Approximationstheorie

90 4 MEHR ÜBER BERNSTEINPOLYNOME
Mit (4.30) ist schließlich
f (u) = f u k,k ≥ λk−1 f u k−1,k−1 + (1 − λk−1) f u k,k−1
.
≥
k
ℓ=0
λℓ
ℓ−1
(1 − λℓ) f u ℓ,0 =
j=0
k
vj f u j ,
also gerade (4.28).
Die Umkehrung folgt trivialerweise aus dem Fall k = 1.
Leider reicht aber Achsenkonvexität trotzdem nicht; es war wieder einmal Schmid, der ein
Beispiel für folgende Aussage angab:
Es gibt ein Polynom p, das nicht achsenkonvex ist, aber Bnp ≥ Bn+1p erfüllt.
Was diese Umkehrung ist, das weiß man zwar 100 , man kann’s aber (noch) nicht beweisen. Was
noch recht einfach ist, sind die sogenannten Umkehrsätze für Konvexität.
Satz 4.36 Erfüllt f ∈ C (Sd) die Bedingung Bnf ≥ f, so nimmt f sein Maximum in einem
Eckpunkt von Sd an.
Solche Umkehrsätze sind motiviert durch die Tatsache, daß konvexe Funktionen auf Sd diese
Eigenschaft haben 101 ; ein solches Resultat wurde zuerst in [12] für den bivariaten Fall angegeben
102 , dann von Dahmen und Micchelli in [14] mit anderen Methoden, sogenannten Operatorhalbgruppen
103 , für beliebig viele Variablen behandelt; der vereinfachte Beweis, den wir hier
angeben, stammt aus [65].
Beweis von Satz 4.36: Angenommen, f hätte sein Maximum an einer Stelle x ∗ im Inneren von
Sd. Dann ist
f (x ∗ ) = f (x ∗ )
Bα =
α∈Γn
f (x
α∈Γn
∗ )
≥f( α
n)
=1
j=0
Bα > Bnf (x ∗ ) ,
da für alle α mit αj = 0 für ein j ja “>” gelten muß. Also muß f sein Maximum auf dem Rand
annehmen. Mit (4.22) können wir dasselbe Argument auf den Rand anwenden und kommen so
in die Ecken.
Ganz zum Schluß noch schnell die Antwort auf die Frage: “Und was ist nun die Beschreibung
der monotonen Konvergenz?”.
100 Es handelt sich um eine Form von Subharmonizität, in “lesbarster” Form sind diese Fakten wohl in [68] zu
finden, auch wenn das hier wie Eigenwerbung klingen mag. Vielleicht ist’s ja aber auch eine . . .
101 Wie übrigens auch subharmonische Funktionen [61] oder subharmonische Funktionen bezüglich strikt elliptischer
Differentialoperatoren zweiter Ordnung, siehe [25].
102 Im Anhang dieser Arbeit findet sich die Bemerkung, es würde bereits ein Kollege der beiden Autoren den
trivariaten Fall behandeln, was technisch aber sehr viel schwieriger sei – wie sowas weitergehen kann, das läßt
sich leicht an den Fingern erst einer, dann beider Hände abzählen . . .
103 Eine Operatorhalbgruppe ist eine Familie Tt, t ∈ R+ von Operatoren, die die Eigenschaft haben, daß sich die
Halbgruppenoperation “+” in R+ auf die Operatoren überträgt, das heißt, daß TsTt = Ts+t, s, t ∈ R+ ist. Solche
Operatoren besitzen eine Vielzahl von interessanten Eigenschaften, insbesondere auch im Approximationskontext,
siehe [11].