106.(5) und Satz 2.117 gilt B = {b ∈ M | A → b ∈ 

Erf ρ G n (|Kn)} = {b ∈ M | A → b ∈ Erf ρ (|Kn)} . Das Programm fragt nun den Experten, ob die 

Implikation A → B im unbekannten Kontext |K 8 gültig ist. 

Wenn der Experte die Frage nach der Gültigkeit der Implikation A → B in |K 8 mit "nein" 

beantwortet, muß er ein Tupel von Gegenständen g = (g1, g2, ..., gτ) ∈ G τ angeben, welche im 

Kontext |K 8 die Implikation A → B widerlegen. Hierbei können auch einige dieser Gegenstände 

bereits im aktuellen Kontext |Kn vorhanden sein. 

Sei |K' = (Gn+1, M, W ⎯ , J) mit Gn+1 = Gn ∪ {g1, g2, ..., gτ} der Kontext, welcher aus |Kn und den 

Kontextzeilen von g besteht, welche durch den Experten eingegeben werden. Das Tupel g muß die 

Implikation A → B widerlegen, d.h. A → B ist für das Tupel g in |K' nicht erfüllbar. Die 

Kontextzeilen von Gn+1 ∩ G in |K 8 sind Vervollständigungen der Kontextzeilen in |K', also läßt sich 

der Kontext |K'|G n+1 ∩G nach Satz 3.80.(3) Pn-fragezeichenreduzieren. Diese Fragezeichenreduktion 

der "normalen" Gegenstände kann mit der Relation θ und der Wertemenge W durchgeführt werden, 

d.h. ein Fragezeichen J(g, m) = ? wird im Kontext |K' genau dann durch einen Wert w ∈ W-{?} 

ersetzt, wenn J''(g, m) = w für alle Vervollständigungen |K'' = (Gn+1 ∩ G, M, W-{?}, J'') des 

Kontextes |K'|Gn+1∩G (mit der Wertemenge W = W ⎯ -{Y, Z}) mit Pn ⊆ Imp θ (|K'') und h J'' ∈ H für 

h ∈ (Gn+1 ∩ G) τ gilt. Diese Fragezeichenreduktion bezüglich der Relation θ ist stärker als die 

Fragezeichenreduktion bezüglich ρ, d.h. es werden mindestens so viele Fragezeichen durch andere 

Werte ersetzt wie bei der Relation ρ. Seien Pn+1 := Pn und |Kn+1 der Kontext, welcher aus |K' entsteht, 

indem die Kontextzeilen von Gegenständen aus Gn+1 ∩ G durch die entsprechenden Kontextzeilen 

aus Red H P n (|K'|G n+1 ∩G) ersetzt werden. Die Kontextzeilen von Gn+1-G bleiben unverändert. 

Wenn dem Experte nicht bekannt ist, ob die Implikation A → B im unbekannten Kontext gültig ist, 

dann wird zunächst gefragt, für welche Merkmale b ∈ B die Gültigkeit der Implikation A → b 

unbekannt ist. Sei Z = {b ∈ B | A → b ist unbekannt}. Für die anderen Merkmale b ∈ B-Z ist die 

Implikation A → b in |K8 gültig, denn jedes Tupel von Gegenständen, welches A → b widerlegt, 

widerlegt auch A → B. Für b ∈ Z überprüft das Merkmalexplorationsprogramm, ob A → b ∈ 

ConsH (Pn ∪ {A → B-Z}), denn in diesem Fall kann das Merkmal b aus Z entfernt werden, weil die 

Implikation A → b dann auch als gültig erkannt wird. Im folgenden sei deshalb A → b ∉ ConsH (Pn 

∪ {A → B-Z}) für alle b ∈ Z. Dem aktuellen Kontext |Kn werden nun auf folgende Weise fiktive 

Gegenstände gA,b mit b ∈ Z angehängt, welche gerade diese Implikationen widerlegen: 159 

Sei |K' := (Gn ∪ {gA,b | b ∈ Z}, M, W ⎯ , J) mit 

J = In ∪ {(gA,b, m, Y) | m ∈ A, b ∈ Z} ∪ {(gA,b, b, Z) | b ∈ Z} ∪ 

{(gA,b, m, ?) | m ∈ M-(A ∪ {b}), b ∈ Z}. 

159 Hierbei wird vorausgesetzt, daß gA,b ein neuer Gegenstand ist, d.h. es gilt gA,b ∉ Gn und gA,b ∉ G 

163

Sei Pn+1 := Pn ∪ {A → B-Z}, falls B-Z ≠ A, und Pn+1 := Pn, falls B-Z = A. 

Der Kontext |K' ohne die fiktiven Gegenstände läßt sich nach Satz 3.80.(3) Pn+1-fragezeichenreduzieren. 

Auch hier kann die Fragezeichenreduktion bezüglich der Relation θ durchgeführt werden. 

Sei |Kn+1 der Kontext, welcher aus |K' entsteht, indem die Kontextzeilen von den Gegenständen 

g ∈ Gn ∩ G durch diese fragezeichenreduzierten Kontextzeilen ersetzt werden, d.h. |Kn+1 besteht aus 

Red H P n+1 (|K'|G n ∩G) und den unveränderten Kontextzeilen der fiktiven Gegenstände von |K'. 

Wenn der Experte die Frage nach der Gültigkeit der Implikation A → B in |K8 mit "ja" beantwortet, 

wird die aktuelle Menge von akzeptierten Implikationen Pn um diese Implikation erweitert: Pn+1 := 

Pn ∪ {A → B}. Sei |Kn+1 der Kontext, welcher aus |Kn entsteht, indem die Kontextzeilen von den 

Gegenständen g ∈ Gn ∩ G durch die Kontextzeilen aus Red H Pn+1 (|Kn|Gn∩G) (bezüglich der Relation θ) 

ersetzt werden. Die Kontextzeilen der fiktiven Gegenstände bleiben unverändert. 

Die Merkmalexploration endet, sobald keine neue Implikation mehr gefunden wird, d.h. sobald jede 

Erf ρ (|Kn)-pseudoabgeschlossene Menge A als Prämisse in Pn vorkommt. 

3.82. Satz (Änderung der erfüllbaren Implikationen nach Entfernung fiktiver Gegenstände): 

Seien n ≥ 0 und Gn ∩ G ⊆ S ⊆ T ⊆ Gn. 

Dann gilt Erf ρ (|Kn|T) = Erf ρ (|Kn|S)-{E → F | es gibt ein gA,b ∈ T-S mit E ⊆ A, b ∈ F}. 

Beweis: 

'⊆': 

Erf ρ (|Kn|T) ⊆ Erf ρ (|Kn|S) gilt wegen S ⊆ T. Seien C → D ∈ Erf ρ (|Kn|T), gA,b ∈ T-S und g = (gA,b, gA,b, 

..., gA,b) das konstante Gegenstandstupel. Dann gilt g ‡ = A und g z = M-b. Für E ⊆ A und F ⊆ M mit 

b ∈ F ist E → F für das Gegenstandstupel g nach Satz 2.109 in |Kn|T nicht erfüllbar, also gilt C → D 

≠ E → F, und somit C → D ∈ Erf ρ (|Kn|S)-{E → F | es gibt ein gA,b ∈ T-S mit E ⊆ A, b ∈ F}. 

'⊇': 

Sei C → D ∈ Erf ρ (|Kn|S)-{E → F | es gibt ein gA,b ∈ T-S mit E ⊆ A, b ∈ F}. 

Annahme: C → D ∉ Erf ρ (|Kn|T) 

Sei |K' = (T, M, W ⎯ , J) ∈ V(|Kn|T) die Vervollständigung, die aus |Kn|T entsteht, indem die Fragezeichen 

in den Spalten von C durch Z ersetzt werden, und in den Spalten von M-C die Fragezeichen 

durch Y ersetzt werden. Dann ist C → D in |K' nicht gültig wegen C → D ∉ Erf ρ (|Kn|T), d.h. 

es gibt ein g = (g1, g2, ..., gτ) ∈ T τ mit |K' bg ρ C → D. Dann gibt es ein d ∈ D-C mit |K' bg ρ C → d, 

und es gilt |K' ]g ρ C und |K' bg ρ d. 

Fall 1: J(gj, d) = Z für ein j ≤ τ 

Nach Definition von |K' gilt auch In(gj, d) = Z. Da die fiktiven Werte nur in Kontextzeilen von 

fiktiven Gegenständen vorkommen, ist gj = gA,b ein fiktiver Gegenstand. Wegen |K' ]g ρ C gilt J(gA,b, 

c) = Y für alle c ∈ C, also auch In(gA,b, c) = Y für c ∈ C. Somit gilt C ⊆ A und d = b. Wegen C → 

D ∈ Erf ρ (|Kn|S) gilt gA,b ∉ S. 

Dies ist ein Widerspruch zu C → D ∉ {E → F | es gibt ein gA,b ∈ T-S mit E ⊆ A, b ∈ F}. 

Fall 2: J(gj, d) ≠ Z für alle j ≤ τ 

Wegen |K' bg ρ d enthält J(g, d) nicht den Wert Y, also enthält g keinen fiktiven Gegenstand, und es 

gilt g ∈ S τ . Wegen |K' ]g ρ C enthält J(g, c) nicht den Wert Z für c ∈ C, und nach Definition von |K' 

auch nicht den Wert Y. Damit enthält In(g, m) kein Fragezeichen für m ∈ C ∪ {d}. Dies ist ein 

Widerspruch zu C → D ∈ Erf ρ (|Kn|S). 

164

❚ 

3.83. Satz (Eigenschaften der Exploration mit einwertigem Universum lassen sich auf die 

mehrwertige Exploration übertragen): 

Die Sätze 3.28 bis 3.40 lassen sich auch auf die mehrwertige Exploration übertragen. 

Beweis: 

Alle Beweise können direkt übernommen werden, bis auf den Beweis von (1) ⇒ (2) in Satz 3.40: 

Annahme: A → b ∉ Cons H (Pj) 

Dann gilt A → b ∉ Imp(Resp H (Pj)) nach Satz 2.71 (Äquivalenz (1) ⇔ (2)), also gibt es ein E ∈ 

Resp(Pj) ∩ H mit A ⊆ E und b ∉ E. Sei |K' = (Gj, M, W ⎯ , J) ∈ V(|Kj) mit J(gA,b, m) = Y für m ∈ E 

und J(gA,b, m) = Z für m ∈ M-E. Sei g = (gA,b, gA,b, ..., gA,b) das konstante Tupel. Dann gilt g J = E ∈ 

H und |K' ]g ρ Pj wegen g J ∈ Resp(Pj). Nach Satz 3.80.(3) existiert Red H P j (gA,b), was ein Widerspruch 

zu (1) ist. 

❚ 

Lemma 3.41 ist bei mehrwertiger Exploration im allgemeinen nicht mehr richtig. Seien M = {a, b, 

c}, H = {{a, b}, {b, c}}, und θ eine beliebige zweistellige Relation auf einer Wertemenge W. Dann 

wird bei der Merkmalexploration nach der Gültigkeit der Implikationen {a, b} → {a, b, c} und {b, 

c} → {a, b, c} gefragt. Wenn dem Experten beide Implikationen unbekannt sind, entsteht folgender 

Kontext: 

|K3 a b c 

g{a,b},c Y Y Z 

g{b,c},a Z Y Y 

Weder die Implikation {a, b} → c noch {b, c} → a ist aus P3 = ∅ herleitbar, jedoch ist |K3 nach Satz 

3.80.(3) nicht P3-fragezeichenreduzierbar, weil |K3 die einzige Vervollständigung von sich selbst ist, 

und für g = (g{a,b},c, g{b,c},a) gilt g' = {b} ∉ H. 

3.84. Satz (Eigenschaften der Exploration mit einwertigem Universum lassen sich auf die 

mehrwertige Exploration übertragen): 

Die Sätze und Definitionen 3.43, 3.44, 3.47, 3.48, 3.49, 3.50, 3.51 und 3.53 lassen sich auf die 

mehrwertige Exploration übertragen. Wenn H ein Hüllensystem ist, dann lassen sich Lemma 3.41 

und Korollar 3.46 ebenfalls übertragen. 

Beweis: 

Alle Beweise dieser Sätze können direkt übernommen werden, bis auf folgende Ausnahmen: 

1. Beweis von (2) ⇒ (1) in Lemma 3.41: 

Gelte A → b ∉ ConsH (Pn) für alle gA,b ∈ Gn, dann gilt A → b ∉ Imp(Resp(Pn) ∩ H) nach Satz 

2.71 (Äquivalenz (1) ⇔ (2)), also gibt es ein EA,b ∈ Resp(Pn) ∩ H mit A ⊆ EA,b und b ∉ EA,b. 

Es wird nun Bedingung (3) von Satz 3.80 bewiesen. Sei |K' = (Gn, M, W ⎯ , J) ∈ V(|Kn), wobei die 

Kontextzeilen von Gn ∩ G in |K' die entsprechenden Kontextzeilen in |K8 sind, und J(gA,b, m) = 

Y für m ∈ EA,b und J(gA,b, m) = Z für m ∈ M-EA,b für gA,b ∈ Gn gilt. Sei g = (g1, g2, ..., gτ) ∈ 

Gn τ . Falls g keinen fiktiven Gegenstand enthält, gilt g J = g I ∈ H, und |K' ]g ρ Pn wegen 

|K 8 ]g ρ Pn. Falls g mindestens einen fiktiven Gegenstand enthält, dann sei E := ∩{EA,b | gA,b = 

gi für ein i ≤ τ}. Da H und Resp(Pn) Hüllensysteme sind, gilt E ∈ Resp(Pn) ∩ H. Für m ∈ E 

165

166 

und i ≤ τ gilt J(gi, m) ≠ Z, und für m ∈ M-E gibt es mindestens ein i ≤ τ mit J(gi, m) = Z, also 

gilt g J = E ∈ Resp(Pn) ∩ H. Somit gilt |K' ]g ρ Pn, also Pn ⊆ Imp ρ (|K'), da g ∈ Gn beliebig war. 

Nach Satz 3.80.(3) existiert Red H Pn (|Kn). 

2. Die Definition von G * in Definition 3.43 muß wie folgt abgeändert werden: 

G * := G ~ -{gA,b ∈ Gn | Es gibt ein g ∈ (Gn ∩ G) τ , so daß In(g, a) für a ∈ A und In(g, b) kein 

Fragezeichen enthalten, und In(g, a) ∈ ρ für a ∈ A und In(g, b) ∉ ρ gilt} 

3. Der Beweis der Existenz von Red H P n (|K * ) in Korollar 3.46 verläuft analog dem 1. Beweis dieses 

Satzes (d.h. analog dem Beweis, daß die Implikation (2) ⇒ (1) von Lemma 3.41 auch für die 

mehrwertige Exploration gilt). 

4. Beweis von Imp ρ (|K 8 ) ⊆ Erf ρ (|K * |G* 8 ) in Satz 3.53: 160 

Sei A → B ∈ Imp ρ (|K 8 ). 

Annahme: A → B ∉ Erf ρ (|K * |G* 8 ) 

Es gilt A → B ∈ Erf ρ (|K * |G*∩G), weil die Kontextzeilen von G * ∩ G in |K 8 Vervollständigungen 

der Kontextzeilen in |K * |G n ∩G sind. Nach Satz 3.82 gibt es einen fiktiven Gegenstand gC,d ∈ G * 

❚ 

8 

mit A ⊆ C und d ∈ B. Nach den Regeln (AU) und (PR) gilt C → d ∈ Imp ρ (|K 8 ), was ein 

Widerspruch zu gC,d ∈ G * 

8 ist. 

Im Kontext |K * |G* 8 sind somit die erfüllbaren Implikationen genau diejenigen Implikationen, die im 

Universum gültig sind: Imp ρ (|K 8 ) = Erf ρ (|K * |G* 8 ) = Erf ρ G* 8 (|K * |G* 8 ). Insbesondere ist auch die Menge 

Erf ρ (|K * |G* 8 ) bezüglich des Operators Cons H abgeschlossen. 

Wie bei der einwertigen Exploration erhält der Experte auch bei der mehrwertigen Exploration 

maximales Wissen über die im unbekannten Kontext |K8 gültigen Implikationen: Es gibt eine 

Teilmenge P u 

8 ⊆ Pu = {A → b | gA,b ∈ G * } der als unbekannt akzeptierten Implikationen, so daß die 

in |K8 gültigen Implikationen aus P * ∪ P u 

8 herleitbar sind. Die Menge P* besteht aus den sicheren 

Implikationen, die Menge P u 

ist dem Experten jedoch nicht bekannt. Der Experte weiß nach der 

8 

Exploration nur, daß eine geeignete Menge P u 

8 ⊆ Pu existiert. Die Folgerungen aus P * und die 

Folgerungen aus P * ∪ P u liefern eine untere und obere Schranke für die gültigen Implikationen: 

ConsH (P * ) ⊆ Imp ρ (|K8 ) ⊆ ConsH (P * ∪ P u ). Die Menge G * ∩ G enthält Gegenbeispiele für 

Implikationen, von denen der Experte sicher weiß, daß sie im Kontext |K 8 nicht gültig sind. Es gilt 

Erf ρ (|K * ) ⊆ Imp ρ (|K 8 ) ⊆ Erf ρ (|K * |G *∩G). 

