Approximationstheorie

4.3 Shape preservation 73
Satz 4.8 folgt sofort aus dem folgenden Resultat.
Proposition 4.9 Sei k ≥ 0 und f ∈ C(I)
1. Ist ∆k hf ≥ 0, dann ist auch B(k) n f ≥ 0.
2. Ist zusätzlich f ∈ C k (I), dann ist
Beweis: Da
f (k) ≥ 0 ⇐⇒ ∆ k hf ≥ 0, h > 0.
B (k)
n f =
n! n−k
(n − k)!
j=0
∆ k 1/nf
j
n
B n−k
j ,
folgt 1) unmittelbar; andererseits ist 2) eine unmittelbare Folgerung aus der Identität
∆ k
hf =
[0,h] k
f (k)
· +
k
j=1
tj
dt1 · · · dtk
ist.
Korollar 4.10 Eine Funktion f ∈ C(I) ist genau dann konvex, wenn alle ihre Bernsteinpolynome
Bnf, n ∈ N, konvex sind.
Übung 4.6 Zeigen Sie: f ∈ C(I) ist genau dann konvex, wenn ∆2 hf(x) ≥ 0 für alle h > 0 und
alle x mit x, x + 2h ∈ I. ♦
Eine weitere “shape”–Eigenschaft, die wirklich große Bedeutung in der Praxis hat, ist die Variationsverminderung.
Um auch zu wissen, was da wirklich vermindert wird, erst einmal eine
Definition.
Definition 4.11 Sei f ∈ C(I).
1. Die totale Variation von f ist definiert als
n−1
V (f) := sup
x0