Approximationstheorie

4.2 Simultanapproximation 71
also ist für j = 0, . . . , n − k
x − j
n − k
k
j j + k
≤ , x ∈ , . (4.8)
n n n
Somit erhalten wir unter Verwendung von Lemma 4.4
nk∆ k
j
1/nf − f
n
(k)
j
n − k
= n k
∆k
j
1/nf − n
n
−k f (k)
j
n − k
= n k
[0, 1
k j
f
k
n] n +
k
tk − f
j=1
(k)
j
dt1 · · · dtk
n − k
≤ n k
[0, 1
n] k
f k
∈[ j j+k
, n n ]
j
n +
k
tk −f
j=1
(k)
j
n − k
≤ω(f (k) , k
dt1 · · · dtk
≤
ω f
n)
(k) , k
n
n
k
= ω f (k) , k
.
n
[0, 1
n] k dt1 · · · dtk
=n−k Beweis von Satz 4.3: Für ℓ = 0, . . . , k ist nach Satz 4.2 und Lemma 4.7
(ℓ)
B n f − Bn−ℓf (ℓ)
n! n−ℓ
=
∆
(n
− ℓ)!
j=0
ℓ
j
1/nf B
n
n−ℓ
j −
n−ℓ
f
j=0
(ℓ)
j
n − ℓ
≤ n ℓ −
n!
(n − ℓ)!
n−ℓ
∆
j=0
ℓ
j
1/nf B
n
n−ℓ
j
n−k
+
j=0
nℓ ∆ ℓ
j
1/nf − f
n
(ℓ)
j
B
n − ℓ
n−ℓ
j
≤
1 −
ℓ−1
j=1
n − j f
(ℓ)
n
+ ω f (ℓ) , ℓ
,
n
B n−ℓ
j
siehe auch Übung 4.5, also ist
(ℓ)
B n f − f (ℓ)
≤ Bn−ℓf (ℓ) − f (ℓ)
+ B (ℓ)
n f − Bn−ℓf (ℓ) ≤ Bn−ℓf (ℓ) − f (ℓ)
ℓ−1
+ 1 − 1 −
j=1
→0
j
n
(ℓ)
f
→0
+ ω f (ℓ) , ℓ
,
n
→0