160 mit G * 

8 = G* -{gA,b ∈ G * | A → b ∈ Imp ρ (|K 8 )} (vgl. Definition 3.50)

4. Merkmalexploration an Beispielen 

Die Algorithmen zur Merkmalexploration mit einwertigen und mehrwertigen Universen werden in 

diesem Kapitel an Beispielen erläutert. Bei der einwertigen Exploration wird in Kapitel 4.1 wird als 

unbekannter Kontext der einwertige Kontext |K 8 = (G, M, I) verwendet, der als Gegenstände die 

Klasse aller (assoziativen) Ringe enthält, und einige ringtheoretische Eigenschaften als Merkmale. 

In Anhang A sind die wichtigsten Eigenschaften über die verwendeten Merkmale zusammengestellt. 

Die Exploration wird mit unterschiedlichen Rahmenkontexten durchgeführt. Nach der 

Exploration enthält der Kontext einige fiktive Gegenstände, die mit Hilfe der Sätze 3.63 und 3.64 

durch Bildung von Teilkontexten beseitigt werden können. Dadurch ergibt sich z.B. vollständiges 

Wissen über die Merkmalimplikationen bei kommutativen Ringen. In Kapitel 4.2 wird der 

Zusammenhang zwischen dem Begriffsverband eines unbekannten Universums |K 8 und den 

Begriffsverbänden, die man mit Hilfe der Daten des Kontextes |K * aufstellen kann, anhand eines 

Beispiels mit natürlichen Zahlen erläutert. Bei der mehrwertigen Exploration in Kapitel 4.3 besteht 

der Kontext |K 8 = (G, M, W, I) aus den Planeten unseres Sonnensystems und einigen Eigenschaften 

dieser Planeten. 

4.1 Merkmalexploration in der Ringtheorie 

Die Merkmalexploration wird für die folgende Merkmalsmenge durchgeführt: 161 

M = {kommutativ, unitär, Nullteiler, nullteilerfrei, Integritätsbereich, ganzabgeschlossen, rechtsnoethersch, 

rechtsartinsch, Primideale ungleich {0} sind maximal, Dedekindring, Ring mit 

ggt, ZPE-Ring, Hauptidealring, euklidischer Ring, Schiefkörper, Körper} 

Bei der Exploration werden diese Merkmale wie folgt abgekürzt: 

kom, un, nt, nf, int, gan, rn, ra, pr, ded, ggt, zpe, hir, euk, sch, kö 

Die Ringe sind die Gegenstände des unbekannten Kontextes |K 8 : 162 

G = {R | R ist ein (assoziativer) Ring} 

Als Rahmenkontext H wird zunächst das Mengensystem 

H = VKon( ⎯ ) = {T ⊆ M | entweder nt ∈ T oder nf ∈ T} 

verwendet, d.h. H enthält die Information, daß nt negiert zu nf ist. 

Der Anfangskontext enhält noch keine Gegenstände: 

|K0 = (∅, M, {×, ?, o} ∅) 

In jedem Schritt j der Exploration wird nun eine minimale Menge A ⊆ M gesucht, so daß 

A ‡z ≠ A ∈ RespH (Pj) 

im Kontext |Kj gilt. 163 Dann fragt das Explorationsprogramm nach der Gültigkeit der Implikation 

A → A ‡z . Damit die Implikationen übersichtlicher werden, kann die Prämisse A aus der Konklusion 

A ‡z entfernt werden, denn die Implikation A → A ist immer gültig in |K8 . Am Anfang der 

Exploration erfüllt A = {nf} die Eigenschaft A ‡z ≠ A ∈ Resp H (Pj), denn es gilt nf ‡z = M im 

Kontext |K1 = Red H ∅ (|K0) = |K0, und wegen ∅ ∉ H ist {nf} eine minimale Menge A mit A ‡z ≠ A ∈ 

161 zur Definition der Ringeigenschaften vgl. Anhang A 

162 G ist hier zwar keine Menge, sondern eine Klasse, aber für die Exploration macht dies keinen Unterschied 

163 vgl. Satz 3.31 

167

Resp H (P1) für P1 = P0 = ∅. Im allgemeinen werden bei der Exploration durch den Experten auch 

redundante 164 Gegenstände eingegeben, welche am Ende der Exploration überflüssig sind. Die 

redundanten Gegenstände wurden bei diesem Beispiel bereits beseitigt, damit die Exploration nicht 

zu aufwendig wird, d.h. die Gegenbeispiele, die bei der folgenden Exploration eingegeben werden, 

sind so gewählt, daß sie am Ende der Exploration irredundant sind. 

Schritt 1: 

Frage: Ist {nf}→ M-{nf} gültig? 

Anwort: nein 

Gegenbeispiel: P 

P ist ein euklidischer Ring, der kein Körper ist, also folgt aus Satz A.20 165 und Korollar A.15, daß P 

folgende Merkmale hat: 

|K2 kom un nt nf int gan rn ra pr ded ggt zpe hir euk sch kö 

P × × o × × × × o × × × × × × o o 

Die Menge der als gültig akzeptierten Implikationen verändert sich nicht: P2 = P1 = ∅. 

Es wurden nicht alle Merkmale der Konklusion widerlegt, also ist die Menge {nf} kein Erf(|K2)- 

Inhalt. Daher kann die Menge {nf} auch im Schritt zwei als Prämisse verwendet werden. 

Schritt 2: 

Frage: Ist {nf} → {kom, un, int, gan, rn, pr, ded, ggt, zpe, hir, euk} gültig? 

Anwort: nein 

Gegenbeispiel: 2P 

2P ist nicht unitär, also ist 2P kein Integritätsbereich, hat keinen ggt, 166 ist nicht ganzabgeschlossen, 

kein Dedekindring, kein ZPE-Ring, kein Hauptidealring, kein euklidischer Ring, kein Schiefkörper 

und kein Körper. Nach Lemma A.32 sieht die Kontextzeile also wie folgt aus: 

kom un nt nf int gan rn ra pr ded ggt zpe hir euk sch kö 

2P × o o × o o × o × o o o o o o o 

Schritt 3: 

Frage: Ist {nf} → {kom, rn, pr} gültig? 

Anwort: nein 

Gegenbeispiel: Quaternionen 

Wie beim Gegenbeispiel 2P hat der Quaternionenschiefkörper keine Merkmale, für die 

vorausgesetzt wird, daß der Ring ein Integritätsbereich ist, weil der Ring nicht kommutativ ist. Die 

Kontextzeile sieht für alle (nicht kommutativen) Schiefkörper gleich aus, denn in Schiefkörpern 

gibt es nur die trivialen Rechtsideale: 


Quaternionen o × o × o o × × × o o o o o × o 

Schritt 4: 

Frage: Ist {nf }→ {rn, pr} gültig? 

Anwort: nein 

Gegenbeispiel: P[x1, x2, ...] 

Nach Satz A.12, Satz A.20 und Lemma A.29 sieht die Kontextzeile des Polynomrings P[x1, x2, ...] 

164 vgl. Satz 3.69 

165 vgl. Anhang A 

166 vgl. Definition A.5.(4) 

168

mit abzählbar unendlich vielen Unbekannten so aus: 


P[x1, x2, ...] × × o × × × o o o o × × o o o o 

Der Kontext |K5 enthält nun vier Gegenstände, und die Menge {nf} ist ein Erf(|K5)-Inhalt, weil jede 

Implikation nf → m für m ∈ M-{nf} durch einen Gegenstand widerlegt wird, also muß eine neue 

Prämisse gesucht werden. Die Menge {nf, kö} ist eine minimale Menge A mit 

A ‡z ≠ A ∈ Resp H (P5). 

Schritt 5: 

Frage: Ist {nf, kö} → {kom, un, nt, int, gan, rn, ra, pr, ded, ggt, zpe, hir, euk, sch} gültig? 

Anwort: nein 

Gegenbeispiel: J 

Auch hier sieht die Kontextzeile nach Satz A.20 bei allen Körpern gleich aus: 


J × × o × × × × × × × × × × × × × 

Schritt 6: 

Frage: Ist {nf, kö} → {kom, un, int, gan, rn, ra, pr, ded, ggt, zpe, hir, euk, sch} gültig? 

Anwort: ja 

Die Gültigkeit dieser Implikation folgt aus Satz A.20. Dies ist die erste Implikation, die als gültig 

akzeptiert wird. Die Implikation wird in die aktuelle Implikationenmenge aufgenommen: 

P7 := {{nf, kö} → {kom, un, int, gan, rn, ra, pr, ded, ggt, zpe, hir, euk, sch}}. 

Der aktuelle Kontext wird nicht verändert: |K7 = |K6. 

Schritt 7: 

Frage: Ist {nf, sch} → {un, rn, ra, pr} gültig? 

Anwort: ja 

Schiefkörper haben nur triviale Rechtsideale, daher ist diese Implikation gültig. Die Implikation 

wird zur aktuellen Implikationenmenge hinzugefügt: 

P8 := P7 ∪ {{nf, sch} → {un, rn, ra, pr}}. 

Schritt 8: 

Frage: Ist {nf, euk} → {kom, un, int, gan, rn, pr, ded, ggt, zpe, hir} gültig? 

Anwort: ja 

Die Gültigkeit dieser Implikation folgt aus Satz A.20. Die Implikationenmenge wird somit um diese 

Implikation erweitert. 

Schritt 9: 

Frage: Ist {nf, hir} → {kom, un, int, gan, rn, pr, ded, ggt, zpe, euk} gültig? 

Anwort: nein 

Gegenbeispiel: A-19 := P + ½ (1+ − 19 )P 

Aus Satz A.20, Korollar A.15 und Lemma A.36 ergibt sich folgende Kontextzeile: 


A-19 × × o × × × × o × × × × × o o o 

Schritt 10: 

Frage: Ist {nf, hir} → {kom, un, int, gan, rn, pr, ded, ggt, zpe} gültig? 

Anwort: ja 

169

Auch hier folgt die Gültigkeit der Implikation aus Satz A.20. 

Schritt 11: 

Frage: Ist {nf, zpe} → {kom, un, int, gan, ggt} gültig? 

Anwort: ja 

Schritt 12: 

Frage: Ist {nf, ggt} → {kom, un, int, gan, zpe} gültig? 

Anwort: nein 

Gegenbeispiel: Rw 

Der Bewertungsring aus Lemma A.44 widerlegt diese Implikation, weil Rw kein ZPE-Ring ist. Die 

Merkmale von Rw folgen aus Lemma A.44, Satz A.28, Korollar A.15 und Satz A.20. 


Rw × × o × × × o o × o × o o o o o 

Schritt 13: 

Frage: Ist {nf, ggt} → {kom, un, int, gan} gültig? 

Anwort: ja 

Diese Implikation folgt aus Satz A.20. 

Schritt 14: 

Frage: Ist {nf, ded} → {kom, un, int, gan, rn, pr, ggt, zpe, hir} gültig? 

Anwort: nein 

Gegenbeispiel: P[ − 5 ] 

Die Merkmale von P[ − 5 ] folgen aus Lemma A.35, Lemma A.37, Korollar A.15 und Satz A.20. 


P[ − 5 ] × × o × × × × o × × o o o o o o 

Schritt 15: 

Frage: Ist {nf, ded} → {kom, un, int, gan, rn, pr} gültig? 

Anwort: ja 

Diese Implikation folgt aus Satz A.20.(6). 

Schritt 16: 

Frage: Ist {nf, ra} → {un, rn, pr, sch} gültig? 

Anwort: nein 

Gegenbeispiel: {0} 

Der triviale Ring ist nach Satz A.14 das einzige Gegenbeispiel für diese Implikation. 


{0} × × o × × × × × × × × × × × o o 

Schritt 17: 

Frage: Ist {nf, ra} → {un, rn, pr} gültig? 

Anwort: ja 

Diese Implikation folgt aus Satz A.14. 

Schritt 18: 

Frage: Ist {nf, rn} → pr gültig? 

Anwort: nein 

Gegenbeispiel: P[x] 

170

Aus Lemma A.31, Satz A.12, Korollar A.15 und Satz A.20 folgt die Kontextzeile von P[x]: 


P[x] × × o × × × × o o o × × o o o o 

Schritt 19: 

Frage: Ist {nf, gan} → {kom, un, int} gültig? 

Anwort: ja 

Diese Implikation folgt direkt aus der Definition von ganzabgeschlossen. 

Schritt 20: 

Frage: Ist {nf, int} → {kom, un, gan} gültig? 

Anwort: nein 

Gegenbeispiel: P[ − 3 ] 

Aus Lemma A.35, Lemma A.38, Korollar A.15 und Satz A.20 folgt die Kontextzeile: 


P[ − 3 ] × × o × × o × o × o o o o o o o 

Schritt 21: 

Frage: Ist {nf, int} → {kom, un} gültig? 

Anwort: ja 

Schritt 22: 

Frage: Ist {kom, un, nf} → int gültig? 

Anwort: ja 

Schritt 23: 

Frage: Ist {kom, un, nf, int, rn, ra, pr} → {gan, ded, ggt, zpe, hir, euk} gültig? 

Anwort: ja 

Diese Implikation folgt aus Korollar A.15 und Satz A.20. 

Schritt 24: 

Frage: Ist {kom, un, nf, int, gan, pr, ggt, zpe} → {rn, ded, hir} gültig? 

Anwort: ja 

Diese Implikation folgt aus Satz A.24, Satz A.20.(3) und Satz A.20.(6). 

Schritt 25: 

Frage: Ist {kom, un, nf, int, gan, rn, ggt} → zpe gültig? 

Anwort: ja 

Diese Implikation folgt aus Korollar A.9. 

Schritt 26: 

Frage: Ist {kom, un, nf, int, gan, rn, pr} → ded gültig? 

Anwort: ja 

Diese Implikation folgt aus Satz A.20.(6). 

Schritt 27: 

Frage: Ist {kom, un, nf, int, gan, rn, ra, pr, ded, ggt, zpe, hir, euk, sch} → kö gültig? 

Anwort: ja 

Diese Implikation folgt aus Definition A.5.(10). 

171

Die Fragen nach Implikationen, in deren Prämisse nf vorkommt, wurden alle beantwortet. Nun 

werden nur noch Implikationen gefragt, in deren Prämisse nt vorkommt. 

Schritt 28: 

Frage: Ist {nt} → M-{nt} gültig? 

Anwort: nein 

Gegenbeispiel: P 2×2 

Aus Lemma A.41 und Lemma A.43 folgt die Kontextzeile von P 2×2 : 


P 2×2 o × × o o o × o × o o o o o o o 

Schritt 29: 

Frage: Ist {nt} → {un, rn, pr} gültig? 

Anwort: nein 

Gegenbeispiel: Prüfer 

Die Prüfersche p-Gruppe mit Nullmultiplikation für eine Primzahl p widerlegt die Implikation. Aus 

Lemma A.40 folgt die Kontextzeile: 


Prüfer × o × o o o o × × o o o o o o o 

Schritt 30: 

Frage: Ist {nt} → pr gültig? 

Anwort: nein 

Gegenbeispiel: P 2 

Die Merkmale folgen aus Satz A.10, Satz A.11 und Lemma A.33: 


P 2 × × × o o o × o o o × o o o o o 

Schritt 31: 

Frage: Ist {nt, kö} → {kom, un, nf, int, gan, rn, ra, pr, ded, ggt, zpe, hir, euk, sch} gültig? 

Anwort: ja 

Es gibt keine Körper mit Nullteilern, also ist diese Implikation gültig. 

Schritt 32: 

Frage: Ist {nt, sch} → {kom, un, nf, int, gan, rn, ra, pr, ded, ggt, zpe, hir, euk, kö} gültig? 

Anwort: ja 

Schritt 33: 

Frage: Ist {nt, euk} → {kom, un, nf, int, gan, rn, ra, pr, ded, ggt, zpe, hir, sch, kö} gültig? 

Anwort: ja 

Schritt 34: 

Frage: Ist {nt, hir} → {kom, un, nf, int, gan, rn, ra, pr, ded, ggt, zpe, euk, sch, kö} gültig? 

Anwort: ja 

Schritt 35: 

Frage: Ist {nt, zpe} → {kom, un, nf, int, gan, rn, ra, pr, ded, ggt, hir, euk, sch, kö} gültig? 

Anwort: ja 

Schritt 36: 

172

Frage: Ist {nt, ggt} → {kom, un, rn} gültig? 

Anwort: nein 

Gegenbeispiel: J B 

Aus Satz A.10 und Lemma A.30 folgt die Kontextzeile: 


J B × × × o o o o o × o × o o o o o 

Schritt 37: 

Frage: Ist {nt, ggt} → {kom, un} gültig? 

Anwort: ja 

Diese Implikation folgt direkt aus der Definition von ggt. 

Schritt 38: 

Frage: Ist {nt, ded} → {kom, un, nf, int, gan, rn, ra, pr, ggt, zpe, hir, euk, sch, kö} gültig? 

Anwort: ja 

Schritt 39: 

Frage: Ist {nt, ra} → {kom, pr} gültig? 

Anwort: nein 

Gegenbeispiel: P2 2×2 

Aus Lemma A.41 und Lemma A.42 folgt die Kontextzeile: 


P2 2×2 o × × o o o × × × o o o o o o o 

Schritt 40: 

Frage: Ist {nt, ra} → pr gültig? 

Anwort: unbekannt 

Die Gültigkeit dieser Implikation ist mir unbekannt. 167 Da die Konklusion nur ein Merkmal enthält, 

braucht das Explorationsprogramm nun nicht nach der Menge 

Z = {m ∈ {nt, ra} ‡z | {nt, ra} → m ist unbekannt} zu fragen, denn es kann automatisch erkennen, 

daß Z = {pr} ist. Es wird ein fiktives Gegenbeispiel erzeugt: 


g{nt, ra},pr ? ? × ? ? ? ? × o ? ? ? ? ? ? ? 

