Approximationstheorie

4.4 Der Preis: Saturation 75
Übung 4.8 Zeigen Sie: In (4.12) gilt sogar Gleichheit. ♦
Beweis: Für jede Wahl von Punkten x0 < · · · < xn ∈ I ist
n−1
|f (xj+1) − f (xj)|
j=0
=
n−1
xj+1
f
xj j=0
′
(t) dt
≤
n−1
j=0
≤ |f ′ (t)| dt,
I
xj+1
xj
|f ′ (t)| dt =
xn
x0
|f ′ (t)| dt
was sich auch auf das Supremum über alle solchen Ausdrücke, V (f) überträgt.
Beweis von Satz 4.13: Unter Verwendung von (4.2), Lemma 4.15 und Übung 4.9 erhalten wir,
daß
1
V (Bnf) ≤ |B
0
′
1
nf(t)| dt =
0 n
n−1
j
∆1/nf B
n
j=0
n−1
j (t)
dt
1 n−1
≤ n
0 j=0
∆1/nf
j
B
n
n−1
n−1
j (t) dt = n
j=0
∆1/nf
j 1
B
n 0
n−1
j (t) dt
=
n−1
f
j + 1
− f
n
j=0
j
= V
n
f j
: j = 0, . . . , n ≤ V (f),
n
und das war’s auch schon.
Übung 4.9 Zeigen Sie: Für n ≥ 0 ist
1
0
B n j (t) dt = 1
, j = 0, . . . , n.
n + 1
Übung 4.10 Zeigen Sie: Die polynomiale Bestapproximation ist im allgemeinen nicht variationsvermindernd.
♦
4.4 Der Preis: Saturation
Wir haben gesehen, daß Bernsteinpolynome “schöne” Approximanten sind, die viele Eigenschaften
der Zielfunktion auf sich übertragen. Man kann sich denken, daß es das nicht umsonst
gibt – und in der Tat werden wir einen Preis bezahlen, nämlich “langsame” Konvergenz der
Approximationen, also eine schlechte Approximationsordnung.
Das Phänomen mit dem wir uns hier beschäftigen wollen, die Saturation, zeigt sich grob
gesprochen daran, daß man machen kann, was man will, besser als eine bestimmte Approximationsordnung
geht’s eigentlich nicht.
= 1
n
♦