Approximationstheorie

5.1 Ein Satz von Bernstein 93
Bemerkung 5.2 Die Approximationsgüten E (∗)
n (f) sind subadditiv und positiv homogen bezüglich
f: Für f, g ∈ C(T) und λ ∈ R ist
E (∗)
n (f + g) ≤ E (∗)
n (f) + E (∗)
n (g) und E (∗)
n (λf) = |λ| E (∗)
n (f). (5.3)
Denn: Ist p Element bester Approximation von f und q Element bester Approximation von g,
dann ist
E (∗)
n (f + g) ≤ f + g − (p + q) ≤ f − p + f − q = E (∗)
n (f) + E (∗)
n (g),
und da λp die Bestapproximation zu λf ist 109 , ist
E (∗)
n (λ f) = λ f − λ p = |λ| f − p = |λ| E (∗)
n (f).
Da Tn ⊂ Tn+1 bzw. Πn ⊂ Πn+1 gilt, sind E ∗ n(f) und En(f) für jedes f ∈ C(T) bzw.
f ∈ C(I), monoton fallende Nullfolgen, letzteres aufgrund der Dichtheitsaussagen. Wir werden
uns in diesem Kapitel mit der Frage beschäftigen, für welche Funktionen diese Nullfolgen
wie schnell gegen Null konvergieren und, umgekehrt, welche Schlüsse man aus “schneller”
Konvergenz ziehen kann.
5.1 Ein Satz von Bernstein
Unsere erste Aussage wird ein Satz von Berstein aus dem Jahre 1938 sein, der uns sagt, daß
beliebig gute und beliebig schlechte Approximationsordnung möglich sind.
Satz 5.3 Zu jeder monoton fallenden Nullfolge εn, n ∈ N0, gibt es eine gerade Funktion f ∈
C(T), so daß
E ∗ n(f) = εn, n ∈ N. (5.4)
Der Beweis beruht auf einer Folge von einfachen Beobachtungen, die wir in ein paar Lemmata
zusammenstellen wollen. Aus Übung 3.10 wissen wir ja schon, daß eine gerade Funktion auch
eine gerade Bestapproximation haben muß, ist also f gerade, dann ist die 110 Bestapproximation
t ∗ n, definiert durch E ∗ n(f) = f − t ∗ n, auch eine gerade Funktion, was heißt, daß
t ∗ n(x) = a∗ n,0
2 +
n
j=1
Lemma 5.4 Für f, g ∈ C(T) ist die Funktion
stetig in λ.
109 Man denke nur an den Alternatensatz, Satz 3.24.
110 Wir haben es ja mit einem Haar–Raum zu tun!
a ∗ n,j cos jx, x ∈ T. (5.5)
ψ(λ) = E ∗ n (f + λg) , λ ∈ R,