Approximationstheorie

74 4 MEHR ÜBER BERNSTEINPOLYNOME
Übung 4.7 (Geometrische Interpretation der Variation eines Vektors)
Es sei f = (fj : j = 0, . . . , n) ∈ Rn+1 und sei ℓf die auf den Intervallen j j+1
, , j =
n n
0, . . . , n − 1, stückweise lineare Funktion, die außerdem
j
ℓf = fj, j = 0, . . . , n,
n
erfüllt. Zeigen Sie, daß V (fj : j = 0, . . . , n) = V (ℓf). ♦
Bemerkung 4.12 Die Summe bei der Definition der totalen Variation in (4.9) ist eigentlich gar
nicht so schlimm: Ist nämlich f (xj−1) ≤ f (xj) ≤ f (xj+1), dann ist der enstprechende Teil
der Summe
· · · + (f (xj) − f (xj−1)) + (f (xj+1) − f (xj)) + · · · = · · · + f (xj+1) − f (xj−1) + · · ·
und man kann den Punkt xj also getrost weglassen.
Mit anderen Worten: Man könnte genausogut gleich über die lokalen Extrema summieren 83 ;
das erklärt wohl auch den Namen ein bißchen besser.
Satz 4.13 (Variationsverminderung durch Bernsteinpolynome)
Für f ∈ C(I) und n ∈ N gilt
V (Bnf) ≤ V f j
: j = 0, . . . , n ≤ V (f). (4.11)
n
Bemerkung 4.14 Es gibt noch einen anderen, geometrischen, Begriff der Variationsverminderung:
Ein Operator T wird als variationsvermindernd bezeichnet, wenn T f mit einer beliebigen
Gerade höchstens so viele Schnittpunkte hat wie f selbst. Auch diese Eigenschaft besitzen die
Bernsteinpolynome, aber zu deren Beweis müßte man etwas weiter ausholen, es wäre eher Stoff
für eine CAGD 84 –Vorlesung.
Wichtigster Bestandteil des Beweises von Satz 4.13 ist eine kleine Beobachtung über die totale
Variation, die auch die Grundlage der Definition des Stieltjes 85 –Integral df ist.
Lemma 4.15 Für f ∈ C 1 (I) ist
V (f) ≤
I
|f ′ (t)| dt. (4.12)
83Was natürlich besonders schön ist, wenn eine Funktion nur endlich viele davon haben kann, wie zum Beispiel
Polynome.
84Computer Aided Geometric Design.
85Thomas Jan Stieltjes, 1856–1894, holländischer Analytiker, schaffte es, dreimal durch die Abschlußprüfung
zu fallen; wegen des fehlenden Universitätsabchlusses wurde ihm später vom Ministerium (bzw. wegen eine königlichen
Dekrets vom 12.3.1884) der Analysis–Lehrstuhl in Groningen nicht zuerkannt, obwohl er der Wunschkandidat
der Kommission war.