Approximationstheorie

80 4 MEHR ÜBER BERNSTEINPOLYNOME
also
f (x ′ ) > α f (x0) + (1 − α) f (x1) + ε x ′ (1 − x ′ )
für ein hinreichend kleines ε > 0 – schließlich ist ja x ′ ∈ (0, 1). Sei ℓ ∈ Π1 die lineare
Funktion mit ℓ (xj) = f (xj), j = 0, 1, und
g(x) = ℓ(x) + ε x(1 − x) =⇒ g (x ′ ) < f (x ′ ) , g (xj) > f (xj) , j = 0, 1.
Daher gibt es ein Intervall [a, b] ⊂ [x0, x1], so daß
(f − g) (x) > 0, x ∈ [a, b],
und es gibt eine Stelle x ∗ ∈ [a, b], wo f − g sein erst recht positives Maximum annimmt.
Seien a < a ′ < x ∗ < b ′ < b, dann ist für x ∈ [a ′ , b ′ ]
also
0 > (f − g) (x) − (f − g) (x ∗ ) ,
f(x) < g(x) := g(x) + (f − g) (x ∗ ) und f (x ∗ ) = g (x ∗ ) .
Außerdem setzen wir g außerhalb von [a ′ , b ′ ] zu einer zweimal stetig differenzierbaren
Funktion auf [0, 1] fort, und zwar so, daß g ≥ f gilt – das läßt sich ohne weiteres erreichen.
Jetzt haben wir’s auch schon fast geschafft: Da g ∈ C2 [0, 1], können wir Satz 4.18
anwenden und erhalten, daß
also
lim sup
n→∞
n (Bnf − f) (x ∗ ) ≤ lim sup n
n→∞
Bng (x ∗ ) − f (x ∗ )
=eg(x ∗ )
= x∗ (1 − x∗ )
g
2
′′ (x ∗ ) = x∗ (1 − x∗
2 ) d
εx(1 − x) (x
2 dx2 ∗ )
=−2ε
im Widerspruch zu (4.19).
lim sup (Bnf − f) (x
n→∞
∗ ) < 0,
= lim
n→∞ n (Bng − g) (x ∗ )
= −ε x ∗ (1 − x ∗ ) ,
Bemerkung 4.22 Der zweite Teil des obigen Beweises wird gerne auch als “Parabelmethode”
bezeichnet.
1. Diese Methode geht auf H. A. Schwarz 92 zurück, siehe [28], der diese Idee benutzte, um
zu zeigen, daß
lim sup
h→0 +
f (x + h) − 2f(x) + f(x − h)
h 2 ≥ 0, x ∈ I,
92 Hermann Amandus Schwarz, 1843–1921, ein Schüler von Weierstraß, Professuren in Zürich (ETH) und
Göttingen, bevor er sich 1892 auf der Weierstraß–Nachfolge in Berlin “zur Ruhe setzte” (die Bemerkung stammt
von Bieberbach). Arbeitete unter anderem an der Theorie der Minimalflächen und ist durch die Cauchy–Schwarz–
Ungleichung “verewigt”.