Approximationstheorie

6 1 WAS IST APPROXIMATIONSTHEORIE
bzw.
ck = ck(f) := 1
2π
π
−π
und die reelle bzw. komplexe Fourierreihe als
F (f)(x) = a0
2 +
∞
(ak cos kx + bk sin kx) =
k=1
f(t) e −ikt dt, k ∈ Z, (1.3)
∞
k=−∞
ck e ikx , x ∈ T. (1.4)
Übung 1.1 Zeigen Sie, daß die reelle und die komplexe Darstellung in (1.4) übereinstimmen.
♦
Eigentlich sind solche Reihen ja nur sinnvoll, wenn sie konvergieren, sei es nun punktweise
für ein festes x ∈ T oder gleichmäßig, das heißt in der Norm von C(T). Nur leider sind Fourierreihen
in dieser Hinsicht ziemlich zickig: Es ist und war wohlbekannt, daß Stetigkeit nicht
notwendig für die Konvergenz der Fourierreihen ist, und es war Du Bois–Reymond 3 , der 1873
für einen Schock in der Analysis sorgte, als er ein Beispiel einer stetigen Funktion angab, deren
Fourierreihe an einer Stelle divergiert. Bis dahin wurden nämlich Reihen generell mehr oder
weniger blauäugig verwendet 4 , das heißt, lediglich formal und ohne sich um Konvergenz zu
kümmern – ein durchaus nicht ungebräuchliches Vorgehen, das man beispielsweise auch bei
Gauß [24] findet.
Um dieses Resultat “vernünftig” zu formulieren, definieren wir die n–te Partialsumme der Fourierreihe
von f ∈ C(T) als das trigonometrische Polynom
σn(f)(x) := a0
2 +
n
(ak cos kx + bk sin kx) =
k=1
und erhalten das folgende Resultat.
Satz 1.5 Es gibt eine Funktion f ∈ C(T), so daß
n
k=−n
ck e ikx , x ∈ T, (1.5)
lim
n→∞ f − σn(f) = ∞. (1.6)
Bevor wir diesen Satz beweisen, erzählen wir aber erst unsere Geschichte fertig. Es ist also
im allgemeinen nicht möglich, eine Funktion f ∈ C(T) durch ihre Partialsummen darzustellen
– genauer, möglich ist es schon, nur nicht sonderlich sinnvoll, denn dieser Prozess liefert am
Ende nicht die Funktion f, sondern irgendwas anderes. In diesem Zusammenhang war es dann
3 Paul David Gustav Du Bois–Reymond, 1831–1889, deutscher Mathematiker; sein Bruder Emil war einer der
bekanntesten Physiologen seiner Zeit. Studium der Mathematik in Berlin und der Medizin in Zürich, Professuren
in Heidelberg, Freiburg, Tübingen und Berlin, Erfinder des Begriffs “Integralgleichung”.
4 Man erinnere sich nur an den Abelschen Beweis, daß der Grenzwert der alternierenden Reihe
j (−1)j gerade
1
2 ist.