Approximationstheorie

88 4 MEHR ÜBER BERNSTEINPOLYNOME
wobei
also
∆yf(u) := f(u + y) − f(u), u ∈ Sd, y ∈ Dd,
D 2 ej−ek
= |α| (|α| − 1)
α∈Γn−2
∆ 2 (ej−ek)/nf
α + 2ek
Bα, (4.27)
n
was ≥ 0 ist, wenn f achsenkonvex ist, siehe Übung 4.14.
Um schließlich 3) zu beweisen, beginnen wir genau so wie beim Beweis von Satz 4.30, das
heißt, wir wenden die Graderhöhungsformel auf Bnf an und erhalten (4.25). Nur müssen wir
jetzt etwas sorgfältiger argumentieren! Die entscheidende Beobachtung hierbei ist, daß die Sim-
plizes
∆α =
α − ej
n
: j = 0, . . . , d , α ∈ Γn+1
achsenparallel ist, das heißt, alle ihre eindimensionalen Kanten
α − ek
n
α − ej
−
n = ej − ek
, j, k = 0, . . . , d,
n
sind parallel zu den Achsen von Sd. Und für achsenparallele Simplizes gilt eine besondere
Variante der Jensen–Ungleichung (4.24), die wir gleich in Lemma 4.34 kennenlernen werden
und die den Beweis komplettiert.
Übung 4.14 Zeigen Sie: f ∈ C (Sd) ist genau dann achsenkonvex, wenn
∆ 2 h(ej−ek)f (u) ≥ 0, u + h(ej − ek) ∈ Sd, j, k = 0, . . . , d.
Lemma 4.34 [67]
Eine Funktion f ∈ C (Sd) ist genau dann achsenkonvex wenn
f
k
j=0
vj u j
≤
k
vj f u j , v ∈ Sk, (4.28)
für alle Punkte u 0 , . . . , u k , die ein achsenparalleles Simplex aufspannen.
j=0
Bemerkung 4.35 Gleichung (4.28) erinnert sehr stark 99 an die Konvexkombinationen aus Definition
3.12. In der Tat ist eine Funktion konvex , wenn (4.28) für alle Punkte gilt, die dann
natürlich trivialerweise ein Simplex bilden. Achsenkonvexität liegt vor, wenn wir uns dabei auf
achsenkonvexe Simplizes beschränken.
99 Naja, wenn man bedenkt, daß es sich ja auch hier um eine Konvexitätseigenschaft handelt, dann ist das viel-
leicht nicht ganz so überraschend.
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