Approximationstheorie

86 4 MEHR ÜBER BERNSTEINPOLYNOME
Satz 4.30 Ist f ∈ C (Sd) konvex, so ist Bnf ≥ Bn+1f.
Beweis: Für α ∈ Γn+1 ist
d
j=0
weswegen
αj α − ej
n + 1 n
=
=
α
n(n + 1)
α
n + 1
Bnf − Bn+1f =
α∈Γn+1
d
j=0
αj
=|α|=n+1
1
−
n(n + 1)
d
j=0
αj ej
=α
1
= α
n −
1
n(n + 1)
= n 1
= n(n+1) n+1
d
αj
n + 1
j=0
f
α − ej α
− f
n n + 1
Bα ≥ 0 (4.25)
≥0
ist.
Die Konvexität glatter Funktionen können wir nun recht einfach beschreiben.
Lemma 4.31 Eine Funktion f ∈ C2 (Sd) ist genau dann (strikt) konvex, wenn die baryzentrische
Hesse–Matrix
∂
Hf =
2
f : j, k = 0, . . . , d
∂uj ∂uk
(strikt) bedingt positiv definit ist.
Beweis: Für u ∈ Sd und y ∈ Dd betrachten wir die Funktion
Fy(t) := f (u + ty) , t ∈ I ⊂ R,
die zu C 2 (I) gehört. Nun ist f genau dann konvex, wenn F ′′
y (t) ≥ 0 für alle y ∈ Dd ist, also
genau dann wenn
0 ≤ d2
dt 2 f (u + ty) = yT (Hf) y (u + ty) ,
was genau die Behauptung ist.
Und hier haben wir den Salat: In zwei und mehr Variablen ist Konvexität eine nichtlineare
Eigenschaft der zweiten Ableitung(en) und das muß ganz einfach für Schwierigkeiten sorgen,
denn unser wesentliches Hilfsmittel waren ja Satz 4.2 und Lemma 4.4, die uns sagen, daß jede
Eigenschaft, die man über Linearkombinationen von Ableitungen beschreiben kann, von Bernsteinpolynomen
erhalten wird. Und tatsächlich war die folgende Beobachtung von Schmid [73],
siehe [64], eine recht unerfreuliche Überraschung 97 :
97 Zumal Popoviciu in einer Arbeit behauptet hatte, daß auch in zwei und mehr Variablen Bernsteinpolynome
“offensichtlich” Konvexität erhalten würden, was wieder einmal zeigt, daß man einerseits keinem trauen soll und
andererseits schon gar nicht, wenn jemand behauptet, daß es “offensichtlich” richtig wäre.