Approximationstheorie

4.5 Multivariate Bernsteinpolynome 83
u(1)
v(2)
x
u(0)
u(2)
v(0) v(1)
Abbildung 4.3: Geometrische Interpretation der baryzentrischen Koordinaten, dargestellt
für d = 2: Der Punkt x unterteilt Simplex in d + 1 Teilsimplizes [V \ {vj} ∪ {x}], j =
0, . . . , d, und die baryzentrischen Koordinaten sind das Verhältnis des Volumens dieser
Teilsimplizes zum Gesamtvolumen des “großen” Simplex. Daß sich diese Koordinaten zu
1 summieren ist dann ziemlich offensichtlich – hier ist das Ganze eben doch nur die Summe
seiner Teile!
Definition 4.25 Mit
Sd :=
u ∈ R d+1 : uj ≥ 0,
d
uj = 1
bezeichnen wir das Standardsimplex in baryzentrischen Koordinaten.
Ob wir nun Funktionen auf einem beliebigen nichtdegenerierten Simplex ∆ ∈ R d oder gleicht
auf Sd betrachten, das spielt nun, nach Einführung baryzentrischer Koordinaten, eben gerade
keine Rolle mehr.
Definition 4.26 1. Die Länge eines Multiindex α = (α0, . . . , αd) ∈ N d+1
0
2. Mit
|α| =
d
αj.
j=0
j=0
Γn := α ∈ N d+1
0 : |α| = n , n ∈ N0,
bezeichnen wir die Gesamtheit aller (homogenen) Multiindizes der Länge n.
3. Zu α ∈ Γn ist das Bernstein–Bézier–Basispolynom Bα : Sd → R definiert als
Bα(u) =
|α|
α0! · · · αd! uα0
0 · · · u αd
d =:
|α|
α
u α .
ist definiert als