Approximationstheorie

72 4 MEHR ÜBER BERNSTEINPOLYNOME
und solange man nur endlich viele Werte ℓ = 0, . . . , k betrachtet, konvergiert das auch “gleichmäßig”
in ℓ gegen Null, und das liefert (4.4).
Übung 4.5 Zeigen Sie, daß für f ∈ C k (I)
4.3 Shape preservation
k
∆hf(x)
1
≤
hk
(k)
f , x, x + kh ∈ I.
Bestapproximation ist ja eine feine Sache: Unter allen zugelassenen Funktionen weicht die Bestapproximation
von der Zielfunktion global am wenigsten ab. Anders wird es aber, wenn die
Approximation die “Gestalt” der Funktion f widerspiegeln soll, denn da stören Oszillationen
möglicherweise, siehe Abb. 4.1. Besonders schöne (und auch praktisch wichtige) “Shape pro-
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-1 -0.5 0 0.5
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-1 -0.5 0 0.5
Abbildung 4.1: Bestapproximationen vom Grad 5 (links) und 9 (rechts) an f(x) = |x|
auf I = [−1, 1]. Wie man sieht, fordert der Alternantensatz seinen Preis – die beiden
Approximationen an die konvexe Funktion f sind nicht mehr konvex.
perties” sind beispielsweise
• Posivität,
• Monotonie,
• Konvexität,
die sich für f ∈ C 2 (I) als f ≥ 0, f ′ ≥ 0, f ′′ ≥ 0 beschreiben lassen. Diese Eigenschaften
werden nun von Bernsteinpolynomen erhalten.
Satz 4.8 Ist f ∈ C k (I), dann ist f (k) ≥ 0 genau dann wenn B (k)
n f ≥ 0 ist.
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