Die aktuelle Menge der gültigen Implikationenmenge wird nicht verändert: P41 := P40. 

Schritt 41: 

Frage: Ist {nt, rn} → un gültig? 

Anwort: nein 

Gegenbeispiel: 2P4 

Die Merkmale dieses Ringes sind offensichtlich: 


2P4 × o × o o o × × × o o o o o o o 

Schritt 42: 

Frage: Ist {nt, rn, ra} → pr gültig? 

167 Nach der Einreichung dieser Dissertation wurde von Christian Herrmann ein Beweis für die Gültigkeit dieser 

Implikation gefunden. Um jedoch die Sätze aus Kapitel 3.1.3 besser zu verdeutlichen, wird im folgenden davon 

ausgegangen, daß die Gültigkeit dieser Implikation (und der anderen Implikationen, die bei der Exploration als 

unbekannt angegeben werden) unbekannt ist. 

173


Auch hier wird ein fiktives Gegenbeispiel erzeugt: 


g{nt, rn, ra},pr ? ? × ? ? ? × × o ? ? ? ? ? ? ? 

Schritt 43: 

Frage: Ist {nt, gan} → {kom, un, nf, int, rn, ra, pr, ded, ggt, zpe, hir, euk, sch, kö} gültig? 

Anwort: ja 

Schritt 44: 

Frage: Ist {nt, int} → {kom, un, nf, gan, rn, ra, pr, ded, ggt, zpe, hir, euk, sch, kö} gültig? 

Anwort: ja 

Schritt 45: 

Frage: Ist {un, nt, ra} → {rn, pr} gültig? 


Hier muß das Merkmalexplorationsprogramm noch fragen, welche Merkmale aus der Konklusion 

unbekannt sind, weil es noch nicht erkennen kann, ob dem Experten die Implikation {un, nt, ra} → 

rn oder die Implikation {un, nt, ra} → pr unbekannt ist. Die erste Implikation ist nach Satz A.17 

korrekt, also ist die zweite Implikation unbekannt, und es wird ein fiktives Gegenbeispiel erzeugt: 


g{un, nt, ra},pr ? × × ? ? ? ? × o ? ? ? ? ? ? ? 

Die Implikation {un, nt, ra} → rn wird in die aktuelle Implikationenmenge aufgenommen: 

P46 := P45 ∪ {{un, nt, ra} → rn}. 

Schritt 46: 

Frage: Ist {un, nt, rn, ra} → pr gültig? 


Es wird ein fiktives Gegenbeispiel erzeugt: 


g{un, nt, rn, ra},pr ? × × ? ? ? × × o ? ? ? ? ? ? ? 

Schritt 47: 

Frage: Ist {kom, nt, ra} → pr gültig? 

Anwort: ja 


Schritt 48: 

Frage: Ist {kom, nt, rn, pr} → ra gültig? 

Antwort: nein 

Gegenbeispiel: Pzero 

Die Gruppe der ganzen Zahlen mit der Nullmultiplikation widerlegt die Implikation. Die 

Kontextzeile folgt aus Lemma A.34: 


Pzero × o × o o o × o × o o o o o o o 

Schritt 49: 

Frage: Ist {kom, un, nt} → ggt gültig? 

Antwort: nein 

Gegenbeispiel: P8+2iP8 

174

Die Kontextzeile folgt aus Lemma A.39: 


P8+2iP8 × × × o o o × × × o o o o o o o 

Schritt 50: 

Frage: Ist {kom, un, nt, rn, pr} → ra gültig? 

Anwort: ja 


Schritt 51: 

Frage: Ist {kom, un, nt, rn, ra, pr, ggt} → {nf, int, gan, ded, zpe, hir, euk, sch, kö} gültig? 

Antwort: nein 

Gegenbeispiel: P4 

Die Merkmale von P4 sind offensichtlich: 


P4 × × × o o o × × × o × o o o o o 

Damit endet der Algorithmus, denn es gibt keine Menge A ⊆ M, so daß 

A ‡z ≠ A ∈ Resp H (P52) im Kontext |K52 gilt. 168 Die Duquenne-Gigue-Basis 169 von Erf(|K52) besteht 

nach Korollar 3.34 aus den 28 als gültig akzeptierten Implikationen: 

P52 = { 

{nf, kö} → {kom, un, int, gan, rn, ra, pr, ded, ggt, zpe, hir, euk, sch}, 

{nf, sch} → {un, rn, ra, pr}, 

{nf, euk} → {kom, un, int, gan, rn, pr, ded, ggt, zpe, hir}, 

{nf, hir} → {kom, un, int, gan, rn, pr, ded, ggt, zpe}, 

{nf, zpe} → {kom, un, int, gan, ggt,}, 

{nf, ggt} → {kom, un, int, gan,}, 

{nf, ded} → {kom, un, int, gan, rn, pr}, 

{nf, ra} → {un, rn, pr}, 

{nf, gan} → {kom, un, int}, 

{nf, int} → {kom, un}, 

{kom, un, nf} → int, 

{kom, un, nf, int, rn, ra, pr} → {gan, ded, ggt, zpe, hir, euk}, 

{kom, un, nf, int, gan, pr, ggt, zpe} → {rn, ded, hir}, 

{kom, un, nf, int, gan, rn, ggt} → zpe, 

{kom, un, nf, int, gan, rn, pr} → ded, 

{kom, un, nf, int, gan, rn, ra, pr, ded, ggt, zpe, hir, euk, sch} → kö 

{nt, kö} → {kom, un, nf, int, gan, rn, ra, pr, ded, ggt, zpe, hir, euk, sch}, 

{nt, sch} → {kom, un, nf, int, gan, rn, ra, pr, ded, ggt, zpe, hir, euk, kö}, 

{nt, euk} → {kom, un, nf, int, gan, rn, ra, pr, ded, ggt, zpe, hir, sch, kö}, 

{nt, hir} → {kom, un, nf, int, gan, rn, ra, pr, ded, ggt, zpe, euk, sch, kö}, 

{nt, zpe} → {kom, un, nf, int, gan, rn, ra, pr, ded, ggt, hir, euk, sch, kö}, 

{nt, ggt} → {kom, un}, 

{nt, ded} → {kom, un, nf, int, gan, rn, ra, pr, ggt, zpe, hir, euk, sch, kö}, 

168 Eine Begründung dieser Aussage befindet sich in Bemerkung 4.1 

169 auch hier werden zur besseren Übersichtlichkeit die Merkmale der Prämisse aus der Konklusion entfernt. 

Offensichtlich ergibt sich dadurch wieder eine Basis. 

175

{nt, gan} → {kom, un, nf, int, rn, ra, pr, ded, ggt, zpe, hir, euk, sch, kö}, 

{nt, int} → {kom, un, nf, gan, rn, ra, pr, ded, ggt, zpe, hir, euk, sch, kö}, 

{un, nt, ra} → rn, 

{kom, nt, ra} → pr, 

{kom, un, nt, rn, pr} → ra, 

} 

Der Kontext |K52 enthält 20 normale Gegenstände und 4 fiktive Gegenstände: 

176 


P × × o × × × × o × × × × × × o o 



P[x1, x2, ...] × × o × × × o o o o × × o o o o 

J × × o × × × × × × × × × × × × × 

A-19 × × o × × × × o × × × × × o o o 

Rw × × o × × × o o × o × o o o o o 

P[ − 5 ] × × o × × × × o × × o o o o o o 

{0} × × o × × × × × × × × × × × o o 

P[x] × × o × × × × o o o × × o o o o 

P[ − 3 ] × × o × × o × o × o o o o o o o 



P 2 × × × o o o × o o o × o o o o o 


P2 2×2 o × × o o o × × × o o o o o o o 

2P4 × o × o o o × × × o o o o o o o 



P4 × × × o o o × × × o × o o o o o 

g{nt, ra},pr ? ? × ? ? ? ? × o ? ? ? ? ? ? ? 

g{nt, rn, ra},pr ? ? × ? ? ? × × o ? ? ? ? ? ? ? 

g{un, nt, ra},pr ? × × ? ? ? ? × o ? ? ? ? ? ? ? 

g{un, nt, rn, ra},pr ? × × ? ? ? × × o ? ? ? ? ? ? ? 

Nun wird |K * konstruiert: 170 

Offensichtlich respektiert {un, nt, rn, ra} alle Implikationen aus P52, also gilt 

A → b ∉ Imp(Resp H (P52)) =2.71 Cons H (P52) für alle als unbekannt akzeptierten Implikationen 

A → b ∈ {{nt, ra} → pr, {nt, rn, ra} → pr, {un, nt, ra} → pr, {un, nt, rn, ra} → pr}. 

Es gibt auch keinen normalen Gegenstand g ∈ G ∩ G52, welcher eine als unbekannt akzeptierte 

Implikation widerlegt, also gilt |K * = |K52. 

Sei P u := {{nt, ra} → pr, {nt, rn, ra} → pr, {un, nt, ra} → pr, {un, nt, rn, ra} → pr}. Nach Satz 3.53 

gibt es eine Menge P u 

8 ⊆ Pu , so daß die im unbekannten Kontext |K8 gültigen Implikationen genau 

diejenigen Implikationen sind, die aus P52 und P u 

herleitbar sind: 


8

Imp(|K 8 ) = Cons H (P52 ∪ P u 

8 ) 

Durch Entfernung der zugehörigen fiktiven Gegenstände aus |K * erhält man nach Satz 3.53 einen 

Kontext, in dem genau die Implikationen erfüllbar sind, die in |K 8 gültig sind: 

Imp(|K 8 ) = Erf(|K * |G* 8 ). 

Falls es einen Gegenstand g im Kontext |K 8 gibt, dessen Kontextzeile eine Vervollständigung der 

Kontextzeile eines fiktiven Gegenstandes gA,b ∈ G * des Kontextes |K * ist, dann kann man durch die 

Fragezeichenreduktion des Kontextes |K * sehen, welche Merkmale dieser Gegenstand g sicher hat, 

und welche Merkmale dieser Gegenstand g mit Sicherheit nicht hat. Nach der Fragezeichenreduktion 

ergeben sich folgende Kontextzeilen: 


g{nt, ra},pr o ? × o o o ? × o o o o o o o o 

g{nt, rn, ra},pr o ? × o o o × × o o o o o o o o 

g{un, nt, ra},pr o × × o o o ? × o o o o o o o o 

g{un, nt, rn, ra},pr o × × o o o × × o o o o o o o o 

Wenn es also einen Gegenstand g ∈ G gibt, welcher eine unbekannte Implikation A → b ∈ P u 

widerlegt, dann ist die Kontextzeile von g in |K 8 eine Vervollständigung der fragezeichenredu- 

zierten Kontextezeile von gA,b in Red H P 52 (|K * ). 

Die Exploration kann auch für den Rahmenkontext H = ℘(M) durchgeführt werden, d.h. es wird 

kein Hintergrundwissen angegeben. Obwohl das Merkmalexplorationsprogramm durch Hintergrundwissen 

mehr Informationen über die gültigen Implikationen bekommen würde, ist die 

Exploration für den Rahmenkontext H = ℘(M) bereits nach 48 Schritten beendet. Es werden also 

47 Fragen gestellt, 20 davon werden mit "nein" beantwortet, 20 Fragen werden mit "ja" 

beantwortet, und 7 Fragen werden mit "unbekannt" beantwortet. Die Duquenne-Gigue-Basis enthält 

21 Elemente: 

P48 = { 

kö → {kom, un, nf, int, gan, rn, ra, pr, ded, ggt, zpe, hir, euk, sch} 

sch → {un, nf, rn, ra, pr} 

euk → {kom, un, nf, int, gan, rn, pr, ded, ggt, zpe, hir} 

hir → {kom, un, nf, int, gan, rn, pr, ded, ggt, zpe} 

zpe → {kom, un, nf, int, gan, ggt} 

ggt → {kom, un} 

ded → {kom, un, nf, int, gan, rn, pr} 

gan → {kom, un, nf, int} 

int → {kom, un, nf} 

{nf, ra} → {un, rn, pr} 

{nt, nf} → {kom, un, int, gan, rn, ra, pr, ded, ggt, zpe, hir, euk, sch, kö} 

{un, ra} → rn 

{kom, ra} → pr 

{kom, un, nf} → int 

{kom, un, nf, int, ggt} → gan 

{kom, un, nf, int, rn, ra, pr} → {gan, ded, ggt, zpe, hir, euk} 

{kom, un, nf, int, gan, pr, ggt, zpe} → {rn, ded, hir} 

{kom, un, nf, int, gan, rn, ggt} → zpe 

{kom, un, nf, int, gan, rn, pr} → ded 

177

} 

178 

{kom, un, nf, int, gan, rn, ra, pr, ded, ggt, zpe, hir, euk, sch} → kö 

{kom, un, nt, rn, pr} → ra 

Es ergibt sich folgender Kontext: 


P × × o × × × × o × × × × × × o o 



P[x1, x2, ...] × × o × × × o o o o × × o o o o 

J × × o × × × × × × × × × × × × × 

A-19 × × o × × × × o × × × × × o o o 

Rw × × o × × × o o × o × o o o o o 

P[ − 5 ] × × o × × × × o × × o o o o o o 

{0} × × o × × × × × × × × × × × o o 

P[x] × × o × × × × o o o × × o o o o 

P[ − 3 ] × × o × × o × o × o o o o o o o 



P 2 × × × o o o × o o o × o o o o o 


P2 2×2 o × × o o o × × × o o o o o o o 

2P4 × o × o o o × × × o o o o o o o 



P4 × × × o o o × × × o × o o o o o 

g{ra},pr ? ? ? ? ? ? ? × o ? ? ? ? ? ? ? 

g{rn, ra},pr ? ? ? ? ? ? × × o ? ? ? ? ? ? ? 

g{nt, ra},pr ? ? × ? ? ? ? × o ? ? ? ? ? ? ? 

g{nt, rn, ra},pr ? ? × ? ? ? × × o ? ? ? ? ? ? ? 

g{un, ra},pr ? × ? ? ? ? ? × o ? ? ? ? ? ? ? 

g{un, rn, ra},pr ? × ? ? ? ? × × o ? ? ? ? ? ? ? 

g{un, nt, rn, ra},pr ? × × ? ? ? × × o ? ? ? ? ? ? ? 

Die normalen Gegenstände aus G * ∩ G sind dieselben wie beim Rahmenkontext H = VKon( ⎯ ), 

aber bei H = ℘(M) entstehen mehr unbekannte Implikationen. 


Die Korrektheit von P48 und |K48 wird hier nicht bewiesen, jedoch kann die Korrektheit mit Hilfe 

des Computerprogramms "Conimp" von Peter Burmeister überprüft werden. Mittels Satz 3.13 kann 

man damit auch die Korrektheit von P52 beim Rahmenkontext H = VKon( ⎯ ) relativ einfach nachweisen: 

Für P := P52 und Q := Erf(|K * ) 171 läßt sich für jede bei der Exploration mit dem Rahmen- 

171 man beachte, daß Erf(|K * ) bei beiden Rahmenkontexten dieselben Implikationen enthält

kontext ℘(M) als gültig akzeptierte Implikation A → B ∈ P48 zeigen, daß A → B ∈ ConsH (P) gilt, 

also gilt Q = Erf(|K * ) =3.34 Cons ℘(M) (P48) ⊆ ConsH (P). Somit gilt Bedingung (1) von Satz 3.13. Die 

Bedingungen (2) und (3) lassen sich ebenfalls leicht nachprüfen, also gilt P52 = DGBH (|K * ). Daraus 

folgt auch, daß die Exploration mit dem Rahmenkontext H = VKon( ⎯ ) im Schritt 52 beendet ist, 

denn jede Erf(|K52)-pseudoabgeschlossene Menge ist eine Prämisse von P52. 


Auch beim Rahmenkontext H = ℘(M) gilt |K * = |K48 und ConsH (P48 ∪ P u 

8 ) = Imp(|K8 ) = Erf(|K * |G* ) 8 

nach Satz 3.53 für eine geeignete Menge P u 

8 ⊆ Pu = {ra → pr, {rn, ra} → pr, {nt, ra} → pr, {nt, rn, 

ra} → pr, {un, ra} → pr, {un, rn, ra} → pr, {un, nt, rn, ra} → pr} von unbekannten Implikationen 

und die zugehörige Menge G * 

von Gegenständen. Man braucht hierbei nicht alle Teilmengen 

8 

P u 

8 ⊆ Pu zu betrachten, denn die Implikationen sind voneinander abhängig: 

Wenn ra → pr in |K 8 gültig ist, dann sind auch alle anderen unbekannten Implikationen gültig, und 

wenn es ein Gegenbeispiel für {un, nt, rn, ra} → pr gibt, dann widerlegt dieser Gegenstand auch 

die anderen unbekannten Implikationen. 

Es gilt Cons H (P48 ∪ {{un, ra} → pr}) = Cons H (P48 ∪ {{un, rn, ra} → pr}), weil {un, ra} → rn ∈ 

P48 ist. Die Implikation {un, ra} → pr ist deshalb genau dann im unbekannten Kontext |K8 gültig, 

wenn {un, rn, ra} → pr in |K8 gültig ist. Auch die Gültigkeit der Implikation {un, nt, rn, ra} → pr 

ist in |K8 äquivalent zur Gültigkeit der Implikation {un, rn, ra} → pr, denn für nullteilerfreie Ringe 

ist die Implikation {un, rn, ra} → pr wegen {nf, ra} → {un, rn, pr} ∈ P48 immer richtig. Dies kann 

das Explorationsprogramm jedoch aus dem Rahmenkontext H = ℘(M) nicht erkennen, weil die 

Eigenschaft, daß nf zu nt negiert ist, im Rahmenkontext nicht enthalten ist. Die Implikation 

{un, rn, ra} → pr ist daher nicht aus {un, nt, rn, ra} → pr herleitbar: 

ConsH (P48 ∪ {{un, rn, ra} → pr}) ≠ ConsH (P48 ∪ {{un, nt, rn, ra} → pr}). 

