Approximationstheorie

68 4 MEHR ÜBER BERNSTEINPOLYNOME
= n
n
f
j=1
j=0
j
n
B n−1
j−1 (x) − n
n−1
j + 1
= n f − f
n
n−1
f
j=0
j
n
j
n
B n−1
j (x).
Definition 4.1 Für h > 0 ist die Vorwärtsdifferenz ∆h definiert als
und für k ≥ 1 die Iteration
B n−1
j (x)
∆hf(x) = f (x + h) − f(x), f ∈ C(I), x, x + h ∈ I,
∆ k hf(x) = ∆h ∆ k−1
Übung 4.1 Zeigen Sie: Für k ≥ 1 ist
h f(x) = ∆h · · · ∆h f(x),
k
x, x + kh ∈ I.
∆ k hf(x) =
k
(−1) k−j
j=0
k
f (x + jh) .
j
Mit Definition 4.1 hat die Ableitungsformel von oben also die Form
d
dx Bnf(x)
n−1
j
= n ∆1/nf
n
j=0
und wir erhalten praktisch unmittelbar das folgende Resultat.
Satz 4.2 Für f ∈ C(I), n ∈ N0 und 0 ≤ k ≤ n ist 81
d k
dx k Bnf =
n! n−k
(n − k)!
j=0
∆ k 1/nf
♦
B n−1
j (x), (4.2)
j
B
n
n−k
j . (4.3)
Beweis: Für k = 0 ist (4.3) trivial und für k = 1 nichts anderes als (4.2). Allgemein ist
dk+1 dxk+1 Bnf(x) = d
dx
=
=
=
d k
dx k Bnf(x) =
n! n−k
(n − k)!
j=0
n!
(n − k − 1)!
∆ k 1/nf
n−k−1
j=0
n! n−k
(n − k − 1)!
j=0
n! n−k
(n − k)!
j
n
∆ k 1/nf
∆ k+1
1/n f
j=0
∆ k 1/nf
j
n
(n − k) B n−k−1
j−1
j
n
j + 1
n
− ∆ k 1/nf
B n−k−1
j (x),
d
dx Bn−k j
(x) − B n−k−1
(x)
j
j
n
B n−k−1
j (x)
81 Die letzte Einschränkung, k ≤ n, ist mehr “für die Galerie”: Ist nämlich k > n, dann ist die Ableitung sowieso
Null, wir haben es bei Bn ja mit einem Polynom der Ordnung n zu tun.