Approximationstheorie

4.5 Multivariate Bernsteinpolynome 87
Bernsteinpolynome in zwei Variablen erhalten Konvexität nicht mehr, genauer: Das
Bernsteinpolynom zu |u1 − u2| ist nicht konvex.
Was also tun? Konvexität ist offenbar nicht die “richtige” Eigenschaft, da eine nichtlineare Eigenschaft;
also nehmen wir was anderes, eine Definition, die ebenfalls auf Schmid zurückgeht.
Definition 4.32 [73, 64, 13, 66, 67]
Eine Funktion f ∈ C (Sd) heißt achsenkonvex 98 , wenn sie konvex in die Richtungen y = ej−ek,
j, k = 0, . . . , d, ist.
Und in der Tat sieht Achsenkonvexität eigentlich recht vielversprechend aus.
Satz 4.33 1. Eine Funktion f ∈ C 2 (Sd), ist genau dann achsenkonvex, wenn
D 2 ej−ek f(u) ≥ 0, u ∈ Sd.
2. Eine Funktion f ist genau dann achsenkonvex, wenn Bnf für alle n ∈ N0 achsenkonvex
ist.
3. Ist f achsenkonvex, dann ist Bnf ≥ Bn+1f.
Beweis: Für 1) brauchen wir nur zu sehen, daß
f (u + ty + hy) − f (u + ty)
Dyf (u + ty) = lim
h→h
h
= d
f (u + ty) ,
dt
also ist f ∈ C 2 (Sd) genau dann richtungskonvex in Richtung y ∈ Dd, wenn
0 ≤ d2
dt 2 f (u + ty) = D2 yf (u + ty) , u + ty ∈ Sd,
und wenn wir t = 0 setzen, dann erhalten wir die Behauptung.
Für 2) brauchen wir wieder Ableitungen von Bernsteinpolynomen. Da, für j = 0, . . . , d,
∂
|α|!
Bα(u) =
∂uj α0! · · · αd! αj u α−ej
|α|
= |α| u
α − ej
α−ej = |α| Bα−ej (u), (4.26)
ist
Dej−ek Bnf =
α
f |α|
n
α∈Γn
Bα−ej − Bα−ek
= |α|
α + ej α + ek
f − f
n
n
α∈Γn−1
=: |α|
α + ek
∆(ej−ek)/nf Bα,
n
α∈Γn−1
98 Der Name kommt daher, daß die Kanten des Simplex auch als “Achsen” bezeichnet werden können, insbesondere,
wenn man das Simplex im R d so legt, daß v0 = 0 und vj = ej, j = 1, . . . , d, ist.
Bα