Beim Rahmenkontext VKon( ⎯ ) kann das Explorationsprogramm erkennen, daß beide Implikationen 

äquivalent sind: 

ConsH (P52 ∪ {{un, rn, ra} → pr}) = ConsH (P52 ∪ {{un, nt, rn, ra} → pr}). 

Dies kann auch schon während der Exploration erkannt werden (vgl. Bemerkung 3.66): Beim 

Rahmenkontext H = VKon( ⎯ ) kann z.B. das Programm bereits im Schritt 46 vor der Frage nach 

der Gültigkeit der Implikation {un, nt, rn, ra} → {pr} erkennen, daß diese Implikation zur schon 

teilweise als unbekannt akzeptierten Implikation {un, nt, ra} → {rn, pr} äquivalent ist, denn es gilt 

Cons H (P46 ∪ {{un, nt, rn, ra} → pr}) = Cons H (P46 ∪ {{un, nt, ra} → pr}) 

wegen {un, nt, ra} → rn ∈ P46. Das Programm kann also im Schritt 46 das fiktive Gegenbeispiel 

g{un, nt, rn, ra},pr automatisch erzeugen, 172 ohne vorher den Experten nach der Gültigkeit der 

Implikation {un, nt, rn, ra} → pr zu fragen, denn wenn man voraussetzt, daß der Experte bei der 

Untersuchung der Gültigkeit der Implikation {un, nt, ra} → {rn, pr} sein gesamtes Wissen über 

die Merkmale verwendet hat, kann er auch die Implikation {un, nt, rn, ra} → pr weder beweisen 

noch widerlegen. 

Obwohl bei der Exploration mit dem Rahmenkontext H = VKon( ⎯ ) dem Programm mehr 

Hintergrundinformationen geliefert werden, als bei H = ℘(M), stellt das Programm mehr Fragen. 

Dies liegt daran, daß die Prämisse immer ein Element des Rahmenkontextes sein muß: A muß eine 

minimale Menge mit A ‡z ≠ A ∈ Resp(Pj) ∩ H sein. Wenn man stattdessen nur nach einer 

172 und dem Experten darauf hinweisen, daß ein neues fiktives Gegenbeispiel erzeugt wurde 

179

minimalen Menge A mit A ‡z ≠ A ∈ Resp(Pj) sucht, und vor der Frage nach der Gültigkeit von 

A → A ‡z überprüft, ob A → A ‡z bereits aus den als gültig akzeptierten Implikationen herleitbar ist 

(d.h. ob A → A ‡z ∈ ConsH (Pj) gilt), und nur dann den Experten nach der Gültigkeit von A → A ‡z 

fragt, wenn A → A ‡z ∉ Cons H (Pj) gilt, dann kann es durchaus vorkommen, daß weniger Fragen 

gestellt werden, als beim Algorithmus aus Kapitel 3.1.3. Dies ist jedoch nicht immer der Fall. Auch 

bei der Redundanz der Implikationenmengen gibt es Unterschiede: Wenn die Prämisse immer im 

Rahmenkontext liegt, dann erhält man am Ende der Exploration nach Korollar 3.34 immer eine 

Basis (bezüglich des Rahmenkontextes) der erfüllbaren Implikationen des aktuellen Kontextes, 

ansonsten erhält man nur ein Erzeugendensystem, welches auch noch redundante Implikationen 

enthalten kann. 


Seien H = {{a, b}, {c, d}, {a, c}, {c}}, P0 = P1 = ∅ und |K0 = |K1 der Kontext 

|K0 a b c d 

g × × o o 

h o o × × 

Dann ist {c} die einzige minimale Menge mit A ‡z ≠ A ∈ Resp H (P1). Wenn der Experte die Frage 

nach der Gültigkeit von c → {c, d} mit "ja" beantwortet, dann ist die Exploration beendet, denn 

RespH (P2) = {{a, b}, {c, d}} enthält nur |K2-Inhalte. Ohne die Voraussetzung, daß A ∈ H sein muß, 

gibt es im Schritt 1 zwei verschiedene minimale Mengen A mit A ‡z ≠ A ∈ Resp(P1), für die 

A → A ‡z noch nicht aus dem Hintergrundwissen H folgt: A = {a} und A = {c}. Für alle anderen 

minimalen Mengen A ⊆ M mit A ‡z ≠ A ∈ Resp(P1) folgt die Implikation A → A ‡z bereits aus dem 

Hintergrundwissen: 

b → {a, b} ∈ Imp(H) =2.72.(2) Cons H (P1), 

180 

d → {c, d} ∈ Imp(H) = ConsH (P1), 

{b, d} → {a, b, c, d} ∈ Imp(H) = ConsH (P1). 

Wenn der Experte im Schritt 1 nach a → {a, b} gefragt wird, und er die Gültigkeit dieser 

Implikation mit "ja" beantwortet, dann wird er im Schritt 2 nach c → {c, d} gefragt, denn diese 

Implikation folgt wegen 

c → {c, d} ∉ Imp({{a, b}, {c, d}, {c}}) = Imp(RespH (P2)) =2.71 ConsH (P2) 

nicht aus der akzeptierten Implikation a → {a, b}. In diesem Fall müssen dem Experten also zwei 

Fragen gestellt werden, während beim normalen Algorithmus nur eine Frage beantwortet werden 

mußte. Die Implikation a → {a, b} ist wegen 

a → {a, b} ∈ Imp({{a, b}, {c, d}}) = Imp(RespH (c → {c, d})) = ConsH (c → {c, d}) 

aus der als gültig akzeptierten Implikation c → {c, d} herleitbar, also ist P3 keine Basis. 

Wenn man eine Merkmalsmenge M hat, in der zu jedem Merkmal auch sein negiertes Merkmal 

vorkommt, dann ist der Rahmenkontext H = VKon( ⎯ ) eine Antikette. Es gibt in diesem Fall also 

sehr viele minimale |Kn-pseudoabgeschlossene Mengen während der Merkmalexploration, nämlich 

alle vollständig konsistente Mengen, die kein |Kn-Inhalt sind. Der Algorithmus aus Kapitel 3.1.3 ist 

in diesem Fall also nicht besonders gut geeignet, weil dem Experten sehr viele Fragen gestellt 

werden müssen. Die Effizienz des Merkmalexplorationsalgorithmus' hängt also stark von der Wahl 

des Rahmenkontextes ab. Nach Satz 3.14 ist es sinnvoll, ein Hüllensystem als Rahmenkontext zu 

verwenden. Z.B. kann man die Information, daß im Beispiel der Ringexploration die Merkmale nt 

und nf nicht gleichzeitig auftreten durch den Rahmenkontext 

H := Resp({nt, nf} → {kom, un, int, gan, rn, ra, pr, ded, ggt, zpe, hir, euk, sch, kö}) 

beschreiben. Die Duquenne-Gigue-Basis bezüglich dieses Rahmenkontextes enthält nach Satz 3.14

höchstens 20 Implikationen, denn die Menge 

Q := P48-{{nt, nf} → {kom, un, int, gan, rn, ra, pr, ded, ggt, zpe, hir, euk, sch, kö}} 

ist ein Erzeugendensystem von Erf(|K * ) mit 20 Implikationen, wobei P48 die Menge der bei der 

Exploration mit dem Rahmenkontext ℘(M) akzeptierten Implikationen ist. 

4.4. Bemerkung (vollständiges Wissen über Teilkontexte): 

Bei dem Beispiel aus der Ringtheorie liefern die Sätze 3.63 und 3.64 vollständiges Wissen über 

Teilkontexte. Sei T := M-{pr}. Dann ist Bedingung (1) von Satz 3.63 sowohl für die Exploration 

mit H = ℘(M), als auch mit H = VKon( ⎯ ) für alle fiktiven Gegenstände erfüllt: pr ∉ T. 

Für T := M-{ra} ist für beide Explorationen Bedingung (2) von Satz 3.63 für alle fiktiven Gegenstände 

gA,b erfüllt: A ∩ T → b ∉ Cons H (P * ∪ P u ). Dies liegt daran, daß {un, nt, rn} alle Implika- 

tionen aus P * ∪ P u respektiert, also gilt 

A ∩ T → b ≡ A-{ra} → b ∉ Imp(Resp H (P * ∪ P u )) =2.71 Cons H (P * ∪ P u ) 

wegen A ∩ T ⊆ {un, nt, rn} für alle als unbekannt akzeptierten Implikationen A → b ∈ P u . 

Wenn man also entweder das Merkmal pr oder das Merkmal ra aus M entfernt, erhält man 

vollständiges Wissen über den Teilkontext: Cons H (P * )|T = Erf(|K * |T) = Erf(|K * |(G *∩G)×T) = Imp(|K 8 |T). 

Satz 3.64 liefert ebenfalls vollständiges Wissen über einen Teilkontext: 

Bei beiden Explorationen (H = ℘(M) und H = VKon( ⎯ )) gilt: Für E := {kom} und T := M-{kom} 

ist E keine Teilmenge einer Prämisse einer Implikation aus P u . Wenn man also die Gegenstände von 

|K8 auf die Klasse aller kommutativen Ringe einschränkt, erhält man vollständiges Wissen über alle 

Merkmalimplikationen: ConsH (P * ∪ P u ∪ {∅ → kom}) = Erf(|K * |kom ‡) = Imp(|K8 |kom'). Das 

Merkmal kom ist im Kontext |K * |kom ‡ uninteressant, weil jeder Gegenstand dieses Merkmal hat, also 

kann es entfernt werden. Dies führt bei beiden Rahmenkontexten zum selben Kontext |K * |kom ‡ ×T: 

|K * |kom ‡ ×T un nt nf int gan rn ra pr ded ggt zpe hir euk sch kö 

P × o × × × × o × × × × × × o o 

2P o o × o o × o × o o o o o o o 

P[x1, x2, ...] × o × × × o o o o × × o o o o 

J × o × × × × × × × × × × × × × 

A-19 × o × × × × o × × × × × o o o 

Rw × o × × × o o × o × o o o o o 

P[ − 5 ] × o × × × × o × × o o o o o o 

{0} × o × × × × × × × × × × × o o 

P[x] × o × × × × o o o × × o o o o 

P[ − 3 ] × o × × o × o × o o o o o o o 

Prüfer o × o o o o × × o o o o o o o 

P 2 × × o o o × o o o × o o o o o 

J B × × o o o o o × o × o o o o o 

2P4 o × o o o × × × o o o o o o o 

Pzero o × o o o × o × o o o o o o o 

P8+2iP8 × × o o o × × × o o o o o o o 

P4 × × o o o × × × o × o o o o o 

181

Die Menge {A-{kom} → B-{kom} | A → B ∈ P * ∪ P u } bildet nach Satz 3.64 und Lemma 3.65 ein 

Erzeugendensystem der gültigen Implikationen Imp(|K 8 |kom'×T) = Erf(|K * |kom ‡ ×T). Für H = ℘(M) 

sieht diese Menge wie folgt aus: 

kö → {un, nf, int, gan, rn, ra, pr, ded, ggt, zpe, hir, euk, sch} 

sch → {un, nf, rn, ra, pr} 

euk → {un, nf, int, gan, rn, pr, ded, ggt, zpe, hir} 

hir → {un, nf, int, gan, rn, pr, ded, ggt, zpe} 

zpe → {un, nf, int, gan, ggt} 

ggt → un 

ded → {un, nf, int, gan, rn, pr} 

gan → {un, nf, int} 

int → {un, nf} 

{nf, ra} → {un, rn, pr} 

{nt, nf} → {un, int, gan, rn, ra, pr, ded, ggt, zpe, hir, euk, sch, kö} 

{un, ra} → rn 

ra → pr 

{un, nf} → int 

{un, nf, int, ggt} → gan 

{un, nf, int, rn, ra, pr} → {gan, ded, ggt, zpe, hir, euk} 

{un, nf, int, gan, pr, ggt, zpe} → {rn, ded, hir} 

{un, nf, int, gan, rn, ggt} → zpe 

{un, nf, int, gan, rn, pr} → ded 

{un, nf, int, gan, rn, ra, pr, ded, ggt, zpe, hir, euk, sch} → kö 

{un, nt, rn, pr} → ra 

{rn, ra} → pr 

{nt, ra} → pr 

{nt, rn, ra} → pr 

{un, ra} → pr 

{un, rn, ra} → pr 

{un, nt, rn, ra} → pr 

Im Kontext |K 8 |kom'×T sind genau die Implikationen gültig, die aus dieser Menge von Implikationen 

herleitbar sind. 

Auch für E := {int} und T := M-{kom, un, nf, int} hat man vollständiges Wissen über den Kontext 

|K 8 |E'×T aller Integritätsbereiche. Für einen Integritätsbereich sind die Merkmale nt, ra und sch nicht 

mehr interessant, weil es keinen Integritätsbereich mit Nullteilern gibt, jeder artinsche 

Integritätsbereich bis auf {0} schon ein Körper ist, und jeder Schiefkörper ein Körper ist. Wenn 

man diese Merkmale auch noch aus dem Kontext Erf(|K * |E ‡ ×T) entfernt, hat der Gegenstand J alle 

Merkmale dieses Kontextes, also wird dieser Gegenstand auch nicht mehr benötigt, weil er keine 

Implikation widerlegt. Auch der Gegenstand {0} wird überflüssig, weil {0} genau diejenigen 

Merkmale hat, die auch P hat, denn im Kontext |K 8 unterscheidet sich die Kontextzeile von {0} von 

der Kontextzeile von P nur im Merkmal ra. 

Daraus ergibt sich folgender Kontext |KInt = (GInt, MInt, IInt): 

182

|KInt gan rn pr ded ggt zpe hir euk kö 

P × × × × × × × × o 

P[x1, x2, ...] × o o o × × o o o 

A-19 × × × × × × × o o 

Rw × o × o × o o o o 

P[ − 5 ] × × × × o o o o o 

P[x] × × o o × × o o o 

P[ − 3 ] o × × o o o o o o 

Aus den obigen Bemerkungen folgt, daß die in |KInt gültigen Implikationen genau die Implikationen 

sind, die im Kontext aller Integritätsbereiche (mit der Merkmalsmenge MInt = {gan, rn, pr, ded, ggt, 

zpe, hir, euk, kö}) gültig sind. Die Duquenne-Gigue-Basis der in |KInt gültigen Implikationen läßt 

sich aufstellen, ohne daß dem Experten noch weitere Fragen gestellt werden müssen: 173 

DGB H (Imp(|KInt)) = { 

kö → {gan, rn, pr, ded, ggt, zpe, hir, euk} 

euk → {gan, rn, pr, ded, ggt, zpe, hir} 

hir → {gan, rn, pr, ded, ggt, zpe} 

zpe → {gan, ggt} 

ggt → gan 

ded → {gan, rn, pr} 

{gan, pr, ggt, zpe} → {rn, ded, hir} 

{gan, rn, ggt} → zpe 

{gan, rn, pr} → ded 

} 

Die Implikationen, die aus dieser Basis herleitbar sind, sind genau die Implikationen, die für alle 

Integritätsbereiche gültig sind. 

Der Begriffsverband von |KInt ist isomorph zum Begriffsverband aller Integritätsbereiche (bezüglich 

MInt), und ist in Abbildung 1 dargestellt. Bei der Beschriftung der Begriffe im Begriffsverband steht 

jeder Gegenstand g ∈ GInt an dem Begriff (g'', g'), der von diesem Gegenstand erzeugt wird, und 

jedes Merkmal m ∈ MInt steht an dem Begriff (m', m''), der von diesem Merkmal erzeugt wird. 

Diese Beschriftung ist ausreichend, um für jeden Begriff (A, B) ∈ X(|KInt) den Begriffsumfang und 

-inhalt am Diagramm ablesen zu können: 174 

A = {g ∈ GInt | (g'', g') ≤ (A, B)} 

B = {m ∈ MInt | (m', m'') ≥ (A, B)} 

Der Begriff besteht also genau aus den Gegenständen, die im Diagramm unterhalb dieses Begriffes 

stehen, und aus den Merkmalen, die im Diagramm oberhalb dieses Begriffes stehen. 

173 die folgende Menge von Implikationen wurde mit Peter Burmeister's Computerprogramm "Conimp" erstellt 


183

184 

zpe 

P[x1, x2, ...] Á 

P[x] 

Á 

hir 

Á 

A-19 

euk 

Á 

P 

kö 

Á 

ggt 

Á 

Á 

Rw 

Á 

gan 

Á 

Á 

dedÁ 

P[ − 5 ] 

Á 

P[ − 3 ] 

Abbildung 1: Begriffsverband X(|KInt) 

Á 

rnÁ pr 

Á

4.2 Merkmalexploration bei natürlichen Zahlen 

Sei |K 8 = (G, M, I), wobei G = B + die Menge der positiven natürlichen Zahlen ist, 

M = {gerade, ungerade, sum2gerade, prim, sum2prim} gilt, 

(n, sum2gerade) ∈ I bedeutet, daß die Zahl n Summe zweier gerader positiver Zahlen ist, und 

(n, sum2prim) ∈ I bedeutet, daß die Zahl n Summe zweier Primzahlen ist. 

