Approximationstheorie

96 5 APPROXIMATIONSORDNUNG
5.2 Trigonometrische Polynome I: Stetige Funktionen
Da also die Approximationsgüte E ∗ n(f) für n → ∞ beliebig schnell und beliebig langsam gegen
Null konvergieren kann, ist es jetzt an der Zeit, sich mal mit der Frage zu beschäftigen, wie man
Funktionen an der Konvergenzrate von E ∗ n erkennen kann und umgekehrt.
Definition 5.7 Eine Funktion f ∈ C(T) ist lipschitzstetig113 von der Ordnung 0 < α < 1,
wenn
sup
x=x ′ |f(x) − f (x
∈T
′ )|
|x − x ′ | α < ∞,
was wir auch als f ∈ C α (T) schreiben werden.
Wir können Lipschitzstetigkeit auch durch den Stetigkeitsmodul ausdrücken und erhalten dann,
daß für 0 < α < 1
f ∈ C α (T) ⇐⇒ sup δ
δ>0
−α ω (f, δ) < ∞. (5.10)
Und in der Tat ist es in erster Linie mal Lipschitzstetigkeit, die für die Konvergenzrate der
Approximationsgüte verantwortlich ist.
Satz 5.8 Für 0 < α < 1 und f ∈ C(T) ist
f ∈ C α (T) ⇐⇒ sup n
n∈N
α E ∗ n(f) < ∞. (5.11)
Wir werden den Beweis in zwei Teilen anpacken, indem wir zuerst in 5.3 die Richtung “⇒” zeigen,
die sogenannten Jackson–Sätze, und uns dann in 5.4 die Richtung “⇐”, auch als Bernstein–
Sätze bekannt, vorknüpfen.
5.3 Trigonometrische Polynome II: Jackson–Sätze
Legen wir also los! Das erste Resultat, die Beschränkung der Approximationsgüte durch den
Stetigkeitsmodul, geht auf Jackson 114 [32] zurück, siehe auch [33].
Satz 5.9 (Jackson–Satz)
Es gibt eine Konstante M > 0, so daß für alle f ∈ C(T) und n ∈ N0 die Ungleichung
E ∗
n(f) ≤ M ω f, 1
n
gilt.
(5.12)
113Rudolf Lipschitz, 1832–1903, Beiträge zu Fourierreihen, algebraischer Zahlentheorie, partiellen Differentialgleichungen
und Potentialtheorie.
114Dunham Jackson, 1888-1946, die Resultate enstanden im Rahmen seiner von Landau betreuten Dissertation.
Schrieb eines der ersten Bücher über Approximationstheorie, [33].