Approximationstheorie

82 4 MEHR ÜBER BERNSTEINPOLYNOME
Satz 4.24 Sei Tn, n ∈ N0, eine Folge positiver Operatoren.
1. Es gilt
lim
n→∞ Tnf − f = 0, f ∈ C(I) ⇐⇒ lim Tnf − f = 0, f ∈
n→∞ 1, x, x 2 .
2. Tn ist saturiert mit Ordnung bestenfalls n −2 .
4.5 Multivariate Bernsteinpolynome
In diesem Kapitel sehen wir uns ein paar dieser Konzepte in mehreren Variablen an, wobei wir
nicht mehr jedes Detail beweisen wollen. Bernsteinpolynome auf Dreiecken und höherdimensionalen
Simplizes wurden unabhängig voneinander von Lorentz in [45] und von Dinghas 95
[19] eingeführt.
Schlägt man sich mit Simplizes im R d herum, ist es immer gut, die sogenannten baryzentrischen
Koordinaten zu verwenden. Was das ist? Nun, seien v0, . . . , vd ∈ R d , dann kann man
(siehe Lemma 3.13) jeder Punkt x ∈ ∆ := [vj : j = 0, . . . , d] als
x =
n
uj(x) vj,
j=0
n
uj(x) = 1, uj(x) ≥ 0, j = 0, . . . , d, (4.21)
j=0
darstellbar. Der Vektor u = u(x) = (uj(x) : j = 0, . . . , n) heißt baryzentrische Koordinaten
(siehe Abb. 4.3) von x bezüglich v0, . . . , vd. Schreibt man (4.21) als lineares Gleichungssystem,
so erhält man, daß ⎡
⎤
⎡ ⎤
1 . . . 1 ⎡ ⎤ 1
⎢ v0,1 . . . vd,1
⎥ u0(x) ⎢
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ x1
⎥
⎢
⎣
..
⎥ ⎣
. . . ⎦
. ⎦ = ⎢ ⎥
⎣ . ⎦
ud(x)
v0,d . . . vd,d
xd
,
was genau dann eindeutig lösbar ist, wenn die Punkte v0, . . . , vd in allgemeiner Lage sind, das
heißt, wenn die Vektoren v1 − v0, . . . , vn − v0 linear unabhängig sind. Denn schließlich ist
⎡
⎤ ⎡
⎤
1 . . . 1
1 0 . . . 0
⎢ v0,1 . . . vd,1
⎥ ⎢
⎥ ⎢ v0,1 v1,1 − v0,1 . . . vd,1 − v0,1
⎥
± (d + 1)! vold(∆) = det ⎢
⎣
.
. ..
⎥ = det ⎢
. ⎦ ⎣
.
. . ..
⎥
. ⎦
v0,d . . . vd,d
v0,d v0,d − v0,d . . . vd,d − v0,d
⎡
⎤
v1,1 − v0,1 . . . vd,1 − v0,1
⎢
= det ⎣
..
⎥
. . . ⎦ ,
v0,d − v0,d . . . vd,d − v0,d
wobei vold(∆) das d–dimensionale Volumen des Simplex ∆ bezeichnet.
95 Alexander Dinghas, 1908–1974, in Izmir geboren und teilweise dort, teilweise (seit 1922) in Athen aufgwachsen.
Beiträge zur Funktionentheorie, insbesondere zur “Nevalinna–Theorie” oder Wachstum subharmonischer
Funktionen, und zur Differentialgeometrie.