Approximationstheorie

4.2 Simultanapproximation 69
was per Induktion die Behauptung ergibt.
4.2 Simultanapproximation
Die Ableitungsformel aus Satz 4.2 erlaubt es uns, eine interessante Eigenschaft der Bernsteinpolynome
festzuhalten: Sie approximieren nämlich nicht nur die Funktion sondern gleichzeitig
auch eventuell vorhandene Ableitungen der Funktion. Genauer gilt der folgende Satz.
Satz 4.3 Für f ∈ Ck (I), k ≥ 0, ist
0 = lim max
d
n→∞ 0≤j≤k
j
(f − Bnf)
dxj
Übung 4.2 Zeigen Sie, daß Ck (I) bezüglich der Norm
fk := max (j)
f
0≤j≤k
=: lim
n→∞ f − Bnf k . (4.4)
ein Banachraum ist. ♦
Das entscheidende Hilfsmittel zum Beweis von Satz 4.3 ist eine Darstellung der Vorwärtsdifferenz
über die entsprechende Ableitung.
Lemma 4.4 Für k ≥ 1, f ∈ Ck (I) und h > 0 ist
∆ k
hf(x) = f (k)
x +
Beweis: Für k = 1 ist
und generell
[0,h] k
k
j=1
∆hf(x) = f (x + h) − f(x) =
∆ k+1
h f(x) = ∆h ∆ k hf(x) = ∆h
=
=
=
[0,h] k
[0,h] k
[0,h] k+1
f (k)
h
0
x + h +
f (k+1)
[0,h] k
x +
k
j=1
f (k)
tj
j=1
f (k+1)
k+1
x +
j=1
tj
h
0
x +
− f (k)
dt1 · · · dtk. (4.5)
f ′ (t) dt,
k
j=1
tj
x +
dt1 · · · dtk
k
j=1
tj
k
tj + t dt1 · · · dtk dt
tj
dt1 · · · dtk+1,
dt1 · · · dtk
was per Induktion den Beweis komplettiert.
Der folgende Begriff wird uns später noch mehr “quälen”, im Moment benötigen wir ihn aber
eher, um die Sachen einfach und knapp formulieren zu können.