Approximationstheorie

4.5 Multivariate Bernsteinpolynome 89
Beweis: Wir beweisen (4.28) für den Fall, daß vj > 0, j = 0, . . . , k, der Rest folgt aus Gründen
der Stetigkeit. Damit sind die Zahlen
wohldefiniert, erfüllen
λj =
λj > 0 und 1 − λj =
und wir können die Punkte
mittels der Rekursion
vj
, j = 0, . . . , k,
1 − v0 − · · · − vj−1
=vj+1+···+vk
1 − v0 − · · · − vj
1 − v0 − · · · − vj−1
u ℓ,j , j = 0, . . . , k, ℓ = j, . . . , k,
initialisiert mit u ℓ,0 = u ℓ , ℓ = 0, . . . , k, einführen. Wegen
≥ 0, also 0 < λj ≤ 1,
u ℓ,j+1 := λju j,j + (1 − λj) u ℓ,j , (4.29)
u ℓ,j+1 − u ℓ′ ,j+1 = λju j,j + (1 − λj) u ℓ,j − λju j,j − (1 − λj) u ℓ′ ,j = (1 − λj)
u ℓ,j − u ℓ′
,j
ergibt sich per Induktion, daß jede Kante u ℓ,j − u ℓ′ ,j , ℓ, ℓ ′ = j, . . . , k, j = 0, . . . , k, parallel zu
einer Achse von Sd ist und somit ist für j = 0, . . . , k − 1 und ℓ = j + 1, . . . , k
f u ℓ,j+1 = f λju j,j + (1 − λj) u ℓ,j ≤ λjf u j,j + (1 − λj) f u ℓ,j . (4.30)
Da außerdem für ℓ = 0, . . . , k
ist
λℓ
ℓ−1
vℓ
(1 − λj) =
1 − v0 − · · · vℓ−1
j=0
ℓ−1
j=0
1 − v0 − · · · − vj
1 − v0 − · · · vj−1
u k,k = λk−1 u k−1,k−1 + (1 − λk−1) u k,k−1
= λk−1 λk−2u k−2,k−2 + (1 − λk−2)u k−1,k−2
+ (1 − λk−1) λk−2 u k−2,k−2 + (1 − λk−2) u k,k−2
= vℓ,
= λk−2u k−2,k−2 + (1 − λk−1) λk−2 u k−1,k−2 + (1 − λk−1) (1 − λk−2) u k,k−2
.
=
k
ℓ=0
λℓ
ℓ−1
(1 − λℓ) u ℓ,0
=
j=0
=vℓ
=u ℓ
k
j=0
vj u j = u.