Approximationstheorie

4.5 Multivariate Bernsteinpolynome 91
1. Der Voronovskaja–Operator für multivariate Bernsteinpolynome hat die Form
und erfüllt
A = 1
2
d
j=0
uj D 2 u−ej
= 1
2
m
i=0
ui
∂ 2
∂ui∂ui
− 1
2
m
i,j=0
uiuj
lim
n→∞ n (Bnf − f) = A f, f ∈ C 2 (Sd) .
∂ 2
∂ui∂uj
2. A ist ein (strikt) elliptischer 104 Differentialoperator zweiter Ordnung im Inneren von Sd,
der degeneriert, wenn man sich dem Rand von Sd nähert, im Inneren dieses Randes 105
aber wieder ein elliptischer Operator in entsprechend weniger Variablen ist.
3. Für jede offene Kugel 106 B, deren Abschluß im Inneren von Sd liegt, ist das Dirichlet–
Problem
eindeutig lösbar.
A φB(f)(u) = 0, u ∈ B, φB(f)(u) = f(u), u ∈ ∂B,
4. Eine Funktion f ∈ C (Sd) heißt subharmonisch in Sd, wenn für jede solche Kugel B
f ≤ φB(f) auf ganz B gilt und subharmonisch auf Sd, wenn sie subharmonisch in Sδ,
δ ∈ {0, 1} d+1 ist – das ist eine echt stärkere Bedingung.
5. Man kann nun praktisch genau wie im Beweis “5) ⇒ 1)” von Satz 4.19 zeigen, daß
lim sup n (Bnf − f) (u) ≥ 0, u ∈ Sd =⇒ f subharmonisch auf Sd.
n→∞
6. Die Vermutung ist nun naheliegend: Subharmonizität auf Sd ist die gesuchte Verallgemeinerung
der Konvexität . . .
7. Dies kann man auch tatsächlich für sehr nah verwandte Approximationsoperatoren zeigen,
nämlich sogenannte Bernstein–Durrmeyer–Operatoren, bei denen anstelle der Punkauswertungsfunktionale
Integralmittel verwendet werden:
f
α
→
n
S [α]
f(x)Bα(x) dx,
natürlich mit geeigneter Normierung, so daß die konstante Funktion wieder alle Koeffizienten
mit Wert 1 liefert. S[α] ist dabei die durch die von Null verschiedenen Koeffizienten
von α indizierte gegebenefalls niederdimensionale Seite von Sd.
104 Was auch immer das ist. Nachschlagen kann man’s beispielsweise in [25].
105 Also einige uj = 0, der Rest > 0.
106 Im intuitiv baryzentrischen Sinne, was auch immer das nun schon wieder ist.