Approximationstheorie

Bisweilen erweist sich das wahre Wissen
als bedeutungslos, und dann kann man es
auch erfinden.
Javier Marias, Alle Seelen
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Mehr über
Bernsteinpolynome
In diesem Kapitel wollen wir einige weitere Aspekte der Approximationstheorie kennenlernen,
die man sehr schön am Beispiel der (univariaten) Bernsteinpolynome darstellen kann, nämlich
• Simultanapproximation
• “Shape preserving approximation”,
• Saturation,
Eigenschaften, die die polynomiale Bestapproximation nicht hat, in manchen Fällen leider, in
anderen eher glücklicherweise.
4.1 Ableitungen von Bernsteinpolynomen
Wir beginnen das Ganze mal ziemlich unschuldig, indem wir uns die Ableitungen des n–ten
Bernsteinpolynoms
n
j
Bnf(x) = f B
n
n
n
j (x), Bj(x) = x
j
j (1 − x) n−j , (4.1)
j=0
zu einer Funktion f ∈ C(I), I = [0, 1], ansehen. Dazu leitet man zweckmäßigerweise die
Basispolynome B n j ab und erhält, daß für j = 0, . . . , n
d
dx Bn j (x) =
wobei B n−1
−1 = B n−1
n
n!
j!(n − j)!
= n
= n B n−1
j−1
d
dx Bnf(x) =
j x j−1 (1 − x) n−j − (n − j) x j (1 − x) n−j−1
n − 1
(j − 1)!(n − j)! xj−1 (1 − x) n−j n − 1
+
j!(n − j − 1)! xj (1 − x) n−j−1
(x) − Bn−1(x)
,
= 0 ist. Also ist
n
f
j=0
j
n
j
d
dx Bn j (x) =
n
f
j=0
j
n
n B n−1
j−1
(x) − Bn−1(x)
j
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