Approximationstheorie

5.3 Trigonometrische Polynome II: Jackson–Sätze 97
Das entscheidende Hilfsmittel zum (überraschend einfachen) Beweis von Satz 5.9 ist wie in
Abschnitt 1.2 ein Faltungsoperator, genauer, sogar eine Variation des Fejér–Kerns aus (1.13):
Für n ∈ N ist der n–te Jackson–Kern definiert als
Jn(x) := µ ′ n F 2 n sin 2
n−1(x) = µn
x
sin 1
2x 4 , µn > 0, x ∈ T, (5.13)
wobei µn so gewählt werden soll, daß
T Jn(t) dt = 1. Ein Plot der Jackson–Kerne ist nicht
besonders aufregend: Er hat eigentlich nur einen “Peek” an der Stelle x = 0, der “oszillierende”
Teil wird praktisch unsichtbar.
Lemma 5.10 Es gibt Konstanten Mk > 1, k = 0, 1, 2, so daß
M −1
k n−k ≤
π
t
0
k Jn(t) dt ≤ Mk n −k , k = 0, 1, 2. (5.14)
Beweis: Da die Funktion sin x/2 auf [0, π] konkav ist, ist für x ∈ [0, π]
also
x
π
= π − x
π
Somit ist für n ∈ N
n sin 2
T
t
sin 1
2t 4 dt = 2
und ganz analog
das heißt
π
0
= n3 π 4
4
T
sin 0 + x
π
x
π
≤ sin x
2
4
n sin 2 t
sin 1
2t nπ/2
sin t
0
π
sin ≤ sin
2 =1
x
2 =
t
x/2
0
cos t
≤1
dt ≤ x
2 ,
x
≤ , x ∈ [0, π]. (5.15)
2
dt ≤ 2
4
n sin 2 t
sin 1
2t 4 dt ≥ 4 n 3
π
0
n sin 2 t
1
πt dt ≤ n3 π 4
4
π/2
m 4n 3 ≤ µ −1
n ≤ M n3π4 4
dt = 4
n π4
4 ∞
sin t
dt
0 t
=:M0
dt,
nπ/2
0
sin t
4
, n ∈ N. (5.16)
Somit ist für k = 0, 1, 2 und n ∈ N
t
T
k Jn(t) dt =
µn t
T
k
n sin 2 t
sin 1
2t 4 dt ≤ 2π 4 π
µn t
0
k
n sin 2 t
=
4 dt
t
2π 4
π n sin 2
µn
0
t 4
t4−k 4π4 1
≤
n 4mn3
n
4−k nπ/2
sin
2 0
4 ≤
t
dt
t4−k n −k 2k−4π4 ∞
sin
m 0
4 t
dt
t4−k