Approximationstheorie

84 4 MEHR ÜBER BERNSTEINPOLYNOME
4. Zu f ∈ C (Sd) ist das n–te Bernsteinpolynom Bnf definiert als
Bnf =
α
f Bα.
n
α∈Γn
Bemerkung 4.27 Definition 4.26 ist eine echte Verallgemeinerung von d = 1: Im Falle des
Standardsimplex I = [0, 1] ist u = u(x) = (1 − x, x) und α = (n − j, j).
Betrachtet man einmal beispielsweise ein dreidimensionales Simplex, so stellt man fest, daß
seine Seiten Dreiecke, also zweidimensionale Simplizes, und die Seiten dieser Seiten Streckenzüge,
also eindimensionale Simplizes, sind. Außerdem sind Punkte ja auch noch nulldimensionale
Simplizes. Solche Teilsimplizes können wir adressieren über δ ∈ {0, 1} d+1 , indem wir
Sδ := {u ∈ Sd : u ≤ δ} S|δ|−1
einführen, siehe Abb 4.4. Dann ergibt sich die “Lokalitätsformel” für multivariate Bernstein-
polynome
S(1,0,1)
S(1,0,0)
v(0)
v(2)
S(1,1,0)
S(0,0,1)
S(1,1,1)
S(0,1,1)
v(1)
S(0,1,0)
Abbildung 4.4: Ein zweidimensionales Simplex (=Dreieck) und die entsprechenden Subsimplizes
Sδ.
(Bnf)| Sδ
d+1
= Bn f|Sδ , δ ∈ {0, 1} , (4.22)
wobei das Bensteinpolynom auf der rechten Seite eines in |δ| − 1 Variablen ist. Und wirklich –
dieses “Innen–Rand”–Verhalten ist der Schlüssel zum Verständnis multivariater Bernsteinpolynome.
Übung 4.12 Zeigen Sie: Sind δ1, . . . , δn ∈ {0, 1} d+1 , dann gilt
n
δ = δj =⇒ Sδ = Sδj : j = 0, . . . , n ,
j=1
wobei ∨ das komponentenweise Maximum und [·] die konvexe Hülle bezeichnet. ♦
Um schon einmal einen Vorgeschmack dafür zu erhalten, wie schön man mit baryzentrischen
Koordinaten rechnen kann, sehen wir uns das Gegenstück der Graderhöhungsformel an.