Approximationstheorie

94 5 APPROXIMATIONSORDNUNG
Beweis: Mit (5.6) und (5.3) erhalten wir für λ, λ ′ ∈ R, daß
|ψ (λ) − ψ (λ ′ )| = |E ∗ n (f + λg) − E ∗ n (f + λ ′ g)| ≤ E ∗ n (f + λg − f − λ ′ g)
= |λ − λ ′ | E ∗ n(g),
woraus die Stetigkeit unmittelbar folgt.
Übung 5.1 Zeigen Sie, daß für f, g ∈ C(T) die Ungleichung
E ∗ n(f − g) ≥ |E ∗ n(f) − E ∗ n(g)| , n ∈ N0, (5.6)
gilt.
Hinweis: Beweis von (5.3). ♦
Lemma 5.5 Sei f ∈ C(T) gerade.
1. Es gibt Konstanten λn, n ∈ N0, so daß
E ∗ n (f + λn+1 cos(n + 1) (·)) = E ∗ n+1(f), n ∈ N0. (5.7)
2. Zu jedem ε ≥ E ∗ n+1(f) gibt es ein γ ∈ R, so daß
En (f + γ cos(n + 1) (·)) = ε. (5.8)
Beweis: Da E∗ n(f) = E∗ n(f + p) für jedes p ∈ Tn, erhalten wir mit t∗ n+1 aus (5.5), daß
E ∗ n+1(f) = E ∗ ∗
n+1 f − an+1,n+1 cos(n + 1)(·) ≤ E ∗ ∗
n f − an+1,n+1 cos(n + 1)(·)
= E ∗
∗
n f − tn+1 ≤ f ∗
− t ∗
n+1 = En+1(f), also ist λn+1 := −a ∗ n+1,n+1 die gesuchte Konstante in 1).
Für 2) betrachten wir die Funktion
ψ(λ) = E ∗ n (f + λ cos(n + 1) (·)) ,
die, nach Teil 1), ψ (λn+1) = E ∗ n+1(f) ≤ ε erfüllt. Und da cos(n + 1)x ∈ Tn+1 \ Tn, ist
lim ψ(λ) = ∞,
λ→∞
und wegen der in Lemma 5.4 bewiesenen Stetigkeit von ψ muß auch ein γ geben, an dem ψ den
Zwischenwert ε annimmt.
Nun formulieren und beweisen wir Satz 5.3 für endliche Folgen ε0 ≥ · · · ≥ εn – allerdings
gleich noch mit einer “Nebenbedingung”.
Proposition 5.6 Für jede Wahl von ε0 ≥ · · · ≥ εn ≥ 0 gibt es ein gerades trigonometrisches
Polynom t ∈ Tn+1, so daß
E ∗
εk,
k (t) =
0,
0 ≤ k ≤ n,
k ≥ n + 1,
k ∈ N0,
und t = ε0.