Approximationstheorie
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6 1 WAS IST APPROXIMATIONSTHEORIE<br />
bzw.<br />
ck = ck(f) := 1<br />
2π<br />
π<br />
−π<br />
und die reelle bzw. komplexe Fourierreihe als<br />
F (f)(x) = a0<br />
2 +<br />
∞<br />
(ak cos kx + bk sin kx) =<br />
k=1<br />
f(t) e −ikt dt, k ∈ Z, (1.3)<br />
∞<br />
k=−∞<br />
ck e ikx , x ∈ T. (1.4)<br />
Übung 1.1 Zeigen Sie, daß die reelle und die komplexe Darstellung in (1.4) übereinstimmen.<br />
♦<br />
Eigentlich sind solche Reihen ja nur sinnvoll, wenn sie konvergieren, sei es nun punktweise<br />
für ein festes x ∈ T oder gleichmäßig, das heißt in der Norm von C(T). Nur leider sind Fourierreihen<br />
in dieser Hinsicht ziemlich zickig: Es ist und war wohlbekannt, daß Stetigkeit nicht<br />
notwendig für die Konvergenz der Fourierreihen ist, und es war Du Bois–Reymond 3 , der 1873<br />
für einen Schock in der Analysis sorgte, als er ein Beispiel einer stetigen Funktion angab, deren<br />
Fourierreihe an einer Stelle divergiert. Bis dahin wurden nämlich Reihen generell mehr oder<br />
weniger blauäugig verwendet 4 , das heißt, lediglich formal und ohne sich um Konvergenz zu<br />
kümmern – ein durchaus nicht ungebräuchliches Vorgehen, das man beispielsweise auch bei<br />
Gauß [24] findet.<br />
Um dieses Resultat “vernünftig” zu formulieren, definieren wir die n–te Partialsumme der Fourierreihe<br />
von f ∈ C(T) als das trigonometrische Polynom<br />
σn(f)(x) := a0<br />
2 +<br />
n<br />
(ak cos kx + bk sin kx) =<br />
k=1<br />
und erhalten das folgende Resultat.<br />
Satz 1.5 Es gibt eine Funktion f ∈ C(T), so daß<br />
n<br />
k=−n<br />
ck e ikx , x ∈ T, (1.5)<br />
lim<br />
n→∞ f − σn(f) = ∞. (1.6)<br />
Bevor wir diesen Satz beweisen, erzählen wir aber erst unsere Geschichte fertig. Es ist also<br />
im allgemeinen nicht möglich, eine Funktion f ∈ C(T) durch ihre Partialsummen darzustellen<br />
– genauer, möglich ist es schon, nur nicht sonderlich sinnvoll, denn dieser Prozess liefert am<br />
Ende nicht die Funktion f, sondern irgendwas anderes. In diesem Zusammenhang war es dann<br />
3 Paul David Gustav Du Bois–Reymond, 1831–1889, deutscher Mathematiker; sein Bruder Emil war einer der<br />
bekanntesten Physiologen seiner Zeit. Studium der Mathematik in Berlin und der Medizin in Zürich, Professuren<br />
in Heidelberg, Freiburg, Tübingen und Berlin, Erfinder des Begriffs “Integralgleichung”.<br />
4 Man erinnere sich nur an den Abelschen Beweis, daß der Grenzwert der alternierenden Reihe <br />
j (−1)j gerade<br />
1<br />
2 ist.