Approximationstheorie

76 4 MEHR ÜBER BERNSTEINPOLYNOME
Definition 4.16 Sei ϕ : R+ → R+ eine stetige Funktion mit limx→∞ ϕ(x) = 0.
Eine Folge Tn, n ∈ N, von Approximationsoperatoren heißt saturiert mit Ordnung ϕ, wenn
1. (“o–Klasse”, “triviale Klasse”)
lim
n→∞ ϕ−1 (n) Tnf − f = 0 ⇐⇒ Tnf = f, n ∈ N. (4.13)
2. (“O–Klasse”) für jedes M > 0
f : lim sup ϕ
n→∞
−1 (n) Tnf − f < ∞
\ {f : Tnf = f} = ∅. (4.14)
Mit anderen Worten: Die “optimale” Approximationsordnung O (ϕ(n)) wird für eine hinreichend
große Klasse von Funktionen erreicht, jede “etwas bessere” Approximationsordnung
o (ϕ(n)) hingegen nur von denjenigen Funktionen, die Tnf = f erfüllen, also trivialerweise
sehr gut approximiert werden.
Satz 4.17 Die Bernsteinpolynome Bn sind saturiert mit Ordnung ϕ(n) = n −1 .
Um einschätzen zu können, warum dieses Resultat so “unerfreulich” ist, muß man wissen, daß
die polynomiale Bestapproximation beliebig schnell 86 konvergieren kann, siehe Satz 5.3
Unser erstes (und fast wichtigstes) Hilfsmittel ist die “Voronovskaja–Formel” [84], aus der wir
sofort ersehen können, daß die O–Klasse wirklich groß ist, nämlich mindestens alle zweimal
stetig differenzierbaren Funktionen umfasst, deren zweite Ableitung nicht identisch verschwindet
87 .
Satz 4.18 (Voronovskaja, [84])
Für jedes f ∈ C 2 [0, 1] und x ∈ [0, 1] ist
lim
n→∞ n (Bnf − f) (x) =
x(1 − x)
2
f ′′ (x). (4.15)
Beweis: Wir fixieren x ∈ [0, 1] und bestimmen f j
durch eine Taylor–Entwicklung um x als
n
j
j
f = f(x) + − x f
n
n ′ 2 ′′ j f (ξj)
(x) + − x , (4.16)
n 2
wobei ξj ∈ j
n , x . Multiplizieren wir nun beide Seiten von (4.16) mit 88 B n j (x) und summieren
über j = 0, . . . , n, dann erhalten wir unter Verwendung einiger Identitäten aus dem Beweis von
86 Und langsam
87 Und das wären, nur um daran zu erinnern, gerade Π1, die linearen Polynome. Und da Bnp = p für p ∈ Π1
steht zu befürchten, daß uns die nochmal begegnen werden . . ..
88 Ja, das x hier ist dasselbe, das wir vorher festgehalten haben!