Approximationstheorie

1.2 Ein historisches Beispiel: Summation von Fourierreihen 7
schon tröstlich, daß Weierstraß 5 in 1885 [85] zeigen konnte, daß, auch wenn es mit den Partiasummen
nicht funktioniert, man jede Funktion f ∈ C(T) beliebig genau durch trigonometrische
Polynome annähern, also approximieren kann. Und schon war die Approximationstheorie
geboren 6 .
Definition 1.6 Ein trigonometrisches Polynom der Ordnung n ∈ N0 ist eine Funktion f ∈
C(T) der Form
f(x) = a0
2 +
n
aj cos jx + bj sin jx, x ∈ T.
j=1
Satz 1.7 (Weierstraß’scher Approximationssatz für trigonometrische Polynome)
Zu jeder Funktion f ∈ C(T) und jedem ε > 0 gibt es ein trigonometrisches Polynom p, so daß
f − p < ε. (1.7)
So, jetzt aber an die Arbeit! Wir müssen diese beiden Sätze natürlich auch beweisen und
dafür brauchen wir noch ein bißchen Terminologie, nämlich den Begriff der Faltung und des
Kerns.
Definition 1.8 (Faltungen und Kerne)
1. Für f, g ∈ C(T) ist die Faltung f ∗ g definiert als
f ∗ g :=
π
−π
f(t) g (· − t) dt =
π
−π
f (· − t) g(t) dt. (1.8)
2. Eine Funktion 7 K ∈ C(T) heißt Kern zu einem (Faltungs-)Operator κ wenn
3. Der Kern Dn zu dem Operator
heißt n–ter Dirichlet 8 –Kern.
κ(f) = f ∗ K, f ∈ C(T).
σn(f) = f ∗ Dn n ∈ N0, f ∈ C(T),
5Karl Weierstraß, 1815–1897, gilt auch als Erfinder der “Epsilontik”, also der Form, wie Analysis heute normalerweise
präsentiert wird: “Sei ε > 0 . . .”
6Na gut, so einfach ist’s natürlich nicht! Immerhin hat Tchebycheff schon Bestapproximationen berechnet,
bevor der Approximationssatz von Weierstraß veröffentlicht wurde.
7Wir haben es hier nur mit stetigen Kernen zu tun. Stetigkeit ist aber nicht essentiell und kann beispielsweise
zu Betragsintegrierbarkeit abgemildert werden.
8Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet, 1805–1859, deutsch–französischer Mathematiker belgischer Abstam-
mung, Schwager von Felix Mendelssohn.