Approximationstheorie

78 4 MEHR ÜBER BERNSTEINPOLYNOME
Übung 4.11 Zeigen Sie: Es gibt eine Konstante C, so daß
n
j=0
j
− x
n
4
B n j ≤ C
.
n2 Hinweis: Bestimmen Sie mit denselben Methoden wie im Beweis von Satz 2.2 das Polynom
exakt. ♦
Für den Beweis des “o–Satzes” gehen wir geometrisch vor und verwenden eine Idee von Amel’kovič
[2] bzw. von Bajˇsanski und Bojanić [5]; dazu benötigen wir die folgenden Beschreibung der
Konvexität.
Satz 4.19 Für f ∈ C(I) sind äquivalent:
1. f ist konvex.
2. Bnf ist konvex, n ∈ N.
3. Für n ∈ N ist Bnf ≥ Bn+1f.
4. Für n ∈ N ist Bnf ≥ f.
5. Für x ∈ [0, 1] ist
Korollar 4.20 Für f ∈ C(I) sind äquivalent
1. f ∈ Π1.
2. Es ist
3. Für jedes x ∈ [0, 1] ist
lim sup n (Bnf − f) (x) ≥ 0. (4.19)
n→∞
lim
n→∞ n Bnf − f = 0
lim
n→∞ n (Bnf − f) (x) = 0.
Beweis: Die Schlüsse 1) ⇒ 2) ⇒ 3) sind trivial. Ist aber die Limesbedingung in 3) erfüllt, so
ist für jedes x ∈ [0, 1]
0 = lim n (Bnf − f) (x) = lim n (f − Bnf) (x),
n→∞ n→∞
=Bn(−f)−(−f)
also sind f und −f konvex, das heißt, f ist gleichzeitig konvex und konkav und damit eine
affine Funktion.
Um uns den Beweis ein klein wenig einfacher machen zu können, verwenden wir eine “Formel”
aus dem Reich der “angewandten” Bernsteipolynome alias Bézier–Kurven 89 .
89 Dem Namen Bézier sind wir ja vorher schon begegnet; Bézier–Kurven sind Bestandteil jedes Grafikprogramms,
ein Hilfsmittel zur Modellierung von sogenannten “Freiformkurven”.