Bei der Merkmalexploration mit dem Anfangskontext 

|K0 gerade ungerade sum2gerade prim sum2prim 

1 o × o o o 

2 × o o × o 

3 o × o × o 

4 × o × o × 

5 o × o × × 

und dem Rahmenkontext H = ℘(M) entstehen zwei unbekannte Implikationen, welche äquivalent 

zur Goldbachvermutung sind: 

P u = { 

} 

sum2gerade → sum2prim, 

{gerade, sum2gerade} → sum2prim 

Die folgenden Implikationen werden als gültig akzeptiert: 

Pn = { 

{prim, sum2prim} → ungerade, 

sum2gerade → gerade, 

{gerade, sum2prim} → sum2gerade, 

{gerade, sum2gerade, prim} → {ungerade, sum2prim}, 

{gerade, ungerade} → {sum2gerade, prim, sum2prim} 

} 

Am Ende der Exploration entsteht folgender Kontext: 

|K * 

gerade ungerade sum2gerade prim sum2prim 

1 o × o o o 

2 × o o × o 

3 o × o × o 

4 × o × o × 

5 o × o × × 

9 o × o o × 

g1 ? ? × ? o 

g2 × ? × ? o 

Hierbei sind g1 = g{sum2gerade},sum2prim und g2 = g{gerade,sum2gerade},sum2prim die beiden fiktiven 

Gegenstände, welche durch die unbekannten Implikationen erzeugt wurden. 

185

Durch die Fragezeichenreduktion entsteht ein einwertiger Kontext: 

Red H P n (|K * ) 

186 

gerade ungerade sum2gerade prim sum2prim 

1 o × o o o 

2 × o o × o 

3 o × o × o 

4 × o × o × 

5 o × o × × 

9 o × o o × 

g1 × o × o o 

g2 × o × o o 

Satz 3.55 liefert eine untere und eine obere Schranke für den Begriffsverband X(|K8 ) des 

unbekannten Universums. Der Begriffsverband X(|K * |G *∩G) des Kontextes |K * |G *∩G ist nach Satz 

3.55 (mit T = G * ) als ∨-Halbverband isomorph zu einem Unterhalbverband des unbekannten 

Begriffsverbandes X(|K8 ), und der Begriffsverband X(|K8 ) ist als ∨-Halbverband isomorph zu 

einem Unterhalbverband von X(Red H P n (|K * )). 

Wenn es eine positive natürliche Zahl n gibt, welche die Goldbachvermutung widerlegt, dann ist die 

Kontextzeile von n identisch mit den Kontextzeilen der fiktiven Gegenständen im Kontext 

Red H P n (|K * ). In diesem Fall ist somit der Begriffsverband X(|K 8 ) isomorph zum Begriffsverband 

X(Red H P n (|K * )). Der Begriffsverband X(Red H P n (|K * )) wird in Abbildung 2 dargestellt. 

Wenn die Goldbachvermutung richtig ist, dann gilt X(|K8 ) ≅ X(|K * |G *∩G). Der Begriffsverband 

X(|K * |G *∩G) ist isomorph zu einem Unterhalbverband von X(Red H Pn (|K * )), in diesem Fall sogar zu 

einem Unterverband. Der Begriffsverband X(|K * |G *∩G) wird in Abbildung 3 dargestellt. 

Der Experte erhält hier Informationen über den unbekannten Begriffsverband X(|K8 ). Der 

Begriffsverband X(|K * |G *∩G) ist eine untere Schranke, und der Begriffsverband X(Red H Pn (|K * )) ist 

eine obere Schranke für X(|K8 ).

ungerade 

Á 

1 

Á 

9 

3 Á 

5 

Á 

sum2primÁ 

Á 

Á 

prim 

Á 

Abbildung 2: Begriffsverband X(Red H P n (|K * )) 

gerade 

Á 

sum2gerade 

Á 

g1,g2 

Á Á 

4 2 

187

188 

ungerade 

1 Á 

Á 

9 

Á 

5 

Á 

3 

sum2prim 

Á 

Á 

Á 

prim 

Á 

Abbildung 3: Begriffsverband X(|K * |G *∩G) 

gerade 

Á 

Á 

sum2gerade 

Á 

4 

2

4.3 Mehrwertige Merkmalexploration an einem Beispiel 

Die Merkmalexploration mit mehrwertigem Universum wird in diesem Kapitel an einem Beispiel 

über Eigenschaften von Planeten veranschaulicht. Die Gegenstandsmenge des Universums |K8 besteht in diesem Beispiel aus den neun Planeten unseres Sonnensystems: 

G := {Merkur, Venus, Erde, Mars, Saturn, Jupiter, Uranus, Neptun, Pluto}. 

Die Merkmalsmenge M enthält die folgenden Merkmale: 

M := {Monde, Masse, Durchmesser, Sonnenabstand, Umlaufzeit}. 

Nachdem man bei jedem Merkmal eine Maßeinheit festgelegt hat, kann man für die Wertemengen 

reelle Zahlen bzw. natürliche Zahlen verwenden: 

WMonde = B und Wm := J := {x ∈ J | x > 0} für m ∈ M-{Monde}. 

Als Rahmenkontext verwenden wir die gesamte Potenzmenge von M: 

H := ℘(M). 

Die Relation θ ist die Ordnung auf den Zahlen: 

θm := ≤ für m ∈ M. 

Nach Korollar 2.119.(1) ist θ separierend, d.h. das Regelsystem (AX) und (PS) ist vollständig und 

korrekt (vgl. Satz 2.113). 

Die Wertemengen und die Relationen θm werden nun um fiktive Werte erweitert: 175 

W ⎯ m := Wm ∪ {Y, Z} und ρm := θm ∪ {w ∈ W ⎯ m 2 | w enthält mindestens ein Y, aber kein Z} für 

m ∈ M. 

Der Kontext |K0 am Anfang der Exploration enthält die Erde als einzigen Gegenstand: 176 

|K0 Monde Masse 

(in 10 26 g) 

Durchmesser 

(in km) 

Sonnenabstand 

(in 10 6 km) 

Umlaufzeit 

(in Jahren) 

Erde 1 59,8 12800 150 1 

Schritt 1: 

Frage: Ist ∅ → M gültig? 

Anwort: nein 

Gegenbeispiel: (Venus, Erde) 

Monde Masse 

(in 10 26 Durchmesser Sonnenabstand 

g) (in km) (in 10 6 Umlaufzeit 

km) (in Jahren) 

Venus 0 48,7 12100 108 0,619 

Schritt 2: 

Frage: Ist {Monde} → {Masse, Durchmesser, Sonnenabstand, Umlaufzeit} gültig? 

Anwort: nein 

Gegenbeispiel: (Uranus, Saturn) 

175 In diesem Fall ist die Erweiterung eigentlich unnötig, weil bei der Exploration weder unbekanntes 

Implikationenwissen, noch unbekanntes Kontextwissen auftaucht. Während der Exploration gilt deshalb Erf ρ (|Kn) = 

Imp ρ (|Kn) = Imp θ (|Kn) = Erf θ (|Kn) für den aktuellen Kontext |Kn. 

176 Die Daten der Planeten wurden aus dem Internet entnommen (vgl. [WWW1], [WWW2], [WWW3]) 

189

Monde Masse 




Saturn 18 5690 121000 1430 29 

Uranus 15 868 52300 2870 84 

Schritt 3: 

Frage: Ist {Monde} → {Masse, Durchmesser} gültig? 

Anwort: nein 

Gegenbeispiel: (Erde, Mars) 

Monde Masse 




Mars 2 6,42 6800 228 1,88 

Schritt 4: 

Frage: Ist {Masse} → {Durchmesser} gültig? 

Anwort: nein 

Gegenbeispiel: (Uranus, Neptun) 

Monde Masse 




Neptun 8 1020 49500 4500 165 

Das Paar (Uranus, Neptun) ist hier das einzige Gegenbeispiel für diese Implikation. Bei allen 

anderen Planeten gilt: Je größer die Masse, desto größer der Durchmesser. Wegen der geringen 

Dichte (1,2 g/cm 3 ) des Uranus' hat der Neptun eine größere Masse als der Uranus, obwohl der 

Durchmesser beim Neptun kleiner ist. Der Neptun hat eine Dichte von 1,7 g/cm 3 . 

Schritt 5: 

Frage: Ist {Sonnenabstand} → {Umlaufzeit} gültig? 

Anwort: ja 

Diese Implikation folgt aus dem dritten Kepplerschen Gesetz (r 3 /T 2 = konstant). 

Schritt 6: 

Frage: Ist {Umlaufzeit} → {Sonnenabstand} gültig? 

Anwort: ja 

Diese Implikation folgt ebenfalls aus dem dritten Kepplerschen Gesetz. 

Schritt 7: 

Frage: Ist {Monde, Masse} → {Durchmesser} gültig? 

Anwort: ja 

Schritt 8: 

Frage: Ist {Durchmesser, Sonnenabstand, Umlaufzeit} → {Monde, Masse} gültig? 

Anwort: ja 

Im Schritt 9 ist die Exploration beendet, weil jede Erf ρ (|K9)-pseudoabgeschlossene Menge A ⊆ M 

als Prämisse in P9 vorkommt. Der Kontext nach der Exploration sieht wie folgt aus: 

190


(in 10 26 g) 

Durchmesser 

(in km) 

Sonnenabstand 

(in 10 6 km) 

Umlaufzeit 

(in Jahren) 

Erde 1 59,8 12800 150 1 

Venus 0 48,7 12100 108 0,619 

Saturn 18 5690 121000 1430 29 

Uranus 15 868 52300 2870 84 

Mars 2 6,42 6800 228 1,88 

Neptun 8 1020 49500 4500 165 

Da bei der Exploration keine Implikation unbekannt war, sind die im Kontext |K * := |K9 gültigen 

Implikationen nach Satz 3.84 genau die im Universum |K 8 gültigen Implikationen. Der Kontext |K 8 

wird in der folgenden Tabelle dargestellt: 


(in 10 26 g) 

Durchmesser 

(in km) 

Sonnenabstand 

(in 10 6 km) 

Umlaufzeit 

(in Jahren) 

Merkur 0 3,3 4880 58 0,241 

Venus 0 48,7 12100 108 0,619 

Erde 1 59,8 12800 150 1 

Mars 2 6,42 6800 228 1,88 

Jupiter 16 19000 144000 778 12 

Saturn 18 5690 121000 1430 29 

Uranus 15 868 52300 2870 84 

Neptun 8 1020 49500 4500 165 

Pluto 1 0,129 2280 5910 248 

Die im Kontext |K 8 gültigen Implikationen sind genau diejenigen Implikationen, die aus 

P9 = { 

{Sonnenabstand} → {Umlaufzeit}, 

{Umlaufzeit} → {Sonnenabstand}, 

{Mond, Masse} → {Durchmesser}, 

{Durchmesser, Sonnenabstand, Umlaufzeit} → {Monde, Masse} 

} 

mit den Regeln (AX) und (PS) herleitbar sind: Imp ρ (|K 8 ) = Cons(P9). 

191

192

5. Zusammenfassung 

In dieser Arbeit wurden zwei verschiedene Arten von unvollständigem Wissen in der formalen 

Begriffsanalyse behandelt: 

1. unvollständiges Kontextwissen 

2. unvollständiges Implikationenwissen 

Für die Darstellung von unvollständigem Kontextwissen eignen sich mehrwertige Kontexte, wobei 

ein Fragezeichen im Kontext anzeigt, daß nicht bekannt ist, ob im unbekannten (einwertigen oder 

mehrwertigen) vollständigen Kontext |K 8 der Gegenstand das Merkmal hat. Man erstellt also einen 

Kontext |K, welcher mit |K 8 übereinstimmt, bis auf die Einträge der Tabelle, die dem Experten 

unbekannt sind. Um nun Zusammenhänge zwischen den Spalten von |K 8 zu analysieren, kann man 

die Gültigkeit von (aussagenlogischen) Formeln über der Merkmalsmenge M untersuchen. Im 

Kontext |K 8 sind zwar nicht alle Einträge bekannt, deshalb kennt man im allgemeinen auch nicht 

alle in |K 8 gültigen Formeln, jedoch kann man diejenigen Formeln betrachten, die (bezüglich einer 

geeigneten Logik) im unvollständigen Kontext |K gültig sind. Die Kripke-gültigen und erfüllbaren 

Formeln von |K liefern eine Einschachtelung der gültigen Formeln des unbekannten Kontextes |K 8 : 

Die im Kontext |K Kripke-gültigen Formeln bilden eine untere Schranke für die Menge der im 

unbekannten Kontext |K 8 gültigen Formeln, und die im Kontext |K erfüllbaren Formeln bilden eine 

obere Schranke für die in |K 8 gültigen Formeln. Diese Eigenschaften gelten sowohl für mehrwertige 

als auch für einwertige Kontexte |K 8 . Wenn |K 8 einwertig ist, dann könnte man anstatt der Kripke- 

Semantik auch die Kleene-Logik verwenden, jedoch liefert die Kleene-Logik bei den meisten 

Formeln α ∈ F(M) weniger Informationen über die Gültigkeit von α in |K 8 , als die Kripke- 

Semantik. Wenn eine Formel α in der Kleene-Logik stark gültig ist, dann ist sie auch Kripke-gültig, 

und wenn α in der Kripke-Semantik erfüllbar ist, dann ist α in der Kleene-Logik schwach gültig. 177 

Die Kleene-Logik liefert also ebenfalls eine Einschachtelung der im unbekannten Kontext |K 8 

gültigen Formeln, jedoch enthält diese Einschachtelung weniger Informationen. Bei speziellen 

Formeln stimmt die Kleene-Logik mit der Kripke-Semantik überein: Wenn in einer Formel α jedes 

Merkmal m ∈ M höchstens einmal vorkommt, dann ist α genau dann Kripke-gültig in |K, wenn α in 

der Kleene-Logik stark gültig in |K ist, und α ist genau dann erfüllbar in |K, wenn α in der Kleene- 

Logik schwach gültig in |K ist. 178 Diese Eigenschaften sind insbesondere für Klauseln und 

Merkmalimplikationen interessant, weil hier die Prämisse disjunkt zu Konklusion gewählt werden 

kann, und somit jedes Merkmal höchstens einmal in der Formel vorkommt. Auch die modale Logik 

eignet sich gut, um die Kripke-Gültigkeit und Erfüllbarkeit von Formeln für einzelne Gegenstände 

von unvollständigen Kontexten auszudrücken. 

Auch wenn der unbekannte Kontext |K 8 ein mehrwertiger Kontext ist, kann man für jede Formel 

über der Merkmalsmenge M die Kripke-Gültigkeit und Erfüllbarkeit in unvollständigen 

mehrwertigen Kontexten definieren. Bei mehrwertigen Kontexten wird die Semantik von Formeln 

durch eine Relation ρ ⊆ W τ auf den Wertemengen definiert. Durch die Relation ρ wird festgelegt, 

wie die Zusammenhänge zwischen den Spalten eines (unvollständigen oder vollständigen) 

mehrwertigen Kontextes zu interpretieren sind. Z.B. bedeutet die Gültigkeit einer 

Merkmalimplikation A → B in einem vollständigen Kontext bezüglich der Relation ρ = idW die 

funktionale Abhängigkeit, d.h. die Werte in den Spalten von B sind durch die Werte in den Spalten 

von A bereits eindeutig bestimmt. Wenn man eine Relation ρ gewählt hat, dann wird die Gültigkeit 

177 vgl. Satz 2.24 

178 vgl. Satz 2.25 

193

und Erfüllbarkeit von Formeln relativ zu ρ definiert. Das Regelsystem aus Kapitel 2.3, welches für 

die einwertigen Kontexte vollständig und korrekt ist, ist für mehrwertige Kontext zwar korrekt, aber 

im allgemeinen nicht vollständig. Durch die Definition von separierenden Relationen läßt sich 

jedoch sehr leicht überprüfen, für welche Relationen ρ das Regelsystem vollständig ist. 179 Die in der 

Praxis am häufigsten verwendeten Relationen sind separierend, also ist das Regelsystem in diesen 

Fällen auch vollständig. 

Ein mehrwertiger Kontext |K läßt sich für eine vorgegebene Relation ρ ⊆ W τ in kanonischer Weise 

in einen einwertigen Kontext |Kρ transformieren. Bei dieser Transformation bleibt die Gültigkeit 

von Formeln erhalten: Eine Formel α ∈ F(M) ist genau dann gültig in |K, wenn α in |Kρ gültig ist. 

Diese Eigenschaft gilt auch für die Kripke-Semantik bei unvollständigen mehrwertigen Kontexten 

Kontexten. 180 

Wenn ein unbekannter einwertiger Kontext |K 8 durch einen unvollständigen Kontext |K beschrieben 

wird (d.h. |K 8 ist eine Vervollständigung von |K), dann kann man durch Hintergrundwissen über |K 8 

einige Fragezeichen von |K durch die Werte × oder o ersetzen. Wenn z.B. bekannt ist, daß die 

Implikation A → B in |K 8 gültig ist, und ein Gegenstand g alle Merkmale aus A sicher hat (d.h. in 

allen Spalten von A steht im Kontext |K beim Gegenstand g der Wert ×), dann muß der Gegenstand 

g im Kontext |K 8 auch alle Merkmale aus B haben, d.h. in den Spalten von B können alle 

Fragezeichen in der Zeile von g in |K durch den Wert × ersetzt werden. Durch diese 

Fragezeichenreduktion erhöht sich der Informationsgehalt des Kontextes |K, und der Experte erhält 

mehr Wissen über den unbekannten Kontext |K 8 . 

