Approximationstheorie

4.4 Der Preis: Saturation 79
Lemma 4.21 Für n ∈ N0 gilt die Graderhöhungsformel 90
n
j=0
fj B n j =
n+1
j=0
fj B n+1
j , fj =
Beweis: Wir rechnen einfach nach, daß
n+1
j=0
=
=
=
fj B n+1
n+1
j (x) =
n
j=0
n
j=0
n
j=0
n + 1 − j
n + 1
n + 1 − j
n + 1
j=0
n + 1 − j
n + 1
fj B n+1
j (x) +
fj
n + 1 − j
n + 1
((1 − x) + x) fj B n j (x) =
fj + j
n + 1 fj−1, j = 0, . . . , n + 1. (4.20)
fj + j
n + 1 fj−1
n
j=0
j + 1
n + 1 fj B n+1
j+1 (x)
n + 1
n + 1 − j (1 − x) Bn j (x) +
n
j=0
fj B n j (x),
n
j=0
B n+1
j (x)
j + 1
n + 1 fj
n + 1
j + 1 x Bn j (x)
gilt 91 .
Beweis von Satz 4.19: Die Äquivalen z von 1) und 2) haben wir ja schon (Korollar 4.10),
außerdem ist 3) =⇒ 4) =⇒ 5) trivial, so daß nur noch zwei Sachen zu beweisen bleiben:
1) ⇒ 3): Mit αj = j
n+1 ist
αj
j − 1
n
+ (1 − αj) j
n
j αj
= −
n n
= (n + 1)j − j
n(n + 1)
= j
n + 1 ,
weswegen mit der Graderhöhungsformel (4.20) für jedes konvexe f ∈ C(I)
gilt.
Bnf − Bn+1f =
n+1
j − 1
j j
αj f + (1 − αj) f − f
n
n n + 1
j=0
≥0
≥ 0
B n+1
j
5) ⇒ 1): Angenommen, f wäre nicht konvex, dann gibt es Punkte x0 < x ′ < x1, x ′ = α x0 +
(1 − α)x1, so daß
f (x ′ ) > α f (x0) + (1 − α) f (x1) ,
90Bezüglich der Monombasis läßt sich jedes Polynom vom Grad n auch als eines vom Grad n + 1 schreiben,
indem man den “Leitkoeffizienten” an+1 gleich Null setzt; bei Verwendung der Basen Bn j , j = 0, . . . , n, bzw.
B n+1
j , j = 0, . . . , n + 1, ist das, wie man sieht, nicht mehr ganz so trivial.
91Richtig schön wird diese Formel erst nach Einführung baryzentrischer Koordinaten und in mehreren Variablen.