Approximationstheorie

4.5 Multivariate Bernsteinpolynome 85
Proposition 4.28 Es ist
fα Bα =
α∈Γn
Beweis: Mit
α∈Γn+1
α∈Γn+1
fα Bα =
α∈Γn+1 j=0
=
α∈Γn
fα
fα Bα, ⇐⇒ fα =
d
d
j=0
αj
n + 1 fα−ej Bα =
αj + 1
n + 1
α∈Γn
d
j=0
fα
αj
n + 1 fα−ej , α ∈ Γn+1. (4.23)
d
j=0
αj + 1
n + 1 Bα+ej
(n + 1)!
α0! · · · (αj + 1)! · · · αd! uα+ej =
d
j=0
uj
=1
α∈Γn
fα Bα
folgt die Behauptung.
Um unseren Beweis des “o”–Resultats auf den multivariaten Fall übertragen zu können, brauchen
wir natürlich Information inwieweit Konvexität und monotone Konvergenz miteinander
zu tun haben. Dazu sollten wir erst einmal klären, was Konvexität genau bedeutet und noch ein
paar andere Konvexitätsbegriffe einführen.
Definition 4.29 1. Ein Vektor y ∈ Rd+1 heißt Richtung in Sd, wenn es Punkte u, u ′ ∈ Sd
gibt, so daß u ′ = u + y, also y = u ′ − u. Mit
Dd =
y ∈ R d+1 :
bezeichnen wir die Menge aller Richtungen in Sd.
d
yj = 0
2. Eine Funktion f ∈ C (Sd) heißt richtungskonvex in Richtung y ∈ Dd, wenn
j=0
t f (u + y) + (1 − t) f(u) ≥ f (u + ty) , t ∈ [0, 1],
und konvex, wenn sie richtungskonvex in alle Richtungen y ∈ Dd ist.
3. Eine Matrix A ∈ R d+1×d+1 heißt bedingt positiv definit 96 , wenn
y T Ay ≥ 0, y ∈ Dd.
Übung 4.13 Zeigen Sie: f ∈ C (Sd) ist genau dann konvex, wenn für alle k ≥ 0
k
f vj u j
k
≤ vj f u j , v ∈ Sk, u 0 , . . . , u k ∈ Sd. (4.24)
j=0
j=0
Man bezeichnet (4.24) manchmal auch als Jensensche Ungleichung. ♦
Und schon fällt uns ein Teilresultat von Satz 4.19 in den Schoß.
96 Der englische “Originalbegriff” lautet conditionally positive definite.