Approximationstheorie

92 5 APPROXIMATIONSORDNUNG
There’s probably a smart way to play
this, but I just can’t think of it at the
moment.
R. Chandler, Trouble is my business
Approximationsordnung 5
In diesem Kapitel beschäftigen wir uns jetzt endlich mit der quantitativen Approximationstheorie,
genauer gesagt, mit der Frage, wie schnell die (trigonometrisch) polynomialen Bestapproximationen
einer Funktion gegen diese Funktion konvergieren und was die Konvergenzraten
über die Funktion aussagen, denn daß diese Bestapproximationen konvergieren, das wissen wir
ja von den Dichtheitsaussagen, z.B. aus Satz 2.7 (Stone–Weierstraß). Die “harte” Approximationstheorie,
die wir in diesem Kapitel betreiben wollen und die ohne technische Abschätzungen
leider nicht auskommt, ist auch durch numerische Anwendungen motiviert, wo es immer wieder
darum geht, aus der Approximierbarkeit gewisser Funktionen auf die Qualität eines Verfahrens
zu schliessen. Doch zuerst einmal ein klein wenig Notation.
Definition 5.1 Sei 107 I = [−1, 1];
1. Mit 108
Tn := span R {1, cos x, sin x, . . . , cos nx, sin nx}
bezeichnen wir die trigonometrischen Polynome vom Grad ≤ n und mit
Πn := span R {1, x, . . . , x n }
die algebraischen Polynome vom Grad ≤ n.
2. Die Approximationsgüte von Tn bzw. Πn in C(T) bzw. C(I) bezeichnen wir mit
bzw.
E ∗ n(f) := d (f, Tn) = inf f − pT , f ∈ C(T), (5.1)
p∈Tn
En(f) := d (f, Πn) = inf f − pI , f ∈ C(I). (5.2)
p∈Πn
107 Schon wieder ein neues “Standardintervall”! Aber der Grund ist einfach: Um die Resultate für trigonometrische
Polynome auf algebraische Polynome übertragen zu können, werden wir die Variablentransformation
x = cos θ verwenden.
108 Es sei betont, daß es sich hierbei nicht um den lateinischen Buchstaben “T” (großes “t”), sondern um den
griechischen Buchstaben “T” (großes “τ”) handelt!