Approximationstheorie

1.2 Ein historisches Beispiel: Summation von Fourierreihen 5
Definition 1.2 Mit T bezeichnen wir den eindimensionalen Torus T := R/2πZ, den wir normalerweise
durch die Intervalle [0, 2π] oder [−π, π] darstellen werden, wobei die Endpunkte
miteinander identifiziert werden.
Nur um das klarzustellen: T ist nicht das Intervall I = [0, 2π] oder das Intervall I = [−π, π],
sondern eines dieser Intervalle mit einer Addition modulo 2π, das heißt, für x, y ∈ I ist x + y
derjenige Wert z, so daß
z − (x + y) ∈ 2π Z.
Auf diese Art und Weise erhält T nämlich eine additive Gruppenstruktur, die das Intervall nicht
hat.
Definition 1.3 Mit C(T) bezeichnen wir den Vektorraum der stetigen reellwertigen1 Funktionen
auf T, mit der Norm
f = f∞ := max |f(x)| ,
x∈T
den wir wegen der obigen Bemerkung auch mit
C2π(R) := {f ∈ C(R) : f (x + 2π) = f(x), x ∈ R} ,
dem Vektorraum der stetigen, 2π–periodischen Funktionen auf R mit der Norm
identifizieren können.
f = f ∞ := max
x∈T
|f(x)| = sup |f(x)|
x∈R
Für die Funktionen in C(T) gibt es nun eine ganz besondere klassische Darstellung, nämlich
die Fourierreihen, die von Fourier 2 zur Behandlung der Wärmeleitungsgleichung entwickelt
wurden. Wir definieren sie hier nur für stetige Funktionen, ein Großteil des Interesses an und
Spaßes mit Fourierreihen beruht aber mit Sicherheit auch auf der Behandlung anderer, beispielsweise
quadratintegrierbarer Funktionen. Eine schöne und einfache Einführung in die Fourieranalysis
sind [28, 35].
Definition 1.4 Zu einer Funktion f ∈ C(T) definiert man die reellen bzw. komplexen Fourierkoeffizienten
ak = ak(f) := 1
π
π
−π
f(t) cos kt dt, bk = bk(f) := 1
π
π
−π
f(t) sin kt dt, k ∈ N0,
(1.2)
1 Im wesentlichen werden wir uns in dieser Vorlesung mit reeller Approximationstheorie befassen, weswegen
alle Funktionen normalerweise als reellwertig angenommen werden. Das heißt aber nicht, wie wir gleich sehen
werden, daß komplexe Zahlen tabu sein sollen.
2 Jean Baptiste Fourier, 1768–1830, französicher Mathematiker und Politiker. Er war nicht nur Mitglied der
“Acadèmie des Sciences”, sondern (vorher) auch Teilnehmer an der Ägypten–Expedtion von Napoleon (Bonaparte)
als wissenschaftlicher Berater und Gouverneur des Departement Isére mit Hauptstadt Grenoble. In den beiden
letzteren Eigenschaften trug er nicht unwesentlich (als Förderer von Champollion) zur Entzifferung der Hieroglyphen
bei, siehe [20].