Das Hintergrundwissen kann auch in Form eines Rahmenkontextes H ⊆ ℘(M) vorliegen: Wenn 

der Experte weiß, daß jeder Gegenstandsinhalt von |K 8 im Rahmenkontext liegt, dann kann dieses 

Wissen dazu benutzt werden, um einige Fragezeichen von |K durch andere Werte zu ersetzen. Dies 

ist z.B. bei der Merkmalexploration nützlich, weil dem Experten durch die Fragezeichenreduktion 

weniger Fragen gestellt werden müssen. Die Merkmalexploration dient dazu, möglichst viele 

Informationen über die im Universum |K 8 gültigen Implikationen zu erhalten. Das Explorationsprogramm 

stellt dem Experten Fragen nach der Gültigkeit von Implikationen, und der Experte muß 

bei jeder Implikation entscheiden, ob die Implikation in |K 8 gültig ist, und gegebenenfalls ein 

Gegenbeispiel angeben (wobei die eingegebene Kontextzeile auch Fragezeichen enthalten kann). 

Neben dem unvollständigen Kontextwissen kann bei der Merkmalexploration auch unbekanntes 

Implikationenwissen auftreten: Wenn der Experte eine Frage des Explorationsprogramms weder mit 

"ja" noch mit "nein" beantworten kann, erzeugen die Algorithmen aus Kapitel 3 fiktive Gegenbeispiele, 

welche gerade die als unbekannt angegebene Implikation widerlegen. Am Ende der 

Exploration erhält der Experte eine Liste von sicheren Gegenständen, welche alle Implikationen 

widerlegen, die mit Sicherheit im unbekannten Kontext |K 8 nicht gültig sind. Desweiteren erhält der 

Experte eine Liste P * von Implikationen, die mit Sicherheit in |K 8 gültig sind, und er erhält eine 

Liste P u von unbekannten Implikationen mit den zugehörigen fiktiven Gegenbeispielen. Der 

Experte bekommt durch die Exploration maximale Information (bezüglich seines Wissenstandes) 

über die im Kontext |K8 gültigen Implikationen: Es gibt eine Teilmenge P u 

8 ⊆ Pu der als unbekannt 

akzeptierten Implikationen, so daß die in |K8 gültigen Implikationen genau diejenigen Implikationen 

sind, die aus P * ∪ P u 

mit den Regeln (AX), (PS) und (H-EX) herleitbar sind, und es gibt eine 

8 

Teilmenge G * 

8 ⊆ G* der durch die Exploration entstandenen Gegenstandsmenge G * (welche auch 

fiktive Gegenstände enthalten kann) mit G * ∩ G ⊆ G * 



194 

8 (wobei G die Gegenstandsmenge von |K 8

ezeichnet), so daß die im Teilkontext |K * |G* 8 erfüllbaren Implikationen genau die im Kontext |K 8 

gültigen Implikationen sind. 181 Der Experte muß nach der Exploration also nur noch die als 

unbekannt akzeptierten Implikationen untersuchen. Sobald er für jede dieser Implikation 

entscheiden kann, ob sie im Universum gültig ist, hat er vollständiges Wissen über die im 

Universum gültigen Implikationen. Diese Eigenschaften gelten sowohl für die Exploration mit 

einwertigem Universum als auch für die Exploration mit mehrwertigen Universum. 

Wenn der Experte nicht für alle als unbekannt akzeptierten Implikationen entscheiden kann, ob sie 

im Universum gültig sind, kann er unter Umständen durch Einschränkung der Merkmalsmenge oder 

Gegenstandsmenge vollständiges Wissen über die gültigen Implikationen von Teilkontexten 

erhalten. Die Sätze 3.63 und 3.64 geben an, wie man eine geeignete Teilmenge der Merkmalsmenge 

bzw. der Gegenstandsmenge auswählen sollte, um vollständiges Wissen über die gültigen 

Implikationen des Teilkontextes zu erhalten. 

Auch für den Begriffsverband eines einwertigen Universums läßt sich nach der Exploration eine 

untere und eine obere Schranke angeben: Seien Red H Pn (|K * ) = (G * , M, {×, ?, o}, J) und T = {g ∈ G * | 

? ∉ J(g, M)}, dann ist der Begriffsverband des Kontextes Red H Pn (|K * )|T nach Satz 3.55 als ∨-Halb- 

verband isomorph zu einem Unterhalbverband des unbekannten Begriffsverbandes X(|K8 ), und der 

Begriffsverband X(|K8 ) ist als ∨-Halbverband isomorph zu einem Unterhalbverband von X(|K * |T∩G). 

Ein Beispiel für diese Eigenschaften befindet sich in Kapitel 4.2. 

Bei der Wahl des Rahmenkontextes H für eine Merkmalexploration eignen sich Hüllensysteme 

besonders gut, weil man in diesem Fall das Mengensystem H vollständig durch eine Basis der in H 

gültigen Implikationen beschreiben kann (vgl. Lemma 2.34) und die Anzahl der Fragen bei der 

Exploration minimiert wird (vgl. Satz 3.14). Auch für die Fragezeichenreduktion während der 

Exploration bieten die Hüllensysteme einige Vorteile (vgl. Satz 3.21 und Satz 3.84). 

181 vgl. Satz 3.53 

195

196

Anhang A: Grundlagen der Ringtheorie 

Die meisten der folgenden Definitionen und Sätze findet man auch in [LidlWiesenbauer] oder 

[Lüneburg]. 

A.1. Definition (Ring, unitär, Einheiten, R * , Integritätsbereich): 

Ein Ring 182 R = (R, +, ⋅, -, 0) besteht aus einer abelschen Gruppe (R, +, -, 0) und einer Halbgruppe 

(R, ⋅), so daß die Distributivgesetze 

x(y+z) = xy+xz 

(x+y)z = xz+yz 

gelten. Der Ring R heißt unitär, wenn es ein Element 1 ∈ R gibt, so daß 1x = x = x1 für alle x ∈ R 

gilt. Ein Element x ∈ R eines kommutativen unitären Rings heißt Einheit, wenn es ein Element 

y ∈ R mit xy = 1 gibt. Die Menge aller Einheiten wird mit R * bezeichnet. Ein Ring R heißt 

Integritätsbereich, wenn R kommutativ, unitär und nullteilerfrei ist. 183 

A.2. Definition (Primideal): 

Seien R ein Ring und I ein Ideal in R. Dann heißt I Primideal, wenn für alle Ideale J, K von R mit 

JK ⊆ I auch J ⊆ I oder K ⊆ I gilt. 

Bei kommutativen Ringen findet man in der Literatur häufig auch eine andere Definition von 

Primidealen: In einem kommutativen Ring R heißt ein Ideal I Primideal, wenn R-I multiplikativ 

abgeschlossen ist. Das folgende Lemma zeigt zwar, daß diese beiden Definitionen für kommutative 

Ringe äquivalent sind, jedoch ist dies im allgemeinen nicht der Fall. Zum Beispiel ist {0} ein 

Primideal im Matrizenring P2 2×2 (vgl. auch den Beweis von Lemma A.42) aber P2 2×2 ist nicht 

nullteilerfrei. 

A.3. Lemma (Primideale in kommutativen Ringen): 

In einem kommutativen Ring R ist ein Ideal I genau dann ein Primideal, wenn für alle x, y ∈ R mit 

xy ∈ I auch x ∈ I oder y ∈ I gilt. 

Beweis: 

'⇐': 

Vgl. [Kertesz], Seite 78 

'⇒': 

Sei I ein Primideal. Wegen der Kommutativität gilt = für x, y ∈ R, wobei das 

von x erzeugte Ideal ist. Aus xy ∈ I folgt = ⊆ I, also ⊆ I oder ⊆ I, weil I ein 

Primideal ist. Daraus folgt x ∈ I oder y ∈ I. 

❚ 

A.4. Definition (ganze Elemente eines Rings): 184 

Seien R ein Integritätsbereich, b ∈ R und S ein Unterring von R mit 1 ∈ S. Dann heißt b ganz über 

S, wenn b Nullstelle eines normierten Polynoms x n + an-1x n-1 + an-2x n-2 + ... + a0 ∈ S[x] ist. R heißt 

ganz über S, wenn jedes Element aus R ganz über S ist. 

182 

hier wird sowohl die Trägermenge als auch die algebraische Struktur mit R bezeichnet, sofern aus dem Zusammenhang 

hervorgeht, welche Bedeutung R hat 

183 

Der einelementige Ring {0} wird hier ebenfalls als Integritätsbereich verwendet (vgl. auch [Lüneburg]), obwohl in 

der Literatur manchmal auch 0 ≠ 1 in Integritätsbereichen gefordert wird. 

184 

vgl. auch [Lüneburg] 

197

A.5. Definition (Eigenschaften von Ringen): 185 

Sei R ein Ring. 

(1) R heißt ganzabgeschlossen, wenn R ein Integritätsbereich ist, und jedes über R ganze Element 

aus R(R-{0}) -1 schon in R liegt. 

(2) R heißt rechtsnoethersch, wenn es keine unendlich aufsteigende Kette von Rechtsidealen gibt. 

(3) R heißt rechtsartinsch, 186 wenn es keine unendlich absteigende Kette von Rechtsidealen gibt. 

(4) R heißt Ring mit ggt, wenn R unitär und kommutativ 187 ist, und es für alle a, b ∈ R ein 

Element ggt(a, b) ∈ R gibt, welches a und b teilt und von jedem anderen gemeinsamen Teiler 

von a und b geteilt wird. 

(5) R heißt Dedekindring, wenn R ein Integritätsbereich ist, in dem jedes Ideal Produkt von 

Primidealen ist. 

(6) R heißt ZPE-Ring, wenn R ein Integritätsbereich ist, in dem jedes Element a ∈ R-(R * ∪ {0}) 

sich (bis auf assoziierte Elemente) eindeutig als Produkt von irreduziblen Elementen darstellen 

läßt. 

(7) R heißt Hauptidealring, wenn R ein Integritätsbereich ist, in dem jedes Ideal durch ein 

Element erzeugt wird. 

(8) R heißt euklidischer Ring, wenn R ein Integritätsbereich ist und es eine Abbildung f : R-{0} 

→ B gibt, mit f(ab) ≥ f(a) für a ≠ 0 ≠ b, und es für alle a, b ∈ R mit b ≠ 0 Elemente q, r ∈ R 

mit a = qb+r gibt und entweder r = 0 oder f(r) < f(b) gilt. 

(9) R heißt Schiefkörper, wenn R ≠ {0} unitär ist, und jedes Element a ≠ 0 invertierbar ist. 

(10) R heißt Körper, wenn R ein kommutativer Schiefkörper ist. 

In der Literatur findet man häufig auch eine äquivalente Definition von rechtsnoethersch: 

A.6. Lemma (Charakterisierung von rechtsnoetherschen Ringen): 188 

Ein Ring R ist genau dann rechtsnoethersch, wenn jedes Rechtsideal endlich erzeugt ist. 

❚ 

Der folgende Satz liefert drei unterschiedliche Charakterisierungen für ZPE-Ringe. 

A.7. Satz (Charakterisierung von ZPE-Ringen): 189 

Sei R ein Integritätsbereich. Dann sind folgende Bedingungen äquivalent: 

• R ist ein ZPE-Ring. 

• Jedes Element a ∈ R-(R * ∪ {0}) läßt sich als Produkt von irreduziblen Elementen darstellen, 

und jedes irreduzible Element ist prim. 

• Jedes Element a ∈ R-(R * ∪ {0}) läßt sich als Produkt von Primelementen darstellen. 

❚ 

Hinreichende Bedingungen dafür, daß ein Integritätsbereich R ein ZPE-Ring ist, liefern Satz A.8 

und Korollar A.9. 

A.8. Satz (Zusammenhang zwischen irreduziblen Elementen und Primelementen): 190 

185 vgl. [LidlWiesenbauer], Kapitel 1.1 und 1.2 

186 Die Eigenschaften linksnoethersch und linksartinsch werden dual definiert. In kommutativen Ringen werden 

meistens die Bezeichnungen noethersch und artinsch verwendet 

187 Um nicht zwischen Linksteilern und Rechtsteilern unterscheiden zu müssen, wird hier vorausgesetzt, daß Ringe mit 

größten gemeinsamen Teiler kommutativ sind. Die Eigenschaft unitär garantiert, daß die Teilbarkeitsrelation reflexiv 

ist: Jedes Element teilt sich selbst. In der Literatur wird für Ringe mit ggt manchmal sogar vorausgesetzt, daß der Ring 

ein Integritätsbereich ist. 

188 vgl. [LidlWiesenbauer], Seite 23 


190 vgl. [LidlWiesenbauer], Seite 67,72, 70 

198

Sei R ein kommutativer unitärer Ring. Dann ist jedes Primelement irreduzibel. Wenn R ein Ring 

mit ggt ist, dann ist jedes irreduzible Element prim. Wenn R ein noetherscher Integritätsbereich ist, 

läßt sich jedes Element als Produkt von irreduziblen Elementen schreiben. 

❚ 

A.9. Korollar (Ein noetherscher Integritätsbereich mit größten gemeinsamen Teiler ist ein 

ZPE-Ring): 

Jeder noetherscher Integritätsbereich mit ggt ist ein ZPE-Ring. 

Beweis: 

Die Behauptung folgt aus Satz A.7 und A.8. 

❚ 

Bei einem direkten Produkt von Ringen mit ggt läßt sich der ggt wie die Ringoperationen 

komponentenweise definieren, was im folgenden Satz bewiesen wird. 

A.10. Satz (Produkte von Ringen mit ggt haben ebenfalls einen ggt): 

A ein Ring mit ggt. 

Sei (Ai)i∈I eine Familie von Ringen mit ggt, dann ist auch R := ∏ 

i∈I 

Beweis: 

x ∈ R ist genau dann ein Teiler von y ∈ R, wenn xi ein Teiler von yi für alle i ∈ I ist, also kann der 

ggt komponentenweise gebildet werden: d := (ggt(xi, yi))i∈I ist ein Teiler von x und y, und für jeden 

anderen Teiler c von x und y ist c ein Teiler von d. 

❚ 

Auch die Eigenschaft, daß jedes Ideal ein Hauptideal ist, läßt sich zumindest auf endliche Produkte 

übertragen: 

A.11. Satz (in einem endlichen Produkt von Hauptidealringen wird jedes Ideal durch ein 

Element erzeugt): 

Seien (Ai)i∈I eine Familie von Hauptidealringen und I = {1, 2, ..., n} endlich. Dann wird in R := 

A jedes Ideal durch ein Element erzeugt. 191 

∏ 

i∈I 

i 

Beweis: 

Für ein Ideal J von R ist pri(J) ein Ideal in Ai, wobei pri die Projektion auf die i-te Komponente 

bezeichnet. Es gibt ein ai ∈ pri(J) mit Aiai = pri(J) für i ∈ I. Somit gibt es Elemente x (i) ∈ J mit x (i) i = 

pri(x (i) ) = ai für i, j ∈ I. Dann gilt a := (ai)i∈I = e1x (1) + e2x (2) + ... + enx (n) ∈ J, wobei ei den i-ten 

Einheitsvektor bezeichnet für i ∈ I. Für y ∈ J gibt es ein r = (ri)i∈I ∈ R mit riai = yi, weil pri(J) durch 

ai erzeugt wird für i ∈ I, also y = ra ∈ Ra. Damit ist a ein Erzeuger von J. 

❚ 

Insbesondere ist also P n für alle n ≥ 0 noethersch, weil P ein Hauptidealring ist. 192 

Manche Eigenschaften eines Ringes R lassen sich auch auf den Polynomring R[x] übertragen: 

A.12. Satz (Eigenschaften von Polynomringen): 

Wenn R ein noetherscher Integritätsbereich ist, dann ist auch R[x] ein noetherscher Integritäts- 

191 für unendliche Indexmengen I ist der Satz falsch. Z.B. wird in P B das Ideal 

{f : B → P | Träger von f ist endlich} nicht durch ein Element erzeugt. 

192 Da P n nicht nullteilerfrei ist, ist P n kein Hauptidealring 

i 

199

ereich. 193 

Wenn R ein ZPE-Ring ist, dann sind auch R[x] und R[x1, x2, x3, ...] ZPE-Ringe. 194 

❚ 

A.13. Korollar (Faktorringe von P[x]): 

Alle Faktorringe von P[x] sind noethersch. 

❚ 

A.14. Satz (Nullteilerfreie rechtsartinsche Ringe sind Schiefkörper): 195 

Wenn R ≠ {0} nullteilerfrei und rechtsartinsch ist, dann ist R ein Schiefkörper. 

Beweis: 

Für x ∈ R bezeichne < x > := xR+xP das von x erzeugte Rechtsideal. 

Sei 0 ≠ a ∈ R. Dann gilt < a n+1 > = a n+1 R+a n+1 P ⊆ a n R+a n R = a n R ⊆ < a n > für n > 0. Da R 

rechtsartinsch ist, gibt es ein n > 0 mit < a n+1 > = < a n >, also a n = a n+1 r+a n+1 z = a n (ar+az) für ein 

r ∈ R und ein z ∈ P. Da R nullteilerfrei ist gilt a = a(ar+az). Seien ea := ar+az und b ∈ R. Dann gilt 

aeab = ab, und da R nullteilerfrei ist, gilt eab = b für alle b ∈ R. Damit ist ea linksneutral für alle 

a ≠ 0. Es gilt eab = b = ebb, also ea = eb =: e für alle a, b ≠ 0. Nach Definition von ea gilt ae = aea = a, 

also ist e auch rechtsneutral. Damit ist R unitär und es gilt < x > = xR für x ∈ R, also folgt aus 

< a n+1 > = < a n > schon a n = a n+1 r für ein r ∈ R, und somit e = ar. Damit ist r ein Rechtsinverses von 

a, und wegen ara = a gilt auch ra = e, also ist r = a -1 . Damit ist R ein Schiefkörper. 

