Approximationstheorie

66 3 APPROXIMATION IN LINEAREN RÄUMEN
Ergebnis: (näherungsweise) Bestapproximation φ ∗ ∞ und zugehörige Alternante A∞.
Beispiel 3.37 Sehen wir uns doch einmal die Funktionsweise des Remez–Algorithmus an Punkt
2 aus Beispiel 3.27 an, nämlich die Approximation von f(x) = sin x durch Φ = span {1, x} auf
X = [−π, π].
1. Da dim Φ = 2 beginnen wir doch einfach mal mit 2 + 1 = 3 gleichverteilten Punkten in
X und zwar79 A0 = {−π, 0, π}. Die (symmetrische) Bestapproximation an diesen drei
Punkten ist φ0 = 0 – die interpoliert sogar! Der Fehler |sin x − φ0(x)| = |sin x| nimmt
nun also sein Maximum an den beiden Stellen ± π an, von denen wir uns eine aussuchen
2
können.
2. Wählen wir also − π,
dann können wir wahlweise den Extremalpunkt −π oder 0 durch
2
− π ersetzen, denn die “Alternante” hatte ja die besondere Eigenschaft, daß die diskrete
2
Bestapproximation interpolierte, also alle σj = 0 waren.
3. Zur A1 = −π, − π
denn schließlich ist
2 , π ist nun die diskrete Bestapproximierende die Funktion φ1 = − 1
1
2
= sin(−π)
=0
+ 1
2
= − sin − π
1
+ = sin π +
2 2
1
2 .
Der maximale Fehler, nämlich 3
π
, wird nun an der Stelle angenommen, die wir für π
2 2
eintauschen können.
4. Mit A2 = −π, − π
π , sind wir nun aber fertig, denn das ist ja, wie wir aus Beispiel 3.27
2 2
wissen, bereits eine Alternante.
Der Remez–Algorithmus muss also nicht unbedingt konvergieren, er kann auch nach endlich
vielen Schritten terminieren 80 .
79 Es ist nicht gerade unüblich, daß Extrema am Rand angenommen werden, weswegen nie eine schlechte Idee
ist, die Randpunkte in die “Anfangsalternante” einzubeziehen.
80 Was natürlich auch eine Form von Konvergenz ist, sogar eine besonders schnelle.
2 ,