Approximationstheorie

5.1 Ein Satz von Bernstein 95
Beweis: Wir wählen f = 0 in Teil 2) von Lemma 5.5, dann ist En+1(f) = 0 und es gibt eine
Konstante γn+1, so daß
E ∗
n f + γn+1 cos(n + 1)(·)
= εn.
Mit demselben Argument gibt es, für k = n − 1, . . . , 0, Konstanten γk+1, so daß
εk = E ∗
k fk+1 + γk+1 cos(k + 1)(·)
=:fn
Da außerdem fk+1 − fk ∈ Tk+1 ist zudem für ℓ > k
E ∗ ℓ (fk) = E ∗ ℓ
ℓ−1
fk +
∈Tℓ
=:fk
fj+1 − fj
j=k
∈Tj+1⊂Tℓ
weswegen das so konstruierte f0 ∈ Tn+1 die Forderungen
E ∗ k (f0) = εk, k = 0, . . . , n,
erfüllt. Schließlich setzen wir t = f0 − t ∗ 0 (f0), so daß
= E ∗ ℓ (fℓ) = εℓ,
t = f0 − t ∗ 0 (f0) = E ∗ 0 (f0) = ε0
ist.
Und nun haben wir eigentlich fast alle Hilfsmittel für den Beweis von Satz 5.3 beisammen –
alle, bis auf eines, das wir aber in Abschnitt 5.4, genauer in Satz 5.13 beweisen werden, nämlich,
daß
ω (f, δ) ≤ M δ
⌊δ −1 ⌋
j=0
E ∗ j (f), δ > 0, f ∈ C(T), (5.9)
wobei die Konstante M von f und δ unabhängig ist.
Beweis von Satz 5.3: Für n ∈ N konstruieren wir nach Art von Proposition 5.6 trigonometrische
Polynome tn ∈ Tn+1, n ∈ N0, so daß
E ∗ k (tn) = εk, k = 0, . . . , n, und E ∗ n+1 (tn) = E ∗ n+2 (tn) = · · · = 0.
Da tn = ε0 und da für jedes δ > 0 und n ∈ N0
ω (tn, δ) ≤ Mδ
⌊δ −1 ⌋
j=0
E ∗ j (tn) ≤ M δ
∈{εj,0}
⌊δ −1 ⌋
j=0
εj
→0
ist die Folge tn gleichmäßig beschränkt und gleichgradig stetig 111 , daher enthält sie nach dem
Satz von Arzela–Ascoli 112 eine Teilfolge, die gleichmäßig gegen das gesuchte f ∈ C(T) konvergiert.
111 Auch als “gleichstetig” bezeichnet.
112 “Grundwissen Analysis”? Siehe beispielsweise [30, Satz 106.2, S. 563].
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