Approximationstheorie

70 4 MEHR ÜBER BERNSTEINPOLYNOME
Definition 4.5 Zu f ∈ C(I) und δ > 0 ist der Stetigkeitsmodul ω (f, δ) definiert als
ω (f, δ) = sup
sup
0 0 eine fallende positive Nullfolge82 . Zeigen Sie: Es gibt eine
Funktion f ∈ C(I), so daß ω f, 1
≥ an, n ∈ N.
n
Hinweis: Man muß f eigentlich nur an “relativ wenigen” Punkten wirklich definieren. ♦
Jetzt wird’s mal einen Moment lang wirklich technisch, aber wir werden gleich sehen, wofür
diese Abschätzung gut ist.
Lemma 4.7 Für f ∈ C k (I) und n ∈ N0 ist
nk ∆ k 1/nf
Beweis: Zuerst mal sehen wir, daß
und
j + k
n
j
− f
n
(k)
j
≤ ω f
n − k
(k) , k
, j = 0, . . . , n − k. (4.7)
n
j j
−
n − k n
− j
n − k
82 Das heißt, daß an > 0 und an → 0 für n → ∞.
= nj − nj + kj
n(n − k)
= k
n
= nj + (n − k − j)k − nj
n(n − k)
j
≤
n
− k
≤1
k
n
= k n − k − j
n n − k
≤ k
n ,
♦