Approximationstheorie

4.4 Der Preis: Saturation 81
zur Konvexität einer stetigen 93 Funktion f äquivalent ist.
2. Tatsächlich besteht die Idee darin, eine Funktion an ihrem Maximimum lokal nicht nur
durch eine Gerade, also die “Tangente”, sondern durch eine passend gekrümmte Parabel
zu beschränken, siehe Abb. 4.2.
x0
x’
x1
Abbildung 4.2: Die “Parabelmethode”: Zuerst “quetscht” man die Parabel zwischen die Gerade
und unter die Funktion und dann schiebt man sie an der Stelle, an der der Unterschied
maximal wird, nach oben, so daß sie dort berührt und die Funktion – zumindest lokal –
majorisiert.
Und in der Tat ist die Saturation, die eher gemächliche Konvergenz der Bernsteipolynome ein
Preis, den man unvermeidbar für die “Shape properties” bezahlen muß. Es gilt nämlich das
folgende Resultat von Berens und DeVore [6].
Satz 4.23 Sei Tn : C[0, 1] → Πn eine Folge von polynomialen Operatoren 94 , die Positivität
beliebiger Ordnung erhalten:
x0
f (j) ≥ 0 =⇒ T (j)
n f ≥ 0, n ∈ N.
Dann gibt es ein f ∈ C(I), so daß Bnf ≤ Tnf, n ∈ N, genauer: mit f = (· − x) 2 ist
x(1 − x)
n
mit Gleichheit dann und nur dann, wenn Tn = Bn.
= Bnf(x) ≤ Tnf(x)
Übrigens ist bereits Positivität eines linearen Operators eine ganz schön heftige Einschränkung,
wie die folgenden Resultate von Korovkin zeigen – die eine ganze “Korovkin–Theorie” ausgelöst
haben.
93 Für f ∈ C 2 (I) ist das Ganze ziemlich klar, denn der (symmetrische) Differenzenquotient konvergiert
gleichmäßig gegen f ′′ (x), wie man praktisch sofort aus einer Darstellung entsprechend (4.5) ersieht.
94 Es ist schon wichtig, daß der Grad von Tnf ≤ n ist, denn ansonsten kann man trivialerweise “superschnelle”
Approximationsoperatoren konstruieren, z.B. Tn = B2n oder derartigen Blödsinn.
x’
x*
x1