❚ 

Dieser Satz liefert auch Bedingungen dafür, daß R ein Körper ist: 

A.15. Korollar (Charakterisierung von Körpern): 

Ein Ring R ≠ {0} ist genau dann ein Körper, wenn R kommutativ, rechtsartinsch und nullteilerfrei 

ist. 

❚ 

A.16. Korollar (Primideale in rechtsartinschen Ringen): 196 

In einem kommutativen rechtsartinschen Ring R ist jedes Primideal P maximal. 

Beweis: 

R/P ist nullteilerfrei (vgl. Lemma A.3) und (rechts)artinsch, denn der Idealverband von R/P ist 

isomorph zu einem Hauptfilter im Idealverband von R. Somit ist R/P ein Körper. 

❚ 

Wie bereits in Satz A.14 bewiesen wurde, ist rechtsartinsch eine sehr starke Eigenschaft. Im 

Gegensatz dazu gibt es sehr viele rechtsnoethersche nullteilerfrei Ringe, die kein Körper sind. Auch 

der folgende Satz zeigt, daß bei unitären Ringen die Eigenschaft rechtsartinsch stärker als 

rechtsnoethersch ist. 

A.17. Satz (Zusammenhang zwischen rechtsartinsch und rechtsnoethersch): 

(1) Jeder unitäre linksartinsche Ring ist linksnoethersch. 

(2) Jeder unitäre rechtsartinsche Ring ist rechtsnoethersch. 

193 vgl. [Meyberg], Seite 155 

194 vgl. [LidlWiesenbauer], Seite 75 und [Hornfeck], Seite 157 

195 vgl. auch [Kertesz], Seite 160 

196 vgl. auch [Kertesz], Seite 160 

200

Beweis: 

Sei R ein unitärer linksartinscher Ring. Dann läßt sich R sowohl als P-Algebra 197 als auch als 

R-Modul 198 auffassen. Die Untermodule des R-Moduls R sind genau die Linksideale, also ist R ein 

artinscher Modul. Aus Satz F41 in [Lorenz] (Seite 197) folgt, daß R ein noetherscher Modul ist, 

also ist R auch ein linksnoetherscher Ring. Die zweite Behauptung folgt dual. 

❚ 

A.18. Satz (Ideale in ganzen Ringen): 199 

Seien R und S Integritätsbereiche und R ganz über S. Dann gilt: 

(1) Wenn I ≠ {0} ein Ideal von R ist, dann ist auch I ∩ S ≠ {0}. 

(2) Ein Primideal P von R genau dann maximal, wenn P ∩ S maximal in S ist. 

❚ 

Während beim Ring der ganzen Zahlen jedes Primideal entweder {0} oder ein maximales Ideal ist 

(denn Primideale ungleich {0} sind Ideale der Form pP für Primzahlen p), ist dies bei vielen Ringen 

nicht der Fall. Wenn jedoch ein Ring S die Eigenschaft hat, daß jedes Primideal P ≠ {0} maximal 

ist, dann überträgt sich diese Eigenschaft auf alle über S ganze Oberringe R von S. Für den Beweis 

dieser Aussage wird Satz A.18 verwendet: 

A.19. Korollar (maximale Ideale in ganzen Ringen): 

Seien R und S Integritätsbereiche und R ganz über S. Wenn in S jedes Primideal P ≠ {0} maximal 

ist, dann ist auch in R jedes Primideal P ≠ {0} maximal. 

Beweis: 

Sei P ≠ {0} ein Primideal von R. Dann gilt P ∩ S ≠ {0} nach Satz A.18.(1), und P ∩ S ist ein Ideal 

von S. Aus x, y ∈ S mit xy ∈ P ∩ S folgt x ∈ P ∩ S oder y ∈ P ∩ S, also ist P ∩ S nach Satz A.3 

ein Primideal von S. Damit ist P ∩ S ein maximales Ideal in S, also ist nach dem vorigen Satz P 

maximal in R. 

❚ 

A.20. Satz (Zusammenhang zwischen den Eigenschaften von Ringen): 200 

Sei R ein Ring. Dann gilt: 

(1) Wenn R ein Körper ist, dann ist R ein euklidischer Ring. 

(2) Wenn R ein euklidischer Ring ist, dann ist R ein Hauptidealring. 

(3) R ist genau dann ein Hauptidealring, wenn R ein Dedekindring mit ggt ist. 

(4) Wenn R ein Hauptidealring ist, dann ist R ein ZPE-Ring. 

(5) Wenn R ein ZPE-Ring ist, dann ist R ein Ring mit ggt. 

(6) R ist genau dann ein Dedekindring, wenn R ein ganzabgeschlossener noetherscher Integritätsbereich 

ist, in dem jedes von {0} verschiedene Primideal maximal ist. 

(7) Wenn R ein Integritätsbereich mit ggt ist, dann ist R ganzabgeschlossen. 

(8) Wenn R ein noetherscher, unitärer, kommutativer Ring ist, in dem jedes Primideal maximal ist, 

dann ist R artinsch. 

❚ 

Die letzte Bedingung dieses Satzes liefert hinreichende Bedingungen dafür, daß ein noetherscher 

Ring auch artinsch ist. Für kommutative, unitäre Ringe in denen jedes Primideal maximal ist, sind 

197 vgl. [Lorenz], Seite 170, Definition 1 

198 vgl. [Lorenz], Seite 173, Definition 2 

199 vgl. [Lüneburg], Seite 88 

200 vgl. [LidlWiesenbauer], Seite 95, 94, 93, 82 

201

die Begriffe noethersch und artinsch somit äquivalent. 201 

A.21. Korollar (Zusammenhang zwischen noethersch und artinsch): 

Sei R ein noetherscher, unitärer, kommutativer Ring mit Nullteilern, in dem jedes von {0} verschiedene 

Primideal maximal ist. Dann ist R artinsch. 

Beweis: 

Da R Nullteiler hat, ist {0} kein Primideal, also sind alle Primideale maximal, und die Behauptung 

folgt aus Satz A.20.(8). 

❚ 

A.22. Lemma (In Hauptidealringen läßt sich der ggt als Linearkombination darstellen): 202 

Seien R ein Hauptidealring, und a, b ∈ R. Dann gilt aR+bR = ggt(a, b)R. 

Beweis: 

Nach Satz A.20.(4) und A.20.(5) existiert ggt(a, b). 

aR+bR ist ein Ideal, also ein Hauptideal aR+bR = cR für ein c ∈ R. Wegen a, b ∈ cR ist c ein Teiler 

von a und b, also auch ein Teiler von ggt(a, b). Es gibt Elemente r, r' ∈ R mit ar+br' = c, also ist 

ggt(a, b) auch ein Teiler von ar+br' = c, und somit ist c ein größter gemeinsamer Teiler von a und b. 

❚ 

In Integritätsbereichen lassen sich die Primelemente durch Primideale charakterisieren: 

A.23. Lemma (Zusammenhang zwischen Primelementen und Primidealen): 203 

Seien R ein Integritätsbereich und x ∈ R. Genau dann ist Rx ein Primideal, wenn x ein Primelement 

ist. 

❚ 

A.24. Satz (Zusammenhang zwischen ZPE-Ringen und Hauptidalringen): 

Wenn R ein ZPE-Ring ist, in dem jedes Primideal P ≠ {0} maximal ist, dann ist R ein Hauptidealring. 

Beweis: 

Sei I ≠ R ein Ideal von R. Sei a ∈ I ein Element, dessen Primfaktorzerlegung eine minimale Anzahl 

von Faktoren enthält. 

Annahme: Ra ≠ I. 

Sei b ∈ I-Ra. Wegen b ∉ Ra ist b nicht assoziiert zu a, und wegen der Minimalität der Anzahl von 

Faktoren in der Primfaktorzerlegung von a ist b auch kein Teiler von a, also ist d := ggt(a, b) nicht 

assoziiert zu b. Damit ist b' := b/d keine Einheit. Seien a' := a/d und p1p2...pn = b' die 

Primfaktorzerlegung von b' mit n ≥ 1. Dann gilt ggt(a', b') = 1, also a' ∉ Rpi für 1 ≤ i ≤ n, denn für 

a' ∈ Rpi wäre pi ein gemeinsamer Teiler von a' und b'. Das Ideal Rpi ist nach Lemma A.23 ein 

Primideal, weil pi ein Primelement ist, also ist Rpi maximal nach Voraussetzung. 

Behauptung: Es gilt Ra' + Rp1p2...pi = R für 1 ≤ i ≤ n. 


Für i = 1 gilt Ra' + Rp1 = R, weil Rp1 maximal ist. 

Sei nun Ra' + Rp1p2...pi = R für ein i < n. Es gilt Ra' + Rpi+1 = R, weil Rpi+1 maximal ist, also 

R = R⋅R = (Ra' + Rp1p2...pi)(Ra' + Rpi+1) = (Ra' + Rp1p2...pi + Rpi+1)a' + Rp1p2...pi+1 ⊆ Ra' + 

Rp1p2...pi+1, und somit R = Ra' + Rp1p2...pi+1. 

201 vgl. Satz A.17 

202 vgl. [Lorenz], Seite 43, Satz F4 


202

Damit gilt 1 ∈ Ra' + Rp1p2...pn = Ra' + Rb', und somit d ∈ Rda' + Rdb' = Ra + Rb ⊆ I. Wegen 

b ∉ Ra ist d nicht assoziiert zu a, also ist d ein Element von I mit weniger Faktoren in der 

Primfaktorzerlegung als a, was ein Widerspruch ist. Die Annahme war somit falsch, und I = Ra ist 

ein Hauptideal. 

❚ 

A.25. Lemma (ZPE-Ringe sind Hauptidealnoethersch): 204 

Wenn R ein ZPE-Ring ist, dann ist R hauptidealnoethersch, d.h. es gibt keine unendlich aufsteigenden 

Ketten von Hauptidealen. 

❚ 

Ein ZPE-Ring muß aber nicht noethersch sein, d.h. R kann auch unendlich aufsteigende Ketten von 

Idealen haben. 205 Von dieser Kette von Idealen können nach dem vorigen Lemma jedoch nur 

endlich viele Ideale durch ein Element erzeugt werden. 

Eine wichtige Klasse von Ringen bilden die Bewertungsringe, d.h. Ringe, die durch eine Bewertung 

induziert werden: 

A.26. Definition (Bewertung, Bewertungsringe): 

Sei K ein Körper. Eine Abbildung w : K → J ∪ {∞} mit 

(B1) w(x) = ∞ gdw. x = 0 

(B2) w(xy) = w(x) + w(y) 

(B3) w(x + y) ≥ min(w(x), w(y)) 

für x, y ∈ K heißt (Exponential-)Bewertung. Rw := {x ∈ K | w(x) ≥ 0} ist ein Unterring 206 von K, er 

heißt Bewertungsring von w. 

In Lemma A.27 und Satz A.28 werden nun einige nützliche Eigenschaften von Bewertungsringen 

gezeigt. 

A.27. Lemma (Bewertung induziert Gruppenhomomorphismus): 

Für eine Bewertung w gilt w(1) = 0 und w(x -1 ) = -w(x) für x ≠ 0. 

Beweis: 

Die Einschränkung w| K-{0} : (K-{0}, ⋅) → (J, +) ist wegen (B2) ein Halbgruppenhomomorphismus, 

also auch ein Gruppenhomomorphismus. 

❚ 

A.28. Satz (Eigenschaften von Bewertungsringen): 

Für eine Bewertung w ist Rw ein Integritätsbereich mit ggt, in dem jedes Primideal ungleich {0} 

maximal ist. 207 

Beweis: 

Wegen w(1) = 0 gilt 1 ∈ Rw. Als Unterring eines Körpers ist Rw somit ein Integritätsbereich. Seien 

x, y ∈ Rw mit x ≠ 0 ≠ y. O.B.d.A sei w(x) ≤ w(y). Dann gilt w(x -1 y) = w(y)-w(x) ≥ 0, also x -1 y ∈ Rw 

und y = xx -1 y ∈ xRw. Damit ist x ein Teiler von y und es gilt ggt(x, y) = x. Somit ist Rw ein 

Integritätsbereich mit ggt. 

Sei P ≠ {0} ein Primideal von Rw. Es wird nun gezeigt, daß P = {y ∈ Rw | w(y) > 0} gilt. Seien 

204 vgl. [Artin], Seite 451 

205 vgl. Lemma A.29 

206 vgl. [Gilmer], Seite 164 

207 vgl. auch [Endler], Seite 41, 48, 50 

203

0 ≠ x ∈ P und y ∈ Rw mit w(y) > 0. Dann gibt es ein n ∈ B mit w(x) < nw(y), also 0 < nw(y)-w(x) 

= w(y n x -1 ), und y n = y n x -1 x ∈ Rwx ⊆ P. Damit gilt y ∈ P, weil P ein Primideal ist, also {y ∈ Rw | 

w(y) > 0} ⊆ P. Jedes Element y ∈ Rw mit w(y) = 0 ist eine Einheit, weil w(y -1 ) = -w(y) = 0 und 

somit y -1 ∈ Rw gilt. Damit ist P = {y ∈ Rw | w(y) > 0} ein maximales Ideal. 

❚ 

Es werden nun einige Eigenschften spezieller Ringe bewiesen, die bei der Merkmalexploration in 

Kapitel 4.1 benötigt werden. 

A.29. Lemma (Eigenschaften vom Polynomring mit unendlich vielen Variablen): 

P[x1, x2, ...] =: R ist weder noethersch noch artinsch, und es gibt ein Primideal P ≠ {0}, welches 

nicht maximal ist. 

Beweis: 

Sei In = Rx1+Rx2+...+Rxn für n > 0, dann gilt In ⊆ In+1. Da P[x1, x2, ...] der freie kommutative 

unitäre Ring über {x1, x2, ...} ist, ist In eine echte Teilmenge von In+1, denn die Abbildung 

f : {x1, x2, ...,} → R mit f(xi) = 0 für i ≤ n und f(xi) = xi für i > n 

hat genau eine homomorphe Fortsetzung g : R → R, und es gilt In ⊆ kern g und xn+1 ∉ kern g, also 

xn+1 ∉ In. Damit ist R nicht noethersch, und nach Satz A.17 auch nicht artinsch. Rx1 ist ein 

Primideal mit Rx1 ⊂ Rx1 + Rx2 ⊂ R. 

❚ 

A.30. Lemma (Eigenschaften von K B für Körper K): 

Sei K ein Körper. Dann ist K B weder artinsch noch noethersch. Jedes Primideal von K B ist 

maximal. 

Beweis: 

Seien In := {f : B → K | f(i) = 0 für i ≤ n} und Jn = {f : B → K | f(i) = 0 für i ≥ n} für n ∈ B. Dann 

ist (In)n∈B eine unendlich absteigende Folge von Idealen, und (Jn)n∈B ist eine unendlich aufsteigende 

Folge von Idealen. Damit ist KB weder artinsch noch noethersch. 

Seien P ein Primideal von KB , I ein Ideal mit P ⊂ I ⊆ KB und f ∈ I-P. Sei g : B → K eine Funktion, 

dessen Träger das Komplement des Trägers von f ist. Dann gilt fg = 0 ∈ P, also g ∈ P ⊆ I, weil P 

ein Primideal ist. Damit ist auch f+g ∈ I, dies ist jedoch eine Einheit, also I = KB . 

❚ 

A.31. Lemma (Eigenschaften des Polynomrings P[x]): 

In P[x] gibt es Primideale P ≠ {0}, welche nicht maximal sind. 

Beweis: 

xP[x] ist ein Primideal mit xP[x] ⊂ xP[x]+2P[x] ⊂ P[x]. 

❚ 

A.32. Lemma (Eigenschaften des Rings 2P): 

Der Ring 2P ist noethersch, nicht artinsch, und jedes Primideal P ≠ {0} ist maximal. 

Beweis: 

Für a ∈ 2P ist Pa das von a erzeugte Ideal in 2P. Jedes Ideal von 2P ist auch ein Ideal von P, also 

204

ein Hauptideal. Damit ist 2P noethersch. 

Die Ideale {2 n P | n ≥ 1} bilden eine unendliche absteigende Folge von Idealen, also ist 2P nicht 

artinsch. 

Seien P ≠ {0} ein Primideal und I ein Ideal mit P ⊂ I ⊆ 2P. Dann sind P und I Hauptideale, d.h. es 

gibt a, b ∈ 2P mit Pa = P ⊂ I = Pb und a, b > 0, also ist b ein echter Teiler (in P) von a. Sei c = a/b. 

Dann gilt b⋅2c = 2a ∈ Pa = P, aber b ∉ P wegen P ≠ I, also 2c ∈ P = Pa, da P ein Primideal ist. 

Damit gilt 2c = a wegen 0 < c < a. Somit gilt b = 2 und I = 2P, also ist P maximal. 

❚ 

A.33. Lemma (Eigenschaften des Rings P 2 ): 

Der Ring P 2 ist nicht artinsch, und es gibt ein Primideal P ≠ {0}, welches nicht maximal ist. 

Beweis: 

Die Ideale 2 n P 2 für n > 0 bilden eine unendlich absteigende Folge von Idealen, also ist P 2 nicht 

artinsch. Das Ideal P × {0} ist ein Primideal mit P × {0} ⊂ P × 2P ⊂ P 2 . 

❚ 

A.34. Lemma (Eigenschaften des Rings Pzero): 

Sei Pzero die Gruppe der ganzen Zahlen mit der Nullmultiplikation. Dann ist Pzero noethersch, nicht 

artinsch, und es gibt keine Primideale. 

Beweis: 

Die Ideale von Pzero sind genau die Ideale von P, und da P noethersch und nicht artinsch ist, gilt 

dies auch für Pzero. Wäre P ein Primideal, dann würde aus x 2 = 0 ∈ P auch x ∈ P für alle x ∈ Pzero 

folgen. 

❚ 

A.35. Lemma (Eigenschaften des Rings P[ z ]): 208 

Für z ∈ P ist im Ring R := P[ z ] := P+ z P jedes Primideal P ≠ {0} maximal. 

Beweis: 

z ist ganz über P, weil z Nullstelle des Polynoms x 2 -z ist. R wird von 1 und z erzeugt, und 

da die Menge aller über P ganzen Elemente von R einen Unterring bilden, 209 ist R ganz über P. In P 

ist jedes Primideal P ≠ {0} maximal, also gilt dies nach Korollar A.19 auch für R. 

❚ 

A.36. Lemma (Eigenschaften des Rings P + ½ (1+ − 19 )P): 210 

A-19 := P + ½ (1+ − 19 )P ist ein Hauptidealring, welcher nicht euklidisch ist. 

❚ 

A.37. Lemma (Eigenschaften des Rings P[ − 5 ]): 

P[ − 5 ] ist ein Dedekindring ohne ggt. 

208 vgl. auch [Lüneburg], Seite 89 

209 vgl. [Lüneburg], Seite 50 

210 vgl. [Lüneburg], Seite 57 (Satz 78), Seite 102 (Satz 148 und Ende) 

205

Beweis: 

P[ − 5 ] ist ganzabgeschlossen, 211 und jedes Primideal P ≠ {0} ist maximal. 212 

Nach Korollar A.13 ist P[ − 5 ] = P[x]/(x 2 +5)P[x] noethersch. 

Nach Satz A.20.(6) ist R somit ein Dedekindring. Aus [LidlWiesenbauer] (Seite 73) folgt, daß 

P[ − 5 ] keinen ggt hat. 

❚ 

A.38. Lemma (Eigenschaften des Rings P[ − 3 ]): 213 

P[ − 3 ] ist ein noetherscher Integritätsbereich, der nicht ganzabgeschlossen ist. 

Beweis: 

Nach Korollar A.13 ist P[ − 3 ] noethersch, und a := ½+½ − 3 ist ganz über P[ − 3 ], weil a 

Nullstelle von x 2 -x+1 ist, also ist R nicht ganzabgeschlossen. 

❚ 

A.39. Lemma (Eigenschaften des Rings P8[2 − 1 ]): 

R := P8[2 − 1 ] = P8+2iP8 mit i := − 1 ist ein Ring ohne ggt, in dem jedes Primideal maximal ist. 

Beweis: 

2 und 2i sind in R gemeinsame Teiler von 4 und 4i. Wenn y := ggt(4, 4i) existieren würde, dann 

wäre y ein gemeinsames Vielfaches von 2 und 2i, also y ∈ 2R ∩ 2iR = {0, 2, 4, 6, 4i, 4i+2, 4i+4, 

4i+6} ∩ {0, 2i, 4i, 6i, 4, 4+2i, 4+4i, 4+6i} = {0, 4, 4i, 4+4i}. Keines dieser vier Elemente ist jedoch 

ein gemeinsamer Teiler von 4 und 4i, also kann ggt(4, 4i) nicht existieren. Sei P ein Primideal. 

Wegen 2 3 = 0 ∈ P gilt 2 ∈ P und wegen (2i) 3 = 0 ∈ P gilt 2i ∈ P. Damit gilt 2R + 2iR ⊆ P. Das 

Ideal 2R+2iR = 2P8+2iP8 ist maximal, denn als additive Untergruppe von (R, +) hat 2P8+2iP8 den 

Index 2. Damit ist P = 2R+2iR maximal. 

❚ 

A.40. Lemma (Eigenschaften der Prüferschen p-Gruppe): 

Für jede Primzahl p ist die Prüfersche p-Gruppe R := {a/p n | a ∈ P , n ≥ 0}/P mit der Nullmultiplikation 

ein artinscher Ring, welcher nicht noethersch ist und keine Primideale hat. 214 

Beweis: 

Die Ideale von R sind genau die additiven Untergruppen. Sei Ik = {a/p k + P | a ∈ P} für k ≥ 0. Dann 

ist (Ik)k∈B eine unendlich aufsteigende Folge von Idealen, also ist R nicht noethersch. Sei J ein 

echtes Ideal von R. Da a/p k + P im Erzeugnis von 1/p n + P liegt, für alle a ∈ P und n ≥ k ≥ 0, kann 

es nur endlich viele n ∈ P mit 1/p n + P ∈ J geben, denn sonst wäre J = R. Seien n maximal mit 

1/p n + P ∈ J und k > n. Gäbe es ein a ∈ P mit a/p k + P ∈ J und ggt(a, p k ) = 1, dann gäbe es ein 

x ∈ P mit xa mod p k = 1, also 1/p k + P = x(a/p k + P) ∈ J, was ein Widerspruch zur Maximalität von 

n ist. Damit ist J = {a/p n + P | 0 ≤ a 

von Idealen geben, denn jedes echte Ideal ist endlich. Gäbe es in R ein Primideal P, dann würde aus 

211 vgl. [Hecke], Seite 83 

212 vgl. Lemma A.35 

213 vgl. auch [Lüneburg], Seite 52 

214 vgl. auch [Divinsky], Seite 15 

206

x 2 = 0 ∈ P auch x ∈ P für alle x ∈ R folgen, also hat R keine Primideale. 

❚ 

A.41. Lemma (Eigenschaften von Matrizenringen): 

Sei R ≠ {0} ein unitärer Ring, dann enthält der Matrizenring R 2×2 Nullteiler und ist nicht 

kommutativ. 

Beweis: 

⎛1 

0⎞ 

⎛0 

Wegen ⎜ ⎟ ⎜ 

⎝0 

0⎠ 

⎝0 

⎛1 

1⎞ 

⎛0 

Wegen ⎜ ⎟ ⎜ 

⎝0 

0⎠ 

⎝1 

❚ 

0⎞ 

⎛0 

⎟ = ⎜ 

1⎠ 

⎝0 

0⎞ 

⎟ gibt es Nullteiler. 

0⎠ 

0⎞ 

⎛1 

⎟ = ⎜ 

1⎠ 

⎝0 

1⎞ 

⎛0 

⎟ ≠⎜ 0⎠ 

⎝1 

0⎞ 

⎛0 

⎟ = ⎜ 

1⎠ 

⎝1 

0⎞ 

⎛1 

⎟ ⎜ 

1⎠ 

⎝0 

A.42. Lemma (Eigenschaften des Rings P2 2×2 ): 

In R := P2 2×2 ist jedes Primideal maximal. 

1⎞ 

⎟ ist R nicht kommutativ. 

0⎠ 

Beweis: 

Es gibt nur triviale zweiseitige Ideale, denn für eine Matrix A ≠ 0 kann man durch Multiplikation 

einer Matrix von rechts (bzw. links) eine Spalte (bzw. Zeile) von A zu null machen, so daß nur noch 

genau eine Komponente von A den Wert 1 hat. Spalten- und Zeilenvertauschungen lassen sich 

ebenfalls durch Multiplikation realisieren, und durch anschließende Addition läßt sich jede Matrix 

B erzeugen. 

❚ 

A.43. Lemma (Eigenschaften des Rings P 2×2 ): 

Der Matrizenring R := P 2×2 ist rechtsnoethersch, nicht rechtsartinsch, und jedes Primideal P ≠ {0} 

ist maximal. 

Beweis: 

Alle Untergruppen von (P 4 , +) ≅ (R, +) sind endlich erzeugt, 215 also ist auch jedes Rechtsideal von 

R endlich erzeugt, und R ist nach Satz A.6 rechtsnoethersch. 

⎛eu 

Für e ∈ B sei Ie = { ⎜ 

⎝ev 

ew ⎞ 

⎟ | u, v, w, x ∈ P}. Offensichtlich ist Ie ein (beidseitiges) Ideal. Es 

ex ⎠ 

wird nun gezeigt daß jedes Ideal von dieser Form ist. 

⎛0 

Seien I ein beidseitiges Ideal und ⎜ 

⎝0 

0⎞ 

⎛a 

⎟ ≠ ⎜ 

0⎠ 

⎝b 

c ⎞ 

⎟ ∈ I, so daß e := |ggt(a, b, c, d)| minimal ist. 

d⎠ 

Dann gibt es Zahlen a', b', c', d' ∈ P mit e = a'a + b'b + c'c + d'd, weil P ein Hauptidealring ist. 

⎛0 

Durch Multiplikation der Matrix ⎜ 

⎝1 

1⎞ 

⎛a 

⎟ an ⎜ 

0⎠ 

⎝b 

c ⎞ 

⎟ von links und rechts kann man Zeilen- und 

d⎠ 

⎛1 

Spaltenvertauschungen durchführen, und durch Multiplikation der Matrix ⎜ 

⎝0 

0⎞ 

⎟ von links und 

0⎠ 

⎛a 

rechts erhält man folgende Matrizen: ⎜ 

⎝0 

0⎞ 

⎛b 

⎟ , ⎜ 

0⎠ 

⎝0 

0⎞ 

⎛c 

⎟ , ⎜ 

0⎠ 

⎝0 

0⎞ 

⎛d 

⎟ , ⎜ 

0⎠ 

⎝0 

0⎞ 

⎟ . 

0⎠ 

215 vgl. [Artin], Seite 536 

207

Da I ein beidseitiges Ideal ist, liegen diese Matrizen in I, also auch 

⎛e 

⎜ 

⎝0 

0⎞ 

⎛a' 

⎟ = ⎜ 

0⎠ 

⎝ 0 

0⎞ 

⎛a 

⎟ ⎜ 

0⎠ 

⎝0 

0⎞ 

⎛b' 

⎟ + ⎜ 

0⎠ 

⎝ 0 

0⎞ 

⎛b 

⎟ ⎜ 

0⎠ 

⎝0 

0⎞ 

⎛c' 

⎟ + ⎜ 

0⎠ 

⎝ 0 

0⎞ 

⎛c 

⎟ ⎜ 

0⎠ 

⎝0 

0⎞ 

⎛d' 

⎟ + ⎜ 

0⎠ 

⎝ 0 

0⎞ 

⎛d 

⎟ ⎜ 

0⎠ 

⎝0 

0⎞ 

⎟ ∈ I. Durch 

0⎠ 

Zeilen- und Spaltenvertauschungen und Multiplikation mit anderen Matrizen und durch Addition 

⎛eu 

erhält man ⎜ 

⎝ev 

ew ⎞ 

⎛f 

⎟ ∈ I für alle u, v, w, x ∈ P. Wenn es eine Matrix ⎜ 

ex ⎠ 

⎝g 

h ⎞ 

⎟ ∈ I gibt, so daß 

i ⎠ 

⎛ggt( 

e, 

f , g, 

h, 

i) 

ggt(f, g, h, i) kein Vielfaches von e ist, dann ist auch ⎜ 

⎝ 0 

0⎞ 

⎟ ∈ I, was ein Widerspruch 

0⎠ 

⎛eu 

zur Minimalität von e ist. Damit gilt I = { ⎜ 

⎝ev 

ew ⎞ 

⎟ | u, v, w, x ∈ P} = Ie. Somit sind diese Mengen 

ex ⎠ 

Ie für e ∈ B genau die Ideale von R. Der Ring R ist nicht rechtsartinsch, weil {Ie | e = 2, 4, 8, 16, ...} 

eine unendlich absteigende Kette von Idealen ist. Sei nun 0 ≠ e ∈ B, so daß Ie ein Primideal ist. 

Wenn e = pq für p, q ∈ B ist, dann gilt Ie = IpIq, also Ip ⊆ Ie oder Iq ⊆ Ie, weil Ie ein Primideal ist, 

und somit p = e oder q = e. Damit ist e eine Primzahl, und Ie ist ein maximales Ideal. 

❚ 

A.44. Lemma (Konstruktion eines Bewertungsrings): 

Sei K = J[x1, x2, ...](J[x1, x2, ...]-{0}) -1 der Quotientenkörper von J[x1, x2, ...]. 

Sei f ∈ J[x1, x2, ...]. Dann gibt es ein minimales n ≥ 0, sowie ri ∈ J und mij ∈ B für i, j ∈ B mit 

f = ∑ i∏ 

208 

n 

∞ 

i= 1 j= 

1 

m 

j 

ij 

r x , so daß das Produkt für alle i ≤ n endlich ist, d.h. mij = 0 für fast alle j ≥ 1. 

Definiere w(f) := inf {∑ ∞ 

j=1 

m ij 

| 1 ≤ i ≤ n}. Für f, g ∈ J[x1, x2, ...] mit g ≠ 0 sei w(f/g) := w(f)-w(g). 

j 

Dann ist w : K → J ∪ {∞} eine Bewertung. Rw ist weder noethersch noch ein ZPE-Ring. 

Beweis: 

Aus [Gilmer] (Seite 193) folgt, daß w eine Bewertung ist. Für j ≥ 1 gilt 

w(xj/xj+1) = (1/j)-1/(j+1) > 0, also xj/xj+1 ∈ Rw und xj = (xj/xj+1)xj+1 ∈ Rwxj+1. Wenn xj+1 ∈ Rwxj ist, 

dann gibt es ein r ∈ Rw mit xj+1 = rxj, also w(r) ≥ 0 und 1/(j+1) = w(xj+1) = w(rxj) = w(r)+w(xj) ≥ 

w(xj) = 1/j, was ein Widerspruch ist. Damit ist Rwxj eine echte Teilmenge von Rwxj+1, also ist Rw 

nicht hauptidealnoethersch. Damit ist Rw weder noethersch noch ein ZPE-Ring nach Lemma A.25. 

❚

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215

216

Anhang C: Index 

AD 89 

⊕ 157 

α - (|K) 34 

π|K 39 

α + (|K) 34 

αo 81 

|K * 135 

|K| S 26 

|K| S×T 26 

|K| T 26 

|KP 58 

|K H P 77 

< ⋅ >P 51 

] 34 

]!g 34, 81 

] ρ 94 

]?g 34, 81 

]g 34, 81 

]g ρ 94 

z 64 

2 22 

3 22 

A • 110 

abgeleiteter Konetext 26 

Ableitungsoperator 25 

AD 55 

AD∞ 57 

AG 22 

artinsch 198 

AU 55 

AX 55 

X(|K) 25 

Basis 108 

Begriff 25, 96 

Bewertung 203 

Bewertungsring 203 

boolesch 21 

Cons 55 

ConsErf 62 

Cons N 

Erf 89 

Cons H 74 

Cons H |T 147 

Dedekindring 198 

DGBH (P) 112 

Duquenne-Gigue-Basis 112 

Einheit 197 

einwertig 25 

Erf ρ (|K) 95 

Erf ρ S(|K) 95 

Erf(|K) 51 

euklidischer Ring 198 

EX 87 

Ext 25 

F(M) 29 

FA 89 

fiktive Gegenstände 126, 163 

fiktive Werte 162 

Formeln 29 

fragezeichenreduziert 117 

G * 135 

G * 

8 139 

G ~ 135 

Galoisverbindung 25 

ganz 197 

ganzabgeschlossen 198 

gegenstandsbereinigt 25 

Gegenstandsinhalt 25, 96 

ggt 198 

hauptidealnoethersch 203 

Hauptidealring 198 

8T 109 

Imp ρ (|K) 95 

Imp(|K) 51 

Imp(h) 51 

Imp(H) 51 

ImpM 51 

IN 87 

Informationsordnung 33, 93 

Inhalt 25, 96 

Int 25 

Integritätsbereich 197 

intuitionistische Logik 30 

klassische Logik 31 

Klausel 29 

Kleene-Algebra 21 

konsistent 73 

Kontext 25 

Körper 198 

L(|K) 39 

linksartinsch 198 

217

linksnoethersch 198 

mehrwertiger Kontext 25 

Merkmalimplikation 51 

Mod 29 

modale Logik 49 

modales Modell 49 

Modell 29 

NEG 89 

noethersch 198 

Nullmarke 16 

P * 135 

P|T 147 

P-Inhalt 108 

PR 55 

Primideal 197 

PS 55 

pseudoabgeschlossen 108 

P u 135 

P u 

8 139 

R * 197 

H|T 147 

RAA 89 

Rahmenkontext 73 

rechtsartinsch 198 

rechtsnoethersch 198 

Red H P 119, 162 

218 

H-erzeugt 77 

Resp 51 

respektieren 51 

Resp H 73 

H-EX 74 

Ring 197 

Schiefkörper 198 

separierend 101 

Skalierung 26 

Th 29 

U(G, M) 33 

Umfang 25, 96 

unitär 197 

unvollständige Datenbank 16 

unvollständiger Kontext 33 

unvollständiger Kontext mit negierten 

Merkmalen 81 

unvollständiger mehrwertiger Kontext 93 

V(|K) 33, 93 

V(|K N ) 81 

var 29 

VKon( ⎯ ) 73 

vollständig konsistent 73 

vollständiger mehrwertiger Kontext 93 

ZPE-Ring 198 

‡ 64

Methoden der formalen Begriffsanalyse bei der Behandlung ...

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